2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)及解析
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A． B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B． C． D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC 的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A ∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE 交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B 中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A． B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O 的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B． C． D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln （2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g （x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z 最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S △ABC=bcsinA=，所以bc=4，a=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C 只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A=，知到准线l的距离，由△ABD的面积S=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p 点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S △ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
【深度解析高考真题】2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科） （新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x , y ） |x € A , y € A , x -y € A},则B 中所含元素的个数为（ ）A . 3B . 6C. 8D . 102. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 （ ） A . 12 种B . 10 种C. 9 种D . 8 种3.（5分）下面是关于复数z — 的四个命题：其中的真命题为（）,-1+1 P 1： |z| =2, P 2： z 2=2i ,P 3： z 的共轭复数为1+i , P 4： z 的虚部为-1 . (5 分)已知｛a n ｝为等比数列，a 4+a 7=2, a 5a e = - 8,则 a 1+ae=()4. A . P 2, P 3 D . P 3, P 4=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线x=—上一点，△ F ^PF 是底角为30°勺等腰三角形，则E 的离心率为（ 12A .B .D•一5. C. P 2, P 4（5分）设F 、A. 7B. 5C.- 5D.- 76. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N》2）和实数a1, a2,…,a n,输出A, B,则（）C. A 和B 分别是a i , a 2,…，a n 中最大的数和最小的数 D . A 和B 分别是a i , a 2,…，a n 中最小的数和最大的数7. （5分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（）/ \//\///\//\ /A . 6B . 9 C. 12 D . 188. （5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准5A . A+B 为 a i , a 2,…，a n 的和 B •丄为a i , 82,…，a n 的算术平均数线交于点A 和点B , |AB|=4二则C 的实轴长为（ ） A.血 B. 2<29. (5分)已知 3>0,函数 f (x ) =sin11.（5分）已知三棱锥S- ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上，△ ABC 是边长 为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为（ ）A .B .C.D .461212. （5分）设点P 在曲线尸上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则|PQ|最小值 为（ ） A . 1 - ln2B ..】-_亠；C. 1+1 n2D . :-二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）已知向量二W 夹角为45°且|扃4 |=\帀,则N | = _________________14. （5分）设x ,y 满足约束条件：•工;则z=x- 2y 的取值范围为 _____________D . 8）在区间［—,n 上单调递减,C. 4( x x --- 4则实数co 的取值范围是（ )rl 丄］ L 25 4 J10. (5分)已知函数f (x ) =1A .B . D . (0, 2］,则y=f （x ）的图象大致为（）jc十応315. （5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N （1000, 502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_____________ .16. ______________________________________________________________ （5 分）数列｛a n｝满足a n+1 + （- 1）n a n=2n- 1,则｛a n｝的前60项和为____ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）已知a，b，c分别为△ ABC三个内角A，B，C的对边，acosO. ；asinC-b - c=0（1）求A;（2）若a=2,A ABC的面积为二求b，c .18 . （12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求 量n (单位：枝，n € N )的函数解析式.(2)花店记录了 100天玫瑰花的日需求量(单位：枝) 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i )若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分 布列、数学期望及方差；(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝? 请说明理由.19. (12分)如图，直三棱柱 ABC- A 1B 1G 中，AC=B DC 」BD(1) 证明：DC 丄BC;(2) 求二面角A 1 - BD- C 的大小.20. (12分)设抛物线C: x 2=2py (p > 0 )的焦点为F ,准线为I , A €C ，已知以1819 20 151310日需求量n14 15 16 17频数10201616,整理得如表: D 是棱AA 的中点,F为圆心，FA为半径的圆F交I于B, D两点；(1) 若/ BFD=90, △ ABD的面积为4伍，求p的值及圆F的方程；(2) 若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.21. (12分)已知函数f (x)满足f (x) =f'( 1) e x「1- f (0) x—x2;(1)求f (x)的解析式及单调区间；(2)若f(I)，求(a+1) b 的最大值.