高中数学 第1章 三角函数章末知识整合 苏教版必修4
【金版学案】2016-2017学年高中数学第1章三角函数章末知识整
合苏教版必修4
专题一 三角函数基本概念的应用
[例1] 若角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图象重合，求θ的各三角函数值．
分析：由于y ＝－2|x |＝?
????－2x ，x ≥0，
2x ，x ＜0的图象为三、四象限中的两条射线，故可根据三
角函数的定义来求解．
解：因为角θ的终边与函数y ＝－2|x |的图象重合， 所以θ是第三或第四象限的角．
若θ为第三象限的角，取终边上一点P (－1，－2)，
r ＝|OP |＝
5，从而 sin θ＝y r
＝－
2
55
，
cos θ＝x r
＝－
55
，tan θ＝y x
＝2.
若θ在第四象限，可取点P (1，－2)，易得： sin θ＝－
2
5
5
，cos θ＝
5
5
，tan θ＝－2.
规律方法
三角函数的基本概念是本单元内容的基础知识，是研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点，同学们要注意考试中对基本概念、基本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查，解题的关键是对有关概念的正确理解和灵活应用．
[变式训练] 函数f (x )＝?
????sin πx 2，－1＜x ＜0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为
( )
A ．1
B ．－22
C ．1，－22
D ．1，2
2
解析：此题可运用代入排除法． 因为f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，
所以f (a )＝1，选项中提供的a 的可能值有三个，分别为1，22，－2
2
，因此把这三个数代入f (x )中，值为1的即为所求．
f (1)＝e 0＝1，f
? ??
???
22＝e 22－1， f ? ??
???－
22＝sin ? ????π2＝1.
所以a 的所有可能值为1，－2
2.
答案：C
专题二 同角三角函数的基本关系与诱导公式 [例2] 已知
2＋tan （θ－π）
1＋tan （2π－θ）＝－4，求(sin θ－3cos θ)·(cos θ－sin θ)的值．
解：法一：由已知2＋tan θ
1－tan θ
＝－4，
所以2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2，
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θ＝4sin θcos θ－sin 2θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝4tan θ－tan 2θ－3
tan 2θ＋1
＝
8－4－34＋1＝1
5
. 法二：由已知2＋tan θ1－tan θ
＝－4，
解得tan θ＝2，即sin θ
cos θ
＝2，所以sin θ＝2cos θ.
所以(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)＝(2cos θ－3c os θ)·(cos θ－2cos θ)＝cos 2θ＝cos 2θ
sin 2θ＋cos 2θ＝1
tan 2θ＋1＝1
5
.
规律方法
1．三角函数式的化简．求值与证明问题的依据主要是同角三角函数的关系式及诱导公式．
2．解题中的常用技巧：
(1)弦切互化，减少或统一函数名称．
(2)“1”的代换，如：1＝sin 2α＋cos 2α(常用于解决有关正弦、余弦齐次式的化简求值问题中)，1＝tan π
4
等．
(3)若式子中有角
k π
2
，k ∈Z ，则先利用诱导公式化简．
[变式训练] (2015·福建卷)若sin α＝－5
13，且α为第四象限角，则tan α的值等于
( )
A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析：法一：因为α为第四象限的角， 故cos α＝
1－sin 2α＝
1－（－
513
）2＝
1213
，
所以tan α＝sin α
cos α＝－
5
131213
＝－5
12
.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－5
13，
所以可在α的终边上取一点P (12，－5)， 则tan α＝y x ＝－5
12.
答案：D
专题三 三角函数的图象及其变换
[例3] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?
????
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2
的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的1
3(纵坐标不变)，然后再将所得的图
象向x 轴正方向平移π
3个单位长度，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五
点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．
分析：由题目可以获取以下主要信息：①要求的函数的形式是f (x )＝A sin(ωx ＋
φ)?
????
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2；②图象与y 轴交点是(0，1)．③相邻的一个最大值点和最小值
点分别是(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)，其中x 0＞0.
