江苏省无锡市2017~2018学年第一学期期末试卷(高二数学)含答案
【精品】2017-2018年江苏省无锡市高二上学期数学期末试卷与答案
2017-2018学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）直线的倾斜角的大小为．2．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是．3．（5分）（理）设，，且∥，则实数m﹣n=．4．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则异面直线BC1与AC 所成的角为．5．（5分）以x=1为准线的抛物线的标准方程是．6．（5分）已知命题p：多面体ABCD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）7．（5分）若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的体积为．8．（5分）函数f（x）=x+2cosx（0≤x≤2π）的单调递减区间为．9．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C 的方程为．10．（5分）如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5：3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为．11．（5分）已知点P在抛物线y2=8x上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（5，2），则PA+PF的最小值是．12．（5分）椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为．13．（5分）已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．其中所有正确命题的序号是．14．（5分）设k∈R，过定点A的动直线kx+y=0和过定点B的动直线x﹣ky+2k=0交于点M（x，y）（x＞0），若MB=2MA，则点M的坐标为．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=lnx（x＞0）图象上的动点，该图象在点P处的切线l交x轴于点E，过点P作l的垂线交x轴于点F，设线段EF的中点T的横坐标为t，则t的最大值是．二、解答题（本大题共7小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）设直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣y+2=0，l3：3x+my﹣6=0．（1）若直线l1，l2，l3交于同一点，求m的值；（2）设直线l过点M（2，0），若l被直线l1，l2截得的线段恰好被点M平分，求直线l的方程．17．（14分）如图，在四面体PABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=AC，∠ACB=90°，D为PC的中点．（1）求证：AD⊥BD；（2）若M为PB的中点，点N在直线AB上，且AN：NB=1：2，求证：直线AD∥平面CMN．18．（文科班选做此题）已知m∈R，命题p：{m|方程表示焦点在y轴上的椭圆}，命题q：{m|方程表示双曲线}，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．19．（14分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．20．（16分）已知圆C的圆心为（t∈R，t≠0），过定点A（0，a）（a ＞0），且与x轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线2x+y﹣6=0的距离为，求圆C的方程．21．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2（a为实数）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线x+y+6=0平行，求实数a的值；（2）若a=1，求函数f（x）在区间[1，3]上的值域；（3）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求a的取值范围．22．（16分）设动点l1，l2，l3是圆x2+y2=9上任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点P在线段MN上，且满足．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线l与C交于A，B两点，点Q坐标为（0，2），若直线QA，QB的斜率之和为定值3，求证：直线l必经过定点，并求出该定点的坐标．2017-2018学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分．）1．（5分）直线的倾斜角的大小为30°．【解答】解：由直线，可得直线的斜率为k=，设其倾斜角为α，（0°≤α＜180°），则tan，∴α=30°．即直线的倾斜角的大小为30°故答案为：30°．2．命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．3．（5分）（理）设，，且∥，则实数m﹣n= 8．【解答】解：∵∥，∴存在实数k使得=k，则，解得m=5，n=﹣3．则实数m﹣n=8．故答案为：8．4．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则异面直线BC1与AC 所成的角为60°．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∴AC∥A1C1，∴∠A1C1B是异面直线BC1与AC所成的角，∵A1C1=A1B=C1B，∴∠A1C1B=60°，∴异面直线BC1与AC所成的角为60°．故答案为：60°．5．（5分）以x=1为准线的抛物线的标准方程是y2=﹣4x．【解答】解：根据题意，要求抛物线的准线方程为x=1，则抛物线的开口向左，且=1，则抛物线的标准方程为：y2=﹣4x；故答案为：y2=﹣4x6．（5分）已知命题p：多面体ABCD为正三棱锥，命题q：多面体ABCD为正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）【解答】解：底面是正三角形，且顶点在底面射影是底面三角形中心的三棱锥叫正三棱锥，侧棱和底面三角形的边长不一定相等，二所有棱长都相等的三棱锥叫正四面体，则命题p是命题q的必要不充分条件，故答案为：必要不充分7．（5分）若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的体积为．【解答】解：∵正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1k，底面边长AB=a，侧面对角线的长CD1=2a，∴高DD1==，∴该正六棱柱的体积：V=S ABCDEF×DD1=6S△AOB×DD1=6××=．故答案为：．8．（5分）函数f（x）=x+2cosx（0≤x≤2π）的单调递减区间为（，）．【解答】解：∵函数y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx＜0，∴sinx＞，又∵x∈[0，2π]，∴x∈（，），故答案为：（，）9．（5分）若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为．【解答】解：根据题意，双曲线的焦距为8，即2c=8，则c=4，若点在其渐近线上，则双曲线的一条渐近线方程为y=x，又由双曲线的方程为，则有=，又由c=4，则a2+b2=c2=16，解可得a2=4，b2=12，则双曲线的方程为：故答案为：10．（5分）如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5：3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为．【解答】解：∵一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5：3，∴==，∴该圆锥的母线与底面所成角的正弦值：sinα==．故答案为：．11．（5分）已知点P在抛物线y2=8x上运动，F为抛物线的焦点，点A的坐标为（5，2），则PA+PF的最小值是7．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线l：x=﹣2，过P作PD⊥准线l，交l于D，由抛物线的定义：|PA|=|PD|，∴当且仅当A，P，D三点共线时，|PA|+|PF|取最小值，最小值为5+2=7，故答案为：7．12．（5分）椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点F发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F，则光线所经过的总路程为12．【解答】解：依题意可知光线经两次椭圆壁后反弹后回到F点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×3=12，故答案为：1213．（5分）已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；④若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β．其中所有正确命题的序号是②③．【解答】解：由α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，知：在①中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故①错误；在②中，若l⊥α，l⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；在③中，若α⊥γ，β∥γ，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故③正确；在④中，若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β相交或平行，故④错误．故答案为：②③．14．（5分）设k∈R，过定点A的动直线kx+y=0和过定点B的动直线x﹣ky+2k=0交于点M（x，y）（x＞0），若MB=2MA，则点M的坐标为．【解答】解：设k∈R，过定点A的动直线kx+y=0和过定点B的动直线x﹣ky+2k=0交于点M（x，y）（x＞0），则A（0，0），B（0，2），且两定直线垂直，即MA⊥MB，设M（x，y），∵MB=2MA，∴=2，且（x，y）•（x，y﹣2）=0，∴，由x＞0，解得x=，y=，∴点M的坐标为（，）．故答案为：．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=lnx（x＞0）图象上的动点，该图象在点P处的切线l交x轴于点E，过点P作l的垂线交x轴于点F，设线段EF的中点T的横坐标为t，则t的最大值是．【解答】解：设点P的坐标为（m，lnm）；f′（m）=；则切线l的方程为y﹣lnm=（x﹣m）；l的垂线的方程为y﹣lnm=﹣m（x﹣m）；令y=0解得，E（m﹣mlnm，0），F（m+，0）；故t=（2m+﹣mlnm）（m＞1）；t′=；故t=（2m+﹣mlnm）先增后减，故最大值为（2e+﹣e）=，故答案为：．二、解答题（本大题共7小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（14分）设直线l1：2x+y﹣1=0，l2：x﹣y+2=0，l3：3x+my﹣6=0．（1）若直线l1，l2，l3交于同一点，求m的值；（2）设直线l过点M（2，0），若l被直线l1，l2截得的线段恰好被点M平分，求直线l的方程．【解答】解：（1）解，得交点．…（3分）直线l1，l2，l3交于同一点，则点C在直线l3上，则，解得．…（6分）（2）设l1上一点A（a，1﹣2 a），则点A关于M（2，0）的对称点B （4﹣a，2 a﹣1）．…（8分）由点B在l2上，代入得4﹣a﹣（2a﹣1）+2=0，∴a=，∴．…（11分）直线l过两点A、M，斜率为﹣11，∴直线l的方程为11x+y﹣22=0．…（14分）17．（14分）如图，在四面体PABC中，已知PA⊥平面ABC，PA=AC，∠ACB=90°，D为PC的中点．（1）求证：AD⊥BD；（2）若M为PB的中点，点N在直线AB上，且AN：NB=1：2，求证：直线AD∥平面CMN．【解答】证明：（1）∵PA=AC，D为PC的中点，∴AD⊥PC．…（1分）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ACB=90°，BC⊥AC，且PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC∴BC⊥平面PAC．…（3分）∵AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD．…（4分）且AD⊥PC，AD∩PC=D，PC，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC．…（6分）∵BD⊂平面PBC，∴AD⊥BD．…（7分）（2）连接DM，设BD与CM交于点G，连接NG，∵D、M为中点，∴DM∥BC且，…（9分）∴DG：GB=DM：BC=1：2．∵AN：NB=1：2，∴AN：NB=DG：GB．…（11分）∴△BNG∽△BAD，∴AD∥NG，∵AD⊄平面CMN，NG⊂平面CMN，∴直线AD∥平面CMN．…（14分）18．