图的表示与图同构-南京大学
图的同构分类
图同构
,定义
性质：自反、对称、传递 必要条件：
I度数列相等
-10.3图与子图及其分类
定义10.5
设G为n阶无向简单图，若G中每一对结点间都有边相连，则称G为n阶无向完全图，
简称n阶完全图，记作K（（n>=1）o设D为n阶有向简单图，若D中每个顶点都邻接到 其余
的n-1个顶点，则称D是n阶有向完全图。设D为n阶有向简单图，若D的基图为n阶 无向完 全图，则称D是n阶竞赛图。
、定义10.7 /
设图G=<V, E>,如果有图（；=（广£），且（； =（，".£'），则称G'为图G的 子图。G为G，的母图，记作。又若Lu厂或E'uE，则称G'为G的 真子图。若厂'=厂， 则称G'为G的生成子图。
例 10.4
求
图10.16生成子图。
解：图10.16的生成子图如下
图10.16求生成子图
-图的分类及运算
-10.2图的同构
定义10.4
设图G=〈V, E〉及G,=<V,, E'〉。若存在一一映射
寸"/匚服七)* 且e=(vi, vj)(或〈vi, vj〉)是。的一条边，
当且仅当迎=(M, )•,«： )) 的点集和边集的重数相等，则
)•、".)〉：是G，的一条边，当且仅当所对应
称G与G，同构，记作G三3
O O-------O
图10.14 0-正则、1-正则、2-正则、3-正则
-10.3图与子图及其分类
补图：给定一个图G,由G中所有的结点，以及能使G成为完全图的所有添 加边所组成的图, 称为G相对于完全图的补图，简称为G的补图，记为&。
图论----同构图（详解）
图论----同构图（详解）图论当中的术语，假设G=(V,E)和G1=(V1，E1)是两个图，如果存在⼀个双射m：V→V1，使得对所有的x,y∈V均有xy∈E等价于m(x)m(y)∈E1，则称G和G1是同构的,这样的⼀个映射m称之为⼀个同构，如果G=G1，则称他为⼀个⾃同构。
简单来说，同构图的结点数必须相同，结构必须相同。
如图3.6，第⼀个图形和第⼆个图形的区别在于环的数量。
第⼀个图形为⼀个环，第⼆个为两个环，所以不是同构图。
若删去z1和u1，删去v1和w1，连接z1和w1，成为⼀个v1u1的链和z1w1x1y1的环，依旧不是同构图，因为必须环数相同，链数相同。
但这还是缺少⼀个条件，⽐如图形A存在两个环a1和a2，a1有3个结点，a2有5个结点，图形B也有两个环，b1有4个结点，b2有4个结点，依旧不是同构图，这⾥的条件就是环上或链上的借点数相同，和结点顺序⽆关。
引⼊例题，，判断两次组成的图形是否是同构图。
思路之⼀：通过并查集确定环数/链数，和环内/链内的⼈数，再排序进⾏⽐较。
排序时按照⼈数排序，若⼈数相同要按照状态排序。
注意这⼏点或许会⽐较容易过。
请先⾃⼰进⾏尝试，尝试后再参考代码。
1 #include<iostream>2 #include<cstring>3 #include<cstdio>4 #include<math.h>5 #include<vector>6 #include<algorithm>7 #include<queue>8 #include<set>9using namespace std;10int pre[10100];11struct e{12int a,b;13 };14 e s1[10010];15 e s2[10010];16int find(int x)17 {18while(x!=pre[x])19 x=pre[x];20return x;21 }22int cmp(e a,e b){23if(a.a==b.a) return a.b>b.b;24else return a.a>b.a;25 }26void init(int n)27 {28for(int i=1;i<=n;i++)29 pre[i]=i;30 }31int main()32 {33int t,cas=1;;34 scanf("%d",&t);35while(t--)36 {37for(int i=1;i<10010;i++)38 {39 s1[i].a=1;s1[i].b=0;40 s2[i].a=1;s2[i].b=0;//最开始每个都是独⽴的，默认为链41 }42bool flag=false;43int n1,m1,n2,m2;444445 scanf("%d%d",&n1,&m1);46 init(n1);47for(int i=0;i<m1;i++)48 {49int a,b;50 scanf("%d%d",&a,&b);51int dx=find(a);52int dy=find(b);53if(dx!