(7-3)带权图的最短路2
最短路模型的构建与求解方法方案(曹利国教案)
最短路模型的构建与求解方法教案长沙市一中曹利国课题：最短路模型的构建与求解方法重点：最短路问题的求解方法难点：最短路问题的模型构建方法过程：一、最短路问题的原型（1）单源最短路问题问题描述：用带权的有向图表示一个交通运输网，图中：顶点——表示城市边——表示城市间的交通联系权——表示此线路的长度或沿此线路运输所花的时间或费用等问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径—最短路径用n表示图中节点的个数，用g : [1..n,1..n]of integer储存个个顶点之间的距离，用vis : array[1..n]of boolean 储存个点的访问情况。
用disk : array[1..n]of integer储存起点到其他各点的最短距离，[初始化：disk[1..n]= +∞，disk[from]=0，vis[1..n]=false。
Repeat找到一个未访问（vis[i]=false）且在所有未访问的节点中最短距离最小（disk[i]≤disk[k] k∈vis[k]=false）的节点I;用找到的节点I更新其他节点的最短距离（if disk[i]+g[I,j]<disk[j] thendisk[j]=disk[i]+g[I,j]）Until 所有节点都扩张过了。
（2）任意顶点对之间的最短路问题求解方法：Floyed算法。
方法一：每次以一个顶点为源点，重复执行Dijkstra算法n次---T(n)=O(n³)方法二：弗洛伊德(Floyd)算法，其算法思想：逐个顶点试探法。
具体步骤：初始时设置一个n阶方阵，令其对角线元素为0，若存在弧<Vi,Vj>，则对应元素为权值；否则为µ 逐步试着在原直接路径中增加中间顶点，若加入中间点后路径变短，则修改之；否则，维持原值所有顶点试探完毕，算法结束二、模型构建方法与问题分析《过河问题》。
带权重的最短路径的计算公式
带权重的最短路径的计算公式带权重的最短路径是一种在图论中常用的算法，它用于计算两个节点之间的最短路径，但每条边都有一个权重值。
这个权重值可以表示距离、时间、成本等不同的度量。
为了更好地理解带权重的最短路径计算公式，让我们假设有一个城市地图。
我们的目标是找到从城市A到城市B的最短路径。
在这个问题中，每条道路都有一个权重，它通常表示为距离或时间。
我们希望选择一条路径，使得总权重最小。
在计算中，我们使用了迪杰斯特拉算法，这是一种常见的用于解决带权重最短路径问题的算法。
它通过不断更新节点的最短路径估计值，逐步找出从起点到终点的最短路径。
算法的步骤如下：1. 创建一个节点集合，其中包含所有的城市节点，并初始化起点城市的最短路径为0，其他节点的最短路径为无穷大。
2. 选择一个当前节点，开始计算它的邻居的最短路径。
3. 对于当前节点的每个邻居节点，计算从起点到当前节点，再到邻居节点的总权重。
如果这个总权重小于邻居节点的最短路径值，则更新邻居节点的最短路径值。
4. 标记当前节点为已处理，并选择下一个未处理节点中最短路径值最小的节点作为当前节点，重复步骤3。
5. 当所有节点都被标记为已处理时，算法结束。
这时，每个节点的最短路径值将是从起点到该节点的最短路径。
通过这个算法，我们可以找到从城市A到城市B的最短路径，并且可以确定该路径的总权重。
这个总权重可以帮助我们进行决策和规划，例如选择最经济的路线或最快的路线。
带权重的最短路径的计算公式是根据上述算法得出的结果。
它可以表示为：最短路径值 (B) = 最短路径值 (A) + 权重 (A到B)其中，最短路径值 (A) 是起点城市A的最短路径值，权重 (A到B) 是从城市A到城市B的权重。
这个公式告诉我们，要计算从起点到终点的最短路径，我们需要累加每个节点的最短路径值和相邻节点之间的权重。
带权重的最短路径的计算公式在实际中有广泛的应用。
比如，在物流行业中，它可以用于计算货物从仓库到目的地的最短路径，以减少运输成本和时间。
带权重的最短路径的计算公式
带权重的最短路径的计算公式（原创实用版）目录1.引言2.带权重的最短路径的计算公式介绍3.计算公式的实际应用4.结论正文【引言】在网络科学中，寻找最短路径是一个重要的研究问题。
最短路径是指从一个节点到另一个节点的最小距离。
