专题：备战2020年中考数学总复习——反比例函数及其应用讲义

专题：备战2020年中考数学总复习——反比例函数及其应用讲义

一、基础达标训练

1. 已知电流I (安培)、电压U (伏特)、电阻R (欧姆)之间的关系为I ＝U

R ，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是( )

2. 反比例函数y ＝k

x (k >0)，当x <0时，图象在( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

第3题图

3. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2

x (k 2≠0)相交于点A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标是( ) A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)

4. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m

x (x ≠0)的图象可能是( )

5. 如图，反比例函数y ＝k

(x <0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，

B两点，A，B两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x的不等式k

x

A. x<－3

B. －3

C. －1

D. x<－3或－1

第5题图

6. 若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－3

x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是

()

A. y1

B. y2

C. y3

D. y2

7. 请写出一个过点(1，1)，且与x轴无交点的函数解析式：____________．

8. 已知反比例函数y＝3k－1

x的图象经过点(1，2)，则k的值为________．

9. 对于函数y＝2

x，当函数值y<－1时，自变量x的取值范围________．

10. 已知A，B两点分别在反比例函数y＝3m

x(m≠0)和y＝

2m－5

x(m≠

5

2)的图象上，若点A与点B关于

x轴对称，则m的值为________．

11. 设函数y＝3

x与y＝－2x－6的图象的交点坐标为(a，b)，则

1

a＋

2

b的值是________．

12. 函数y1＝x与y2＝4

x的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点

中心对称；②当x<2时，y随x的增大而减小；③当x>0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其

第12题图第13题图13. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y＝k

x(x>0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2.若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为________．

14. 已知反比例函数y＝k

x的图象过点A(3，1)．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．

15. 如图，已知反比例函数y＝k

x的图象经过点A(4，m)，AB⊥x轴，且△AOB的面积为2.

(1)求k和m的值；

(2)若点C(x，y)也在反比例函数y＝k

x的图象上，当－3≤x≤－1时，求函数值y的取值范围．

第15题图

16. 如图，一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝k2

x的图象交于A(2，m)，B(n，－2)两点．过点B作

BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)根据所给条件，请直接写出不等式k1x＋b＞k2

x的解集；

(3)若P(p，y1)，Q(－2，y2)是函数y＝k2

x图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．

第16题图

17. 如图，一次函数y＝－x＋b与反比例函数y＝k

x(x>0)的图象交于点A(m，3)和B(3，1)．

(1)填空：一次函数的解析式为______________，反比例函数的解析式为______________；

(2)点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的取值范围．

第17题图

二、能力提升训练

1. 如图，A，B两点在反比例函数y＝k1

x的图象上，C，D两点在反比例函数y＝

k2

x的图象上，AC⊥y

轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

2. 已知点A(a，b)在双曲线y＝5

x上，若a、b都是正整数，则图象经过B(a，0)、C(0，b)两点的一次

函数的解析式(也称关系式)为__________．

第3题图

3. 如图，直线y＝x＋2与反比例函数y＝k

x的图象在第一象限交于点P，若OP＝10，则k的值为

________．

4. 已知△ABC的三个顶点为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)

个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y＝3

x的图象上，则m的值为________．

5.在平面直角坐标系x O y中，对于不在坐标轴上的任意一点P(x，y)，我们把点P′(1

x，

1

y)称为点P的

“倒影点”．直线y＝－x＋1上有两点A，B，它们的倒影点A′，B′均在反比例函数y＝k

x的图象上，若

AB＝22，则k＝__________．

6. 如图，函数y ＝???2x ，（0≤x≤3）－x ＋9，（x ＞3）的图象与双曲线y ＝k

x (k≠0，x ＞0)相交于点A (3，m)和点B .

(1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；

(2)若点P 在y 轴上，连接P A ，PB ，求当P A ＋PB 的值最小时点P 的坐标．

第6题图

三、拓展培优训练

1. 如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝k

x (k ≠0)相交于A (－1，a )、B 两点，在y 轴上找一点P ，当P A ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为________．

第1题图 第2题图

2. 如图，已知点(1，3)在函数y ＝k

x (x ＞0)的图象上．正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝k

x (x ＞0)的图象又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为________．

参考答案：

1. C 【解析】 当电压为定值时，I ＝U R

为反比例函数，且R >0，I >0，∴只有第一象限有图象．

2. C 【解析】∵在反比例函数y ＝k

x 中，k ＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限内，∴当x ＜0时，函数图象在第三象限．

3. A 【解析】如题图，A 、B 两点是关于原点对称的，又∵A 的坐标是(1，2)，∴B 的坐标是(－1, －2)．

4. D 【解析】当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，函数y ＝m

x 的图象位于第二、四象限；当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第一、二、三象限，函数y ＝m

x 的图象位于第一、三象限，故选D.