四、请考生在第22, 23, 24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.第6页(共31页)外接圆于F, G两点，若CF// AB,证明:(1) CD=BC(2) ^ GBD.23 .选修4 - 4;坐标系与参数方程已知曲线C i的参数方程是『沪力(©为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是p =2正方形ABCD的顶点都在C2上,且A，B, C, D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，).(1)求点A, B, C, D的直角坐标；(2)设P为C i上任意一点，求I PA 2+| PB 2+| PC 2+l PD 2的取值范围.24.已知函数f (x) =|x+a|+| x —2|①当a=—3时，求不等式f (x)> 3的解集；②f (x)< |x —4|若的解集包含［1, 2］，求a的取值范围.2012年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 A={1, 2, 3, 4, 5} , B={ （x , y ） |x € A , y € A , x -y € A}, 则B 中所含元素的个数为（ ） A . 3B . 6C. 8D . 10【考点】12:元素与集合关系的判断. 【专题】5J:集合.【分析】由题意，根据集合B 中的元素属性对x , y 进行赋值得出B 中所有元素， 即可得出B 中所含有的元素个数，得出正确选项 【解答】解：由题意，x=5时，y=1, 2, 3, 4, x=4 时，y=1, 2, 3, x=3 时，y=1, 2, x=2 时，y=1综上知，B 中的元素个数为10个 故选：D .【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集 合B 中元素的属性，用分类列举的方法得出集合 B 中的元素的个数.2. （5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A . 12 种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.（新课标）B . 10 种C. 9种D . 8种【专题】11:计算题.【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用 分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 理=2种选法； 第二步，为甲地选两个学生，有C ；=6种选法； 第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2X 6X 仁12种 故选：A .【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题 意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3. （5分）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（），-1+1P 1： I z| =2， p 2： z 2=2i ，P 3： z 的共轭复数为1+i ， p 4： z 的虚部为-1 . A . P 2，P 3B . P 1，P 2C. P 2，P 4D . P 3，P 4【专题】11:计算题.z 的共轭复数为-1+i ，P 4： z 的虚部为-1，由此能求出结果.力：k 丨二近,P 3： z 的共轭复数为-1+i ， P 4： z 的虚部为-1，= --1M t-l+iX-l-i)【分析】由z 1 - i ，知，=22 (-1-1)-l+iC-1+DM-1)-1-i ，【解答】解：：z 【考点】2K:命题的真假判断与应用;A5：复数的运算.故选：C.【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答.2 24. （5分）设F i 、F 2是椭圆E :二—=1 （a >b >0）的左、右焦点，P 为直线 a 2 b 2【考点】K4:椭圆的性质. 【专题】11:计算题.【分析】禾1」用厶F 2PF 是底角为30°的等腰三角形，可得| PF 2| =| F 2F i |，根据P 为 直线x 亠上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率.2【解答】解：•••△ F 2PF 是底角为30°的等腰三角形， ••• | PF =| F 2F i | ••• P 为直线x=上一点2• c 3【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属点，△ F 2PF 是底角为30°勺等腰三角形，则 E 的离心率为（B .C.— D.于基础题.5. （5 分）已知｛a n｝为等比数列，a4+a7=2, a5a6= - 8,则a i+a io=（）A. 7B. 5C.- 5D.- 7【考点】87:等比数列的性质；88:等比数列的通项公式.【专题】11:计算题.【分析】由a4+a7=2,及a5a6=a4a7=- 8可求a4, a7,进而可求公比q,代入等比数列的通项可求a i, a io,即可【解答】解：T a4+a7=2,由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7= - 8二a4=4, a7=- 2 或a4=- 2, a7=4当a4=4, a7=- 2 时，［一一,--a i = - 8, a io=1,a i+a io= —7当a4=- 2, a7=4 时，q3=-2,则a io= - 8, a i=i二a i+a io= —7综上可得，a i+a io=- 7故选：D.【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力.6. （5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N》2）和实数a i, a2,…,a n,输出A, B,则（）X=a^fc=壬十1A. A+B 为a i, a2,…，a n 的和B•丄为a i, a2,…，a n的算术平均数C. A和B分别是a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数D. A和B分别是a i, a2,…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7:循环结构.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知: 该程序的作用是求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a i, a2,…，a n中最大的数和最小的数其中A为a i, a2,…，a n中最大的数，B为a i, a2,…，a n中最小的数故选：C.【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步 分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题.D . 18【考点】L!:由三视图求面积、体积. 【专题】11:计算题.【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积 即可.【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 3;底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形， 此几何体的体积为 V 丄x 丄x 6X 3X 3=9.32故选：B.【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计 算能力.8. （5分）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线f=16x 的准 线交于点A 和点B ，|AB|=4二，则C 的实轴长为（ ） A .