在实际应用中，最短路径的计算可以帮助我们找到最快的路径、最小的成本或者最优的决策。
在带权重的网络中，最短路径的计算需要考虑边的权重，即每条边的重要性或者代价。
因此，带权重的最短路径的计算公式在网络分析中具有广泛的应用。
【带权重的最短路径的计算公式介绍】带权重的最短路径的计算公式基于动态规划思想。
其基本思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题，最终得到原问题的解。
对于带权重的最短路径问题，我们可以通过以下步骤来计算：1.初始化一个矩阵 dist，其中 dist[i][j] 表示从节点 i 到节点j 的边的权重之和。
对于没有直接连接的节点 i 和 j，我们可以将dist[i][j] 设为一个很大的值，表示它们之间的距离为无穷大。
2.对于每个节点 k，我们遍历所有与 k 直接相连的节点 i 和 j，并更新 dist[i][j] 的值。
具体地，dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j])。
3.当所有节点都被遍历过后，dist[起点][终点] 就是从起点到终点的最短路径的权重之和。
【计算公式的实际应用】带权重的最短路径的计算公式在实际应用中有很多应用，例如：1.交通网络分析：在交通网络中，我们可以通过计算带权重的最短路径，找到从起点到终点的最快路线，以便为驾驶员提供最佳的导航建议。
2.网络传输：在网络传输中，带权重的最短路径可以帮助我们找到传输数据最快的路径，以提高数据传输的效率。
3.社交网络：在社交网络中，我们可以通过计算带权重的最短路径，找到影响力传播的最快路径，以便为社交媒体营销提供决策依据。
【结论】带权重的最短路径的计算公式在网络科学中具有重要的应用价值。
最短路径问题算法
最短路径问题算法最短路径问题算法概述：在图论中，最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中，从一个顶点出发到另外一个顶点的所有路径中，权值和最小的那条路径。
最短路径问题是图论中的经典问题，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将介绍常见的几种最短路径算法及其优缺点。
Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题，即给定一个起点s，求出从s到其他所有顶点的最短路径。
Dijkstra算法采用了广度优先搜索策略，并使用了优先队列来维护当前已知的距离最小的节点。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 将起始节点加入优先队列，并设置其距离为0。
3. 重复以下步骤直至队列为空：a. 取出当前距离起始节点距离最小的节点u。
b. 遍历u的所有邻居v：i. 如果v未被访问过，则将其标记为已访问，并计算v到起始节点的距离，更新v的距离。
ii. 如果v已被访问过，则比较v到起始节点的距离和当前已知的最短距离，如果更小则更新v的距离。
c. 将所有邻居节点加入优先队列中。
优缺点：Dijkstra算法能够求解任意两点之间的最短路径，并且保证在有向图中不会出现负权回路。
但是Dijkstra算法只适用于无负权边的图，因为负权边会导致算法失效。
Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图或无向图的单源最短路径问题。
与Dijkstra算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
实现步骤：1. 初始化：将起始节点标记为已访问，并将所有其他节点标记为未访问。
2. 对于每个节点v，初始化其到起始节点s的距离为正无穷大。
3. 将起始节点s到自身的距离设置为0。
4. 重复以下步骤n-1次（n为顶点数）：a. 遍历所有边(u, v)，如果u到起始节点s的距离加上(u, v)边权小于v到起始节点s的距离，则更新v的距离为u到起始节点s的距离加上(u, v)边权。
最短路径法
最短路径法实际中有关最短路径问题都是以带权图为主；首先假设有以下图论模型:在带权图G=（V，E）中，若顶点 Vi,Vj是图G的两个顶点，从顶点Vi到Vj的路径长度定义为路径上各条边的权值之和。
