(新课标卷)理科数学解析版(2012高考)

绝密*启用前

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注息事项:

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.问答第Ⅰ卷时.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时.将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·

4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回.

第一卷

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素

的个数为（ ）

()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10

【解析】要使A y x ∈-,当5=x 时，y 可是1，2，3，4.当4=x 时，y 可是1，2，3.当3=x 时，y 可是1，2.当2=x 时，y 可是1，综上共有10个，选D.

【答案】D

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）

()A 12种 ()B 10种

()C 9种

()D 8种

【解析】先安排老师有22

2=A 种方法，在安排学生有62

4=C ，所以共有12种安排方案，选A.

【答案】A

（3）下面是关于复数2

1z i

=

-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 2

2:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-

()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34

【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=

12

)

1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C.

【答案】C

（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32

a

x =上一点，

12PF F ?是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）

()

A 12 ()

B 23 ()

C 3

4

()

D 4

5

【解析】因为12PF F ?是底角为30 的等腰三角形，则有

P

F F F 212=,，因为

2130=∠F PF ，所以

0260=∠D PF ,0230=∠DPF ，所以21222

1

21F F PF D F ==

，即c c c a =?=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为4

3=e ，选C.

【答案】C

（5）已知{}

n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）

()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7

【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以

2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选

D. 【答案】D

（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则

（ ）

()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()

B 2

A B

+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数

【解析】根据程序框图可知，这是一个数据大小比较的程序，其中A 为最大值，B 为最小值，选C.

【答案】C

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，所以几何体的体积为

93362

1

31=????=V ,选B.

【答案】B

（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162

=的准线交于,A B

两点，AB =C 的实轴长为（ ）

()A ()B ()C 4 ()D 8

【解析】设等轴双曲线方程为)0(2

2

>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由

34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，

所以双曲线方程为42

2

=-y x ，即14

42

2=-y x ，所以2,42==a a ，所以实轴长42=a ，

选C.

【答案】C

（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2

π

π上单调递减.则ω的取值范围是（ ）

()A 15[,]24 ()B 13

[,]24

()C 1(0,]2 ()D (0,2]

【解析】函数)4

s i n ()(π

ω+

=x x f 的导数为)4

c o s ()('π

ωω+

=x x f ，要使函数

)4sin()(π

ω+

=x x f 在),2

(ππ

上单调递减，则有0)4cos()('≤+=πωωx x f 恒成立， 则πππωππk x k 223422+≤+≤+，即ππωππk x k 24524+≤≤+，所以

Z k k x k ∈+≤≤+，ωπωπωπωπ2424，当0=k 时，ωπωπ454≤

≤x ，又ππ

<

，所以有

πωππωπ≥≤45,24，解得45,21≤≥ωω，即4

521≤≤ω，选A. 【答案】A

（10） 已知函数1

()ln(1)f x x x

=

+-；则()y f x =的图像大致为（ ）

【解析】排除法，因为02

2ln 1

)2(<-=

f ，排除A.02

ln 1

2121ln 1)21(<=+=

-e f ，排除C,D ，选B.

【答案】B

（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，

SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()

A 6 ()B

()C

3 ()

D 2

【解析】ABC ?

的外接圆的半径r =

O 到面ABC

的距离d ==,SC 为

球O 的直径?点S 到面ABC

的距离为2d =

此棱锥的体积为11233436

ABC V S d ?=

?=?=

另：1236

ABC V S R ?

排除,,B C D ,选A. 【答案】A

（12）设点P 在曲线12

x

y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）

()A 1ln 2- ()B

ln 2)- ()C 1ln 2+ ()

D ln 2)+

【解析】函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d =

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=

-?=-?=-?=

由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-,

【答案】B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第

22-第24题为选考题，考生根据要求做答. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）已知向量,a b 夹角为45?

，且1,2a a b =-= _____b =

【解析】因为102=，所以10)2(2

=-

，即104=?-

，所以

104540

=-，

06=--，

23=

2-=（舍去）.

【答案】

(14) 设,x y 满足约束条件：,013x y x y x y ≥??

-≥-??+≤?

