圆锥曲线之对称问题
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率
圆锥曲线解题技巧之对称性利用圆锥曲线的对称性质简化计算和证明过程提高解题效率在圆锥曲线解题中，对称性是一种常用的技巧，可以用来简化计算和证明过程，提高解题效率。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有不同的对称性质，可以通过利用这些对称性质来解题。
1. 椭圆的对称性利用椭圆是一种闭合曲线，具有中心对称性质。
利用椭圆的对称性，可以简化计算和证明过程。
例如，在求解椭圆的焦点坐标时，可以利用对称性质来减少计算量。
假设椭圆的中心为原点，主轴在x轴上，次轴在y轴上。
设椭圆上一点的坐标为(x, y)，则椭圆上对称的另一点的坐标为(-x, -y)。
通过利用对称性，可以避免重复计算，简化求解过程。
2. 双曲线的对称性利用双曲线是一种开口曲线，具有轴对称性质。
在利用双曲线的对称性解题时，可以根据曲线的性质进行推导。
例如，在求解双曲线的渐近线方程时，可以利用双曲线的轴对称性质来简化证明过程。
双曲线的轴对称性可以使得我们只需要证明其中一条渐近线的方程，然后通过对称性得到另一条渐近线的方程。
3. 抛物线的对称性利用抛物线是一种开口方向确定的曲线，具有顶点对称性质。
在利用抛物线的对称性解题时，可以利用顶点对称性来简化计算和证明过程。
例如，在求解抛物线的焦点坐标时，可以利用抛物线的顶点对称性质简化计算，将问题转化为求解顶点的坐标。
通过利用对称性，可以减少计算量，提高解题效率。
综上所述，对称性是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
通过利用椭圆的中心对称性、双曲线的轴对称性和抛物线的顶点对称性，可以简化计算和证明过程，提高解题效率。
在解题过程中，我们应当充分利用圆锥曲线的对称性质，并善于将问题转化为利用对称性质求解对应的简化问题，从而更加高效地解决圆锥曲线问题。
圆锥曲线之对称问题
圆锥曲线之对称问题包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；➋中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上1．（本小题满分14分）设,A B 是椭圆22:143x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与点,A B 不重合），O 为坐标原点．（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，证明：点B 与点C 关于x 轴对称．2.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14，设动点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．解析1.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分因为线段MB 的中点在y 轴上，所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3(1,)2-±． ……………… 3分所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=．…………… 5分（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，．又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线． ……………… 7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则122(,)B x y -．由 223412,,x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得 222(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分所以 222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+． (10)在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)mk-， 由4OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，得点N 的坐标为4(,0)k m-， (11)分设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，则 1211122121212444444()()NA NB k k x y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m +⨯++⨯--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k kx y y x y y m m+⨯++⨯ 21112244()()()()k kx kx m kx m x kx m kx m m m=+++⨯++++⨯2121242()()8k kx x m x x k m=++++ 2222412482()()()83434m k kmk m k k m k -=⨯++-+++ 22323824832243234m k k m k k k k k ---++=+0=， (13)分所以 10NA NB k k -=， 所以点A ，N ，1B 三点共线，即点B 与点C 关于x 轴对称． ……………… 14分2. 19．（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4F 的距离与动点P 到直线14y =-的距离相等．