血B .皿C. 4D . 81,粗线画出的是某几何体的三视C. 12A . 6B . 9【考点】K：圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】设等轴双曲线C: x2- y2=a (a>0), y2=16x的准线l：x=-4，由C与抛物线y2=i6x的准线交于A, B两点，—■；,能求出C的实轴长. 【解答】解：设等轴双曲线C：x2- y2=a2(a>0),y2=16x 的准线l: x=- 4,v C与抛物线y2=16x的准线I: x=- 4交于A, B两点，.；：-|••• A (-4, 2「;)，B (-4,- 2 :；),将A点坐标代入双曲线方程得/=(-4 ) 2-(趴更)2=4,二a=2, 2a=4.故选：C.【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化.9. (5分)已知3>0,函数f (x) =sin ( 3 ——)在区间［—,n上单调递减, 则实数3的取值范围是( )A.环号］B.〔*•却C ° 专〕D. (0 , 2］【考点】HK由y=Asin( 3X©)的部分图象确定其解析式.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】法一：通过特殊值3 =2 3 =1验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果.法二：可以通过角的范围，直接推导3的范围即可.【解答】解：法一：令：3二2=3"^^)丘［赳L 旦■［不合题意排除(D) q q q3二10宀卄号-)€［罟，罟］合题意排除(B) (C)法二： 3 5 斗)Go® <2, @X+牛)€【今3译，兀［今，警】故选：A .【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算 能力.【考点】4N :对数函数的图象与性质；4T :对数函数图象与性质的综合应用.【专题】11:计算题.【分析】考虑函数f (x )的分母的函数值恒小于零，即可排除 A , C,由f (x ) 的定义域能排除D ,这一性质可利用导数加以证明 【解答】解：设’：・：| I 〉：・ 则 g (x ) =€-Its••• g (x )在(-1, 0)上为增函数，在(0, +x)上为减函数 ••• g (x )v g (0) =0得：x > 0 或-1v x v 0 均有 f (x )v 0 排除 A , C,10. (5分)已知函数f (x ) =1则y=f (x )的图象大致为(得:• f (x )又f (X )= 中,，能排除D .Ln(x+l)-x [ln(x+l)-i^O故选：B.【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数 性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11. ( 5分)已知三棱锥S- ABC 的所有顶点都在球 0的表面上，△ ABC 是边长 为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC=2则此三棱锥的体积为(•••高 SD =200= J ,•••△ ABC 是边长为1的正三角形， • S ABC=',1• V 三棱锥 S- ABC =一…：=二. 3436故选：C.A .C.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积. 【专题】11:计算题；5F :空间位置关系与距离. 【分析】根据题意作出图形，禾U 用截面圆的性质即可求出ABC 上的高SD,即可计算出三棱锥的体积.OOi ，进而求出底面设球心为0,过ABC 三点的小圆的圆心为 01,贝U 00丄平面ABC,延长C0交球于点D ,贝U SD 丄平面ABC.C0®= ~2""3"B【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点面ABC的距离.12. (5分)设点P在曲线尸*『上，点Q在曲线y=ln (2x)上，则|PQ|最小值为( )A. 1 - ln2B. 】-_亠C. 1+1 n2D. :-【考点】4R反函数；IT:点到直线的距离公式.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由于函数尸寺J与函数y=ln (2x)互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ的最小值，只要求出函数尸吉/上的点PG, 到直线y=x的距|丄J |离为d --------------的最小值，V2设g (x)丄Jr，禾U用导数可求函数g (x)的单调性，进而可求g (x)的最■Lu小值，即可求.【解答】解：•••函数尸淸与函数y=ln (2x)互为反函数，图象关于y=x对称,I 1 I I 1 1*亠訝函数尸斗』上的点卩他当/)到直线y=x的距离为d ------------ 严—，2 V2设g (x)寺J p(x> 0)，则吕(Q二寺，由/㈤今宀1 > 0 可得x> ln2，由吕'（前二吉/_］<0可得O v x v ln2,•••函数g （x）在（0, ln2）单调递减，在［In2, +*）单调递增,•••当x=ln2 时，函数g（x）min=1 - In2,1-Ln2由图象关于y=x对称得：| PQ|最小值为迫二代（lTnR •故选：B.【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. （5分）已知向量二耳夹角为45°且则区丨=-奁一.【考点】90:平面向量数量积的性质及其运算；9S:数量积表示两个向量的夹角.【专题】11:计算题；16:压轴题.【分析】由已知可得，已* b二|且| | b |CDE 45* = ^^ |匸| ，代入2「1 = . 「—厂「- " =「• I匸=川可求【解答】解：：C ^>=4秽，丨得1=1•b二| 且| |b |UD£45。
#2012年高考真题——理科数学(新课标卷)解析版及试题与答案
绝密 * 启用前2012 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题 )两部分。
答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在本试卷和答题卡相应地点上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需变动 .用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。
一．选择题：本大题共12 小题，每题第一卷5 分，在每题给同的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
（ 1）已知会合A{1,2,3,4,5}, B{( x, y) x A, y A, x y A} ；,则B 中所含元素的个数为（）(A) 3(B) 6(C)(D)【分析】选 Dx 5, y 1,2,3,4 ， x 4, y 1,2,3 ， x 3, y 1,2 ， x 2, y1 共10个（ 2）将2名教师，4名学生疏成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2 名学生构成，不一样的安排方案共有（）(A) 12种( B) 10种(C )种( D )种【分析】选A甲地由1名教师和2名学生：C21C4212 种2（ 3）下边是对于复数z的四个命题：此中的真命题为（）1 ip1 : z 2p2 : z22i p3 : z 的共轭复数为1i p4 : z 的虚部为1 ( A) p2 , p3(B) p1 , p2(C ) p , p(D ) p , p 【分析】选 C22(1i)1izi(1i)( 1 i )1p1 : z2， p2 : z22i ， p3 : z 的共轭复数为1i ，p4: z的虚部为1（ 4）设F1F2是椭圆E :x2y21(a b0) 的左、右焦点，P 为直线x3aa2b2上一点，2F 2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）(A)1( B) 2(C )D23 【分析】选 CF 2PF 1是底角为30的等腰三角形PF 2F 2 F 1 2( 3a c) 2c e c 32 a 4（ 5）已知 a n 为等比数列， a a 2 ，a a8 ，则 