；则2z x y =-的取值范围为

【解析】做出不等式所表示的区域如图

，由y x z 2-=得

z x y 2121-=

，平移直线x y 21=，由图象可知当直线经过点)0,3(D 时，直线z x y 2

121-=的截距最小，此时z 最大为32=-=y x z ，当直线经过B 点时，直线截距最大，此时z 最小，

由???=+-=-31y x y x ，解得?

??==21y x ，即)2,1(B ，此时3412-=-=-=y x z ，所以33≤≤-z ，

即z 的取值范围是]3,3[-. 【答案】]3,3[-

（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从

正态分布2

(1000,50)N ，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命 超过1000小时的概率为

【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2

(1000,50)N

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p =

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2

131(1)4

P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213

8

p p p =?=. 【答案】

8

3

（16）数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 【解析】由12)1(1-=-++n a a n n

n 得，

12]12)1[()1(12)1(112++-+--=++-=-++n n a n a a n n n n n n 12)12()1(++--+-=n n a n n ，

即1212)1(2++--=++n n a a n n n ）（，也有3212)1(13+++--=+++n n a a n

n n ）（，两式相加

得44)1(2321++--=++++++n a a a a n n n n n ，设k 为整数，

则10`164)14(4)1(21444342414+=+++--=++++++++k k a a a a k k k k k ， 于是1830)10`16()(14

4434241

414

60=+=

+++=

∑∑=++++=k a a a a

S K k k k k K

【答案】1830

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C

的对边，cos sin 0a C C b c --= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c . 【解析】（1）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=?=+

sin cos sin sin()sin 1

cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C

A A A A A ????

?+=++?

-=?-=

?-=?=

（2

）1

sin 42

S bc A bc =

=?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+=

解得：2b c ==（l fx lby ）

18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. （1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n

（单位：枝，n N ∈）的函数解析式.

（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，

数学期望及方差；

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？

请说明理由. 【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)

()80

(16)n n y n N n -≤?=∈?

≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== 的分布列为

222160.160.240.744DX =?+?+?= （ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得：应购进17枝

（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

，

D 是棱1AA 的中点，BD

DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角11C BD A --的大小. 【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠=

同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H

1111

11

A C

B

C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A B

D 1C O ?⊥面1A BD 1O H B D

C H B

D ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合

且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =，则12

C O =

，111230C D C O C DO ?

==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30? （20）（本小题满分12分）

设抛物线2

:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心，

FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；

（1）若090=∠BFD ，ABD ?的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；

（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，

求坐标原点到,m n 距离的比值.

【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点A 到准线l

的距离d FA FB ===

1

22

ABD S BD d p ?=???=?=

圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2

p

F

点,A B 关于点F 对称得：22

2

20000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p

A

，直线3:02p p p m y x x -

=+?-=

22

2233x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点(,)36

p

P

直线:06p n y x x p -

=-?-= 坐标原点到,m n

距离的比值为:326

=.（lfx lby ）

（21）（本小题满分12分）

已知函数()f x 满足满足12

1()(1)(0)2

x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；

（2）若2

1()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值. 【解析】（1）1211

()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+

令1x =得：(0)1f =

12

11()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：2

1()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+

()10()x

g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

2

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2

2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2

e F x =

当1,a b =

=(1)a b +的最大值为

2

e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，,D E 分别为ABC ?边,AB AC 的中点，直线DE 交

ABC ?的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明：

（1）CD BC =；

（2）BCD GBD ??

【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?= （2）//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??

（23）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程

已知曲线1C 的参数方程是)(3sin y 2cos x 为参数??

?

??

?==，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴

为极轴建立坐标系，曲线2C 的坐标系方程是2=ρ，正方形ABCD 的顶点都在2C 上， 且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3

π

（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（2）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

PA PB PC PD +++的取值范围. 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,

),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则00

2cos ()3sin x y ?

??=??

=?为参数

2

2

2

2

22

4440t PA PB PC PD x y =+++=++

2

5620sin [56,76]?=+∈

（24）（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲

已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围. 【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <

1x ?≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立

30a ?-≤≤