解答本题可先由已知求出A ，ω，φ，然后再根据图象变换得到函数y ＝g (x )． 解：(1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得A ＝2，1＝2sin φ，所以sin φ＝12，φ＝π
6
.
又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)． 所以T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π，所以ω＝2πT ＝1
3
.
所以函数的解析式为f (x )＝2sin ? ????
x 3＋π6.
(2)压缩后函数的解析式为y ＝2sin ? ????
x ＋π6，
再平移得g (x )＝2sin ? ????x －π3＋π6＝2sin ? ??
??
x －π6.
列表、作图如下：
x －π
6
0 π2
π 3π2
2π x π6
2π3
7π6
5π3
13π
6 g (x )
0 2 0 －2
规律方法
三角函数图象是本章的重点内容，它是研究三角函数性质的根据，重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之间的内在联系．主要考查两个方面的问题：一是根据图象写函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值．对于y ＝
A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的解析式求解问题：y max ＝M ，y min ＝m ，则A ＝M －m
2
，b
＝
M ＋m
2
；由T ＝2π
ω
求得ω的值；φ的值采取代入特殊点(顶点或平衡点)坐标法求得．二
是关于三角函数图象的平移和伸缩，此类问题关键要搞清在x 轴方向的左右平移或伸缩是对解析中的字母x 的变换．
[变式训练] 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k
?
??
||
φ<π2的一段图象．
(1)求此函数解析式；
(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ 解：(1)由图象知A ＝－12－? ????－322＝1
2，
k ＝－12＋? ????
－322＝－1，T ＝2×? ????2π3－π6＝π，
所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝1
2sin(2x ＋φ)－1.
当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π
6.
所以所求函数解析式为y ＝12sin ?
?
???2x ＋π6－1.
(2)把y ＝sin x 向左平移π
6个单位长度，得到y ＝sin ? ????x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横
坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ?
????2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的1
2得到y
＝12sin ? ????2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6的图象向下平移1个单位长度，得到y ＝
1
2
sin ?
????
2x ＋π6－1.
专题四 三角函数的性质及应用
[例4] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，||
φ＜π
2
)的图象在y 轴上的截距为
1，在相邻两最值点(x 0，2)和? ??
??x 0＋3
2，－2(x 0＞0)上，f (x )分别取得最大值和最小值．
(1)求f (x )的解析式．
(2)在区间????
??
214，234上是否存在f (x )的对称轴？请说明理由．
解：(1)因为A ＝2，T 2＝? ?
???x 0＋32－x 0＝3
2，
所以T ＝3，即2π
|ω|＝3.ω＞0，所以ω＝2π
3
.
这时f (x )＝2sin ? ??
??
2π3x ＋φ.
把点(0，1)代入，得2sin φ＝1. 而|φ|＜π2，所以φ＝π
6
.
所以f (x )＝2sin ? ????2π3x ＋π6.
(2)因为x ∈????
??
214，234，
所以2π3x ＋π6∈??????11π3，4π，sin ? ????2π3x ＋π6∈????????－32，0. 故sin ? ????2π3x ＋π6≠±1，即在区间????
??
214，234上不存在f (x )的对称轴．
规律方法
三角函数的图象和性质密不可分，在解决三角函数的综合问题时，应借助于图象特征，充分利用三角函数的有关性质进行求解．如单调区间、最值、周期性、对称性等．
[变式训练] 已知函数f (x )＝2sin ?
????
2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)．
(1)求f (x )的单调增区间；
(2)若x ∈????
??
0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；
(3)求f (x )取最大值时x 的取值集合．
解：(1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得k π－π3≤x ≤k π＋π
6
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的增区间为?
?????
k π－π3，k π＋π6，k ∈Z.
(2)因为0≤x ≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π
6
.
所以－1
2≤sin ?
????2x ＋π6≤1.
所以f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4.所以a ＝1.
(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π
2＋2k π，
所以2x ＝π3＋2k π.所以x ＝π
6
＋k π，k ∈Z.
所以x 的取值集合是????
??
x ???x ＝π6＋k π，k ∈Z.