由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线14y =-为准线的抛物线．所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分 （Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由2,1,y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02k x =． 因为MN x ⊥轴，所以N 点的横坐标为2k ． 由2y x =，可得2y x '=所以当2kx =时，y k '=． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．…………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠．设直线l 的垂线为l '：1y x b k =-+．代入2y x =，可得210x x b k+-= （*）若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，则34122x x k +=-，342122y y b k +=+ 又3434(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-．由方程（*）有两个不等实根所以21()40b k ∆=+>，即221220k k+->所以212k <，解得k <或k ． ………………13分。
(完整版)圆锥曲线中的一类对称问题
圆锥曲线中的一类对称问题大庆实验中学 郝明泉圆锥曲线上存在两点关于直线对称问题是高考中的一类热点问题，该问题集直线与圆锥曲线位置关系，点与圆锥曲线的位置关系，中点弦，方程与不等式等数学知识于一体，经常在知识网络交汇处、思想方法的交汇线和能力层次的交叉区设置问题，一般问题的综合性较强，但难度不是很大，具有很好的选拔功能，对学生的知识和能力的考察情况也较好。
下面本文就这一类问题的解决方法，结合下面的例题，谈一下自己的看法。
例：已知椭圆22:143x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解两点,A B 关于直线l 对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l 上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,A B 关于直线:4l y x m =+对称设直线AB 为:n x y +-=41 (确保垂直). 则直线AB 与椭圆有两个不同的交点22221413816480143y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ 2192(413)0b ∆=--> (确保存在)即：22n -<< ① 12881313n n x x -+=-= ,A B 两点的中点的横坐标为124,213x x n +=纵坐标为141241313n n n -⨯+= 则点412,1313n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线:4l y x m =+上,12441313n n m =⨯+. (确保平分) 413m n ⇒=-把上式代入①中,得：1313m -<< 法二：点差法点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下 解:设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，代入椭圆方程后作差，得0121203144x y y x x y -=-=-- ① 由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m =+ ②由①②解得00,3x m y m =-=-因为点00(,)M x y 在椭圆的内部所以 22()(3)143m m --+<解得1313m -<<法三：利用根的分布求解C 上存在不同的两点关于直线l 对称，等价于C 上存在被l 垂直平分的弦，即等价于C 的适合条件的弦所在的直线方程，与曲线C 的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布来求解，过程如下。
圆锥曲线 对称与中垂线 求解思路
圆锥曲线对称与中垂线求解思路圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它们在数学和几何学中有着重要的应用和意义。
在本文中，我们将深入探讨圆锥曲线的对称性和中垂线的求解思路，帮助读者更深入地理解这一主题。
一、圆锥曲线的对称性圆锥曲线的对称性是指曲线相对于某一直线或点的对称性质。
常见的圆锥曲线对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
对称性的性质在数学和物理等领域有着广泛的应用，对于研究曲线的性质和方程的求解都具有重要意义。
1.1 对称性的定义对称性是指图形、曲线或物体在某一直线、点或平面上的对称性质。
圆锥曲线的对称性可以通过关于坐标轴的对称性表达出来，如：- 关于x轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(x, -y)。
- 关于y轴对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, y)。
- 关于原点对称：曲线上的任意一点(x, y)，其对称点为(-x, -y)。
1.2 对称性的应用圆锥曲线的对称性在数学、几何学和工程学中有着广泛的应用。
在解析几何中，通过利用曲线的对称性可以简化方程的求解过程。