=dy)54 {55 pre[dx]=dy;56 s1[dy].a+=s1[dx].a;57 s1[dx].a=0;//把拉⼿的孩⼦数量加起来，下同58 }59else s1[dy].b=1;//成环60 }6162 scanf("%d%d",&n2,&m2);63 init(n2);64for(int i=0;i<m2;i++)65 {66int a,b;67 scanf("%d%d",&a,&b);68int dx=find(a);69int dy=find(b);70if(dx!=dy)71 {72 pre[dx]=dy;73 s2[dy].a+=s2[dx].a;74 s2[dx].a=0;75 }76else s2[dy].b=1;77 }78if(n1==n2){7980 sort(s1+1,s1+n1+1,cmp);81 sort(s2+1,s2+n2+1,cmp);//排序，若孩⼦的数量相同则对是否是环进⾏排序，这⾥要注意8283for(int i=0;i<n1;i++)84if(s1[i].a!=s2[i].a||s1[i].b!=s2[i].b) {//判断数量，状态85 flag=true;86break;87 }88 }89if(n1!=n2) flag=true;9091if(flag) printf("Case #%d: NO\n",cas++);92else printf("Case #%d: YES\n",cas++);93 }94return0;95 }。
图论中的图的同构与同构问题
图论中的图的同构与同构问题在图论中，同构是一个重要的概念。
图的同构指的是两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。
而图的同构问题则是判断两个给定的图是否同构的问题。
本文将详细探讨图的同构与同构问题。
一、图的同构图的同构是指两个图结构完全相同，只是节点的标签或者边的标签不同。
为了更好地理解图的同构，我们先来了解一些基本概念。
1.1 图的定义在图论中，图由节点（也称为顶点）和边组成。
通常用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点（顶点）的集合，E是边的集合。
边可以用有序或无序对(u, v)来表示，表示节点u和v之间存在一条边。
1.2 同构图的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，如果存在一一对应关系f: V1→V2，使得对于每条边(u, v)∈E1，有(f(u), f(v))∈E2，则称图G1与G2同构。
其中，f被成为同构映射。
二、图的同构问题图的同构问题是判断两个给定的图是否同构的问题，它是图论中的一个经典问题。
在实际应用中，图的同构问题非常重要，对于计算机视觉、网络安全等领域都有广泛应用。
2.1 图的同构问题的定义给定两个图G1=(V1, E1)和G2=(V2, E2)，判断它们是否同构。
2.2 图的同构问题的解决方法图的同构问题是一个NP问题，目前还没有确定的多项式时间解决算法。
在实际应用中，为了解决图的同构问题，通常采用以下方法：（1）特征向量法：通过计算图的特征向量，并比较两个图的特征向量来判断是否同构。
（2）图分类器法：通过训练一个图分类器，将同构和非同构的图进行分类。
（3）哈希算法法：通过为图节点和边生成一个唯一的哈希值，并比较两个图的哈希值来判断是否同构。
以上方法都有各自的优缺点，在不同的应用场景下选择合适的方法。
三、图的同构性质图的同构性质是指图的某些特征在同构映射下保持不变。
在判断图的同构性质时，可以利用这些性质来简化问题。
3.1 路径在判断图的同构性质时，路径是一个重要的性质。
图论中的图的同构与同胚
图论中的图的同构与同胚图论是数学中的一个分支，研究了如何描述图以及图的性质和特征。
在图论中，同构和同胚是两个重要的概念，它们用来描述不同图之间的关系。
本文将介绍图的同构和同胚的概念、定义以及应用。
一、图的同构在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，但结点和边的标签可以不同，那么这两个图被称为同构的。
图的同构关系可以理解为，它们具有相同的拓扑结构，只是标签的不同。
二、图的同构的定义设G=(V,E)和G'=(V',E')是两个图，如果存在一个双射函数f:V→V'，使得(u,v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，则称G和G'是同构的。