专题五 数形结合思想
[例5] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?
????
A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图
所示，则函数的解析式为________，方程f (x )－lg x ＝0的实根个数为______．
解析：根据图中的特殊点，可确定f (x )解析式中的待定系数A ，ω，φ.研究方程f (x )－lg x ＝0的实数根即是研究函数y ＝f (x )与y ＝lg x 图象的交点个数．显然A ＝2.
由图象过点(0，1)则f (0)＝1，即sin φ＝1
2，
又|φ|＜π2，则φ＝π
6
.
又? ????11π12，0是图象上的点，则f ? ??
??11π12＝0， 即sin ? ????
11π12ω＋π6＝0，由图象可知，? ??
??11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个
交点．
所以11π12ω＋π6＝2π.
所以ω＝2.
因此所求函数的解析式为f (x )＝2sin ?
????2x ＋π6.
如图所示，在同一平面直角坐标系中作函数f (x )＝2sin ?
????
2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意
图．
因为f (x )的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，
令1112π＋k π＜100(k ∈Z)，得k ≤30(k ∈Z)，而11
12
π＋31π＞100，所以在区间(0，100]内有31个形如??????1112π＋k π，17
12π＋k π(k ∈Z ，0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f (x )与y
＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在??????
11π12，100上的交点个数为2×31＝62(个)，另外在? ??
??
0，1112π上还有1个交点，
所以方程f (x )－lg x ＝0共有实根63个．
答案：f (x )＝2sin ?
????
2x ＋π6 63
规律方法
数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法．本章中应用数形结合通常有两种形式：一是利用单位圆解决角的范围或三角不等式问题；二是利用三角函数图象求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方程中的字母参数的范围问题．
[变式训练] 已知函数y ＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围．
解：y ＝sin x ＋2|sin x |＝?????3sin x ，x ∈[0，π]，
－sin x ，x ∈[π，2π].
观察图象可知，0 [例6] 是否存在α∈? ?? ?? －π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝ 2cos ? ?? ?? π2－β，3 cos(－α)＝－ 2cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，则请说明理由． 分析：本题属探索性问题，应将α，β满足的关系当作条件去求α，β；因条件式较烦琐，故先化简，再求出α与β的一个三角函数值和其范围，进而求角． 解：由条件得?????sin α＝2sin β， ① 3cos α＝2cos β. ② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 所以 sin 2α＝ 12 . 又因为α∈? ?? ??－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π 4. 将α＝π4代入②，得cos β＝3 2 . 又β∈(0，π)，所以β＝π 6，代入①可知符合题意． 将α＝－π4代入②，得cos β＝3 2. 又β∈(0，π)， 所以β＝π 6，代入①可知不符合题意． 综上可知，存在α＝π4，β＝π 6 满足条件． 规律方法 函数、方程、不等式三者密不可分．在三角问题中，已知条件等式，求一个三角函数值的问题，常采用方程的思想，把某一三角函数看作未知数，解三角方程．在求三角函数值时要注意求该角的范围． [变式训练] 设有函数f (x )＝a sin ? ????kx ＋π3和g (x )＝b tan ? ???? kx －π3(a ＞0，b ＞0，k ＞0)．若 它们的最小周期之和为3 2π，且f ? ????π2＝g ? ????π2，f ? ?? ??π4＝－ 3g ? ?? ?? π4＋1.求两函数解析式． 解：由题意2πk ＋πk ＝3π 2 ，得k ＝2. 由?????a sin ? ????2×π2＋π3＝b tan ? ?? ??2×π2－π3， a sin ? ????2×π4＋π3＝－ 3b tan ? ?? ?? 2×π4－π3＋1， 解得?????a ＝2b ，a ＝－2b ＋2，得a ＝1，b ＝12. 因此f (x )＝sin ? ????2x ＋π3，g (x )＝1 2tan ? ????2x －π3. 三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：） 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： §1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 图象 定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的 概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角 终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步 印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组 成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个 位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而 成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的 始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1 角有正负之分 2 角可以任意大 3 可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于 _______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30 , 390 ， 330 角 ⑴观察：390 ， 330 角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0 到360 的角与)(Z k k ∈个周角的和： 390 =______+____360 330 =______+_____360 ⑶结论：所有与 终边相同的角连同 在内可以构成一个集合： }{__________==ββS 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012'-??