a a475 61 01（）(A) 7(B)5(C )( D )【分析】选Da 4 a 7 2，a 5a 6 a 4 a 78 a 44, a 72或a 42, a 7 4a 4 4, a 72 a 1 8, a 10 1 a 1 a 107a 42, a 74a10 8, a 11a 1a107（ 6）假如履行右侧的程序框图，输入正整数N ( N 2) 和实数 a 1 ,a 2 ,..., a n ，输出 A, B ，则（）( A) A B 为 a 1 , a 2 ,..., a n 的和(B) AB为 a 1 , a 2 ,..., a n 的算术均匀数2(C ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最大的数和最小的数(D ) A 和 B 分别是 a 1, a 2 ,..., a n 中最小的数和最大的数【分析】选 C（ 7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）( A) 6(B) 9 (C) (D)【分析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为31 16 3 3 9此几何体的体积为 V238C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C与抛物线 y216 x 的准线交于 A, B （ ）等轴双曲线两点， AB4 3 ；则 C 的实轴长为（）(A) 2(B)22(C )( D )【分析】选 C设 C : x 2 y 2 a 2 (a 0) 交 y 2 16x 的准线 l : x4于 A( 4,23)B(4,23)得： a 2( 4) 2 (2 3) 24 a 2 2a 4（ 9）已知0 ，函数 f ( x)sin( x) 在 ( , ) 上单一递减。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC ﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2012•新课标）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y ∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选D2．（5分）（2012•新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种 D．8种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选A3．（5分）（2012•新课标）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选C．4．（5分）（2012•新课标）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选C．5．（5分）（2012•新课标）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D6．（5分）（2012•新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．7．（5分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选B．8．（5分）（2012•新课标）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．9．（5分）（2012•新课标）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C． D．（0，2]【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．10．（5分）（2012•新课标）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选B11．（5分）（2012•新课标）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，=，∴S△ABC∴V==．三棱锥S﹣ABC故选：C．12．（5分）（2012•新课标）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2 B．C．1+ln2 D．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2012•新课标）已知向量夹角为45°，且，则=3．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（5分）（2012•新课标）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]15．（5分）（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为16．（5分）（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830，故答案为：1830．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•新课标）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，可以求出A；（2）有三角形面积以及余弦定理，可以求出b、c．【解答】解：（1）c=asinC﹣ccosA，由正弦定理有：sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0，即sinC•（sinA﹣cosA﹣1）=0，又，sinC≠0，所以sinA﹣cosA﹣1=0，即2sin（A﹣）=1，所以A=；（2）S=bcsinA=，所以bc=4，△ABCa=2，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即4=b2+c2﹣bc，即有，解得b=c=2．18．（12分）（2012•新课标）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝19．（12分）（2012•新课标）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°20．（12分）（2012•新课标）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的=，知距离，由△ABD的面积S△ABD=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，=，∵△ABD的面积S△ABD∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）（2012•新课标）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）（2012•新课标）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．23．（2012•新课标）选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]24．（2012•新课标）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
(理科)(大纲版)2012年全国统一高考数学试卷答案与解析
