最新湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷(解析版)

2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷

一、选择题

1．不等式的解集是（）

A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3

2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的

概率为（）

A．B．C．D．

3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（）

A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r

4．如图所示，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b 的恒等式为（）

2 2 2 2 2 2

A．（a﹣b）﹣2ab+b

=a B．（a+b）=a +2ab+b 2 2

2

C．a﹣b

=（a+b）（a﹣b）D． a +ab=a（a+b）

5．若直线x+2y=2m 与直线2x+y=2m+3 （m 为常数）的交点在第四象限，则整数m 的值为（）A．﹣3，﹣2，﹣1，0 B．﹣2，﹣1，0，1 C．﹣1，0，1，2 D．0，1，2，3

二、填空题（每小题4分，共24分）

6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是．7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8=．

8．函数y=的自变量x的取值范围是．

9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的

面积为．

10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为，cos∠ABC=．

2

11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为．

12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，⋯叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记

为a1，第二数记为a2，⋯，第n个数记为a n．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，⋯，由此推算a10﹣

a9=，a2012=．

三．解答题：（共52分）

13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格

的a值，代入求值．

2

﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2． 1012?桃源县

校级自主招生）关于x的一元二次议程x

（1）求p的取值范围．

（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．

15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关

系如图所示，

（1）直接写出y 与x 的函数关系式；

（2）一个批发商一次购进250 件T 恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；

（3）若每件T 恤衫的成本价是20 元，当100＜x≤400 件，（x 为正整数）时，求服装厂所获利润w（元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？

2

16．如图，抛物线y=ax +c（a＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底A D 在x 轴上，A 点到

原点的距离为2，梯形的高为3，C 点到y 轴的距离为1，

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M 为y 轴上的任意一点，求点M 到A，B 两点的距离之和的最小值及此时点M 的坐标；（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P 的使S△P AD=S△ABM 成立，求点P 的坐标．

1012?桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC 是矩形，点A、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段B C 上的动点（与端点B、C 不重合），过点 D 作直线y=﹣+b 交折线OAB 于点

E．记△ODE 的面积为S．

（1）当点 E 在线段O A 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；

（2）当点 E 在线段A B 上时，求S 与b 的函数关系式；并求出 b 的范围；

（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究

OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

2015年湖南省常德市桃源一中自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．不等式的解集是（）

A．﹣＜x≤2 B．﹣3＜x≤2 C．x≥2 D．x＜﹣3

考点：解一元一次不等式组．

分析：先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集．

解答：解：由①得：x＞﹣3，

由②得：x≤2，

所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．

故选B．

点评：解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式

组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．

2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5 上的

概率为（）

A．B．C．D．

考点：列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．

分析：列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5 上的情况占总情况的多少即可．

解答：解：共有36 种情况，落在直线y=﹣x+5 上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4 种

情况，概率是，故选C．

1 2 3 4 5 6

1 （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）

2 （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）

3 （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）

4 （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）

5 （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）

6 （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）

点评：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m种结果，那么事件A 的概率P（A ）= ，注意本题是放回实验．