圆锥曲线对称专题

例谈对称问题的常见解法天津大学附属中学窦春波由平面几何知识很容易得出如图（一）如果⊙OA,B关于直线l对称，则由垂径定理得直线l一定过圆心O’，那么对椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线上若也存在两点关于某条直线对称问题该如何解决呢？宝坻一中第二模拟理科考了这样一道题：引例如图（二）：椭圆C：22221(0)y xa ba b的离心率为12，且过A（，（Ⅰ）求椭圆方程.（Ⅱ）若椭圆C上存在两个不同的点P,Q关于直线y x m对称，求实数m的取值范围.分析：对（Ⅰ）根据离心率2212a bea得2234ab，所以椭圆方程为22221(0)34y xa ba a过A（得224,3,a b所以椭圆方程为22143y x.针对（Ⅱ）可设弦PQ的中点H在直线y x m上，再利用点差法联立方程且PQ的中点在椭圆内部，即可得出参数m 的取值范围.解法：（Ⅰ）略.针对（Ⅱ）令令P11(,)x y，Q22(,)x y分别代入椭圆方程22143y x得2211143y x①点差法：①-②得12121212()()()()43y y y y x x x x，即2222143y x②12121212()()4-3()()y y y yx x x x+-=+-,令PQ中点H00(,)x y，则1202x xx，1202y yy，∴0120122()432()y y yx x x，又∵1212PQy yKx x，且PQ垂直直线y x m，∴1PQK，∴0413yx-=⋅，∴043xy，又∵PQ中点H00(,)x y在直线y x m上，代入得04+3xx m，∴3x m，00(3+4y x m m m m），∴H(3,4)m m∵H(3,4)m m在椭圆22143y x内部，∴22(4)(3)143m m，即271m，∴217m，xx解得7777m . 说明：此题方法比较简单运算量也不太大，学生比较容易接受。

对圆锥曲线上存在两点关于某条直线对称问题高考中也不乏出现此考点，例如2015年浙江高考数学理科第19题就考到了椭圆上存在不同两点关于直线对称问题：例1 已知椭圆C ：2212x y上存在两个不同的点A,B 关于直线12ymx对称.（Ⅰ）求实数m 的取值范围.（Ⅱ）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）. 分析：（Ⅰ）如图（三）由题意得，可设直线AB为xmyn ，代入椭圆方程可得222(2)22m ymny n 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y 。

∵椭圆上存在两个不同的点A,B 关于直线12ymx对称，∴△>0,设AB 中点P 00(,)x y ， 利用中点坐标公式及其根与系数的关系可得P ,m n 的式子表示），又点P 在直线12y mx 上，可得22,2m n m再代入△>0，即可得出. （Ⅱ）直线AB 与x 轴的交点的横坐标为n ，可得121||||2AOBS n y y ，在利用均值不等式即可得出.解法①：（Ⅰ）由题意可得，可设直线AB 的方程为-x my n ，代入椭圆方程2212xy ，可得222(2)220,my mny n 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，由题意可得△>0,即22222244(2)(2)8(2)0m n m n m n ，设线段AB 中点P 00(,)x y ，则1222222222y y mnmnny x mnm m m ，，由于点P 在直线12y mx =+上， ∴2221222mn mn m m ，∴222m n m，代入△>0，可得42223440,3m m m 解得， ∴6633mm ，或. （Ⅱ）∵直线AB与x 轴的交点的横坐标为n ，∴121||||2AOBS n y y =-∆,1||2AOBS n ==由均值不等式可得：2222222222(2)(2)()24n m n m n m n +-++-+≤=， xAOBS≤=∴当且仅当2222nmn，即2222n m，又∵222m nm，解得m =∴当且仅当m =AOB S∆取得最大值为2. 说明：本考题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相关问题转化为方程联立可得跟与系数关系、中点坐标公式、线段中垂线的性质、三角形面积公式、弦长公式、均值不等式的性质，还考查了推理能力与计算能力，属于中等偏上难度的题. 注意：因为此种解法学生设直线AB 方程x my n 时有些困难，下面再给出三种不同解法学生更能容易想到和接受些：针对（Ⅰ） 解法②：如图（四）令A 11(,)x y ， B 22(,)x y ，∵A,B 两点关于直线12y mx 对称. ∴直线AB 与直线12ymx垂直，又∵0m 时椭圆上不存在两点关于直线12ymx对称，∴0m ≠，则此时可设直线AB 方程为1yx b m ，与椭圆方程2212x y 联立，可得22212()10,2bm x x b m化简得2222(2)42(1)0,m x bmx m b ∴△2222(4)4(2)2(1)bm m m b =--+⋅-，2212122242(-122mb m b x x x x m m +=⋅=++），，121212111()()()2y y x b x b x x b m m m++。

