第七节 梁的变形
梁弯曲时的变形PPT课件
w w xl
xl
解得：
E1
3 96
ql3
F1 0
y
q
E2
8 ql3 96
F2
5
FAx
ql4
96
A
FAy
EI l
将积分常数回代得：
BC FB l/2
Me x
wE1I11616qqxl32x37298q6lqxl23936qll3 x30l2xl
wE1I321124qqlx24x2 97698q6lqxl33x 93695q6lq3l4
dx
挠度与转角的正负号规定： 挠度：
向下为正，反之为负 转角：
顺时针为正，反之为负
？→如何求挠曲线的方程式
2 梁的挠曲线的近似微分方程
纯弯曲： 1 M
EI z
非纯弯曲： h 1
l 10
1
x
Mx
EIz
1
x
1
w
w2
3
2
小 变 形
1
x
d 2w dx2
d2w M x
dx2 EIz
梁挠曲线的近似微分方程 1 略去了剪力的影响 2 略去了变形高次方
6 E zL I
b
最大转度 A(0)6P EzaILb(Lb)（顺时针） A
a
Pb
LC
B(L)6P EzaIL(bLa)（逆时针） w
ab ma xB（绝对值） ab max A
从AB，
Bx
最大挠度wmax
dw0
dx
x0
w(x0)为极值
不失一般性，a设 b
则x0
L2 b2 3
w m axw (x0)93 P E bIzL(L2b2)3
梁的变形及刚度条件
f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。
梁的弯曲变形
第7章-梁的弯曲变形(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第7章 梁的弯曲变形与刚度梁弯曲变形的基本概念7.1.1 挠度在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。
梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。
在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。
挠曲线的曲线方程：)(x w w = （7-1）称为挠曲线方程或挠度函数。
实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。
必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。
7.1.2 转角梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。
转角随梁轴线变化的函数：)(x θθ= （7-2）称为转角方程或转角函数。
图7-3 梁的转角)(x 图7-2梁的挠曲线由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。
所以有：xx w d )(d tan =θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有：xx w x d )(d )(=θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。
一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。
需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。
建筑力学第7章梁的弯曲应力和变形
10 mm 5mm 2
该平面图形对z1轴和y1轴的静矩分别为
S z1 Ai yCi A1 yC1 A2 yC 2 1200 60 700 5mm3 7.55104 mm3
i 1 n
S y1 Ai zCi A1 zC1 A2 zC 2 1200 5 700 45mm3 3.75104 mm3
xC
yC
S z A yC S y A zC
注意： 当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为
零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通
过平面图形的形心。 如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形 的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
例7.1
矩形截面尺寸如图7-2所示。试求该矩形对z1轴的静
和y轴的惯性矩
取平行于z轴的微面积dA， dA
到z轴的距离为y，则 dA=bdy 截面对z轴的惯性矩为 截面对y轴的惯性矩为
b
h 2 h 2
I z y 2 dA
A
bh3 y bdy 12
2
2
I y z 2 dA
A
b 2 b 2
hb3 z hdz 12
4
形心主惯性轴
形心主惯性
对平面图形而言，对通过O点的任意两根正交坐标轴z、