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2014•大庆二模）复数=（）的分子分母都乘以分母的共轭复数，得=或．C D．轴上，且椭圆的方程为4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A 1B1C1D1中，AB=2，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的C DEC=×××BD=2BE=DE==2×=2×h=5．（5分）（2014•重庆三模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为．C D．=∴==6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）．C D．，进而可求，从而可求与解：∵•=0∵||=1||=2AB=∴∴∴7．（5分）（2014•宜春模拟）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）D．=，两边平方得：=﹣，）×8．（5分）（2014•闸北区三模）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=．C D．，==9．（5分）（2014•湖北）已知x=lnπ，y=log52，，则（），＞，即可得到答案．5=，=＞，即（311．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的CG=DH=二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．解：作出不等式组14．（5分）（2014•武汉模拟）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．﹣cosx cosx=2sinx cosx﹣﹣＜，=，x=．故答案为：）15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．解：由题意可得，此时系数为16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．=，，，∵∴（）﹣++=|==|===＜，=所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．，sinAsinC=①sinC=18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．，（2），﹣∴2，（，（）∴=﹣=0•=0），（的法向量为，则，=，则，﹣），∴•﹣b=∴，，（﹣，﹣＜，==19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．1，根据120．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．，构造函数）x；②≤﹣时，∵，即x时，有时，，当时，≤≤21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．，到该切线的距离为，建立方程，求得，的斜率×=r=|MA|=到该切线的距离为∴﹣﹣﹣的距离为22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．的方程为时，可得，可得，可得是以﹣为首项，的方程为时，∴的方程为时，∴，∴，可得，∴∴∴是以﹣为首项，∴∴∴。
2012年全国高考理科数学试题及答案-全国卷(含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101 （C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos 2α= （A） （B） （C（D（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= （A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。
在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。
（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。
在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。
2012年高考理科数学新课标全国卷 逐题解析
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）已知集合✌ ， ， ， ， ❝， （⌧，⍓） ⌧∈✌，⍓∈✌，⌧﹣⍓∈✌❝，则 中所含元素的个数为（）✌． ． ． ．．（ 分）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种．（ 分）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（），☐ ： ，☐ ： ♓，☐ ： 的共轭复数为 ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ．✌．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐．（ 分）设☞ 、☞ 是椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的左、右焦点， 为直线⌧上一点，△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，则☜的离心率为（）✌． ． ． ．．（ 分）已知 ♋⏹❝为等比数列，♋ ♋ ，♋ ♋ ﹣ ，则♋ ♋ （）✌． ． ．﹣ ．﹣．（ 分）如果执行右边的程序框图，输入正整数☠（☠≥ ）和实数♋ ，♋ ，⑤，♋⏹，输出✌， ，则（）✌．✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的和．为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的算术平均数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数和最大的数．（ 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）✌． ． ． ． ．（ 分）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在⌧轴上， 与抛物线⍓ ⌧的准线交于点✌和点 ， ✌ ，则 的实轴长为（）✌． ． ． ．．（ 分）已知▫＞ ，函数♐（⌧） ♦♓⏹（▫⌧）在区间☯，⇨上单调递减，则实数▫的取值范围是（）✌． ． ． ．（ ， ．（ 分）已知函数♐（⌧） ，则⍓♐（⌧）的图象大致为（）✌． ． ． ． ．（ 分）已知三棱锥 ﹣✌的所有顶点都在球 的表面上，△✌是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（）✌． ． ． ．．（ 分）设点 在曲线上，点✈在曲线⍓●⏹（ ⌧）上，则 ✈最小值为（）✌． ﹣●⏹ ． ． ●⏹ ．二．填空题：本大题共 小题，每小题 分．．（ 分）已知向量夹角为 ，且，则 ． ．（ 分）设⌧，⍓满足约束条件：；则 ⌧﹣ ⍓的取值范围为．．（ 分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布☠（ ， ），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为．．（ 分）数列 ♋⏹❝满足♋⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ ，则 ♋⏹❝的前 项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．（ 分）已知♋，♌，♍分别为△✌三个内角✌， ， 的对边，♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌．（ ）求✌；（ ）若♋，△✌的面积为，求♌，♍．．（ 分）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（ ）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润⍓（单位：元）关于当天需求量⏹（单位：枝，⏹∈☠）的函数解析式．（ ）花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量⏹频数 以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（♓）若花店一天购进 枝玫瑰花，✠表示当天的利润（单位：元），求✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花，你认为应购进 枝还是 枝？请说明理由．．