在工程学中，对称性可以帮助设计出更加美观和稳定的结构。
对称性是研究圆锥曲线的重要性质之一。
二、中垂线的求解思路中垂线是两点之间的垂直平分线，它在几何学和三角学中具有重要的应用。
在本节中，我们将讨论中垂线的求解思路，并探讨其在圆锥曲线中的应用。
2.1 中垂线的定义中垂线是连接两点并且垂直平分这两点之间距离的直线。
在平面几何中，中垂线可以通过已知两点的坐标求解出来，其斜率为这两点连线的负倒数。
在三角学中，中垂线可以通过作垂直平分线的方法求解出来。
2.2 中垂线的应用中垂线在圆锥曲线的研究中有着重要的应用。
在椭圆曲线的研究中，利用中垂线可以求解出椭圆的焦点和方程的参数。
在双曲线中，中垂线可以帮助求解出双曲线的渐近线和离心率等重要性质。
三、个人观点和理解在我看来，对称性和中垂线是研究圆锥曲线时非常重要的性质和工具。
解析几何中的对称“美”——探析直线与圆锥曲线综合应用中的对称性问题
求解 ， 最终 得 出参 数 的取 值 范 围．
总之 ， 在 圆锥 曲线 上 两 点 关 于 直 线 对 称 问 题 的 实
例 已知抛物线 Ｃ ： 。 一 与直线 ｚ ： 一是 ． ｚ ＋÷，
试问： Ｃ上 能否存 在关 于直线 ｚ对称 的两 点 ？若 存在 ， 求 出实 数 ｋ的取 值 范 围 ； 若不 存在 ， 说明理 由．
， （
探 析 直 线 与 圆 锥 曲 线 综 合 应 用 中 的 对 称 性 问 题
◇ 江苏 范金 良
ｋ ＋３ ） ＜０ ， 解得 一１ ＜走 ＜０ ， 所 以抛 物线 Ｃ上存 在两 点 关 于 直线 ｚ 对称 ， 此时 ｋ的取值 范 围为（ 一１ ， Ｏ ） ．
方 法 ２ 联 立 方 程 △ 判 别 法
人 着 迷 的 是 理 论 与 思 想 方 法 的 系 统 性 和 思 维 的 高 度
是正 确 构造 出 合 适 的不 等 式 ， 主 要 是 利 用 中点 Ｍ 在
曲线 ｃ 内 ， 当然 也 可 以利用 判别 式构 造不 等式 ． 解 假设 ｃ上 存 在两 点 Ａ （ ， ） ， Ｂ（ 。 ， ） 关
设线 段 ＡＢ 的 中 点 为 Ｍ （ ｚ 。 ， ｙ 。 ） ， ＝ ＝ ＝ ｚ ， ； 一
—一
Ｍ（ ｘ 。 ， ｙ 。 ） 在直 线 ＡＢ上 ， 所以
６ ＝ Ｙ ｏ ＋ 去 Ｘ Ｏ 一 一 ｋ — １ １ 十 ３ ） 一 一 鲁 一 １ 痞，
ห้องสมุดไป่ตู้所 以
△一 是（ ＋ ４ ６ ）一 是（ 志 ２ ｋ一 ２
一
３） ＞０
高考高频考点(圆锥曲线)1、点关于直线的对称问题
第1讲 点关于直线的对称问题知识与方法1.如右图所示，已知点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=，求P 关于直线l 的对称点P '这类问题，通常可以设P '的坐标为(),a b ，利用PP '的中点在对称轴l 上，以及PP l '⊥来建立方程组，求解a 和b .2.技巧：当对称轴直线的斜率是1±时，可直接由对称轴方程将x 、y 反解出来，再将点P 的坐标分别代入即可得出所求对称点的坐标.典型例题【例题】已知点()1,2A ，则A 关于直线:220l x y −−=的对称的点A '的坐标为_______.【解析】如图，设(),A a b '，则AA '的中点为12,22a b G ++⎛⎫⎪⎝⎭， 点G 在直线l 上，所以1222022a b ++−⋅−=①， 又AA l '⊥，所以221211212b a +−⋅=−+−②， 联立①②可解得：3a =，2b =−，所以点A '的坐标为()3,2−.【答案】()3,2−变式1 已知点()1,2A ，则：（1）点A 关于直线1:10l x y −−=对称的点A '的坐标为_______；（2）点A 关于直线2:10l x y +−=对称的点A ''的坐标为_______；【解析】（1）1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得30x y =⎧⎨=⎩，所以()3,0A '；（2）1101x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩，点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得10x y =−⎧⎨=⎩，所以()1,0A ''−.【答案】（1）()3,0；（2）()1,0−【反思】当对称轴的斜率为1±时，可以使用小技巧来求对称点的坐标，若斜率不是1±，则不能这样做.变式2 已知直线:10l x y −+=和点()2,0A ，()3,3B −−，点P 在直线l 上，则PA PB +的最小值为_______.【解析】如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得13x y =−⎧⎨=⎩， 所以A 关于直线l 的对称点为()1,3A '−， 由图可知PA PA '=，从而PA PB PA PB '+=+，故当P 为线段A B '与直线l 交点时，PA PB +最小，且最小值为A B '=.【答案】变式3 一只虫子从原点出发，先爬到直线:10l x y −+=上的点P ，再爬到点()1,1A ，则虫子爬行的最短路程为_______.【解析】问题等价于求直线l 上的动点P 到原点O 和点A 的距离之和的最小值，如图，1101x y x y y x =−⎧−+=⇒⎨=+⎩，将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得02x y =⎧⎨=⎩， 所以点A 关于直线l 的对称点为()0,2A '，从而PA PA '=，故PO PA PO PA '+=+， 由图可知当P 为线段A O '与l 交点时，PO PA '+取得最小值，此时PO PA +也最小，且最小值为2.【答案】2【反思】求直线l 上的动点P 到直线l 同侧两定点A 、B 距离之和的最小值问题的解题步骤是：（1）求点A 关于直线l 的对称点A '；（2）求A B '的长，即为所求最小值.