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中在360~720-??间的角写出来：（1）60? （2）21-? （3）36314?'。 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 2019-2020学年高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数学案 苏教版必修4 典题精讲 例1 已知sin α=t 且|t|<1,求角α的余弦值和正切值. 思路分析:利用三角函数基本关系式,分类讨论求解，即要考虑到α所在象限，以及要求的三角函数值的正负情况. 解:∵sin α=t 且|t|<1,∴角α可能为四个象限的角和x 轴上的轴线角. (1)当α为第一、四象限或x 轴正半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t -=-α,tan α=ααcos sin =21t t -. (2)当α为第二、三象限或x 轴负半轴上的角时, 有cos α=221sin 1t --=--α, tan α=ααcos sin =-21t t -. 绿色通道:若已知正弦、余弦、正切中的某一个三角函数值是用字母表示的,且角所在象限也没有指定时,这个角α可能在四个象限(也可能是轴线角),此时,不必按四个象限讨论,只需将四个象限角(可能含轴线角)的三角函数值分成两组讨论. 变式训练 1 (2006重庆高考卷，文13) 已知sin α=5 52，2π≤α≤π，则tan α等于______. 思路解析:由sin α=552，2π≤α≤π?cos α=5 5-,所以tan α=-2. 答案:-2 变式训练 2 sin2α>0且cos α<0,试确定α所在的象限. 思路分析:由sin2α>0得出α的范围,再由cos α<0得出α的范围,两者取交集即可. 解:∵sin2α>0,∴2k π<2α<2k π+π(k∈Z ). ∴k π<α 高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限，叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< ①角度化为弧度： 180180ππ n n n o o o = ? =，②弧度化为角度：o o 180180?? ? ??=?=παπαα （3）若扇形的圆心角为α（α是角的弧度数），半径为r ，则： 弧长公式： ①,180 （用度表示的）π n l = ② （用弧度表示的）r l ||α=； 扇形面积：①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇（用弧度表示的） 5、三角函数: （1）定义①：设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点 是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠ 定义②：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦，记作cos α，即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时， x y 叫做α的正切，记作tan α, 即tan α=x y . （2）三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，S 正，T 正，C 正。 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. （3）特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 三角函数习题课 【教学目标】 进一步研究三角函数的简单性质，会运用三角函数的图象与性质解题。 【教学重点】 三角函数的性质运用。 【教学难点】 三角函数性质的综合运用。 【教学过程】 一、基础训练 1.已知函数),23sin( x y -=π则函数在[]0,π-上的单调递减区间是___________. 2.若,4π ≤x 则函数1cos sin )(2++=x x x f 的最小值为_________. 3.已知集合{}[]4,4,1sin 2-=-==B x y x A ，则=?B A _______________. 4.已知函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间,34ππ??-???? 上的最小值是-2，则ω的最小值是_______.若函数)0(sin 2)(>=ωωx x f 在区间??? ??- 4,3ππ上单调递增，则ω的取值范围是__________. 5.已知函数215cos( )(),36k y x k N ππ+=-∈对任意实数a ，在区间[]3,+a a 上要使函数值4 5出现的次数不少于4且不多于8，则k 的值为________. 二、例题选讲 例1、已知,0>a 函数,2)62sin(2)(b a x a x f +++-=π当?? ????∈2,0πx 时，.1)(5≤≤-x f （1）求常数b a ,的值； 鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 （2）设)2()(π +=x f x h ，且0)(lg >x h ，求)(x h 的单调增区间. 例2、已知函数.2 1)43sin(2)(+++-=m x x f π （1）写出函数)(x f 的最小正周期T 及单调递增区间；（2）若]3 ,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2，求此时函数)(x f 的最大值，并指出x 取何值时)(x f 取到最大值。 