（文科班选做此题）已知m∈R，命题p：{m|方程表示焦点在y轴上的椭圆}，命题q：{m|方程表示双曲线}，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：命题p：8﹣m＞2m﹣1＞0，；…（2分）命题q：（m+1）（m﹣2）＜0，﹣1＜m＜2，…（4分）命题p且q：．…（6分）由命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p、q一个为真命题，一个为假命题，…（8分）则或…（12分）解得2≤m＜3或﹣1＜m≤．所以实数m的取值范围是．…（14分）19．（14分）（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，，AF=1．（1）求二面角B﹣DE﹣C的大小；（2）求点F到平面BDE的距离．【解答】解：∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，分别以AB，AD，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（，，0），D（0，，0），E（，，1），F（0，0，1）．…（1分）（1）设平面CDE的法向量为，平面BDE的法向量，…（2分）由解得．…（4分）∴，…（6分）∴二面角B﹣DE﹣C等于60°．…（7分）（2），…（8分），…（10分）．可得．设点到平面BDF的距离为h，则h=|EF||cos|=2×．…（12分）∴．所以点F到平面BDE的距离为．…（14分）20．（16分）已知圆C的圆心为（t∈R，t≠0），过定点A（0，a）（a ＞0），且与x轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线2x+y﹣6=0的距离为，求圆C的方程．【解答】证明：（1）圆C的圆心坐标过定点A（0，a），则：r=，则圆的方程为：=．圆与x轴交于B（x1，0）、D（x2，0）两点，则：y=0，圆的方程转化为：（x﹣t）2=a2，解得：x1=t+a，x2=t﹣a则：|BD|=|x1﹣x2|=2a（常数）．故：弦长BD为定值；（2）由于，则：C（t，t2），则：点C到直线2x+y﹣6=0的距离d=，整理得：|t2+2t﹣6|=2，则：t2+2t﹣6=2或t2+2t﹣6=﹣2．解得：或t=﹣4或t=2．由于t为整数，则：t=﹣4或2．故圆的方程为：或．21．（16分）已知函数f（x）=ax3﹣（a+2）x2（a为实数）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线与直线x+y+6=0平行，求实数a的值；（2）若a=1，求函数f（x）在区间[1，3]上的值域；（3）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=3ax2﹣2（a+2）x，f'（1）=3a﹣2（a+2）=﹣1，解得a=3．…（4分）（2）a=1时，f（x）=x3﹣3x2，f'（x）=3x2﹣6x，令f'（x）=0，解得x=0或2，…（6分）x[1，2）2（2，3]f'（x）﹣0+f（x）减函数极小值增函数…（8分）又f（1）=﹣2，f（2）=﹣4，f（3）=0，所以f（x）在[1，3]上的值域为[﹣4，0]．…（10分）（3）f'（x）=3ax2﹣2（a+2）x，由f（x）在区间[1，3]上是增函数，则f'（x）=3ax2﹣2（a+2）x≥0对于1≤x≤3恒成立，所以a（3x﹣2）≥4．…（12分）因3x﹣2＞0，故，记，则a≥g（x）max，…（14分）而函数g（x）在[1，3]上为减函数，则g（x）max=g（1）=4，所以a≥4．22．（16分）设动点l1，l2，l3是圆x2+y2=9上任意一点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若点P在线段MN上，且满足．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设直线l与C交于A，B两点，点Q坐标为（0，2），若直线QA，QB的斜率之和为定值3，求证：直线l必经过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）设点P点的坐标为（x，y），点M的坐标为（x0，y0），由，得，∴．由点M是圆x2+y2=9上的任一点，故，代入得．∴点P的轨迹C的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为：x=x0，设A，B两点的坐标分别为（x0，y0）、（x0，﹣y0），由题意k QA+k QB=3，得，解得，所以直线l的方程为：．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，与C联立，消元得（4+9k2）x2+18bkx+9（b2﹣4）=0．设A，B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则，（*）．由题意k QA+k QB=3，得．将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代入上式， 可得， 所以．（**）将（*）代入（**）， 化简得，解得，代入直线l 方程，得．不论b 怎么变化，当=0，即x=时，y=﹣2．综上所述，直线l 恒过定点．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合第21页（共22页）⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x第22页（共22页）①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2017-2018学年江苏无锡市高二第一学期期末考试数学试题(解析版)
2017-2018学年江苏无锡市高二第一学期期末考试数学试题（解析版）一、填空题1．命题“对任意的3210x R x x ∈-+，…”的否定是______． 【答案】32,10x R x x ∃∈-+>【解析】命题“对任意的3210x R x x ∈-+，…”的否定是32,10x R x x ∃∈-+> 2．设()1,3,2a =-， ()2,+1,1b m n =-，且a//b，则实数m n -=_____． 【答案】8 【解析】由题意得2115,3,8132m n m n m n +-==∴==--=- 3．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠= 4．以1x =为准线的抛物线的标准方程是______． 【答案】24y x =-【解析】以1x =为准线的抛物线的标准方程是222,142py px y x =-=∴=- 5．已知命题p : 多面体ABCD 为正三棱锥，命题q :多面体ABCD 为正四面体，则命题p 是命题q 的______条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一） 【答案】必要不充分【解析】正四面体是正三棱锥，正三棱锥不一定是正四面体，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的体积为_______． 【答案】392a 【解析】因为侧面对角线的长为2a ，所以高为()2223a a a -= ，因此体积为23393642a a a ⨯⨯= 7．函数()()2cos 02f x x x x π=+剟的单调递减区间为_______．【答案】5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()[]1512sin 0sin 0,2,266f x x xx x πππ⎛⎫=-∴∈∴∈ ⎪⎝'⎭，即单调递减区间为5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．若双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为8，点()1,3M 在其渐近线上，则C 的方程为______．【答案】221412x y -= 【解析】由题意得22130328,423,2b a c c b a a b -=∴===∴== 因此C 的方程为221412x y -= 点睛：1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线： 22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9．如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为______． 【答案】45【解析】由题意得25533rl l r r ππ=∴= 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为22234155h l r l l -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭10．已知点P 在抛物线28y x =上运动， F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为()5,2，则PA PF +的最小值是______． 【答案】7【解析】PA PF + 55272A L Pd -≥=+=+= 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若()00,P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11．椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆22+195x y =的左焦点F 发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F ，则光线所经过的总路程为______． 【答案】12【解析】光线所经过的总路程为44312a =⨯=12．已知,,αβγ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： ① 若,l αββ⊥⊥，则l α ； ② 若,l l αβ⊥⊥，则αβ ； ③ 若αγβγ⊥ ，，则αβ⊥；④ 若m α⊂， n α⊂， m β ， n β ，则//αβ. 其中所有．．正确命题的序号是_____． 【答案】②③【解析】若,l αββ⊥⊥，则l l αα⊂ 或;若,l l αβ⊥⊥，则αβ ； 若αγβγ⊥ ，，则αβ⊥；若m α⊂， n α⊂， m β ， n β ，则//αβ或,αβ相交，所以正确命题的序号是②③13．设R k ∈，过定点A 的动直线0kx y +=和过定点B 的动直线20x ky k -+=交于点(),(0)M x y x >，若2MB MA =，则点M 的坐标为________． 【答案】42,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】()()0,0,0,2A B ，且两动直线相互垂直，即MA MB ⊥所以()()()222222222,,20205{{ { 43344022(0)5y x y x y x y y x y y x y x y x x =⋅-=+-=⇒⇒++-=+=+-=>即点M 的坐标为42,55⎛⎫⎪⎝⎭14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是________． 【答案】112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】设()()()11,ln :ln ln ,0P m m k y l y m x m E m m m m m∴==∴-=-∴-' ()ln ,0lnm y m m x m F m m ⎛⎫-=--∴+ ⎪⎝⎭所以1ln 2ln 2m t m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()2211ln 112ln 11ln 1022m t m m m m -⎛⎫⎛⎫=--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' m e ∴=当0m e <≤时112t e e ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭当m e >时112t e e ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以t 的最大值是112e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭点睛：求函数最值的五种常用方法 方法 步骤单调性法 先确定函数的单调性，再由单调性求最值图象法 先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值基本不等式法 先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值导数法 先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值二、解答题15．直线30x y c -+=的倾斜角的大小为______． 【答案】30︒ 【解析】()0113033y x c k α=+∴=∴= 16．设直线1:210l x y +-=， 2:20l x y -+=， 3:360l x my +-=． （1）若直线1l ， 2l ， 3l 交于同一点，求m 的值；（2）设直线l 过点()2,0M ，若l 被直线1l ， 2l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的方程． 【答案】（1）21=5m ． （2）11220x y +-=． 