关于高考数学压轴题小题
关于高考数学压轴题小题 This manuscript was revised on November 28, 2020
高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f (1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),
∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,
则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,
f(4)=f(0)=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f (50)
=f(1)+f(2)=2+0=2,
故选:C.
2.)已知F
1,F
2
是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点
P在过A且斜率为的直线上,△PF
1F
2
为等腰三角形,∠F
1
F
2
P=120°,则C的离心率
为()A.B.C.D.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F
1(﹣c,0),F
2
(c,0),
直线AP的方程为:y=(x+a),
由∠F
1F
2
P=120°,|PF
2
|=|F
1
F
2
|=2c,则P(2c,c),
代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,
∴题意的离心率e==.
故选:D.
3.设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0
【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.
我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.
故选:B.
4.已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4+3=0,则|﹣|的最小值是()
A.﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣
【解答】解:由﹣4+3=0,得,
∴()⊥(),
如图,不妨设,
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.
不妨以y=为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线的距离减1.
即.
故选:A.
5.已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端
点).设SE与BC所成的角为θ
1,SE与平面ABCD所成的角为θ
2
,二面角S﹣AB﹣C的
平面角为θ
3
,则()
A.θ
1≤θ
2
≤θ
3
B.θ
3
≤θ
2
≤θ
1
C.θ
1
≤θ
3
≤θ
2
D.θ
2
≤θ
3
≤θ
1
【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,连接SN,
取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,
则θ
1=∠SEN,θ
2
=∠SEO,θ
3
=∠SMO.
显然,θ
1,θ
2
,θ
3
均为锐角.
∵tanθ
1==,tanθ
3
=,SN≥SO,
∴θ
1≥θ
3
,
又sinθ
3=,sinθ
2
=,SE≥SM,
∴θ
3≥θ
2
.
故选:D.
6.函数y=2|x|sin2x的图象可能是()
A.B.C.
D.
【解答】解:根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数,
故排除A和B.
当x=时,函数的值也为0,
故排除C.
故选:D.
二.填空题(共9小题)
7.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 2 .
【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x 的距离为c,
可得:=b=,
可得,即c=2a,
所以双曲线的离心率为:e=.
故答案为:2.
8.若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为﹣3 .
【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),
①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;
②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,
∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,
又f(x)只有一个零点,
∴f ()=﹣+1=0,解得a=3,
f (x )=2x 3﹣3x 2+1,f′(x )=6x (x ﹣1),x ∈[﹣1,1], f′(x )>0的解集为(﹣1,0),
f (x )在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减, f (﹣1)=﹣4,f (0)=1,f (1)=0,
∴f (x )min =f (﹣1)=﹣4,f (x )max =f (0)=1, ∴f (x )在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为: f (x )max +f (x )min =﹣4+1=﹣3. 9.已知a >0,函数f (x )=
.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2
个互异的实数解,则a 的取值范围是 (4,8) . 【解答】解:当x ≤0时,由f (x )=ax 得x 2+2ax+a=ax , 得x 2+ax+a=0, 得a (x+1)=﹣x 2, 得a=﹣
,
设g (x )=﹣
,则g′(x )=﹣
=﹣
,
由g′(x )>0得﹣2<x <﹣1或﹣1<x <0,此时递增,
由g′(x )<0得x <﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g (x )取得极小值为g (﹣2)=4,
当x >0时,由f (x )=ax 得﹣x 2+2ax ﹣2a=ax , 得x 2﹣ax+2a=0,
得a (x ﹣2)=x 2,当x=2时,方程不成立, 当x ≠2时,a=
设h (x )=
,则h′(x )=
=
,
由h′(x )>0得x >4,此时递增,
由h′(x )<0得0<x <2或2<x <4,此时递减,即当x=4时,h (x )取得极小值为h (4)=8,
要使f (x )=ax 恰有2个互异的实数解, 则由图象知4<a <8, 故答案为:(4,8) 10.已知椭圆M :
+
=1(a >b >0),双曲线N :
﹣
=1.若双曲线N 的两条渐
近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为
;双曲线N 的离心率为 2 .