（ 分）如图，直三棱柱✌﹣✌ 中，✌✌✌ ， 是棱✌✌ 的中点， ⊥ （ ）证明： ⊥ ；（ ）求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．．（ 分）设抛物线 ：⌧ ☐⍓（☐＞ ）的焦点为☞，准线为●，✌∈ ，已知以☞为圆心，☞✌为半径的圆☞交●于 ， 两点；（ ）若∠ ☞ ，△✌的面积为，求☐的值及圆☞的方程；（ ）若✌， ，☞三点在同一直线❍上，直线⏹与❍平行，且⏹与 只有一个公共点，求坐标原点到❍，⏹距离的比值．．（ 分）已知函数♐（⌧）满足♐（⌧） ♐（ ）♏⌧﹣ ﹣♐（ ）⌧⌧ ；（ ）求♐（⌧）的解析式及单调区间；（ ）若，求（♋ ）♌的最大值．四、请考生在第 ， ， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．．（ 分）如图， ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，直线 ☜交△✌的外接圆于☞，☝两点，若 ☞∥✌，证明：（ ） ；（ ）△ ∽△☝．．选修 ﹣ ；坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是（▫为参数），以坐标原点为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是▫，正方形✌的顶点都在 上，且✌， ， ， 依逆时针次序排列，点✌的极坐标为（ ，）．（ ）求点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）设 为 上任意一点，求 ✌ 的取值范围．．已知函数♐（⌧） ⌧♋⌧﹣ （ ）当♋﹣ 时，求不等式♐（⌧）≥ 的解集；（ ）若♐（⌧）≤ ⌧﹣ 的解集包含☯ ， ，求♋的取值范围．年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．（ 分）（ ❿新课标）已知集合✌ ， ， ， ， ❝， （⌧，⍓） ⌧∈✌，⍓∈✌，⌧﹣⍓∈✌❝，则 中所含元素的个数为（）✌． ． ． ．【分析】由题意，根据集合 中的元素属性对⌧，⍓进行赋值得出 中所有元素，即可得出 中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，⌧时，⍓ ， ， ， ，⌧ 时，⍓ ， ， ，⌧ 时，⍓ ， ，⌧时，⍓综上知， 中的元素个数为 个故选．（ 分）（ ❿新课标）将 名教师， 名学生分成 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 名教师和 名学生组成，不同的安排方案共有（）✌． 种 ． 种 ． 种 ． 种【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法故不同的安排方案共有 × × 种故选 ✌．（ 分）（ ❿新课标）下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（），☐ ： ，☐ ： ♓，☐ ： 的共轭复数为 ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ．✌．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐ ．☐ ，☐【分析】由 ﹣ ﹣♓，知，，☐ ： 的共轭复数为﹣ ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ，由此能求出结果．【解答】解：∵ ﹣ ﹣♓，∴，，☐ ： 的共轭复数为﹣ ♓，☐ ： 的虚部为﹣ ，故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）设☞ 、☞ 是椭圆☜： （♋＞♌＞ ）的左、右焦点， 为直线⌧上一点，△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，则☜的离心率为（）✌． ． ． ．【分析】利用△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，可得 ☞ ☞ ☞ ，根据 为直线⌧上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△☞ ☞ 是底角为 的等腰三角形，∴ ☞ ☞ ☞∵ 为直线⌧上一点∴∴故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）已知 ♋⏹❝为等比数列，♋ ♋ ，♋ ♋ ﹣ ，则♋ ♋ （）✌． ． ．﹣ ．﹣【分析】由♋ ♋ ，及♋ ♋ ♋ ♋ ﹣ 可求♋ ，♋ ，进而可求公比❑，代入等比数列的通项可求♋ ，♋ ，即可【解答】解：∵♋ ♋ ，由等比数列的性质可得，♋ ♋ ♋ ♋ ﹣∴♋ ，♋ ﹣ 或♋ ﹣ ，♋当♋ ，♋ ﹣ 时，，∴♋ ﹣ ，♋ ，∴♋ ♋ ﹣当♋ ﹣ ，♋ 时，❑ ﹣ ，则♋ ﹣ ，♋∴♋ ♋ ﹣综上可得，♋ ♋ ﹣故选．（ 分）（ ❿新课标）如果执行右边的程序框图，输入正整数☠（☠≥ ）和实数♋ ，♋ ，⑤，♋⏹，输出✌， ，则（）✌．✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的和．为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹的算术平均数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．✌和 分别是♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数和最大的数【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数和最小的数其中✌为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最大的数， 为♋ ，♋ ，⑤，♋⏹中最小的数故选： ．．（ 分）（ ❿新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）✌． ． ． ． 【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为 ；底面三角形斜边长为 ，高为 的等腰直角三角形，此几何体的体积为✞× × × ．故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）等轴双曲线 的中心在原点，焦点在⌧轴上， 与抛物线⍓ ⌧的准线交于点✌和点 ， ✌ ，则 的实轴长为（）✌． ． ． ．【分析】设等轴双曲线 ：⌧ ﹣⍓ ♋ （♋＞ ），⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ ，由 与抛物线⍓ ⌧的准线交于✌， 两点，，能求出 的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线 ：⌧ ﹣⍓ ♋ （♋＞ ），⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ ，∵ 与抛物线⍓ ⌧的准线●：⌧﹣ 交于✌， 两点，∴✌（﹣ ， ）， （﹣ ，﹣ ），将✌点坐标代入双曲线方程得 ，∴♋， ♋ ．故选 ．．（ 分）（ ❿新课标）已知▫＞ ，函数♐（⌧） ♦♓⏹（▫⌧）在区间☯，⇨上单调递减，则实数▫的取值范围是（）✌． ． ． ．（ ， 【分析】法一：通过特殊值▫、▫ ，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导▫的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意 排除（ ）合题意 排除（ ）（ ）法二：，得：．故选✌．．（ 分）（ ❿新课标）已知函数♐（⌧） ，则⍓♐（⌧）的图象大致为（）✌． ． ． ．【分析】考虑函数♐（⌧）的分母的函数值恒小于零，即可排除✌， ，由♐（⌧）的定义域能排除 ，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则♑（⌧）∴♑（⌧）在（﹣ ， ）上为增函数，在（ ， ∞）上为减函数∴♑（⌧）＜♑（ ） ∴♐（⌧） ＜得：⌧＞ 或﹣ ＜⌧＜ 均有♐（⌧）＜ 排除✌， ，又♐（⌧） 中，，能排除 ．故选 ．（ 分）（ ❿新课标）已知三棱锥 ﹣✌的所有顶点都在球 的表面上，△✌是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此三棱锥的体积为（）✌． ． ． ．