从顶点Vi到Vj可能有多条路径，其中路径长度最小的一条路径称为顶点Vi到Vj的最短路径。
对于非带权图，只要人为的把每条边加上权值1，即可当作带权图一样处理了。
最短路径问题可以分为两类：一是：求从某个顶点（源点）到其它顶点（终点）的最短路径；二是：另一类是求图中每一对顶点间的最短路径。
其中以第一类问题比较多；比如常见的连连看游戏中对两个相同的元素之间进行连线就属于这类问题；解决图论相关问题的第一步就是对图进行数据表示：采用的方法是利用邻接矩阵，存放任意两点间的数据（如距离、费用、时间等）；详细介绍请查看百度百科最短路径相关算法有：宽度优先搜索，启发式搜索，等代价搜索法，宽度搜索+剪枝，动态规划法；下面我们采用最常见的实际应用来讲述这些算法的应用：例子：假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图红色数字所示。
某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用旅费最少，试编程输出结果。
一：宽度优先搜索应该来说宽度优先搜索并不是解决最短路径的优秀算法；只是为其他的算法做一个铺垫；算法流程如下：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其旅费；2、再次由AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然由AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，由AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其旅费；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE、ABEC、ABED、……、AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其旅费；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AEDBC、AEDCB，每个结点也需记录下其旅费；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中旅费最少的那个就是题目的解了。
最短路算法分析
最短路算法分析最短路算法分析如下图所⽰，我们把边带有权值的图称为带权图。
边的权值可以理解为两点之间的距离。
⼀张图中任意两点间会有不同的路径相连。
最短路就是指连接两点的这些路径中最短的⼀条。
对于所有求最短路的算法，都是基于⼀个最基础的思想，那就是：松弛。
什么叫松弛呢？简单的说，就是刷新最短路。
那，怎么刷新呢？我们想，能刷新最短路的有啥？就是⽤最短路（边也可能是最短路）。
要⽤魔法打败魔法以下图为例，点1到点3的距离是2，点3到点2的距离是1，⽽图中1到2的距离是6，那么，很明显点1到点3到点2⽐点1直接到点2短得多，那么，我们的最短路dis[1][2]就等于dis[1][3]+dis[3][2]。
我们可以这么理解：1到3这条边的边权已经是1到3的最短路了，同样，2到3也是，那我们就可以⽤这两条最短路来刷新1到2的最短路，这就是⽤最短路来松弛最短路了。
那么，基于松弛操作，我们就有了⾮常多种求最短路的算法，这些算法各有神通，各有缺陷，都应该熟练掌握且能在考场上准确判断该⽤那种算法。
1、Floyed:学过最短路的⼈，⼤多数都会认为：Floyed就是暴⼒，简单粗暴，简单得很。
其实，如果你仔细品读这个算法，会发现：虽然代码简单，但是其思想却⾮常的巧妙！我们来分析⼀下：我们要求最短路，我们需要通过中转点来进⾏松弛，那我们要怎么找中转点呢？显然，必须得枚举。
那，怎么枚举呢？我们⾃⼰画画图就知道，⼀些最短路可以拐来拐去，也就是中转点有很多，那我们怎么枚举？这就是Floyed的巧妙之处，它⽤到的是动态规划的思想。
对于规模很⼤的问题，我们的⼀般策略应该是：缩⼩规模。
不管它可能有多少个，我们慢慢从少往多推。
假设我们现在不允许有中转点，那么各个点之间的最短路应该是题⽬给出来的边权。
