现代控制理论实验报告1__亚微米超精密车床振动控制系统设计

现代控制理论基础上机实验报告之一亚微米超精密车床振动控制系统的状态空间法设计一：工程背景介绍超精密机床是实现超精密加工的关键设备，而环境振动又是影响超精密加工精度的重要因素。

为了充分隔离基础振动对超精密机床的影响，目前国内外均采用空气弹簧作为隔振元件，并取得了一定的效果，但是这属于被动隔振，这类隔振系统的固有频率一般在2Hz左右。

这种被动隔振方法难以满足超精密加工对隔振系统的要求。

为了解决这个问题，有必要研究被动隔振和主动隔振控制相结合的混合控制技术。

其中，主动隔振控制系统采用状态空间法设计。

二：实验目的通过本次上机实验，使同学们熟练掌握：1. 控制系统机理建模；2. 时域性能指标与极点配置的关系；3. 状态反馈控制律设计；4. MATLAB语言的应用。

三：工程背景的物理描述图1图1表示了亚微米超精密车床隔振控制系统的结构原理，其中被动隔振元件为空气弹簧，主动隔振元件为采用状态反馈控制策略的电磁作动器。

此为一个单自由度振动系统，空气弹簧具有一般弹性支承的低通滤波特性，其主要作用是隔离较高频率的基础振动，并支承机床系统。

主动隔振系统具有高通滤波特性，其主要作用是有效地隔离较低频率的基础振动。

主、被动隔振系统相结合可有效地隔离整个频率范围内的振动。

经物理过程分析得出床身质量的运动方程为：p a 0m s F F ++=（1） F ——空气弹簧所产生的被动控制力。

F ——作动器所产生的主动控制力。

假设空气弹簧内为绝热过程，则被动控制力可以表示为：p 0r r r e e{1[/()]}nF c y k y pV V A y A =++-+ （2） V ——标准压力下的空气弹簧体积；0y s s =-——相对位移（被控制量）；p——空气弹簧的参考压力； A——参考压力下单一弹簧的面积；e r 4A A =——参考压力下空气弹簧的总面积；n ——绝热系数。

电磁作动器的主动控制力与电枢电流、磁场的磁通量密度及永久磁铁和电磁铁之间的间隙面积有关，这一关系具有强非线性。

由于系统工作在微振动状况，且在低于作动器截止频率的低频范围内，因此主动控制力可近似线性化地表示为：a e a F k I = （3）ek——力-电流转换系数；I ——电枢电流。

其中，电枢电流I 满足微分方程：a a a(,)()L I R I E Iyu t ++= （4） L——控制回路电枢电感系数； R ——控制回路电枢电阻； E——控制回路反电动势； u——控制电压。

四：闭环系统的性能指标要求要求闭环系统单位阶跃响应的超调量不大于5%，过渡过程时间不大于0.5秒（0.02∆=）。

五：车床振动系统的开环状态空间模型的建立首先假定s 为常数，将式0y s s =-两边求关于时间的二阶导数可得：()p a 1y s F F m==-+()0r r r e e e a1{1[/()]}n c y k y p V V A y A k I m=-++-++ （5） 记为：()0e a1y c y k y k I mω=-+++ （6） 其中rrree{1[/()]}np V V A y A ω=-+。

对式（6）两边求导得：()0e a1y c y k y k I mω=-+++ （7） 由式（6）可得：0aem y c y ky I k ω+++=- （8） 由式（7）可得：0a em y c y ky I k ω+++=- （9） 将式（8）和（9）代入式（4）可得：00ae e(,)()m y c y k y m y c y k y L R E I y u t k k ωω++++++--+= 即：()()00e a e(,)()L m y L c R m y L k R c y R k y L R k E I y k u t ωω+++++++-=-将非线性项e a (,)L R k E I yωω+-视为干扰信号，略去不计，可得线性化模型为：()()00e()L m y L c R m y L k R c y R k y k u t +++++=- （10） 令状态变量为：1x y =，2x y =，3x y =可得系统开环状态方程为：122300e 3123x x x x R k L k R c k L c R m x x x x u L m L m L m L m ⎧⎪=⎪=⎨⎪++⎪=----⎩由此得开环系统的状态空间表达式为：[]112200e 3312301000010100x x x x uRkLk Rc k Lc Rm x x Lm Lm Lm Lm x y x x ⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎪⎣⎦⎣⎦----⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪⎡⎤⎪⎢⎥⎪=⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩（11）假设某一亚微米超精密车床隔振系统的各个参数为：01200N /m k =，980N /A e k =，kg 120=m ，2.0=c ，Ω300=R ，H 95.0=L 。