5. B 【解析】k

x

x

6. B 【解析】∵点A 、B 、C 在反比例函数图象上，将点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)分别代入y ＝－3

x 得，y 1＝－3－1＝3，y 2＝－31＝－3，y 3＝－33 ＝－1，∴y 2＜y 3＜y 1.

7. y ＝1

x

8. 1

9. －2

x ＋1＜0，整理得x (x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜0.

10. 1

【解析】设A (x ，y )，则B (x ，－y )，∵A 在y ＝3m

x 上，B 在y ＝2m －5x 上，∴?????y ＝3m x －y ＝2m －5

x

，

∴3m x ＋2m －5

x ＝0，∴m ＝1.

11. －2 【解析】∵点(a ，b )是函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点，∴b ＝3

a ，

b ＝－2a －6，即ab ＝3，2a ＋b ＝－6，则1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝－6

3

＝－2.

12. ①③ 【解析】由函数图象可知①正确；由反比例函数在y 轴两边增减性不一样，故②错误；∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x ＝(x)2＋(2x )2－4＋4＝(x －2x )2＋4，当x ＝2

x 时，函数有最小值，此时x

＝2，y ＝4，故函数图象最低点的坐标为(2，4)，正确结论的序号是①③.

13. (4，1) 【解析】∵点A (2，2)在函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，∴2＝k

2，得k ＝4，∵在Rt △ABC 中，AC ∥x 轴，AC ＝2，∴点B 的横坐标是4，∴y ＝4

4＝1，∴点B 的坐标为(4，1)．

14. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中，得1＝k

3， ∴k ＝3，

∴反比例函数的解析式为y ＝3

x ； (2)已知一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)， 联立两个解析式得?????y ＝3x y ＝ax ＋6， 整理得ax 2＋6x －3＝0①，

则①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，

∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6. 15. 解：(1)k ＝xy ＝2S △OAB ＝2×2＝4， 将点A (4，m)代入y ＝4

x ，得m ＝1； (2)当x ＝－3时，y ＝－4

3；

当x ＝－1时，y ＝－4， ∴－4≤y ≤－4

3

.

16. 解：(1)将A (2，m )，B(n ，－2)代入y ＝k 2

x 得k 2＝2m ＝－2n ， 即m ＝－n ，则A (2，－n )，

如解图，过A 作AE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，

第16题解图

∵A (2，－n)，B (n ，－2)，

∴BD ＝2－n ，AD ＝－n ＋2，BC ＝2， ∵S △ABC ＝1

2

·BC ·BD ，

∴1

2×2×(2－n)＝5，解得n ＝－3，

将A(2，3)代入y ＝k 2

x 得k 2＝6， 即反比例函数的解析式是y ＝6

x ，

把A (2，3)，B(－3，－2)代入y ＝k 1x ＋b 得???3＝2k 1＋b

－2＝－3k 1＋b ，

解得k 1＝1，b ＝1，

∴一次函数的解析式是y ＝x ＋1；

(2)不等式k 1x ＋b ＞k 2

x 的解集是－3＜x ＜0或x ＞2；

(3)分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ≤－2；当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ＞0，综上所述，P 的取值范围是P ≤－2或P ＞0. 17. 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3

x ； (2)由(1)得3＝3

m ，解得m ＝1， ∴A 点坐标为(1，3)，

设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－1

2(a －2)2＋2，

∵－1

2

＜0，

∴当a ＝2时，S 有最大值， 此时S ＝－1

2

×(2－2)2＋2＝2，

由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值， 最小值为－1×(1－2)2＋2＝3

，

∴S 的取值范围是3

2≤S ≤2.

能力提升训练

1. D 【解析】设点A (m ，k 1m )、点B (n ，k 1n )，则点C(k 2m k 1

，k 1m )、点D (k 2n k 1

，k 1

n )，∵AC ＝2，BD ＝1，

EF ＝3，∴?????m －

k 2m

k 1

＝2k 2n

k 1

－n ＝1k 1

m －k 1

n ＝3

，解得k 1

－k 2

＝2.