其中，V和V'分别表示两个图的结点集合，E和E'分别表示两个图的边集合。
三、图的同构的判断方法判断两个图是否同构是图论中一个典型的问题，有很多方法可以判断两个图是否同构，以下是几种常用的方法：1. 度序列法：图的度序列是指将图中结点按照度的大小排列得到的序列。
如果两个图的度序列相同，则它们可能是同构的。
2. 邻接矩阵法：将图用邻接矩阵表示，即一个n×n的矩阵，矩阵中的元素a[i][j]表示结点i和结点j之间是否有边。
如果两个图的邻接矩阵相同，则它们可能是同构的。
3. 搜索法：通过对图进行深度优先搜索或广度优先搜索，得到图的某种特征序列。
如果两个图的特征序列相同，则它们可能是同构的。
四、图的同胚在图论中，如果两个图具有相同的结构，即结点和边的对应关系相同，并且结点和边的标签也相同，那么这两个图被称为同胚的。
同胚可以理解为同构的一个特殊情况。
五、图的同胚的判断方法判断两个图是否同胚是图论中的一个难题，其复杂性在于需要同时考虑结点和边的对应关系。
目前还没有有效的算法可以快速地判断两个图是否同胚，只能通过试探的方法进行判断。
六、图的同构与同胚的应用图的同构和同胚在实际应用中有许多重要的应用，以下是几个典型的应用场景：1. 化学分子结构的比较：化学分子可以用图来表示，通过对比不同分子的图的同构关系，可以判断它们的相似性以及化学性质的差异。
离散数学中的图的同构与同构不变性
离散数学中的图的同构与同构不变性离散数学是数学的一个分支，研究离散的结构和对象。
图论是离散数学的一个重要分支，研究图的性质和结构。
在图论中，同构和同构不变性是两个重要的概念。
一、同构的定义和性质在图论中，如果两个图具有相同的结构，即它们的顶点集和边集相同，那么这两个图就是同构的。
具体来说，对于两个图G=(V, E)和G'=(V', E')，如果存在一个双射函数f: V→V'，使得对于任意的u, v∈V，(u, v)∈E当且仅当(f(u), f(v))∈E'，那么图G和图G'就是同构的，记作G≅G'。
同构是图论中的一个重要概念，它可以帮助我们研究图的性质和结构。
同构关系具有以下性质：1. 同构关系是等价关系。
即对于任意的图G，它与自身是同构的；对于任意的图G和图G'，如果G与G'是同构的，则G'与G也是同构的；对于任意的图G、G'和图G''，如果G与G'是同构的，G'与G''是同构的，则G与G''也是同构的。
2. 同构关系保持图的基本性质。
如果两个图是同构的，则它们具有相同的顶点数和边数。
3. 同构关系与图的表示方式有关。
同一个图可以有不同的表示方式，而不同的表示方式可能导致不同的同构判断结果。
二、同构不变性同构不变性是指图在同构变换下保持某些性质不变。
具体来说，如果两个图是同构的，那么它们在某些性质上是相同的。
同构不变性在图论中有重要的应用，可以帮助我们简化问题的分析和求解。
在图的同构不变性中，有一些重要的性质是不变的，包括：1. 度序列：图的度序列是指图中每个顶点的度按非递减顺序排列的序列。
对于同构的图，它们的度序列是相同的。
2. 连通性：图的连通性指的是图中任意两个顶点之间存在路径。
对于同构的图，它们的连通性是相同的。
3. 路径和回路：图中的路径是指顶点之间的连续边构成的序列，回路是指起点和终点相同的路径。
图论中的图的同构与同构问题
图论中的图的同构与同构问题同构是图论中一个非常重要的概念，它用于描述两个图结构之间的相似性和等价性。
在图论中，通过同构的概念，我们可以比较和研究不同的图，并找出它们之间的相似性和差异性。
本文将对图的同构和同构问题进行探讨。
一、图的同构首先，我们来了解一下什么是图的同构。
在图论中，同构指的是两个图结构之间存在一一对应的关系，使得它们具有相同的顶点数和边数，并且顶点之间的关联关系也相同。
简而言之，两个同构的图在结构上是完全相同的，只是顶点和边的命名可能不同。
图的同构是一种等价关系，具有自反性、对称性和传递性。
即对于任意的图G，它和自身一定是同构的；如果图G和图H是同构的，那么图H和图G也一定是同构的；如果图G和图H是同构的，图H和图I是同构的，那么图G和图I也一定是同构的。
二、图的同构问题图的同构问题是指确定两个给定图是否同构的问题。
在实际应用中，图的同构问题是一个具有挑战性的难题，因为当图的规模增大时，判断两个图是否同构变得非常困难。
为了解决图的同构问题，人们提出了许多算法和方法。
其中最著名的是Weisfeiler-Lehman算法，它是一种基于图的局部结构的判定同构的算法。
该算法通过不断迭代地更新图中每个顶点的标签，来判断两个图是否同构。