【解析】试题分析：（1）先求直线1l ， 2l 交点，再代入3l 得m 的值；（2）设1l 上一点A(a ，1-2 a)，则得B (4-a ，2 a -1) 在2l 上，解方程组可得a =73，再根据两点式求直线l 的方程． 试题解析：（1）解210{20x y x y +-=-+=，，得交点15,33C ⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线123l l l ，，交于同一点，则点C 在直线3l 上， 则1536=033m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得21=5m ． （2）设1l 上一点A(a ，1-2 a)，则点A 关于M （2，0）的对称点B (4-a ，2 a -1) ． 由点B 在2l 上，代入得()42120a a ---+=，∴a =73，∴71133A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 直线l 过两点A 、M ，斜率为-11，∴ 直线l 的方程为11220x y +-=．17．如图，在四面体PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ， PA AC =， 90ACB ∠= ，D 为PC 的中点．（1）求证： AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =， 求证：直线AD //平面CMN ．【答案】(1)见解析（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由等腰三角形性质得AD ⊥PC ．再根据PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理得BC ⊥平面PAC ，得BC ⊥AD ．即得AD ⊥平面PBC ，可得AD ⊥BD （2）设BD 与CM 交于点G ，先根据平几知识得AD//NG ，再根据线面平行判定定理得结论试题解析：(1) ∵PA=AC ，D 为PC 的中点，∴AD ⊥PC ． ∵ PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ PA ⊥BC ．∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC ，且PA ⋂AC =A ， ,PA AC ⊂平面PAC ∴ BC ⊥平面PAC ．∵ AD ⊂平面PAC ， ∴ BC ⊥AD ．且,,,AD PC AD PC D PC BC ⊥⋂=⊂平面PBC ， ∴AD ⊥平面PBC ．∵ BD ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BD ．（2） 连接DM ，设BD 与CM 交于点G ，连接N G ， ∵ D 、M 为中点，∴DM //BC 且12DM BC =， ∴ DG:GB=DM:BC=1:2．∵ AN:NB=1:2，∴AN:NB= DG:GB ． ∴ △BNG ∽△BAD ，∴AD//NG ，∵AD ⊄平面CMN ， NG ⊂平面CMN ， ∴ 直线AD//平面CMN ．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18．已知R m ∈，命题:p { m |方程221821y x m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆}，命题:q { m |方程22112y x m m +=+-表示双曲线}，若 命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围． 【答案】][1(1,2,32-⋃）． 【解析】试题分析： 先根据方程为椭圆条件得命题p 时m 的取值范围；再根据方程为双曲线条件得命题q 时m 的取值范围；再根据复合命题真假得p ，q 一个为真命题，一个为假命题，最后列方程组解实数m 的取值范围．试题解析：命题p ： 8210m m ->->，132m <<； 命题q ：（1m +）（2m -）<0, 12m -<<命题p 且q: 122m <<．由命题“p∨q ”为真，“p∧q ”为假，则p 、q 一个为真命题，一个为假命题，则13{ 212m m m <<-，或，剠或13{ 21 2.m m m -<<或，剠 解得23m <…或112m -<…． 所以实数m 的取值范围是][1(1,2,32-⋃）．点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可.以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p ∨q”“p ∧q ”“非p ”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可.19．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直， 2AB =， 1AF =．（1）求二面角B DE C --的大小； （2）求点F 到平面BDE 的距离. 【答案】（1）60°．（2）2．【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组求各面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果（2）根据向量投影得点F 到平面BDE 的距离为2cos ,EF EF h，再根据向量数量积求值试题解析： 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直， 分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （2，0，0）， C （2， 2，0）， D （0， 2，0），E （2,2，1），F （0，0，1）．（1）设平面CDE 的法向量为1=(0,1,0)h ，平面BDE 的法向量()2=,,h x y z ，由220,{ 0.h BD h BE ⋅=⋅=解得()21,1,2h =- . ∴1212121cos ,2||h h h h h h ⋅==， ∴ 二面角 B —DE —C 等于60°．（2）()()22,2,0,1,1,2FE h ==-，222222cos ,222||EF h EF h EF h ⋅===⨯， 2EF = ．设点到平面BDF 的距离为h ，则2cos ,.hEF h EF=∴22=22h =⨯．所以点F 到平面BDE 的距离为2． 20．已知圆C 的圆心为2,2t C t a ⎛⎫⎪⎝⎭()R,0t t ∈≠，过定点()0,A a (0)a >，且与x 轴交于点B ，D ．（1）求证：弦长BD 为定值；（2）设12a =，t 为整数，若点C 到直线260x y +-=的距离为255，求圆C 的方程． 【答案】（1）见解析（2）()()2265244x y -+-=和()()221025+4164x y +-=．【解析】试题分析：（1）根据垂径定理求弦长为2 a ，为定值．（2）由点到直线距离公式得t ，即得圆C 的方程．试题解析：（1）圆C 的方程： ()222222)22t t x t y t a a a ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭（， 令y =0，得()22=x t a -，故=x t a -±， 1=+x t a ， 2=x t a -．弦长M N=21||x x -=2 a 为定值． （2）∵点C 到直线260x y +-=的距离为2265t t d +-==255， ∴2+26t t -=2±，解得=15t -±， t =2或t =-4． 由t 为整数，∴ t =2或t =-4． ∴ 圆C 的方程为()()2265244x y -+-=和()()221025+4164x y +-=． 21．已知函数()()322f x ax a x =-+（a 为实数）.（1） 若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平行，求实数a 的值； （2） 若1a =，求函数()f x 在区间[]1,3上的值域；（3） 若函数()f x 在区间[]1,3上是增函数，求a 的取值范围． 【答案】(1) 3a =（2）[]4,0-（3）[)4,+∞.【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()1f '得方程，解得实数a 的值；（2）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值与值域（3）转化为()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，再分离变量得432a x -…最大值，最后根据函数最值得a 的取值范围试题解析：(1) ()()2322f x ax a x '=-+， ()()13221f a a =+'-=-，解得3a =． （2）1a =时， ()323f x x x =-，()236f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，x[)1,22(]2,3()f x '—+()f x减函数 极小值 增函数又()12f =-， ()24f =-， ()30f =，所以()f x 在[]1,3上的值域为[]4,0-．（3）()()2322f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[]1,3上是增函数，则()()2322f x ax a x '=-+ … 0对于1≤x ≤3恒成立，所以()324a x -…．因320x ->，故432a x -…，记()432g x x =-，则()max a g x …，而函数()g x 在[]1,3上为减函数，则()()max 14g x g ==，所以a …4． 所以a 的取值范围是[)4,+∞.22．设动点M 是圆229x y +=上任意一点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若点P 在线段MN 上，且满足2NPPM=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ， B 两点，点Q 坐标为()0,2，若直线QA ， QB 的斜率之和为定值3，求证：直线l 必经过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22194x y +=．（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）设P 、M 的坐标，根据条件得两点坐标关系，再代入点M 满足的方程，化简得点P 的轨迹的方程；（2）由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=．即得121122)3k b x x +-+=（（）,再将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理化简得3+24b k =（）最后根据点斜式特点得定点.试题解析： 1）设点P 、M 的坐标分别为 (x ，y )、 (x 0，y 0)，由2NPPM =，得00,{ ,23x x y y ==∴00,{ 3.2x x y y ==由点M 在圆229x y +=上，故22009x y +=，代入得22994x y +=． ∴ 点P 的轨迹C 的方程为 22194x y +=． （2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为： 0x x =， 设A ，B 两点的坐标分别为 (x 0，y 0)、(x 0， -y 0)， 由题意3QA QB k k +=，得0000223y y x x ---+=，解得043x =-，所以直线l 的方程为： 43x =-．当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y=kx+b ，与C 联立，消元得()()2224918940k x bkx b +++-=．设A ，B 两点的坐标分别为 (x 1，y 1)、 (x 2，y 2)，则1221849bkx x k -+=+， 212294)=49b x x k-+（（*）． 由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=． 将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代入上式，可得121122)3k b x x +-+=（（）, 所以121222)3x x k b x x ++-=（．（**） 将（*）代入（**），化简得2232bk k b -=+，解得3+24b k =（）， 代入直线l 方程，得3+2331442b y x b b x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭（）．不论b怎么变化，当314x+=0即x=43-时，2y=-．综上所述，直线l恒过定点4,23⎛⎫--⎪⎝⎭．点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11。