强化训练1.（★★）点()2,4A 关于直线:2330l x y +−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】设(),A a b '，如图，一方面，AA '的中点24,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭在直线l 上，所以24233022a b ++⋅+⋅−=①， 另一方面，AA l '⊥，所以42123b a −⎛⎫⋅−=− ⎪−⎝⎭②， 联立①②解得：2a b ==−，所以A '的坐标为()2,2−−.【答案】()2,2−−2.（★★）点()3,2A −关于直线:10l x y −−=的对称点A '的坐标为_______.【解析】1101x y x y y x =+⎧−−=⇒⎨=−⎩将点A 的坐标代入这两个式子的右侧可得12x y =−⎧⇒⎨=⎩点A '的坐标为()1,2−.【答案】()1,2−3.（★★★）已知P 是直线:20l x y +−=上的动点，点()3,0A −，()0,1B −，则PA PB +的最小值为_______.【解析】2202x y x y y x =−⎧+−=⇒⎨=−⎩， 将点B 的坐标代入这两个式子的右侧可得32x y =⎧⎨=⎩， 所以点B 关于直线l 的对称点为()3,2B '，从而PB PB '=，所以PA PB PA PB '+=+，由图可知当A 、P 、B '三点共线时，PA PB '+取得最小值AB '=，所以()min PA PB +=.【答案】。
专题51-圆锥曲线中的对称问题(解析版)
【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围. 这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点. 因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.例1. 已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－213 13 <m<213 13. 【点评】对于此类问题有第一种解法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生.例2、在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，-3）为OAB ∆的直角顶点，已知OA AB 2=，且点B 的纵坐标大于零. （1）求向量的坐标；（2）求圆02622=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；（3）是否存在实数a ，使抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a 的取值范围. 【解析】（1）设),(v u AB =→，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=→→→→2OA AB OAAB ，得⎩⎨⎧=-=+03410022v u v u .解得⎩⎨⎧==86v u ， 或⎩⎨⎧-=-=86v u .∵，∴，得，故.（3）设),(),,(2211y x Q y x P 为抛物线上关于直线OB 对称的两点，则：， 整理得：，即21,x x 为方程0225222=-++aa x a x 的两个相异实根. 于是由02254422>-⋅-=∆aaa ，得23>a . 故当23>a 时，抛物线12-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两点. 【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB 的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a 的取值范围.【变式演练1】在抛物线24y x =上恒有两点关于直线3y kx =+对称，求k 的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线y =12x 2－1上不存在关于直线y =x 对称的两点。
巧用点差法解决圆锥曲线中的对称问题高二上学期数学北师大版选择性必修第一册
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
O
x
金题精讲
圆锥曲线中的点对称问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
F2 (
3, 0)
，且经过点 (
3, 1) . 2
x2 a2
y2 b2
设点、作差、求斜率.
注意事项
如果是曲线的存在性问题，判断点的位置至关重要，如果点在曲线外，中点弦将 不存在.
金题精讲
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
【思路分析】
O
x
金题精讲
【解】假设这样的直线存在，不妨
设Q1(x1,y1) ,Q2(x2,y2) ,则
2x12 y12 2 ①
2
x22
y22
2
②
x1
x2
1③
2
y1
y2
1④
2
①–②得：2(x12 – x22)=y12 – y22
即：2(x1 + x2) (x1 – x2)=(y1 + y2)(y1 – y2)
即：2×2(x1 – x2)=2(y1 – y2)
考情分析
圆锥曲线中的 对称问题
基本方法 基本类型
韦达定理法 点差法 关于点对称 关于直线对称
金题精讲
应用点差法解决中点弦问题
已知双曲线方程2x2－y2＝2. （1）求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.