例3、函数x x a a x f 2 sin 2cos 221)(---=的最小值为).)((R a a g ∈ （1）求);(a g （2）若,2 1)(= a g 求a 及此时)(x f 的最大值. 三、作业： 《数学之友》T1.14 补充练习： 1、若函数x x f sin 2)(=对任意的,R x ∈都有),()()(21x f x f x f ≤≤则||21x x -的最小值是___________. 2、已知α是第三象限角，是否存在这样的实数,m 使得ααcos ,sin 是关于x 的方程 012682=+++m mx x 的两根？若存在，求出实数;m 若不存在说明理由。 3、已知,3 1sin sin =+y x 求2sin cos u x y =+的最大值与最小值。 4、当实数m 在什么范围内取值时，对于任意角θ能使14cos 2sin 2-++=m m y θθ恒 为正数？ 高中数学必修4知识点自测题 一、填空题（每空1分,共100分） 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l =__________，C=_________，S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是r ，则r=__________sin α=_______，cos α=________，tan α=________． 3、三角函数在各象限的符号：第一象限________为正，第二象限__________为正，第三象限___________为正，第四象限______________为正． 4、三角函数线：sin α=________，cos α=____，tan α 5、同角三角函数的基本关系：(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________． 6、三角函数的诱导公式： (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____（_____）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的_______倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象； 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 三角函数的周期性 班级_______姓名______学号_________成绩_________ [基础过关] 1、若函数)(x f y =满足)3()1(-=+x f x f ，则此函数是周期函数，则（ ）为其一个 周期。 A ．1 B 。3 C 。－3 D 。４ 2、函数)6 52cos(3π-=x y 的最小正周期为（ ） A ．52π B 。2 5π C 。π2 D 。π5 3、在函数|sin ||,|sin x y x y ==,)32sin(π +=x y , )3 22cos(π+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数有（ ） A ．１个 B 。２个 C 。３个 D 。４个 4、由函数? ??++∈+∈=)22,12[1)12,2[0)(n n x n n x x f （)Z n ∈的图象，可知此函数的周期为（ ） A ． 2k B ．2 3k C ．kD ．2k （以上k 0,≠∈k Z ） 5.已知|sin |x y ω=的周期是x y 4sin =周期的４倍，则正数ω的值为（ ） A ． 2 1 B 。１ C 。２ D 。４ 6、已知函数)53sin(2π+=kx y 的周期为23π，则ｋ的值为 。 7、函数|)62sin(|π+=x y 的周期为 。 8、已知函数7)3 4sin(3++=πx k y 的最小正周期不小于４，则正整数ｋ的最小值为 。 9、)(x f 是以2π为周期的奇函数，且1)2(-=-πf ，那么)2 5(πf = 。 10.已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()()()61,21+=+=x f x f f ,求 ()()()5.224100f f f ++的值； 11、已知()()x f x f -=+2，当[]6,4∈x 时()12-=x x f ，求 ()x f 在[]2,0上的表达式。 12、已知定义域为R 的奇函数()x f 满足()()x f x f -=+11， 当 ()0,1-∈x 时,()512+=x x f ,求()20 2log f 的值； 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1） 【教学目标】 一、知识与技能： 会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型 二、过程与方法 从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用 三、情感态度价值观： 培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活 教学重点难点：建立三角函数的模型 【教学过程】 一．复习回顾 1、 回顾课本 “三角函数的周期性” 2、 求函数的解析式 3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解： 一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。 三、例题分析： 例1、 （教材P42例1） 点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出。 例2、 （教材P43例2） 点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐 sin()y A x k ω?=++sin()y A x k ω?=++ 标系，将几何问题代数化 已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图 例3、如图所示，求函数的一个解析式。 例4、已知函数（，，）的最小值是，图象上 相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点 ，求这个函数的解析式。 sin()y A x ω?=+0A >0ω>cos()y A x ω?=+0A >0ω>0?π<<5-4 π 5(0,)2- 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 高中数学三角函数知识点(复习)
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