江苏省无锡市2017-2018学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合{}{0}112A B ==，，，，则A B ⋃=______．2.176cos π=______．3. 若幂函数y f x =（）的图象过点42（，），则16f =（）______．4. 若向量12a =（，），3b m =（，），且a b ，则|||a b +=______．5. 函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是______．6.计算：2ln33(0.125)e-++=______．7. 已知圆心角是3π的扇形的面积是223cmπ，则该圆心角所对的弧长为______cm ．8. 已知函数x （）是周期为2的奇函数，且1[]0x ∈-，时，f x x =（），则212f =（）______．9. 将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位所得函数记为y f x =（），当23x π=时f x （）取得最大值，则ϕ=______． 10.若cos 23sin(a )4a π=+，sin cos a a =______．11. 若2(x 1)1,1(x)1,1x f x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，且23f a f a -（）＜（），则实数a 的取值范围是______． 12. 在ABC 中，已知|AB |2=，|||1AC =，点M 在边BC 上，4||BC BM =，2AM CB ⋅=，则A B A C ⋅=______． 13. 函数221,04(x)1log ,4x x f x x +≤≤⎧=⎨+<⎩，若0m n ≤<，且(m)f(n)f =，则mf(n)的取值范围是______．14. 函数2f(x)m |31|4|31|1(m 0)x x =---+>在R 上有4个零点，则实数m 的取值范围是______． 二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 设集合2{|3}2A x y log x =-（），2{}2|x B y y a x a a R ==≤≤+∈，，全集U R =．16. （1）若2a =，求U A C ⋂（B ）；17. （2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．在ABC 中，已知12AB =（，），40AC m m =（，）（＞）． 18.19. 在△ABC 中，已知=（1，2）， =（4，m ）（m ＞0） （1）若90ABC ∠=︒，求m 的值； （2）若32||BC =2BD DC =，求cos ADC ∠的值．17.如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1Am -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若2sin α的值．20. 某公司对营销人员有如下规定：21. i （）年销售额x （万元）不大于8时，没有年终奖金；22. （ⅱ）年销售额x （万元）大于8时，年销售额越大，年终奖金越多．此时，当年销售额x （万元）不大于64时，年终奖金y （万元）按关系式ay log x b =+，0a （＞，且1a ≠）发放；当年销售额x （万元）不小于64时，年终奖金y （万元）为年销售额x （万元）的一次函数经测算，当年销售额分别为16万元，64万元，80万元时，年终奖金依次为1万元，3万元，5万元． 23. （1）求y 关于x 的函数解析式；24. （2）某营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，求该营销人员年销售额x （万元）的取值范围．25. 已知奇函数23(x)22x b f x +=+，函数221g t sin t cost =+-（），]3[t m π∈，，m ，b R ∈． 26. （1）求b 的值；（2）判断函数f x （）在[0]1，上的单调性，并证明；（3）当]1[0x ∈，时，函数g t （）的最小值恰为f x （）的最大值，求m 的取值范围．已知向量24a sin x πω=+（（），，4b sin x πω=+（（），20cos x ωω（））（＞），函数•1x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．（1）求f x （）的单调增区间； （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解，求实数n 的取值范围；（3）是否存在实数m 满足对任意x 1∈[-1，1]，都存在x 2∈R ，使得 + +m （ - ）+1＞f （x 2）成立．若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．答案和解析1.【答案】{012}，，【解析】 解：集合{}{0}112A B ==，，，， 则012{}A B ⋃=，，． 故答案为：{012}，，．根据交集的定义写出A B ⋃即可．本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 2.【答案】2-【解析】解：1773)62cos 66cos cos ππππ-=-=-=（． 故答案为：直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，是基础题． 3.【答案】4【解析】解：设幂函数a y f x x ==（）， 幂函数y f x =（）的图象过点42（，）， 42a ∴=， 解得：12a =，12y f x x ∴==（）164f ∴=（），故答案为：4根据已知求出函数的解析式，将16x =代入可得答案．本题考查的知识点是幂函数的解析式，函数求值，难度不大，属于基础题． 4.【答案】45解：||a b ，60m ∴-=，解得6m =． |48a b ∴+=（，）． 则2|4|a b +=+=故答案为：利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】[2-+∞，） 【解析】解：根据题意，ln(x 3)x 23ln(x 33x ||),2f x ln x +≥-⎧=+=⎨-+-<<-⎩（）（）， 即当2x ≥-时，3f x ln x =+（）（）， 令3t x y lnt =+=，，在[2-+∞，）上，1t ≥，此时3t x =+为增函数，y lnt =也为增函数，则函数f x （）为增函数； 当32x --＜＜时，3f x ln x =-+（）（）， 令3t x y lnt =+=-，，在32--（，）上，01t ＜＜，此时3t x =+为增函数，y lnt =-为减函数，则函数f x （）为减函数； 故函数||3f x ln x =+（）（）的单调增区间是[2-+∞，）； 故答案为：[2-+∞，）． 根据题意，将函数的解析式写成分段函数的形式，结合函数的定义域分段讨论函数的单调性，综合即可得答案．本题考查分段函数的单调性的判断，注意分段函数要分段分析，属于基础题． 6.【答案】11【解析】解：原式233134[()]2-=++ 7411=+=．故答案为：11．利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运算性质，属于基础题． 7.【答案】23π【解析】解：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为rad α（），半径为r ，扇形的面积为S ， 则：2322234Sr ππα⨯===．解得2r =，可得：扇形的弧长为2233l r ππα==⨯=cm ．故答案为：23π．利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值． 本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 8.【答案】【解析】解：根据题意，函数x （）是周期为2的函数，则211110222f f f =+=（）（）（），又由f x （）为奇函数，则11112222f f =-=-（）（）（-）=，则21122f =（）；故答案为：12根据题意，由函数的周期性可得211110222f f f =+=（）（）（），结合函数的奇偶性与解析式可得分析可得11112222f f =-（）（-）=-（-）=，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数的表示方法，属于基础题． 9.【答案】512π【解析】解：将函数2y sin x =向右平移0ϕϕπ（＜＜）个单位，所得函数记为22y f x sin x ϕ==-（）（）， 当23x π=时f x （）取得最大值，则42232k ππϕπ-=+，5226k Z k πϕπ∈∴=-+．，令0k =，可得512πϕ=， 故答案为：512π．利用函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律求得f x （）的解析式，再根据正弦函数的最大值，求得ϕ的值．本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换规律，正弦函数的最大值，属于中档题． 10.【答案】49【解析】解：cos 2sin )4a a π=+（，2232=，即3=，13cos sin αα∴-=，两边平方得：112sin cos 9a a -=，49sin cos αα∴=．故答案为：49．由已知展开倍角公式及两角和的正弦可得1cos sin 3αα-=，两边平方得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正弦的应用，是基础题． 11.【答案】12-∞（，）【解析】解：2(x 1)1,11,1x f x x x⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩（），可得1x ＞时，f x （）递减； 1x ≤时，f x （）递减， 且11f =（），可得f x （）在R 上递减， 23f a f a -（）＜（），可得23a a -＞， 解得12a ＜，故答案为：12-∞（，）．讨论f x （）在1x ＞和1x ≤的单调性，可得f x （）在R 上递减，进而可得a 的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】32【解析】解：4BM BC ==， 11()44BM BC AC AB ∴==-， 1344AB BM AC AB+=+， 21||||AB AC ==，，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，13•44AC AB AC AB =+-（）（）， 22113424AC AB AC AB =+⋅-， 13142442AB AC =-⨯+=-， 32AB AC ∴=⋅=， 故答案为：32．由向量加法及减法的三角形法则可得，()()AM BC AB BM AC AB ⋅=+⋅-，结合已知即可求解AB AC ⋅．本题主要考查了向量的基本运算及向量的数量积的基本运算，属于基础试题． 13.【答案】36]3（，【解析】 解：作出函数221,041log ,4X x f x x x +≤<⎧=⎨+<⎩（）的图象，可得12f n f m m ==+（）（），14m ≤＜，则2122mf n m m m m =+=+（）（）在14]（，递增，可得 mf n （）的范围是36]3（，． 故答案为：36]3（，．作出f x （）的图象，求得f n （），m 的范围及mf n （）的解析式，运用二次函数的单调性，可得所求范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查二次函数的单调性的运用，以及运算能力，属于中档题．14.【答案】34（，）【解析】 解：根据题意，对于函数2||31|431|1x x f x m =---+（），设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，|1|3x t =-的图象如图：若函数23143||11||0x x f x m m =---+（）（＞）在R 上有4个零点， 则方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根， 则有164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得：34m ＜＜，即m 的取值范围为34（，）； 故答案为：34（，）根据题意，设|1|3x t =-，则241y mt t =-+，作出|1|3x t =-的草图，据此分析可得方程2410mt t -+=在区间01（，）有2个根，结合一元二次函数的性质可得164020130m m m ->⎧⎪⎪<<⎨⎪->⎪⎩，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查函数的零点，注意利用换元法分析，属于综合题． 15.【答案】解：（1）集合220{|}{|}322{|32032}x A x y log x x x x x -≥⎧⎨-==-==≤>⎩（）＜，2a =时，{|2x B y y ==，{}|2416}4x y y ≤≤=≤≤，又全集U R =，{4|UC B x x ∴=＜或6}1x ＞， 2{|4U C A x x ∴⋂=≤（B ）＜，或1632}x ＜＜；（2）A B A B A ⋃=∴⊆，，又{}222|a a B y y +=≤≤，232{|}A x x =≤＜，222232aa +⎧≥⎪∴⎨<⎪⎩，解得实数a 的取值范围是13a ≤＜． 【解析】（1）求定义域得集合A ，求出2a =时集合B ，再根据集合的定义计算即可； （2）由A B A ⋃=得出B A ⊆，由此列不等式求出实数a 的取值范围．本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了求函数的定义域和值域问题，是中档题． 16.【答案】解：（1）若90ABC ∠=︒，则0AB BC ⋅=，32BC AC AB m =-=-（，）， 3240m ∴+-=，12m ∴=． （2）||32BC =，9(m +-=， 0m ＞，5m ∴=，2BD DC =，1113DC BC ∴==（，），2223BD BC ==（，）， 而34ADAD AB BD =+=（，）， 34DA ∴=--（，）， 31417210||||52DA DC cos ADC DA DC ⋅-⨯-⨯∴∠===-．