2. y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 【解析】∵点A (a ，b ) 在双曲线y ＝5x 上，∴b ＝5

a ，∵a ，

b 都是正整

数，∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.①当a ＝1，b ＝5时，B (1，0)，C (0，5)，设一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把B (1，0)，C (0，5)代入，得???k 1＋b 1＝0b 1＝5，解得???k 1＝－5

b 1＝5，∴一次函数的解析式

为y ＝－5x ＋5；②当a ＝5，b ＝1时，设一次函数解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，把B (5，0)，C (0，1)代入，得???5k 2＋b 2＝0

b 2＝1，解得???

??k 2＝－15b 2＝1，∴一次函数的解析式为y ＝－15x ＋1，综上所述，一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－1

5

x ＋1.

3. 3 【解析】设点P (m ，m ＋2)，由OP ＝10，可得m 2＋(m ＋2)2＝(10)2，∵m ＞0，解得m ＝1，又∵点P (1 ，3)在y ＝k

x 的图象上，∴k ＝3.

4. 0.5或4 【解析】分两种情况讨论：①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 上，代入得－2＝3m －2，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m

个单位后落在图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3上，代入得1＝3

，∴m ＝4，∴m 为0.5或4.

5. －4

3 【解析】设A 、B 的坐标分别为：A (a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b)2

＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，1

1－b )，又∵A ′、

B ′都在函数y ＝k

x 上，∴k ＝

1a （1－a ）＝1

b （1－b ）

，则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a －b)(1－a －b)

＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即

a ＋

b ＝1，解方程组???a ＋b ＝1a －b ＝2与???a ＋b ＝1

a －

b ＝－2

，得?????a ＝32b ＝－12

或

?????a ＝－1

2

b ＝3

2

，∴k ＝

1a （1－a ）

＝－4

3.

6. 解：(1)∵A (3，m )在直线y ＝2x 上， ∴m ＝2×3＝6， ∴A (3，6)，

∵A (3，6)在双曲线y ＝k

x 上， ∴k ＝3×6＝18，

∴双曲线的解析式为y ＝18x ， 当x >3时，联立解析式得 ?

????y ＝－x ＋9y ＝18x ， 得???x ＝6y ＝3或???x ＝3y ＝6(舍去)， ∴点B 的坐标为(6，3)；

第6题解图 连接PA′， ∵PA ′＝PA ，

∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A′B ， 当A ′，P ，B 三点共线，

即P 在A′B 与y 轴的交点P ′处时，PA ＋PB 取到最小值， ∵A ′(－3，6)，B (6，3)，

∴AB ＝（6＋3）2＋（3－6）2＝310， ∴PA ＋PB 的最小值是310，

设直线A′B 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，已知直线过点A ′(－3，6)，B (6，3)，代入得???6＝－3k ＋b

3＝6k ＋b ，

解得???

??k ＝－13b ＝5， ∴y ＝－1

3x ＋5， 令x ＝0，得y ＝5， ∴P ′(0，5)，

∴当PA ＋PB 取到最小值310时，点P 的坐标为(0，5)． 拓展培优训练

1. (0，5

2) 【解析】把点A 坐标代入y ＝x ＋4，得－1＋4＝a ，∴a ＝3，即A (－1，3)，把点A 坐标

代入双曲线的解析式得3＝－k ，解得k ＝－3，联立函数解析式得???y ＝x ＋4，解得?

?x 1＝－1

(舍)，

???x 2＝－3y 2＝1

，即点B 坐标为(－3，1)，如解图，作点A 关于y 轴的对称点C ，则点C 坐标为(1，3)，连接BC ，与y 轴的交点即为点P ，使得PA ＋PB 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝ax ＋b ，把B ，C 坐标代入得???－3a ＋b ＝1a ＋b ＝3

，解得?????a ＝1

2b ＝52，∴直线BC 解析式为：y ＝12x ＋52，令x ＝0，y ＝5

2，即点P

的坐标为(0，5

2

)．

第1题解图

2. 6 【解析】∵点(1，3)在函数y ＝k x 图象上，代入得：k ＝3，即y ＝3

x ，设A (a ，b)，由题意知E (a ＋b 2，b

2)，又∵函数图象在第一象限，经过点A 、E ，分别代入得?????ab ＝3b 2（a ＋b

2）＝3，解得???a ＝62b ＝6

或???a ＝－62b ＝－6

(舍)，∴点E 的横坐标为a ＋b

2＝

6.