另外，还有许多其他的图同构算法，如VF2算法、Nauty算法等都被广泛应用于图的同构问题的解决。
三、图的同构应用图的同构问题在许多领域中都有重要的应用。
在化学领域，图的同构可以帮助确定分子结构的相似性和差异性，从而在药物设计等方面发挥关键作用。
在计算机科学领域，图的同构可以用于数据挖掘、图数据库的查询和图网络的分析等方面。
此外，在社交网络、电路设计、通信网络等领域，图的同构也具有广泛的应用。
图的同构和同构问题是图论中的一个重要研究领域，它涉及到图结构的相似性和等价性的判定。
通过研究图的同构，我们可以深入理解不同图之间的关系，挖掘图结构中的规律和特性。
在实际应用中，图的同构问题有着广泛的应用价值，对于解决复杂的实际问题具有重要的意义。
同构图形的四种原理
同构图形的四种原理同构图形是指在平面上进行变换后形状、大小、相对位置都完全相同的图形。
同构图形的判断和研究在几何学中具有重要的意义。
同构图形有四种原理：射影原理、长度比较原理、角度比较原理和相区对照原理。
1. 射影原理：同构图形的射影是指将两个同构图形上的对应点用直线射影到同一直线上的操作。
射影原理指出：如果两个图形在同一直线上的任意两个对应点，经过射影之后也在同一直线上，则这两个图形是同构的。
射影原理是同构图形判断的基本原理，也是其他原理的重要依据。
例如，若有两个平面上的正方形ABCDEF和A'B'C'D'E'F'，要判断它们是否同构，可以将这两个正方形的对应顶点A和A'进行射影，得到直线l1；再将对应顶点C和C'进行射影，得到直线l2。
如果直线l1和l2重合，则可以判断这两个正方形是同构的。
2. 长度比较原理：同构图形的长度比较是指将两个同构图形上的对应线段的长度进行比较的操作。
长度比较原理指出：如果两个同构图形上的所有对应线段的长度相等，则这两个图形是同构的。
长度比较原理是判断同构图形时常用的方法。
例如，若有两个平面上的三角形ABC和A'B'C'，要判断它们是否同构，可以将这两个三角形上的对应边AB和A'B'的长度进行比较，如果它们相等，再将对应边BC和B'C'的长度进行比较，如果也相等，最后再将对应边AC和A'C'的长度进行比较，如果仍然相等，那么就可以判断这两个三角形是同构的。
3. 角度比较原理：同构图形的角度比较是指将两个同构图形上的对应角度进行比较的操作。
角度比较原理指出：如果两个同构图形上的所有对应角度相等，则这两个图形是同构的。
角度比较原理是判断同构图形时常用的方法。
例如，若有两个平面上的平行四边形ABCD和A'B'C'D'，要判断它们是否同构，可以将这两个平行四边形上的对应角度进行比较，如果对应角A和A'、角B和B'、角C和C'、角D和D'都相等，那么就可以判断这两个平行四边形是同构的。
图形创意之图形同构ppt课件
Design
.
14
由于大气中二氧化碳排放量 过多造成全球变暖，大气和海洋 温度上升，全球大气层和地表这
图形创意
一系统就如同一个巨大的“玻璃
温室”，企鹅面临生存危机。图
把企鹅身上的“煎熬”和人们生 活中身心上的“酷热”“痛苦” 联系起来，以“身心难以承受”
为核心创决，用比喻的手法将企
鹅拟人化．把全球变暖，既危害
图形创意
这种将两个以上不同的 形象巧妙地结合在一起，构 成一种具有创造意义的超现 实的新异图形，称为“异形 同构”。
Design
《为什么和平迟未实现》（海报）金特·凯瑟（德国）
.
11
这是一幅宣传招贴，用真实 的树皮制作成小号模型，形成小 号的形与树皮的质的两种元素的 同构。两种元素的同构象征了爵 士乐母体，而从树侧生长出的一 支嫩叶则象征着爵士乐的新生。 这是一种诗化的隐喻，传达出了 新生代音乐的主题。
Graphic Creative
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——之图形同构
Graphic creative curriculum
LOGO
引入情境
图形创意
❖ 水果超市视觉形象！——图形设计
Design
.
2
图形创意
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.
3
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Design
.
4
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5
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.