【解析】（1）由题意可知0AB BC ⋅=，结合向量的数量积的性质即可求解m （2）由32||BC =，结合向量数量积的性质可求m ，然后结合2BD DC =，及向量夹角公式||||DA DC cos ADC DA DC ⋅∠=可求本题主要考查了向量数量积的性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用． 17.【答案】解：（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=． 712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin()312124cos()12tan AOB tan tan παπαβαπα-∠=-=-==--（）（），2211()()1,[,]121212212sin cos ππππαπαα--∈-+=，34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos πππααα∴-=--=-（）（）（），2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），22226666[6]6sin sin sin cos cos sin ππππππαααα∴=-+=-+-=（）（）（）．【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值． （2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sin πα-（）和12cos πα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得[6]226sin sin ππαα=-+（）的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．18.【答案】解：（1）864x ≤＜，年销售额越大，奖金越多，a y log xb ∴=+在84]6（，上是增函数． log 161log 643a a b b +=⎧∴⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩．864x ∴≤＜时，23y log x =-+；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（）， 由题意可得：643805k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得185k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩． 64x ∴≥时，158y x =-．∴y 关于x 的函数解析式为20,08log 3,86415,648x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪->⎩；（2）当08x ≤≤时，不合题意；当864x ≤＜时，2234log x -+＜＜，解得32128x ＜＜．3264x ∴≤＜．当64x ＞时，1548x -<，解得72x ＜，6472x ∴＜＜．综上，3272x ＜＜．答：该营销人员年终奖金高于2万元但低于4万元，其年销售额的取值范围是大于32万元且小于72万元．【解析】（1）由已知可得ay log x b =+在84]6（，上是增函数，再结合已知列关于a ，b 的方程组，求解可得函数解析式；又64x ≥时，y 是x 的一次函数，设0y kx m k =+≠（），再由已知可得关于m ，k 的方程组求解可得64x ≥时，158y x =-，则函数解析式可求； （2）当08x ≤≤时，不合题意；然后分类求解不等式得答案．本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，训练了不等式的解法，是中档题．19.【答案】解：（1）奇函数23()22x b f x x +=+，可得00f =（）， 即0b =；（2）23(x)22x f x =+在[0]1，单调递增， 证明：设12x x ，是[0]1，上任意两个值，且12x x ＜，2121122122222121()(1)33(x )f(x )()2112(1)(1)x x x x x x f x x x x ---=-=⋅++++，由121]0[x x ∈，，，且12x x ＜， 可得210x x -＞，1210x x -＞，2110x +＞，2210x +＞，即有210f x f x -（）（）＞，即21f x f x （）＞（）， 可得f x （）在[0]1，递增；（3）由（2）可得f x （）在[0]1，递增，可得314max f x f ==（）（）， 可得g t （）的最小值为34， 令s cost =，所以22s s s =-+的最小值为34， 所以1322s ≤≤，即112cost ≤≤，]3[t m π∈，， 由y cost =的图象可得33m ππ-≤＜．【解析】（1）由奇函数的性质可得00f =（），解方程即可得到b ；（2）2322x f x x =+（）在[0]1，单调递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（3）由（2）可得f x （）的最大值，即可得到g t （）的最小值，运用换元法和余弦函数的图象和性质，可得所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查换元法和定义法的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）函数2•b 12214f x a sin x x πωω=-=+--（）（）（）22sin x x ωω=（）（） 223sin x πω=-（）f x （）的最小正周期为π．0ω＞ 22ππω∴=， 1ω∴=．那么f x （）的解析式223f x sin x π=-（）（） 令222232k x k πππππ-≤-≤+，k Z ∈ 得：51212k x k ππππ-≤≤+ f x ∴（）的单调增区间为[k k 5]1212ππππ-+，，k Z ∈． （2）方程210f x n -+=（）；在[0]712π，上有且只有一个解， 转化为函数1y f x =+（）与函数2y n =只有一个交点． x 在[0]712π，上， 52336x πππ∴-≤-≤（） 那么函数12213y f x sin x π=+=--（）（）的值域为]，结合图象可知函数1y f x =-（）与函数2y n =只有一个交点． 那么1122n ≤<或21n =， 可得1122n -≤<或12n =．（3）由（1）可知223f x sin x π=-（）（）22min f x ∴=-（）． 实数m 满足对任意11[]1x ∈-，，都存在2x R ∈，使得11114()()?4?2?2?12x x x x m f x --++-+>成立．即1111?44?2?2?(>12x x x x m --++-+-）成立令1111?44221x x x x y m --=++-+（？）？？设1122x x t --=？？，那么111122442222x x x x t --+=-+=+？？）？？（11]1[x ∈-，，332[2]t ∴∈-，， 可得250t mt ++＞在3322[]t ∈-，上成立． 令250g t t mt =++（）＞， 其对称轴m 2t =- 332[]2t ∈-，上， ∴①当322m -≤-时，即3m ≥时，32930242min m g t g ==>--（）（），解得2936m ≤<； ②当33222m -<-<，即33m -＜＜时，2(>(t))5024m m g min g =-=-，解得33m -＜＜； ③当322m ≤-，即3m ≤-时，329300242min m g t g ==>（）（）+＞，解得2936m -≤-＜； 综上可得，存在m ，可知m 的取值范围是292966（-，）． 【解析】（1）函数•1f x a b =-（），f x （）的最小正周期为π．可得ω，即可求解f x （）的单调增区间．（2）根据x 在[0]712π，上求解f x （）的值域，即可求解实数n 的取值范围； （3）由题意，求解2f x （）的最小值，利用换元法求解111144221x x x x y m --=++-+（）的最小值，即可求解m 的范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了二次函数的最值的讨论和转化思想的应用．属于难题．。
江苏省无锡市-学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
2０16-2017学年江苏省无锡市高二（上)期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题,每小题5分,共7０分).1．若直线（a﹣2）ｘ﹣y+3＝０的倾斜角为４5°,则实数a的值为.2.设一辆汽车在公路上做加速直线运动,假设t秒时的速度为v(t）=3t2﹣1米/秒,则在2秒是加速度为米/秒２.３．圆ｘ２+y2+4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y２﹣2x+4y＋１=0的位置关系是. 4．在正四棱柱ABＣD﹣A1B1C1D１中，若AA1=２ＡB，则异面直线ＢD１与ＣC1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y﹣2=0,3x﹣ｙ﹣2=０的交点为M,若点M在圆（x﹣m)２+y2=5内，则实数m的取值范围为.6.若点Ａ(﹣6,y)在抛物线y2＝﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7.已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°,则此圆锥的底面半径为.8．如果正方体、球与等边圆柱(圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等,设它们的表面积依次为S1,S2，S3,则S1，Ｓ２，S３大小关系为．9.给出下列三个命题:①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题;②记函数f(x)是导函数为ｆ′(x），若f′(ｘ0）=０,则f(ｘ0）是ｆ(x）的极值；x＋ａy﹣3=0,l2:（a﹣1）ｘ＋２ay+1=0平行“的充要条件．③“a=3”是“直线l１:：则真命题的序号是．10．设f（x）＝siｎｘ﹣２cosx+1的导函数为ｆ′（ｘ）,则f′(）=．11．（理）设向量=(2,２s﹣2，t+2）,=（4，2s+1，３t﹣２），且∥,则实数s+t=．12.如图是正四面体的平面展开图,G,H，M，N分别为DＥ，ＢE，EF,EC的中点，在这个正四面体中,有以下结论:①GH与EF平行；②BE与ＭN为异面直线;③ＧH与AF成60°角;④MＮ∥平面AＤF；其中正确结论的序号是．１３．过双曲线﹣=1(a>0,b>０)的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为Ｍ，延长FＭ交双曲线右支于点P,若M为FP的中点,则双曲线的离心率是．14．已知ｆ（x)=ax+,g(x）＝e x﹣3ax,ａ>０，若对∀ｘ1∈（0,1），存在ｘ２∈(1，＋∞）,使得方程ｆ（x1）=ｇ（x２）总有解，则实数a的取值范围为.１５．已知直线ax+ｂy+c＝０始终平分圆C:ｘ2＋y2﹣2ｘ+4ｙ﹣４=０(C为圆心）的周长,设直线l：(2a﹣b）x＋（2b﹣ｃ）y+（2c﹣a)=０，过点P（6，9）作l的垂线,垂足为H，则线段CＨ长度的取值范围是.二、解答题:本大题共7小题，共90分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.１6．（14分)设直线l1:mx﹣２my﹣６=０与l2：（3﹣m）ｘ+mｙ＋ｍ２﹣3m=0．∥ｌ2,求l1，l2之间的距离;（1)若ｌ１(2）若直线ｌ2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程．17.(1４分)如图,在四棱锥Ｐ﹣ABCD中，ＡBCD是梯形，AＤ∥BC,∠ＡBC=９０°，平面PAB⊥平面ABＣD,ＰＢ⊥AB且ＡD=AＢ=BP=BC.(1)求证:CD⊥平面PBD；(２)已知点Q在ＰC上,若AC与BD交于点Ｏ，且AＰ∥平面BDＱ，求证：OQ∥平面APD．18．（1４分)已知直线l:y=２x+ｎ，n∈R，圆Ｍ的圆心在y轴,且过点（1，1)．(1）当n=﹣2时，若圆M与直线ｌ相切,求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线Ｎ：x２=6y是否相切?如果相切，求出切点坐标；如果不想切,请说明理由．１9．（１６分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣aｍ＜１2a2（a≠0)};集合B＝{m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆},若“ｍ∈A”是“ｍ∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．(理科）如图,在正方体AＢCD﹣Ａ1B1C1D1，O是AC的中点，Ｅ是线段D1O 上一点,且＝λ.(１）若λ=，求异面直线DＥ与ＣD1所成角的余弦值;（2)若二面角D1﹣CＥ﹣D为π,求λ的值.21.(16分）已知函数f(x）＝ｌnｘ+﹣2，a∈R.(1)若曲线ｙ＝f（x）在点（1，ｆ(1))处的切线方程为2ｘ+y﹣3＝0，求a的值；（2）求函数y=f（x)的单调区间;(３)若曲线y=f(x）都在直线(a+1)x＋y﹣2（a﹣1)=０的上方,求正实数ａ的取值范围．22．