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出 ，进而求出底面✌上的高 ，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为 ，过✌三点的小圆的圆心为 ，则 ⊥平面✌，延长 交球于点 ，则 ⊥平面✌．∵ ，∴ ，∴高 ，∵△✌是边长为 的正三角形，，∴△✌．∴✞三棱锥 ﹣✌故选： ．．（ 分）（ ❿新课标）设点 在曲线上，点✈在曲线⍓●⏹（ ⌧）上，则 ✈最小值为（）✌． ﹣●⏹ ． ． ●⏹ ．【分析】由于函数与函数⍓●⏹（ ⌧）互为反函数，图象关于⍓⌧对称，要求 ✈的最小值，只要求出函数上的点到直线⍓⌧的距离为的最小值，设♑（⌧） ，利用导数可求函数♑（⌧）的单调性，进而可求♑（⌧）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数⍓●⏹（ ⌧）互为反函数，图象关于⍓⌧对称，函数上的点到直线⍓⌧的距离为，设♑（⌧） （⌧＞ ），则，由≥ 可得⌧≥●⏹，由＜ 可得 ＜⌧＜●⏹，∴函数♑（⌧）在（ ，●⏹）单调递减，在☯●⏹， ∞）单调递增，∴当⌧●⏹时，函数♑（⌧）❍♓⏹ ﹣●⏹，，由图象关于⍓⌧对称得： ✈最小值为．故选 ．二．填空题：本大题共 小题，每小题 分．．（ 分）（ ❿新课标）已知向量夹角为 ，且，则 ．【分析】由已知可得， ，代入 可求【解答】解：∵，∴∴ 解得故答案为：．（ 分）（ ❿新课标）设⌧，⍓满足约束条件：；则 ⌧﹣ ⍓的取值范围为．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由 ⌧﹣ ⍓可得，⍓，则﹣表示直线⌧﹣ ⍓﹣ 在⍓轴上的截距，截距越大， 越小，结合函数的图形可求 的最大与最小值，从而可求 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由 ⌧﹣ ⍓可得，⍓，则﹣表示直线⌧﹣ ⍓﹣ 在⍓轴上的截距，截距越大， 越小结合函数的图形可知，当直线⌧﹣ ⍓﹣ 平移到 时，截距最大， 最小；当直线⌧﹣ ⍓﹣ 平移到✌时，截距最小， 最大由可得 （ ， ），由可得✌（ ， ）∴☪❍♋⌧ ，☪❍♓⏹ ﹣则 ⌧﹣ ⍓∈☯﹣ ，故答案为：☯﹣ ，．（ 分）（ ❿新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 或元件 正常工作，且元件 正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布☠（ ， ），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 小时的概率为．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过 小时的概率为，而所求事件❽该部件的使用寿命超过 小时❾当且仅当❽超过 小时时，元件 、元件 至少有一个正常❾和❽超过 小时时，元件 正常❾同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布☠（ ， ）得：三个电子元件的使用寿命超过 小时的概率为设✌超过 小时时，元件 、元件 至少有一个正常❝， 超过 小时时，元件 正常❝该部件的使用寿命超过 小时❝则 （✌） ， （ ）（ ） （✌） （✌） （ ） ×故答案为．（ 分）（ ❿新课标）数列 ♋⏹❝满足♋⏹ （﹣ ）⏹♋⏹ ⏹﹣ ，则 ♋⏹❝的前 项和为 ．【分析】由题意可得 ♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，⑤♋ ﹣♋ ，变形可得 ♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，⑤利用数列的结构特征，求出 ♋⏹❝的前 项和【解答】解：∵♋⏹ （﹣ ）⏹ ♋⏹ ⏹﹣ ，∴有♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，♋ ﹣♋ ，♋ ♋ ，⑤♋ ﹣♋ ．从而可得♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，♋ ♋ ，⑤从第一项开始，依次取 个相邻奇数项的和都等于 ，从第二项开始，依次取 个相邻偶数项的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列．∴ ♋⏹❝的前 项和为 × （ × ） ，故答案为： ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿新课标）已知♋，♌，♍分别为△✌三个内角✌， ， 的对边，♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌．（ ）求✌；（ ）若♋，△✌的面积为，求♌，♍．【分析】（ ）由正弦定理有：♦♓⏹✌♦♓⏹﹣♦♓⏹♍☐♦✌﹣♦♓⏹，可以求出✌；（ ）有三角形面积以及余弦定理，可以求出♌、♍．【解答】解：（ ）♍♋♦♓⏹﹣♍♍☐♦✌，由正弦定理有：♦♓⏹✌♦♓⏹﹣♦♓⏹♍☐♦✌﹣♦♓⏹，即♦♓⏹❿（♦♓⏹✌﹣♍☐♦✌﹣ ） ，又，♦♓⏹≠ ，所以♦♓⏹✌﹣♍☐♦✌﹣ ，即 ♦♓⏹（✌﹣） ，所以✌；（ ）♌♍♦♓⏹✌，所以♌♍ ，△✌♋，由余弦定理得：♋ ♌ ♍ ﹣ ♌♍♍☐♦✌，即 ♌ ♍ ﹣♌♍，即有，解得♌♍．．（ 分）（ ❿新课标）某花店每天以每枝 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（ ）若花店一天购进 枝玫瑰花，求当天的利润⍓（单位：元）关于当天需求量⏹（单位：枝，⏹∈☠）的函数解析式．（ ）花店记录了 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量⏹频数 以 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（♓）若花店一天购进 枝玫瑰花，✠表示当天的利润（单位：元），求✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）若花店计划一天购进 枝或 枝玫瑰花，你认为应购进 枝还是 枝？请说明理由．【分析】（ ）根据卖出一枝可得利润 元，卖不出一枝可得赔本 元，即可建立分段函数；（ ）（♓）✠可取 ， ， ，计算相应的概率，即可得到✠的分布列，数学期望及方差；（♓♓）求出进 枝时当天的利润，与购进 枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（ ）当⏹≥ 时，⍓ ×（ ﹣ ） ；当⏹≤ 时，⍓⏹﹣ （ ﹣⏹） ⏹﹣ ，得：（ ）（♓）✠可取 ， ， ，当日需求量⏹ 时，✠，⏹ 时，✠ ，其他情况✠ ，（✠） ， （✠ ） ， （✠ ） ﹣ ﹣ ，✠的分布列为✠ ☜✠× × × ✠ × × × （♓♓）购进 枝时，当天的利润的期望为⍓（ × ﹣ × ）× （ × ﹣ × ）× （ × ﹣ × ）× × × ∵ ＞ ，∴应购进 枝．（ 分）（ ❿新课标）如图，直三棱柱✌﹣✌ 中，✌✌✌ ， 是棱✌✌ 的中点， ⊥ （ ）证明： ⊥ ；（ ）求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．【分析】（ ）证明 ⊥ ，只需证明 ⊥面 ，即证明 ⊥， ⊥ ；（ ）证明 ⊥面✌ ✌ ，可得 ⊥✌取✌ 的中点 ，过点 作 ☟⊥ 于点☟，连接 ， ☟，可得点☟与点 重合且∠ 是二面角✌ ﹣ ﹣ 的平面角，由此可求二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小．【解答】（ ）证明：在 ♦△ ✌中，✌✌，∴∠✌ 同理：∠✌ ，∴∠ ∴ ⊥ ， ⊥ ∵ ∩ ∴ ⊥面 ∵ ⊂面 ∴ ⊥ （ ）解：∵ ⊥ ， ⊥ ， ∩ ，∴ ⊥面✌ ✌ ，∵✌⊂面✌ ✌ ，∴ ⊥✌取✌ 的中点 ，过点 作 ☟⊥ 于点☟，连接 ， ☟∵✌ ，∴ ⊥✌ ，∵面✌ ⊥面✌ ，面✌ ∩面✌ ✌ ，∴ ⊥面✌ 而 ⊂面✌ ∴ ⊥ ，∵ ☟⊥ ， ∩ ☟，∴ ⊥面 ☟∴ ☟⊥ ，∴点☟与点 重合且∠ 是二面角✌ ﹣ ﹣ 的平面角设✌♋，则，，∴♦♓⏹∠ ∴∠ 即二面角✌ ﹣ ﹣ 的大小为 ．