6
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图形创意
使用一种物体的材质来替 换另一物体的材质，构成一种 新异的图形，给人以强烈的视 觉刺激，使人们对图形内涵有 更深层次的认识，称为“异质 同构”。
它是用其他物体的材质来 取代原来物体组织结构中的材 质，结构关系不变，面貌却焕 然一新。
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离散数学─图论初步 南京大学计算机科学与技术系
内容提要
图的表示 邻接矩阵的运算 图的同构
图的表示
关联矩阵 邻接矩阵 邻接表
关联矩阵(incidence matrix)
无向图G = (V, E, ) ，不妨设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
v4
e3
v3
关联矩阵表示法不适合于有向图
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 aij 0
如果vi邻接到v j 否则
eE. (e)=(vi, vj)
图同构的例子
图同构的例子
检测两个简单图是否同构
邻接矩阵表示：n！个 现有最好算法在最坏情况下的时间复杂性是指数级。 （在最坏情况下）时间复杂性为多项式的算法？
检测两个简单图是否同构
图同构下保持的性质称为图不变的
顶点数、度序列、…
利用图不变的性质（没有保持）来推断出不同构
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度 列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
0 1 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
A
0 1
0 1
1 0
1 1
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2 Deg+(3)=3,Deg-(3)=1
v4
v3
若aik×akj＝1，则表示有i→k→j长度为2的有向边； dij表示i和j之间具有长度为2的通路个数。
邻接矩阵的运算
v1
v2
v4
v3
００１１
A2
A
A
２１０１ １１１１
０１００
0 1 0 0
A
0 1
0 1
1 0
1 1
1 0 0 0
b
b
a
c
a
c
ed
图G
ed
图H
检测两个简单图是否同构
a e h
d
b
s
f
3度顶点的 导出子图不
w
g
同构
z
c
v
u1 u5
u4
u2
u6 u3
v1
v2
v5
t x y
u
v3
v6 v4
作业
教材[9.3]
p. 477： 15, 24, 29, 31, 67
1 0 0 0
Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为A，则G的逆图的邻接矩阵是A的转 置矩阵，用AT表示。
０１００
A
００１１ １１０１
１０００
００１１
AT
１０１０ ０１００
０１１０
邻接矩阵的运算
举例（邻接矩阵）
v1
v2
0 1 0 0
A(G)
0 1
0 1
1 0
1 1
v4
v3
1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1
v2
0 1 1 1
A(G)
1 1
0 1
1 0
0 1Leabharlann v4v31 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接表
３２１２
长度不大于k的通路个数
图的同构
图同构的定义
设G1=(V1, E1, 1)和G2=(V2, E2, 2)是两个简单无向图。 若存在双射f: V1V2, u和v在G1中相邻当且仅当 f(u)和 f(v)在G2中相邻。此时称f是一个同构函数。
设G1=(V1, E1, 1)和G2=(V2, E2, 2)是两个无向图。若 存在双射f: V1V2, g: E1E2, e∈E1, 1(e)={u, v}, 当 且仅当 g(e)∈E2, 且2(g(e))={f(u), f(v)}。
２１０１
A3
A2
A
１２１１ ２２１２
００１１
从v2→v1，有二条长度为2的通路；有一条长度为3的通路
邻接矩阵的运算
v1
v2
0 1 0 0
A
0 1
0 1
1 0
1 1
v4
v3
1 0 0 0
３４２３
B4
A1
A2
A3
A4
５５４６ ７７４７
n
C ij aki akj a1i a1 j a2i a2 j ani anj k 1
Cij表示同时有边指向结点i和结点j的那些结点的个数； 若i＝j，则Cii表示结点i的入度。
邻接矩阵的运算
v1
v2
v4
v3
１０１０
A
AT
０２１０ １１３１
v4
v3
2 1 2 0
关于邻接矩阵
当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是 关系矩阵。无向图的邻接矩阵是对称的。
图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的， 只要进行和行、列和列的交换，则可得到相同的 矩阵。
若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵， 若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到 和另一矩阵相同的矩阵，则此二图同构。
００１１
0 1 0 0
A
0 1
0 1
1 0
1 1
1 0 0 0
２１０１
AT
A
１２０１ ００１１
１１１２
邻接矩阵的运算
A A A2 D [dij ]
n
dij aik akj ai1 a1 j ain anj k 1
b
a
c
e
d
顶点 a b c d e
相邻顶点 b, c, d, e b, d a, c, e
b, c, d
关于邻接矩阵
通常，邻接矩阵中的元素为0和1，称为布尔矩阵。 邻接矩阵也可表示包含多重边的图，此时的矩阵不
是布尔矩阵。
v1
v2
0 3 0 2
A
3 0
0 1
1 1
1 2
A AT B [bij ]
n
bij aik a jk ai1 a j1 ai2 a j2 ain a jn k 1
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数； 若i＝j，则bii表示结点i的出度。
邻接矩阵的运算
AT A C [Cij ]
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
b
a
c
e
d
顶点 a b c d e
相邻顶点 b, c, e a a, d, e c, e a, c, d
邻接表（有向图）
是单射
若图G = (V, E, ) 没有多重边，列出这个图的所有 边。对每个顶点，列出与其邻接的顶点。
M(G) ＝mij称为G的关联矩阵(n×m 阶矩阵), 其中
1 mij 0
如果e j关联vi 否则
vi(ej)
无向图G可以是伪图(含自环或多重边)。
举例（关联矩阵）
v1
e1
v2
1 0 0 1 1
e4
e5
e2
M(G)
1 0
1 1
0 1
0 0
0 1
0 0 1 1 0