【解答】解:椭圆M :
+
=1(a >b >0),双曲线N :
﹣
=1.若双曲线N 的两
条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点, 可得椭圆的焦点坐标(c ,0),正六边形的一个顶点(,
),可得:
,可得
,可得e 4﹣8e 2+4=0,e ∈(0,1),
解得e=.
同时,双曲线的渐近线的斜率为,即
,
可得:
,即
,
可得双曲线的离心率为e==2.
故答案为:
;2.
11.已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足:x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=,则
+
的最大值为
+
.
【解答】解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), =(x 1,y 1),
=(x 2,y 2),
由x 12+y 12=1,x 22+y 22=1,x 1x 2+y 1y 2=, 可得A ,B 两点在圆x 2+y 2=1上,
且=1×1×cos∠AOB=,
即有∠AOB=60°,
即三角形OAB为等边三角形,
AB=1,
+的几何意义为点A,B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d
1与d
2
之和,
显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,
可设AB:x+y+t=0,(t>0),
由圆心O到直线AB的距离d=,
可得2=1,解得t=,
即有两平行线的距离为=,
即+的最大值为+,
故答案为:+.
12.已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a= 6 .
【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).
则:,
整理得:=1,
解得:2p+q=a2pq,
由于:2p+q=36pq,
所以:a2=36,
由于a>0,
故:a=6.
故答案为:6
13.已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解
集是{x|1<x<4} .若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,3]∪(4,+∞).
【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0
的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.
函数f(x)恰有2个零点,
函数f(x)=的草图如图:
函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.
故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).
14.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大.
【解答】解:设A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
),
由P(0,1),=2,
可得﹣x
1=2x
2
,1﹣y
1
=2(y
2
﹣1),
即有x
1=﹣2x
2
,y
1
+2y
2
=3,
又x
12+4y
1
2=4m,
即为x
22+y
1
2=m,①
x
22+4y
2
2=4m,②
①﹣②得(y
1﹣2y
2
)(y
1
+2y
2
)=﹣3m,
可得y
1﹣2y
2
=﹣m,
解得y
1=,y
2
=,
2+()2,
则m=x
2
2=m﹣()2==,
即有x
2
2有最大值4,
即有m=5时,x
2
即点B横坐标的绝对值最大.
故答案为:5.
15.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成1260 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【解答】解:从1,3,5,7,9中任取2个数字有种方法,
从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有种方法,
可以组成=720个没有重复数字的四位数;
含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有=540,
故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数.
故答案为:1260.
三.解答题(共2小题)
16.设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,
∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,
∴2asin2x=0,
∴a=0;
(2)∵f()=+1,
∴asin+2cos2()=a+1=+1,
∴a=,
∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
∵f(x)=1﹣,
∴2sin(2x+)+1=1﹣,
∴sin(2x+)=﹣,
∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,
∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,
∵x∈[﹣π,π],
∴x=或x=或x=﹣或x=﹣
17.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).
∴x=﹣,y=,r=|OP|=,
∴sin(α+π)=﹣sinα=;
(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,
得,,
又由sin(α+β)=,
得=,
则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)
sinα=,
或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)
sinα=.
∴cosβ的值为或.
2017年高考全国1卷理科数学试题和答案解析
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A .14 B .π8 C . 12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;
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高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、(2007广东8)设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈,,对于有序元素对(a b ,),在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).若 对任意的a b S ∈,,有()**a b a b =,则对任意的a b S ∈,,下列等式中不恒成立的是( ) A .()**a b a a = B .[()]()****a b a a b a = C .()**b b b b = D .()[()]****a b b a b b = 2、(2008广东8)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) A . 1142+a b B .2133+a b C .11 24 +a b D .1 233 + a b 3、(2009广东8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( ) A .在1t 时刻,甲车在乙车前面 B .1t 时刻后,甲车在乙车后面 C .在0t 时刻,两车的位置相同 D .0t 时刻后,乙车在甲车前面 4、(2010广东8)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 ( ) A .1205秒 B .1200秒 C .1195秒 D .1190秒 5、(2011广东) 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭
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高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+
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