现在我们只允许通过1号节点来进⾏转移，注意是1号⽽不是1个，如果讨论个数的话其实就回到了我们上⾯的问题：“怎么枚举？”。
现在我们只需要枚举i和j，⽐较dis[i][1]+dis[1][j]和dis[i][j]的⼤⼩，如果⼩于则刷新，这就是松弛。
带权图中任意两点间最短路径的Floyd算法优化
带权图中任意两点间最短路径的Floyd算法优化作者：刘莹张文涛来源：《数字化用户》2013年第28期【摘要】本文首先从传统的Floyd算法的机理入手，详细描述了带权有向图中任意两点之间的最短路径求解过程，通过手工模拟构造排序矩阵和C语言编程实现，找出影响算法效率的关键步骤。
【关键词】Floyd最短路径算法手工模拟语句频度优化算法最短路径的求解算法通常都依赖于一种性质，即任意两点之间的最短路径，总是也包含了路径上其他顶点间的最短路径。
带权有向图G的最短路径问题，一般可分为两类：一是单源最短路径，它是指求一个网络图中任意一个顶点到其他各顶点之间的最短路径，目前比较流行的算法是Dijkstra算法[1]。
二是求带权网络图中任意一对顶点间的最短路径，常常选用Floyd-Warshall算法[2]。
除了以上两种算法之外，目前国内外对最短路径的算法的研究还有A*算法[3]和Bellman-Ford算法[3]等。
Dijkstra算法和Floyd算法各有优缺点[4]，尽管Dijkstra算法属于单源最短路径算法，但也可以用它来解决每对顶点之间的最短路径问题，每一次执行其算法过程时，轮流将一个顶点作为源点即可求出任意两点之间的最短路径，算法的时间复杂度为O （n3）。
但该算法的缺点是网络中的边不能带有负权值，否则Dijkstra算法将不再适用。
Floyd 算法给出了一个解决带权图中任意两点之间最短路径问题的一个新方法。
Floyd算法的C语言描述如下：void Floyd（MGraph G，DistanceMatrix &D）for（i=0；ifor（j=0；jA[i][j]=A.arcs[i][j]； //语句3for（u=0；ufor（i=0；ifor（j=0；jif（A[i][u]+A[u][j]A[i][j]=A[i][u]+A[u][j]； //语句8在该算法中，MGraph是图的邻接矩阵存储结构体类型，DistanceMatrix是距离矩阵二维数组类型。
第七讲 最短路问题
定义 若将图 G 的每一条边 e 都对应一个实数 w(e)，称 w(e)为边的权 ， 权
赋权图. 并称图 G 为赋权图 赋权图
规定用记号ν 和 ε 分别表示图的顶点数和边数.
常用术语： （１）端点相同的边称为环． 环 （２）若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边 重边． 重边 （３）有边联结的两个顶点称为相邻的顶点 相邻的顶点，有一个公共端点的边 相邻的顶点 称为相邻的边 相邻的边． 相邻的边 （４）边和它的端点称为互相关联 关联的． 关联 （５）既没有环也没有平行边（重边）的图，称为简单图 简单图． 简单图 （６）任意两顶点都相邻的简单图，称为完备图 完备图，记为 Kn，其中 n 完备图 为顶点的数目． ( 7)若 V=X ∪ Y，X ∩ Y= Φ ，X 中任两顶点不相邻，Y 中任两顶 点不相邻，称 G 为二元图 二元图；若 X 中每一顶点皆与 Y 中一切顶点 二元图 相邻，称为完备二元图 完备二元图，记为 Km,n，其中 m,n 分别为 X 与 Y 的顶 完备二元图 点数目．
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算法的基本思想
直接在图的带权邻接矩阵中用插入顶点的方法 (1) (2) ( ) 依次构造出ν 个矩阵 D 、 D 、… 、D ν ，使 最后得到的矩阵 D(ν )成为图的距离矩阵，同时也 求出插入点矩阵以便得到两点间的最短路径．
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算法原理—— 求距离矩阵的方法 算法原理
(0) 把带权邻接矩阵 W 作为距离矩阵的初值，即 D = ( d ij )ν ×ν =W
e4 0 1 1 0 e5 1 v1 0 v2 0 v3 1 v4
对有向图Ｇ，其关联矩阵Ｍ＝ (mij )ν ×ε ，其中：
1 mij = − 1 0