(16分）如图，在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C： +=１(a>0,ｂ＞x轴的直线被椭圆C截得的线段长０)的离心率为,过C的左焦点F１,且垂直于为1.(1)求椭圆C的方程;（２)设椭圆Ｃ的左、右顶点分别为A,Ｂ,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是点C上异于Ａ，Ｂ的任意一点,直线ＡＰ交直线l于点Ｑ.①设直线OＱ，BP的斜率分别为k1,k2,求证：k１•k2为定值；②当点P运动时,试判断点Ｑ与以BＰ为直径的圆的位置关系?并证明你的结论.ﻬ２０16-2017学年江苏省无锡市高二（上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共１5小题,每小题５分,共7０分）.1．若直线(a﹣2）ｘ﹣ｙ+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3 .【考点】直线的倾斜角.【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a．【解答】解:因为直线(a﹣2)x﹣y+３=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为ｔａn ４5°＝a﹣2=１，所以ａ＝３；故答案为：３．【点评】本题考查了直线的倾斜角．直线的倾斜角为α,那么它的斜率为tanα(α≠90°).２.设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t)=３t２﹣1米/秒，则在２秒是加速度为12 米/秒2.【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义，可知ｔ＝2时物体的加速度为即为v'（2),然后利用导数求解即可.【解答】解:∵v（t)＝３ｔ２﹣1，∴ｖ'（t）＝6ｔ,根据导数的物理意义,可知t=2时物体的加速度为即为v'（２）,∴v'(2）=6×２=12,故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义,以及导数的基本运算,比较基础．３.圆x２+y２＋4x﹣4y﹣8＝0与圆x2+y2﹣2ｘ+4ｙ+1＝0的位置关系是相交.【考点】圆与圆的位置关系及其判定.【分析】把两个圆的方程化为标准方程,分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5,大于两圆的半径之差而小于半径之和,可得两个圆的位置关系为相交.【解答】解:圆x2＋ｙ2+4x﹣4y﹣８=0，即(ｘ+2）2＋（ｙ﹣2)2=1６,表示以（﹣２,２）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+４y+１=0,即(x﹣１)2+(y＋２)2＝４，表示以(1，﹣2)为圆心、半径等于２的圆．两个圆的圆心距为ｄ==5,大于两圆的半径之差而小于半径之和,故两个圆的位置关系为相交,故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程,圆和圆的位置关系的判定方法,属于基础题.4.在正四棱柱ABCD﹣Ａ1Ｂ１C1D１中,若AA1=２AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角.【分析】由CＣ1∥ＢB１，知∠B１ＢD1是异面直线BD１与CＣ1所成角,由此能求出异面直线ＢD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ＡBＣD﹣A1B1Ｃ1D1中,CＣ1∥BＢ1,∴∠B1ＢD１是异面直线ＢＤ1与CＣ１所成角,设AA1=2AB=2，则B1D１＝,BB1=2,∴tan∠Ｂ1BD１==．与CＣ1所成角的正切值为．∴异面直线BD１故答案为:.【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.5.设两条直线x+ｙ﹣２=0，３x﹣y﹣2=0的交点为M,若点M在圆(x﹣ｍ）2+y2＝5内,则实数m的取值范围为(﹣１，3)．【考点】点与圆的位置关系.【分析】求出两条直线的交点坐标,以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．【解答】解:由题意可知:,解得，交点（１,1)，交点Ｍ在圆(x﹣m)2+ｙ2＝5的内部，可得（1﹣m）2＋1＜5，解得﹣１＜m<3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为:（﹣１,3）．【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用,考查计算能力，是基础题.6．若点A（﹣6，ｙ)在抛物线y２=﹣8ｘ上，Ｆ为抛物线的焦点，则ＡＦ的长度为8.【考点】抛物线的简单性质.【分析】由于抛物线y２=﹣８ｘ的准线方程为x＝2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6＋2＝８,再由抛物线的定义可得｜AF｜的值．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F(﹣2，0），其准线方程为x＝2,该抛物线的一点A到ｙ轴距离为６,则点A到准线的距离为6+２=8，再由抛物线的定义可得｜AＦ|=８，故答案为:8.【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcｍ2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为５．【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．【解答】解:设圆锥的底面半径为R,则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcｍ２,∴５0π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5.【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键.８．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等)的体积相等，设，Ｓ2，S３,则S1，Ｓ2,Ｓ3大小关系为S2<Ｓ3＜S1.它们的表面积依次为S１【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为ｒ，且它们的体积都为V,则V=,由此能比较S1，Ｓ2,S3大小．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,则V＝,解得,ａ=,r＝，∴S1=6×a2=6(）２=6=,S2=4πR2=4π（）2=,Ｓ3=2π＝．∴S2＜Ｓ3＜S1．故答案为：Ｓ2<S3<S1．【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较,是中档题，解题时要认真审题,注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用.9.给出下列三个命题:①若命题p:2是实数,命题ｑ:２是奇数，则p或q为真命题;②记函数ｆ(x)是导函数为f′（ｘ）,若f′(x0)＝0，则f（x０）是f（x）的极值;③“a＝3”是“直线ｌ1：：x+ay﹣３=0，ｌ2：(a﹣１）x+2aｙ＋1=０平行“的充要条件．则真命题的序号是①.【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由命题p为真，得p或q为真命题;②，例如函数f(x）=x3满足f′（0）=０,但f(0)不是f(x)的极值；③，当a＝０时,直线l1:：x+ay﹣３=0，ｌ２：(a﹣1)x+2ay＋1＝0平行;【解答】解：对于①，因为命题p为真,∴ｐ或q为真命题，故正确;对于②,例如函数ｆ(x）＝x３满足f′(0)=0，但f(0)不是f(x）的极值,故错;对于③，当ａ＝0时,直线l1::x+ａy﹣3=0,l2：（a﹣1)x＋2aｙ＋1=０平行，故错；故答案为:①【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．１0.(文）设f(x）=sｉｎx﹣2cosx+1的导函数为f′（ｘ），则f′（）=.【考点】导数的运算.【分析】先求导，再代值计算即可.【解答】解：ｆ（x)＝sinx﹣2ｃｏsx+1的导函数为f′(x)=cosx+2siｎx,∴f′（)=ｃos+2ｓｉn=﹣+2×=,故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法,属于基础题．１1．（2016秋•无锡期末)(理)设向量=（2,2s﹣2，ｔ+2）,=(4,2ｓ+1,3t﹣2），且∥,则实数ｓ+ｔ=．【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得＝k，则,解得k=，ｓ=,t=6．∴s+t=.故答案为:．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.如图是正四面体的平面展开图，G,H，M,Ｎ分别为DE,BE,EF,EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论:①GH与EF平行；②ＢE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面AＤF；其中正确结论的序号是③④.【考点】棱柱的结构特征.【分析】正四面体的平面展开图还原成正四面体，利用数形结合思想能求出结果.【解答】解:正四面体的平面展开图还原成正四面体,如图：在①中,ＧH与EF是异面直线，故①错误；在②中,ＢE与MN相交于点N，故②错误;在③中，∵GH∥AD,∴ＧH与ＡF成６0°角,故③正确；在④中,∵MＮ∥AF，∴MＮ∥平面ADＦ,故④正确．故答案为：③④.【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.13.过双曲线﹣=1（a＞0,ｂ＞0）的左焦点F作圆ｘ2+ｙ2＝a２的切线，切点为M，延长FＭ交双曲线右支于点Ｐ,若M为ＦP的中点，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出简图，由图中可得线段的长,从而得到b＝2ａ,进而求双曲线的离心率．【解答】解:如图|OF|＝ｃ,｜OM|=a,|FＧ|=2c；∴｜F|=b,又∵M为PＦ的中点,｜ＰG|=2｜ＯＭ｜＝2ａ，|PF|=2b,∴|PＦ|﹣｜ＰG|=2ｂ﹣2a=２a;∴ｂ＝2a,∴c=a,∴e==.故答案为．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用,同时考查了双曲线的定义,属于中档题．14．已知f（x）=ax+,g（x）=eｘ﹣3ａx，a＞０,若对∀x１∈（0，1），存在ｘ2,则实数ａ的取值范围为[,+∞）.∈（1,+∞）,使得方程f（x１)=g(ｘ2）总有解【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对任意的x∈（0，１),f（x）的值域为(２a，＋∞），要使∃x2∈R，使f（x1）＝ｇ（x２),则g（x)的值域B应满足（2a,+∞）⊆B,对a进行分类讨论,得出a的范围.【解答】解:当x∈(０,1)时，f(x)=ax+为减函数,由f（1）=2a得:f（x）的值域为（2a,＋∞),若若对∀x1∈(0，1),存在x2∈（1,+∞），使得方程ｆ(ｘ1）=g(ｘ2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a,+∞）⊆Ｂ,令ｇ′（x）=eｘ﹣3ａ＝０，则e x=3a,即x=ln３ａ,若ln3a≤1，即3a≤e，此时g(x)>g（１）=e﹣3ａ，此时由e﹣3a≤2ａ得：≤a≤，若ln3ａ＞1，即3a>e，g（x)=（１,ｌn3ａ）上为减函数,在(lｎ3a，＋∞）上为增函数,此时当x＝ln3a时,函数取最小值３ａ(1﹣ln3a)＜0<2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[,+∞)故答案为：[,＋∞)．【点评】本题考查了全称命题,对数函数的图象和性质,利用导数研究函数的最值,难度中档.15．已知直线aｘ＋by+ｃ=０始终平分圆Ｃ：x2+y2﹣2ｘ+4ｙ﹣4=0(C为圆心)的周长,设直线ｌ:（２ａ﹣b）x+(2b﹣c）ｙ+(2ｃ﹣a）=０，过点P（6，9）作ｌ的垂线，垂足为H，则线段ＣH长度的取值范围是[] ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】确定直线过定点Ｍ（4，﹣5），由题意，Ｈ在以ＰM为直径的圆上,圆心为Ａ(５,2)，方程为（x﹣５)2+（y﹣2)2=50,即可求出线段CH长度的取值范围．【解答】解：由题意，圆心C(１,﹣2)在直线aｘ+ｂｙ＋ｃ＝０上,可得a﹣2b+c=０，即c=2b﹣ａ．直线l:(2a﹣ｂ)x＋(2b﹣c）y+(2c﹣a）＝０,即a(２x+ｙ﹣3）+b(4﹣ｘ）=0，由，可得x=4，y=﹣５,即直线过定点M(４，﹣5)，由题意，H在以ＰM为直径的圆上,圆心为A(5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣２)2=50，∵|ＣA|＝４∴CH最小为５＝，CＨ最大为4，∴线段CＨ长度的取值范围是[].故答案为[]．【点评】本题考查直线过定点,考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程.１6．（14分）（20１6秋•无锡期末)设直线l1:ｍx﹣２ｍy﹣６=０与l2：(3﹣ｍ）x+my+m2﹣3ｍ＝0．(1)若l1∥l2，求l1,ｌ2之间的距离;（2)若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l２的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条平行直线间的距离．