（ 分）（ ❿新课标）设抛物线 ：⌧ ☐⍓（☐＞ ）的焦点为☞，准线为●，✌∈ ，已知以☞为圆心，☞✌为半径的圆☞交●于 ， 两点；（ ）若∠ ☞ ，△✌的面积为，求☐的值及圆☞的方程；（ ）若✌， ，☞三点在同一直线❍上，直线⏹与❍平行，且⏹与 只有一个公共点，求坐标原点到❍，⏹距离的比值．【分析】（ ）由对称性知：△ ☞是等腰直角△，斜边 ☐点✌到，知准线●的距离，由△✌的面积△✌，由此能求出圆☞的方程．（ ）由对称性设，则点✌， 关于点☞对称得：，得：，由此能求出坐标原点到❍，⏹距离的比值．【解答】解：（ ）由对称性知：△ ☞是等腰直角△，斜边 ☐点✌到准线●的距离，∵△✌的面积，△✌∴ ，解得☐，所以☞坐标为（ ， ），∴圆☞的方程为⌧ （⍓﹣ ） ．（ ）由题设，则，∵✌， ，☞三点在同一直线❍上，又✌为圆☞的直径，故✌， 关于点☞对称．由点✌， 关于点☞对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到❍，⏹距离的比值为．．（ 分）（ ❿新课标）已知函数♐（⌧）满足♐（⌧） ♐（ ）♏⌧﹣ ﹣♐（ ）⌧⌧ ；（ ）求♐（⌧）的解析式及单调区间；（ ）若，求（♋ ）♌的最大值．【分析】（ ）对函数♐（⌧）求导，再令自变量为 ，求出♐（ ）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（ ）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于 即可得到参数♋，♌ 所满足的关系式，再研究（♋ ）♌的最大值【解答】解：（ ）令⌧ 得：♐（ ）∴令⌧，得♐（ ） ♐（ ）♏﹣ 解得♐（ ） ♏故函数的解析式为令♑（⌧） ♐（⌧） ♏⌧﹣ ⌧∴♑（⌧） ♏⌧ ＞ ，由此知⍓♑（⌧）在⌧∈ 上单调递增当⌧＞ 时，♐（⌧）＞♐（ ） ；当⌧＜ 时，有♐（⌧）＜♐（ ） 得：函数的单调递增区间为（ ， ∞），单调递减区间为（﹣∞， ）（ ）得♒（⌧） ♏⌧﹣（♋ ）①当♋ ≤ 时，♒（⌧）＞ ⇒⍓♒（⌧）在⌧∈ 上单调递增，⌧❼﹣∞时，♒（⌧）❼﹣∞与♒（⌧）≥ 矛盾②当♋ ＞ 时，♒（⌧）＞ ⇔⌧＞●⏹（♋ ），♒（⌧）＜ ⇔⌧＜●⏹（♋ ）得：当⌧●⏹（♋ ）时，♒（⌧）❍♓⏹ （♋ ）﹣（♋ ）●⏹（♋ ）﹣♌≥ ，即（♋ ）﹣（♋ ）●⏹（♋ ）≥♌∴（♋ ）♌≤（♋ ） ﹣（♋ ） ●⏹（♋ ），（♋ ＞ ）令☞（⌧） ⌧ ﹣⌧ ●⏹⌧（⌧＞ ），则☞（⌧） ⌧（ ﹣ ●⏹⌧）∴当时，即当时，（♋ ）♌的最大值为四、请考生在第 ， ， 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．．（ 分）（ ❿新课标）如图， ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，直线 ☜交△✌的外接圆于☞，☝两点，若 ☞∥✌，证明：（ ） ；（ ）△ ∽△☝．【分析】（ ）根据 ，☜分别为△✌边✌，✌的中点，可得 ☜∥ ，证明四边形✌☞是平行四边形，即可得到结论；（ ）证明两组对应角相等，即可证得△ ～△☝．【解答】证明：（ ）∵ ，☜分别为△✌边✌，✌的中点∴ ☞∥ ，✌∵✌∥ ☞，∴四边形 ☞是平行四边形∴ ☞∥ ， ☞∴ ☞∥✌， ☞✌∴四边形✌☞是平行四边形∴✌☞∵，∴ ✌☞，∴ ．（ ）由（ ）知，所以．所以∠ ☝∠ ．因为☝☞∥ ，所以∠ ☝∠✌☞∠ ∠ ．所以△ ～△☝．．（ ❿新课标）选修 ﹣ ；坐标系与参数方程已知曲线 的参数方程是（▫为参数），以坐标原点为极点，⌧轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的坐标系方程是▫，正方形✌的顶点都在 上，且✌， ， ， 依逆时针次序排列，点✌的极坐标为（ ，）．（ ）求点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）设 为 上任意一点，求 ✌ 的取值范围．【分析】（ ）确定点✌， ， ， 的极坐标，即可得点✌， ， ， 的直角坐标；（ ）利用参数方程设出 的坐标，借助于三角函数，即可求得 ✌ 的取值范围．【解答】解：（ ）点✌， ， ， 的极坐标为点✌， ， ， 的直角坐标为（ ）设 （⌧ ，⍓ ），则为参数）♦✌ ⌧ ⍓ ♦♓⏹ ▫∵♦♓⏹ ▫∈☯，∴♦∈☯ ， ．（ ❿新课标）已知函数♐（⌧） ⌧♋⌧﹣ （ ）当♋﹣ 时，求不等式♐（⌧）≥ 的解集；（ ）若♐（⌧）≤ ⌧﹣ 的解集包含☯ ， ，求♋的取值范围．【分析】（ ）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（ ）原命题等价于﹣ ﹣⌧≤♋≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立，由此求得求♋的取值范围．【解答】解：（ ）当♋﹣ 时，♐（⌧）≥ 即 ⌧﹣ ⌧﹣ ≥ ，即①，或②，或③．解①可得⌧≤ ，解②可得⌧∈∅，解③可得⌧≥ ．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 ⌧⌧≤ 或⌧≥ ❝．（ ）原命题即♐（⌧）≤ ⌧﹣ 在☯ ， 上恒成立，等价于 ⌧♋﹣⌧≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立，等价于 ⌧♋≤ ，等价于﹣ ≤⌧♋≤ ，﹣ ﹣⌧≤♋≤ ﹣⌧在☯ ， 上恒成立．故当 ≤⌧≤ 时，﹣ ﹣⌧的最大值为﹣ ﹣ ﹣ ， ﹣⌧的最小值为 ，故♋的取值范围为☯﹣ ， ．。
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x 对称得：|PQ |最小值为．故选：B ．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= 3．【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算；9S ：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题． 【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得 故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积 定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x ，y 满足约束条件：；则z=x ﹣2y 的取值范围为 ．【考点】7C ：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小，结合函数的图形可求z 的最大与最小值，从而可求z 的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域 由z=x ﹣2y 可得，y=，则﹣表示直线x ﹣2y ﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大，z 越小结合函数的图形可知，当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到B 时，截距最大，z 最小；当直线x ﹣2y ﹣z=0平移到A 时，截距最小，z 最大由可得B （1，2），由可得A （3，0）∴Z max =3，Z min =﹣3则z=x ﹣2y ∈[﹣3，3] 故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii ）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD ﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD ∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln （a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．祝福语祝你考试成功!。
2012年新课标高考试题(理科数学,word解析版)
绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）科数学理【整理】佛山市三水区华侨中学 骆方祥（lbylfx @ ）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（ ）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。