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圆锥曲线之对称问题
包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；➋中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上
1．（本小题满分14分）
设,A B 是椭圆22
:143
x y W +=上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x 轴于点M （与
点,A B 不重合），O 为坐标原点．
（I ）如果点M 是椭圆W 的右焦点，线段MB 的中点在y 轴上，求直线AB 的方程； （II ）设N 为x 轴上一点，且4OM ON ⋅=uuu r uuu r
，直线AN 与椭圆W 的另外一个交点为C ，
证明：点B 与点C 关于x 轴对称．
2.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点1(0,)4
F 的距离比点P 到x 轴的距离大1
4，设动
点P 的轨迹为曲线C ，直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点，M 是线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）证明：曲线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅲ）若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点，求k 的取值范围．
解析
1.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：椭圆W 的右焦点为(1,0)M ， ……………… 1分
因为线段MB 的中点在y 轴上，
所以点B 的横坐标为1-， 因为点B 在椭圆W 上，
将1x =-代入椭圆W 的方程，得点B 的坐标为3
(1,)2
-±． ……………… 3分
所以直线AB （即MB ）的方程为3430x y --=或3430x y +-=．…………… 5分
（Ⅱ）证明：设点B 关于x 轴的对称点为1B （在椭圆W 上），
要证点B 与点C 关于x 轴对称， 只要证点1B 与点C 重合，．
又因为直线AN 与椭圆W 的交点为C （与点A 不重合），
所以只要证明点A ，N ，1B 三点共线． ……………… 7分
以下给出证明：
由题意，设直线AB 的方程为(0)y kx m k =+≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ，则
122(,)B x y -．
由 223412,,
x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩
得 2
2
2
(34)84120k x kmx m +++-=， ……………… 9分
所以 2
2
2
(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，
122
834km
x x k +=-+，212241234m x x k -=+． (10)
分
在y kx m =+中，令0y =，得点M 的坐标为(,0)m
k
-
， 由4OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，得点N 的坐标为4(,0)k m
-， (11)
分
设直线NA ，1NB 的斜率分别为NA k ，1NB k ，
则 1211122121212444444()()NA NB k k x y y x y y y y m m k k k k k k x x x x m m m m +⨯
++⨯
--=-=++++ ，………12分 因为 21112244k k
x y y x y y m m
+⨯++⨯ 21112244()()()()k k
x kx m kx m x kx m kx m m m
=+++⨯++++⨯
2
121242()()8k kx x m x x k m
=++++ 22
22412482()()()83434m k km
k m k k m k -=⨯++-+++ 2232
3824832243234m k k m k k k k k ---++=+
0=， (13)
分
所以 10NA NB k k -=， 所以点A ，N ，1B 三点共线，
即点B 与点C 关于x 轴对称． ……………… 14分
2. 19．（共13分）
（Ⅰ）解：由已知，动点P 到定点1(0,)4
F 的距离与动点P 到直线1
4y =-的距离相等．
由抛物线定义可知，动点P 的轨迹为以1(0,)4为焦点，直线1
4
y =-为准线的抛物线．
所以曲线C 的方程为2y x =． ………………3分 （Ⅱ）证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ．
由2,
1,
y x y kx ⎧=⎨=+⎩得210x kx --=． 所以12x x k +=，121x x =-． 设00(,)M x y ，则02
k x =． 因为MN x ⊥轴，
所以N 点的横坐标为
2
k ． 由2y x =，可得2y x '=
所以当2
k
x =
时，y k '=． 所以曲线C 在点N 处的切线斜率为k ，与直线AB 平行．…………8分 （Ⅲ）解：由已知，0k ≠．
设直线l 的垂线为l '：1
y x b k =-+．
代入2y x =，可得2
10x x b k
+-= （*）
若存在两点3344(,),(,)D x y E x y 关于直线l 对称，
则
34122x x k +=-，3421
22y y b k +=+ 又3434
(,)22x x y y ++在l 上， 所以211()122b k k k +=-+， 21122b k =-．
由方程（*）有两个不等实根
所以21()40b k ∆=+>，即2212
20k k
+->
所以212k <，解得k <或k ． ………………13分。