【分析】(1)若ｌ1∥l2,求出ｍ的值,即可求l1，l２之间的距离；（２)表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积,配方法求出最大，即可求直线l2的方程.【解答】解:（1)若l1∥l2,则，∴m=６,∴l1:ｘ﹣2ｙ﹣1=0，l2：x﹣2ｙ﹣６=０∴ｌ1，l2之间的距离ｄ＝＝;（2)由题意,，∴0<m＜3,直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=ｍ(3﹣m）=+,∴m=时，S最大为,此时直线l2的方程为２ｘ+２ｙ﹣3=0．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.１7．（14分）(20１6秋•无锡期末)如图，在四棱锥Ｐ﹣AＢCD中，ＡBＣD是梯形，AＤ∥BC,∠ABC=90°,平面ＰＡB⊥平面ABCD,PB⊥AB且AD=AB＝BP=BＣ. (1）求证:CD⊥平面PBＤ；(２）已知点Ｑ在PC上，若AC与BＤ交于点O，且ＡP∥平面ＢDQ，求证:OQ∥平面APD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】(1)证明CＤ⊥PＢ,CD⊥BD，即可证明CＤ⊥平面ＰＢＤ;(2）证明ＡP∥OQ,即可证明ＯQ∥平面APD.（1)∵平面PＡB⊥平面ABCＤ,ＰＢ⊥AＢ，平面PＡＢ∩平面ABCD=【解答】证明：ＡB，∴ＰB⊥平面ABCＤ，∵CD⊂平面ＡＢＣD,∴ＣＤ⊥ＰB，∵AD=AB=BC，∠ＢAD=９0°,∴BD=AD,BC=2ＡD，∠ＤBC＝45°,∴∠BDＣ=９0°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD＝B,∴ＣD⊥平面PＢD;（2)∵ＡＰ∥平面BDQ，∴AP∥OQ,∵ＯＱ⊄平面AＰD，ＡP⊂平面APＤ,∴OQ∥平面APD．【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．(１4分)（2016秋•无锡期末）已知直线l：y＝2x＋n,ｎ∈R,圆Ｍ的圆心在ｙ轴,且过点（1,1）．（１)当ｎ＝﹣2时,若圆M与直线l相切,求该圆的方程；（2）设直线l关于ｙ轴对称的直线为ｌ′,试问直线l′与抛物线N:x2＝6y是否相切?如果相切，求出切点坐标；如果不想切,请说明理由.【考点】直线和圆的方程的应用.【分析】(1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程.（２）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组,利用相切求解即可.【解答】解:(１）设M的方程为x2＋（y﹣b）2=r2,（1,1)代入，可得１+（1﹣ｂ）2＝r２，①∵直线l与圆M相切,∴=r，②由①②可得ｂ=3或，∴M的方程为ｘ２+(ｙ﹣3)2＝5,或x2+（ｙ﹣)2＝,（2）因为直线l的方程为ｙ=2x＋n所以直线ｌ′的方程为ｙ=﹣２x+n.与抛物线联立得x2＋12x﹣6n＝０.△=1４4+２４n①当n=﹣６，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；,切点坐标为(﹣6,6)②当ｎ≠﹣6,即△≠０时,直线ｌ′与抛物线C不相切．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．(16分)(2０１６秋•无锡期末）（文科）已知m∈Ｒ,集合A＝{ｍ|m2﹣ａm<12a ２（a≠0）}；集合B＝{m|方程+=1表示焦点在ｙ轴上的椭圆},若“m∈Ａ”是“ｍ∈B”的充分不必要条件，求ａ的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】通过讨论ａ的范围,分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组,解出即可.【解答】解：对于集合A,由m2﹣am<12a2，故(ｍ﹣4a)(m+3a)<0,对于集合Ｂ,解，解得:﹣4<ｍ＜2；①a＞0时,集合A：﹣3a<ｍ<４a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,则，解得：0＜a<；②a<0时,集合Ａ:a＜m＜﹣3ａ,若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,则，解得:﹣＜a<0,综上：a∈(﹣,0)∪（0，）.【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的运算以及不等式问题,是一道中档题．20．（2０16秋•无锡期末)（理科）如图，在正方体ＡBＣD﹣A1Ｂ1C１D1,O是A Ｃ的中点，E是线段D1Ｏ上一点，且=λ．(1)若λ=，求异面直线DE与ＣD1所成角的余弦值;（2）若二面角Ｄ1﹣CE﹣Ｄ为π,求λ的值.【考点】二面角的平面角及求法.【分析】(1)设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x,ｙ,z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD1所成角的余弦值.（２)求出平面CＤ1E的法向量和平面ＣＤE的法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：(1）设正方体的棱长为1，分别以DA、ＤC、DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,)，则A(1，0,0)，Ｏ(，0）,C（０，1,0)，D１(0,0,１Ｄ(０,0,0）,设Ｅ（x0，y0,z０),∵=,∴=，∴(x，y0，ｚ0﹣1)=（,，﹣x0)，０解得x0＝，ｙ0=，ｚ0＝，Ｅ(，,），∴＝(,，），CＤ1=(0，﹣１，1)，∴cos<,>＝＝,所成角的余弦值为．∴异面直线DＥ与ＣD１（２）设平面CD1E的法向量为=(x，y，z），=(，0),=（0，﹣1,1),=(0，１,0）,则,取z＝１，得=(１,1，1),由=λ,得E(，,)，＝(,,)，设平面ＣDE的法向量＝(ｘ，y，ｚ)，则，取x=﹣2，得＝（﹣2，０，λ),∵二面角D1﹣CE﹣Ｄ为π，∴|cｏs|＝=,∵λ＜2，解得λ=８﹣２.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查实数值的求法，是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.２1．（１6分）(２016秋•无锡期末）已知函数ｆ（x)＝lnｘ＋﹣2,a∈Ｒ. (1）若曲线y=ｆ（ｘ)在点（1，f（１））处的切线方程为2ｘ＋y﹣3=０,求a的值;(2)求函数ｙ=f（x）的单调区间；(3)若曲线y=f(x）都在直线（a+1)x+y﹣２(a﹣1)＝０的上方，求正实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1)求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；(２）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可;（3）令g（ｘ)=ｆ(ｘ)﹣[﹣(a+1)x＋2（a﹣１）],求出函数的导数,得到函数g（x)的单调区间,从而求出ｇ(x）的最小值，求出a的范围即可.【解答】解:(1)函数的定义域是（0,＋∞),f′（x）=﹣,ｆ′(1)=1﹣a,f(1）=a﹣2,故曲线y=f（x）在（1，f（１))处的曲线方程是:ｙ﹣(a﹣2）=(１﹣ａ)（x﹣1),即(a﹣1）x+y﹣2ａ+３＝0,又曲线y=f(x）在（1,f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0,故a＝3;（2）由于f′（x）＝，①若a≤0,对于ｘ∈(0，+∞)，f′（x）>０恒成立，即f（ｘ）在(0,+∞）递增,故函数的递增区间是（0,+∞）；②若a>0，当x∈（0，ａ)时,f′(ｘ）<０,f(x)递减,ｘ∈（a,+∞）时，f′(x）>0，ｆ（x）递增，故f（ｘ）在（0，a)递减，在（a，+∞)递增；(3)a＞0时,直线即y＝﹣（a＋1）ｘ+2(ａ﹣1）,令g（ｘ)=f（ｘ)﹣[﹣(a＋１)x+2(a﹣1)］=lnx++（a+１）ｘ﹣2ａ，g′(x)＝，∵a>0,x>0,∴a＋1＞0,x＋1>0，且∈(0,1),当0<ｘ<时，ｇ′(x)<0,ｇ(x）在（0，）递减,x＞时，g′(x）>０,g（x)在(，＋∞）递增,故x=时,g（x）取得最小值ln+a＋１+a﹣２ａ=1+ln，∵曲线y=f（ｘ）都在直线（a+1)x＋y﹣2（a﹣１)=０的上方,故g（x)≥0,＝1＋ln＞0，＞，a＞,故ｇ（x)ｍiｎ故a的范围是（,＋∞）.【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题.22．(16分)(2016秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系xＯy中,已知椭圆C:+＝１(a>0,ｂ＞0)的离心率为，过C的左焦点Ｆ1,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.（1）求椭圆Ｃ的方程;（2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，Ｂ,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是点C上异于A,Ｂ的任意一点，直线ＡP交直线ｌ于点Q.①设直线OQ，BＰ的斜率分别为k1，k2,求证：ｋ1•k2为定值;②当点Ｐ运动时,试判断点Ｑ与以BP为直径的圆的位置关系?并证明你的结论.【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率e，可得a2=４b2，由过点F垂直于ｘ轴的直线被椭圆所截得弦长为1,可得＝1,解出即可得出．（２）①由椭圆方程求出两个顶点A的坐标，设出P点坐标，写出斜率k1,k２，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论;②以BP为直径的圆的方程为(ｘ﹣2）(ｘ﹣ｘ0）+ｙ(ｙ﹣ｙ０)=0,把点Q代入得到方程左边大于0,即可判断Ｑ与以ＢP为直径的圆外.【解答】解(1)：由离心率ｅ===,可得a２=4b2，∵过点F 垂直于ｘ轴的直线被椭圆所截得弦长为１，∴=1，解得ｂ=1，a＝2,∴椭圆C方程为+y2=１．(2)①证明:令Ｐ(x0,ｙ0），点Ａ(﹣2，0）则直线PA的方程为y=(x+2)，令ｘ=2，得ｙ=,则Q点的坐标为(2,)∴k１=，k２＝.∴ｋ１•k2=，∵P（ｘ０，y０)满足＋y２=１，则∴k１•ｋ2＝﹣，②以BＰ为直径的圆的方程为(ｘ﹣2)（ｘ﹣x0）＋y(y﹣y0)＝0，把Q点（2,)代入方程左边，得（﹣y０)＝４=4•=4•．（*),∵x０∈(﹣2，２），∴x0+2>0，∴（＊）＞0,∴Q与以ＢＰ为直径的圆外，【点评】本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．。
(解析版)江苏省无锡市2017-2018学年高二下学期期末数学(理)试题
无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。
详解：，所以。
点睛：复数的除法运算公式。
2. 设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．【答案】【解析】分析：离散型随机变量的概率之和为 1详解：解得：。
点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。
3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．【答案】【解析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，，代入直线的方程详解：设直线上的点为直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。
点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
4. 直线与圆相交的弦长为__________．【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为故答案为．将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．考点：简单曲线的极坐标方程．5. 若，，则，的大小关系是__________．【答案】【解析】分析：作差法，用，判断其符号。
详解：，所以，。
点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键6. 求值：__________．【答案】1【解析】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。
详解：通项展开式中的，故=点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。
7. 有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。
2017-2018年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷及参考答案