y的惯性积Iyz，如Iyz＝0，则这对坐标轴称为通过O点的主
惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性 矩，简称主惯矩。 如果O点在截面形心，如同样满足上述条件，这时通过
形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴；图形
对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主惯矩 。
对于具有对称轴的平面图形，其形心主轴的位置可按 如下方法确定： 1）如果图形有一根对称轴，则该轴必是形心主轴， 而另一根形心主轴通过图形的形心且与该轴垂直。 2）如果图形有两根对称轴，则该两轴就是形心主轴 。 3）如果图形具有两个以上的对称轴，则任一根对称 y 轴都是形心主轴，且对任一形心主轴的惯性矩都相等。 y z z
《梁的变形计算》课件
为，常用于研究液体和高
值分析方法，可用于求解
于模拟材料在超过弹性限
分子材料的变形特性。
结构和材料的变形问题，
度时的非弹性变形。
让复杂的变形计算变得简
单。
变形计算的实际案例分析
1
结构Байду номын сангаас程
使用变形计算方法来分析桥梁的变形，确保其在荷载下的结构完整性。
2
汽车工程
通过变形计算预测车辆在碰撞事故中的形变情况，以确保车辆乘员的安全。
航空航天工程
变形计算在航空航天器的设计和飞行控制中发挥着关键作用，确保飞行器在各种工况下的结 构完整性。
常见的变形计算方法
1 弹性和塑性变形计算 2 流变学方法
3 基于有限元法的变形
弹性变形计算用于预测结
流变学方法用于描述材料
计算
构在小应变范围内的形变
在受力作用下的粘弹性行
有限元法是一种常用的数
行为，而塑性变形计算用
1 复杂结构的变形计算 2 多物理场耦合的变形 3 智能化变形计算
挑战在于对于复杂和大尺
计算
人工智能和机器学习的应
度结构的变形计算，需要
未来的发展方向是将变形
用将使变形计算更加智能
更高效和精确的数值分析
计算与其他物理场耦合，
化，提高计算效率和准确
方法。
如热、电和磁等，实现更
性。
全面的工程分析。
3
航空航天工程
使用变形计算方法来优化飞行器的结构设计，提升飞行性能和燃油效率。
变形计算的软件工具和技术
常用的变形计算软件
ANSYS、ABAQUS、Nastran等软件是工程领域常用的 变形计算工具。
常用的变形计算技术和方法
第七章弯曲变形1
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
第7章 梁的弯曲变形与刚度(2)
7.7 梁的刚度7.7.1 梁的刚度条件计算梁的变形的主要目的是为了判别梁的刚度是否足够以及进行梁的设计。
工程中梁的刚度主要由梁的最大挠度和最大转角来限定，因此，梁的刚度条件可写为：⎩⎨⎧≤≤][][maxmax θθw w （7-10） 其中，m a x)(m a x x w w =，max)(max x θθ=分别是梁中的最大挠度和最大转角，][w ，][θ分别是许可挠度和许可转角，它们由工程实际情况确定。
工程中][θ通常以度（）表示，而许可挠度通常表示为：mlw =][ 是大的自然数）是梁长，m l ( 上述两个刚度条件中，挠度的刚度条件是主要的刚度条件，而转角的刚度条件是次要的刚度条件。
7.7.2 刚度条件的应用与拉伸压缩及扭转类似，梁的刚度条件有下面三个方面的应用。
（1）校核刚度给定了梁的载荷，约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，还给定了梁的许可挠度和许可转角。
计算梁的最大挠度和最大转角，判断其是否满足梁的刚度条件式（7-15）和式（7-16），满足则梁在刚度方面是安全的，不满足则不安全。
很多时候工程中的梁只要求满足挠度刚度条件式（7-15）即可，而梁的最大转角由于很小，一般情况下不需要校核。
（2）计算许可载荷给定了梁的约束，材料，长度以及截面的几何尺寸等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的载荷的上限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个载荷的上限值，两个载荷上限值中最小的那个就是梁的许可载荷。
（3）计算许可截面尺寸给定了梁的载荷，约束，材料以及长度等，根据梁的挠度刚度条件式（7-15）可确定梁的截面尺寸的下限值。
如果还要求转角刚度条件满足的话，可由式（7-16）确定出梁的另一个截面尺寸的下限值，两个截面尺寸下限值中最大的那个就是梁的许可截面尺寸。
例7-21 如图7-41（a ）所示的梁，其长度为m 1=L ，抗弯刚度为25Nm 109.4⨯=EI ，当梁的最大挠度不超过梁长的300/1时，试确定梁的许可载荷。
建筑力学之材料力学第7章(华南理工)
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 1 ql 解: 取坐标系如图.