若vi 是e j的起点 若vi 是e j的终点 若vi 与e j 不关联
带负权的最短路径问题
带负权的最短路径问题带负权的最短路径问题是在有向图中寻找从一个起始节点到目标节点的最短路径，其中边的权重可以为负值。
此问题常用于例如交通规划、网络路由等应用领域。
在解决带负权的最短路径问题时，可以使用以下几种常见的算法：1. Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法可以处理带负权边的最短路径问题，在图中初始化起始节点的距离为0，然后通过对每条边进行松弛操作（即优化节点的距离），重复n-1次迭代，直到找到最短路径或者发现负权环。
负权环指的是从起始节点出发，经过若干个负权边后回到起始节点的环，其累计权重为负值。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V为节点数，E为边数。
2. Dijkstra算法：Dijkstra算法用于解决带非负权边的最短路径问题，它可以在O(V^2)的时间复杂度内找到起始节点到所有其他节点的最短路径。
但是，Dijkstra算法无法处理负权边，因为它依赖于“贪婪选择原则”来选择下一个节点，该原则要求每次选择离起始节点最近（即路径最短）的节点。
因此，在存在负权边的情况下，Dijkstra算法会得到不正确的结果。
3. Floyd-Warshall算法：Floyd-Warshall算法可以解决节点之间存在负权边的最短路径问题，它通过多轮迭代，逐步优化任意两个节点之间的距离。
算法初始化图的距离矩阵为每条边的权重，然后通过遍历中间节点，不断更新距离矩阵中的最短距离，直到找到最终的最短路径。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V为节点数。
4. Johnson算法：Johnson算法是一种适用于带负权边的最短路径问题的算法，它基于两个重要的观察结果。
首先，通过引入一个新的节点，可以将任意带负权边的图转化为不带负权边的图。
然后，利用Bellman-Ford算法的思想来处理新生成的图，从而求解最短路径。
最后，通过一些预处理和后处理步骤，将结果转化为原始图的最短路径。
带权重的最短路径算法
带权重的最短路径算法带权重的最短路径算法在计算机科学中，最短路径算法是解决许多问题的重要算法之一。
在许多应用程序中，寻找从一个给定点到另一个给定点的最短路径是一个常见的问题。
然而，在现实生活中，不同的路径之间可能具有不同的成本或距离。
因此，考虑权重最短路径问题是更符合实际的。
带权重的最短路径算法是用于在给定一组节点和它们之间的边的权重（或成本）时计算从一个节点到另一个节点的最短路径的算法。
权重最短路径算法主要用于路由协议、地图应用中的导航、网络分析等领域。
本文将介绍几种常见的带权重的最短路径算法。
1. Dijkstra算法Dijkstra算法是解决单源最短路径问题（给定起点和目标点，寻找从一个起点到其他所有点的最短路径）的常用算法。
该算法始于起点，将该点的距离设为0，然后通过计算每个节点到原始节点的距离来逐步扩展图。
初始所有节点的距离为无穷大。
算法实现的关键是使用优先队列来存储节点和它们的距离。
在算法执行过程中，会不断将距离最小的节点作为源来计算它的邻居节点的距离。
当最终距离被更新时，我们将新的节点和距离加入到优先队列中。
Dijkstra算法的时间复杂度为O（E + V log V），E 为边的数量，V为节点的数量。
这个算法的优点是它对于所有边权重都是正数的图表现很好。
然而，它不能用于包含负权重的图，因为在这种情况下，该算法可能不会找到最短路径。
2. Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是解决单源最短路径问题的一种算法，它能够找到任意图的最短路径，包括负权重的情况。
但是该算法的时间复杂度为O（VE），因此它没有Dijkstra算法的效率。
Bellman-Ford算法通过迭代来计算最短路径。
算法使用一个数组来存放起点到其他每个点的最短距离。
在迭代的每一轮中，相邻的边都被检查，以查看是否有更短的路径。
如果进行了V-1轮迭代后距离数组没有被更新，则算法可以结束，因为没有更短的路径比已知的路径更佳。