∴212122222222x x y y mb m b m m ，，∴令AB 中点H 1212()22x x y y ，，即H 222222mb m b m m （，），（※） 又∵点H 在线段AB 中垂线12y mx 上，∴2222=22m b mb m m m ⋅++1+2，解得22(2)=2m b m ， 又∵直线12ymx 与椭圆2212x y 有两个不同交点，△>0，即2222(4)4(2)2(1)0bm m m b --+⋅->，即222240b m m ，将22(2)=2m b m代入得222222(2)[]2402m m m m，令20m t ,22(2)[]2402t t t t，化简得23t， ∴223m ，∴66.33m m ，或 因为弦AB 的中点H 在椭圆内部，所以将H 点代入椭圆方程左边小于1来做.解法③：（※）前解法同方法②，将H 222222mb m b mm（，）代入椭圆方程左边小于1， x即2222222()(2)21=222mbm b mm bm m2+(），且代入化简得222222(2)[]2402mm mm，令20 m t=>,22(2)[]2402tt tt，化简得23t，∴223m ，∴66.33mm，或因为圆锥曲线都有对应的参数方程，所以还可以用参数方程的方法来解.2cosx解法④：∵椭圆方程为2212xy∴令siny（0π≤α<2）∴令A sinα,α)，B sinβ,β)，如图（五）不妨设0π≤α<β<2，∵弦AB被直线12y mx垂直平分，又∵0m时椭圆上不存在两点关于直线12y mx对称，∴0m≠，∴1ABK m⋅=-，1m=-，①图（五）又∵弦AB的中点H cos2cos sin sin在直线12y mx上，∴代入得sin sinm⋅α+β1=+22②，再与①式联立得sin sin sin sin2cos2cos) cos2cosm m-⋅⋅⋅-，即22sin2(cos cos12(cos cosm m，化简得2cos cosm代入②得2sin sin211mm，即222(cos cos(sin sin)(1)m展开222222cos cos cos cos sin sin sin sin1m即222cos(1m，又∵cos(≠-αβ,αβ)<1，∴222cos(14m，∴223m，∴66.33m m，或利用类比思想如何解决双曲线上存在不同两点关于某条直线对称问题呢？例2若双曲线C：22143x y上总存在不同两点P,Q关于直线1y kx对称，求实数k的取值范围.分析：首先要对参数k是否为0进行讨论，再根据线段PQ中点在直线1y kx上，及直x线PQ 与双曲线总有两个不同交点，用△>0，进而求出 参数k 的取值范围.解法①：如图（六）第1种情况，当k =0时， 直线1ykx 变成直线1y ，此时双曲线上不存在P,Q 两点关于直线1y 对称，∴此种情况舍去 第2种情况，当k ≠0时，令P 11(,)x y ，Q 22(,)x y ，代入双曲线中2211143x y ① 点差法：①-②得12121212()()()()043x x x x y y y y ，即2222143x y ②12121212()()34()()y y y y x x x x ,令PQ 中点H 00(,)x y ，则122x x x， 122y y y ，∴0120122()342()y y y x x x ，又∵1212PQ y y K x x ，且PQ 垂直直线1ykx ，∴1PQ K k ，∴0031()4y x k，∴034kx y ，又∵PQ 中点H 00(,)x y 在直线1y kx 上，代入得003+14kx kx ，∴047x k，00431(+177y kx k k ），∴H 43(,)77k∴直线PQ 方程为点斜式：314()77yx k k 再与双曲线C ：22143x y 联立得：22143[()]77143x xkk ，化简得2223423432246496624()077494949kx x kk k k k ，又∵△>0，∴△=2232423224346496624[()]4()077494949k k k k kk----⋅⋅-+->，化简整理得：22262462216924121618241171560494949494949k k k k k k k k k ，2424395504949k k k42395540k k ，即22(34)(131)0k k ，∴2241313k k ，或0<，解不等式得： 23231313331313kk k，或或. 说明：上述方法虽然简单，但运算量相当大，一般学生会出错，那么有没有更简单的方法呢？因为直线PQ 垂直于直线1y kx ，所以可设直线PQ 方程为1y x b k，（0k ≠）再与双曲线联立用△>0即可求出实数k 的取值范围. 解法②：第1种情况，当k =0时，直线1ykx 变成直线1y ，此时双曲线上不存在P,Q 两点关于直线1y 对称，∴此种情况舍去.第2种情况，如图（七）当k ≠0时，令P 11(,)x y ，Q 22(,)x y ，∵直线PQ 垂直于直线1y kx ，∴设直线 PQ 方程为1yx b k， （0k ≠）与双曲线C ：22143xy 联立得：2222(34)84(3)0k x kbx k b ，∵△>0， 即222226444(34)(3)0k b k k b ，化简整理得：2222224-3340,k k b k b k 即,（※）又∵122834kb xx k ，221224(3)34k b x xk ，∴1224234x x kbk ，21223234y y k b k ，∴令PQ中点H 223(34k b k ，2434kb k ）又∵H 点在直线1y kx 上，∴24=34kb k 22334k b k k +1，解得22347k bk ，又由（※）得22222344-3()7k k k k ， ∴解得42395540k k ，即22(34)(131)k k ，∴2241313k k ，或0<，解不等式得：23231313331313kk k，或或. 下面我们再看一道有关抛物线上不同两点关于某条直线对称问题。