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 由于梁和梁上的荷载是 1 ql 对称的, 所以最大挠度发生 2 在跨中: q
5ql4 l 2l l l3 l = ymax = y x l = 24 EIz 2 2 2 384 EIz 2
M ( x) y= EIz
EIz =Flx 1 Fx2 2 1 Flx2 1 Fx3 EIz ) EIz 2 y = 1 1 Flx2 1 Fx3 (挠度方程) EIz 2 6
将x=l 代入上述二式, 即得自由端截面的转角和挠度:
D1 =D2 D2 =0 由条件(4)有: Fb a3 C1a D1 = Fb a3 +C2a +D2 6l 6l 由条件(1)得: D1 =0 由条件(2)得: F (l a )3 Fb l3 +C2l =0 6 6l Fb (l2 b2 ) C2 = 6l 2 2 =EIz1 = Fb x1 C1 EIz y2 = F ( x2 a )2 Fb x2 C2 EIz y1 2 2l 2l 3 3 EIz y1 = Fb x1 C1 x1 D1 EIz y2 = F ( x2 a )3 Fb x2 +C2 x2 +D2 6l 6 6l 边界条件: 变形连续条件: x1 =x2 =a , y1 =y2 (3) y= M ( x ) x1 =0, y1 =0 (1) EIz x1 =x2 =a , y1 =y2 (4) x2 =l , y2 =0 (2)
M ( x) y= EIz
例7-3 求图示梁C截面的挠度 和A截面的转角。 yC = Fab l 2 b2 a2 6lEIz
《梁的变形计算》课件
塑性变形计算需要考虑材料的 屈服点和应力应变曲线等参数 。
塑性变形计算方法适用于梁在 长期受力作用下的变形计算， 但精度也相对较低。
03
梁的变形实例分析
简支梁的变形计算
简支梁的变形计算公式
结果分析
$f = frac{M}{EI}$，其中$M$为梁所 受的弯矩，$E$为弹性模量，$I$为梁 的惯性矩。
根据计算，该简支梁在集中力偶作用 下的挠度为0.12m。
计算实例
以跨度为6m，截面为矩形（高 200mm，宽300mm）的简支梁为例 ，计算其在跨中作用集中力偶 M=10kN·m时的挠度。
连续梁的变形计算
1 2 3
连续梁的变形计算公式
对于等跨连续梁，其最大挠度可按简支梁计算； 对于不等跨连续梁，需按弹性理论或实验方法确 定。
结果分析
根据计算，该悬臂梁在集中力偶作用下的挠度为0.15m。
04
梁的变形与结构安全
梁的变形对结构安全的影响
梁的变形会导致结构 承载能力下降，影响 结构安全。
梁的变形会导致结构 疲劳损伤，缩短结构 使用寿命。
梁的变形会导致结构 稳定性降低，容易发 生失稳和倒塌。
防止梁的变形的措施
加强梁的支撑和约束，提高梁的 刚度和稳定性。
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新型材料的梁的变形研究
总结词
研究新型材料（如碳纤维、玻璃纤维等）对梁的变形特性的 影响。
详细描述
随着新型材料的广泛应用，研究其在梁结构中的变形行为对 于工程应用具有重要意义。需要深入探讨新型材料的梁在受 力过程中的变形规律、破坏模式和承载能力等方面的特性。
高温环境下梁的变形研究
总结词
研究高温环境下梁的变形行为和热应力分布。
梁的变形
2
写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线
P v( x ) ( L x )3 3 L2 x L3 6 EI P q ( x ) v' ( L x )2 L2 2 EI
最大挠度及最大转角
v
P L
度量梁变形的两个基本量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v 表示。
v向下为正，反之为负。
2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用q 表示， 顺时针转动为正，反之为负。
C v v
q
P x
C’
转角与挠度的关系
挠曲线上任一点的纵坐标 v（x）即为该点的
横截面的挠度。
dv tgq v' dx
qmax
x
vmax
PL3 v ( L) ( ) 3 EI
q max
PL2 q ( L) ( ) 2 EI
例： 简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程， 并求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI，l=a+b，a>b。 解：1）由梁整体平衡分析得： HA
H A 0, RA Fb Fa , RB l l
前面讨论了(梁）弯曲 内力、弯曲应力，接下
来讨论弯曲变形。
第10章
梁的变形
梁在外力作用下除了限制其应力，使其满 足强度条件外，还必须限制它的变形，即必须 具有足够的刚度，满足刚度条件。 例如：楼板弯曲变形太大.则平顶下面的粉 刷层就会剥落，不但影响美观，而且给人以不 安全的感觉；高速铁路桥梁变形过大，就无法 提高行车速度。
2、尽量减小梁的跨度或长度，减少弯矩数值