代入式（11）得开环系统的状态空间表达式为：u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡6.8008.3155.109.3157100010321.3.2.1 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y 六：状态反馈控制律的设计根据性能指标21p 100%5%e ζπζσ--=⨯≤，解得0.69ζ≥，所以046.36θ≤。

根据性能指标s 40.5nt ζω≈≤，解得8n ζω≥。

留出裕量，取8.0=ξ，5.12=n ω，则：10=n ξω，5.712=-ξωn 。

为此得两共轭极点为j s 5.7101+-=，j s 5.7102--=，取第三个极点为1003-=s 。

于是得出系统期望特征多项式为：1562525.2156120)100)(5.710)(5.710()(23+++=+-+++=λλλλλλλj j f （12）设状态反馈控制律为：[]112323x u k k k x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则闭环系统的状态空间表达式为：u x x x k k k x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡6.8006.88.3156.85.106.89.3157100010321321.3.2.1[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321001x x x y 则此时闭环系统的特征多项式为：12323*6.89.3157)6.85.10()6.88.315()(k k k f ++++++=λλλλ （13）将式（12）与式（13）比较可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+156256.89.315725.21566.85.101206.88.315123k k k ， 最终解得： ⎪⎩⎪⎨⎧-===8.225.2497.1449321k k k ，至此状态反馈控制律设计完毕。

七：闭环系统的数字仿真1. 闭环系统的单位阶跃响应仿真由以上设计过程，借助matlab 画出系统的simulink 仿真图如图2：图2得出系统此时的阶跃响应曲线如图3，图4：00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-6-5-4-3-2-10x 10-4图300.10.20.30.40.50.60.70.80.91-6-5-4-3-2-1x 10-4X: 0.4377Y: -0.0005585X: 0.9577Y: -0.0005503图4由图4分析可见系统输出最大值为-0.0005585，稳态值为-0.0005503.超调量为：1.49%，此时已进入2%误差带，调整时间小于0.5秒。

设计满足要求。

2. 闭环系统的全状态响应仿真假设存在某一初始振动状态m x 5110*5)0(-=，s m x /10*2)0(52-=，253/10*5.0)0(s m x --=。

根据闭环齐次状态方程：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321.3.2.112025.215615625100010x x x x x x 编写matlab 程序如下： 第一个文件simu046.m function dx=simu046(t,x)A=[0,1,0; 0,0,1; -15625,-2156.25,-120]; dx=A*x;第二个文件do_simu046.m function do_simu046[t,x]=ode45('simu046',[0,1],[5*10^-5,2*10^-5,-0.5*10^-5]); subplot(3,1,1); plot(t,x(:,1),'r-'); legend('x_1'); grid;subplot(3,1,2); plot(t,x(:,2),'b-'); legend('x_2'); grid;subplot(3,1,3); plot(t,x(:,3),'k-'); legend('x_3'); grid程序运行后各状态量变化曲线如图5：00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50510x 10-5x 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91-505x 10-4x 200.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.0100.01x 3图5从图5状态量1x 亦即系统输出量可见振动抑制效果很理想，已满足设计指标。

八：心得体会通过设计进一步理解掌握了状态空间法的设计步骤，充分将所学的知识应用到了实际的系统设计中，同时也加深了应用matlab 中的simulink 仿真模块进行系统仿真的方法。