2017-2018学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．（5分）已知集合A={1，3}，B={1，2，m}，若A∪B=B，则实数m=．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=．3．（5分）某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为．4．（5分）已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：2x+y﹣1=0，l2：ax﹣by+3=0，则直线l1⊥l2的概率为．5．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为．6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．7．（5分）已知变量x，y满足，目标函数z=3x+y的最小值为5，则c的值为．8．（5分）函数y=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ=．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3…a n的最大值为．10．（5分）过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为．11．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为．12．（5分）在平行四边形ABCD中，，M为DC的中点，N为平面ABCD内一点，若，则=．13．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2﹣2x﹣2．若存在a∈R，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是．14．（5分）若函数f（x）=（x+1）2|x﹣a|在区间[﹣1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求证：AC∥平面BEF．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C=2A．（1）求cosB的值；（2）若ac=24，求△ABC的周长．17．（15分）如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，，AB⊥BD，是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路．该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB=θ．（1）证明：观光专线的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由．18．（15分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为左，右焦点，A，B分别为左，右顶点，原点O到直线BD的距离为．设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C．（1）求椭圆E的方程；（2）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；（3）求过点B，C，P的圆方程（结果用t表示）．19．（15分）已知数列{a n}满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项的和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（3）是否存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．20．（15分）已知函数f（x）=e x（3x﹣2），g（x）=a（x﹣2），其中a，x∈R （1）求过点（2，0）和函数y=f（x）图象相切的直线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．附加题：[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵，若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为，属于特征值λ2的一个特征向量为．求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围．23．某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．24．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA=AB=2BC=2．（1）求二面角P﹣CD﹣AB的正弦值；（2）试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD．2017-2018学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1．（5分）已知集合A={1，3}，B={1，2，m}，若A∪B=B，则实数m=3．【解答】解：A∪B=B，∴A⊆B，∴m=3．故答案为：3．2．（5分）若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=6．【解答】解：由题意知，==，∵是纯虚数，∴a=6，故答案为：6．3．（5分）某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为47．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，∵高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，∴高二年级学生人数为2800﹣900﹣960=940则应抽取高二年级学生人数是940×=47人，故答案为：47．4．（5分）已知a，b∈{1，2，3，4，5，6}，直线l1：2x+y﹣1=0，l2：ax﹣by+3=0，则直线l1⊥l2的概率为．【解答】解：设事件A为“直线l1⊥l2”，∵a，b∈{1，2，3，4，5，6}的总事件数为（1，1），（1，2）…，（1，6），（2，1），（2，2），…，（2，6），…，（5，6），…，（6，6）共36种，而线l1：2x+y﹣1=0，l2：ax﹣by+3=0，l1⊥l2⇔2a﹣b=0，∴a=1时，b=2；a=2时，b=4；a=3时，b=6；共3种情形．∴P（A）==．∴直线l1⊥l2的概率为：．故答案为5．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为21．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i≤3时推出循环．此时S=3+6+12=21，故输出的S值为21．故答案为：21．6．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为50π．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AB⊥BC，AB=3，BC=4，AA1=5，故棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球等同于长，宽，高分别为3，4，5的长方体的外接球，故该球的半径R满足：4R2=32+42+52=50，故该球的表面积S=4πR2=50π故答案为：50π7．（5分）已知变量x，y满足，目标函数z=3x+y的最小值为5，则c 的值为5．【解答】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=x﹣c与直线x=2的交点A使目标函数z=3x+y取得最小值，故，解得A（2，﹣1），代入y=2x﹣c得c=5．故答案为：5．8．（5分）函数y=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则φ=．【解答】解：把函数y=cos（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，得到y=cos（2x﹣π+φ）的图象，与函数的图象重合，则cos（2x﹣π+φ）=sin（2x﹣），即sin（2x ﹣+φ）=sin（2x﹣），∴﹣+φ=﹣，则φ=，故答案为：．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1a2a3…a n 的最大值为1024．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a2a5=2a3，且a4，，2a7成等差数列，∴，解得，∴，∴a1a2a3…a n=24+3+2+1+…+（5﹣n）=，∴当n=4或n=5时，a1a2a3…a n取最大值，且最大值为210=1024．故答案为：1024．10．（5分）过圆x2+y2=16内一点P（﹣2，3）作两条相互垂直的弦AB和CD，且AB=CD，则四边形ACBD的面积为19．【解答】解：根据题意画出相应的图形，连接OP，OA，过O作OE⊥AB，OF⊥CD，∴E为AB的中点，F为CD的中点，又AB⊥CD，AB=CD，∴四边形EPOF为正方形，由圆的方程得到圆心O（0，0），半径r=4，又P（﹣2，3），∴|OP|=，∴OE==，又OA=r=4，∴根据勾股定理得：AE==，∴AB=CD=2AE=，则S=AB•CD=19．四边形ACBD故答案为：19．11．（5分）已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为8．【解答】解：由椭圆，可得焦点F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为，∴双曲线的离心率e=2=，解得a=1．设|PF2|=t．∴==t++4≥2+4=8，当且仅当t=|PF2|=2时取等号．∴的最小值为8．故答案为：8．12．（5分）在平行四边形ABCD中，，M为DC的中点，N 为平面ABCD内一点，若，则=6．【解答】解：由若，则可得||=||，取AM的中点为O，连接ON，则ON⊥AM，又=+，所以•==（+）2=（2+2+•）=（4+×16+2×4×）=6，故答案为：6．13．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=﹣x2﹣2x﹣2．若存在a∈R，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是（﹣2，0）．【解答】解：函数f（x）=，当x≤时，f（x）==1+﹣=﹣（﹣1）2+2＜﹣1+2=1；当x＞时，＞，∴f（x）=＜2；∴f（x）∈（﹣∞，2），若存在a∈R使得f（a）+g（b）=0，则g（b）=﹣f（a），∴g（b）=﹣b2﹣2b﹣2＞﹣2，即b2+2b＜0，解得﹣2＜b＜0．故答案为：（﹣2，0）14．（5分）若函数f（x）=（x+1）2|x﹣a|在区间[﹣1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是．【解答】解：由题意得：f（x）=，①当x≥a时，f′（x）=3（x+1）（x﹣），故要使f（x）在[﹣1，2]递增，只需f′（x）≥0，故≤﹣1，解得：a≤﹣1；②当x＜a时，f′（x）=3（x+1）（﹣x），要使f（x）在[﹣1，2]递增，只需f′（x）≥0，∴≥2，解得：a≥，综上，a∈，故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（15分）如图，ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求证：AC∥平面BEF．【解答】解：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D所以AC⊥平面BDE．（2）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连结FG，OG，所以，且．因为AF∥DE，DE=2AF，所以AF∥OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，FG∥AO．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C=2A．（1）求cosB的值；（2）若ac=24，求△ABC的周长．【解答】解：（1）因为，C=2A，所以cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．在△ABC中，因为，所以，因为，所以，所以．（2）根据正弦定理，所以，又ac=24，所以a=4，c=6．由于b2=a2+c2﹣2accosB=25，所以解得：b=5．所以△ABC的周长为15．17．（15分）如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，，AB⊥BD，是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路．该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线，其中P为上异于B，C的一点，PQ与AB平行，设∠PAB=θ．（1）证明：观光专线的总长度随θ的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍．当θ取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由．【解答】解：（1）证明：由题意，，所以，又PQ=AB﹣APcosθ=1﹣cosθ，所以观光专线的总长度=，，因为当时，f'（θ）=﹣1+sinθ＜0，所以f（θ）在上单调递减，即观光专线的总长度随θ的增大而减小．（2）设翻新道路的单位成本为a（a＞0），则总成本=，，g'（θ）=a（﹣1+2sinθ），令g'（θ）=0，得，因为，所以，当时，g'（θ）＜0，当时，g'（θ）＞0．所以，当时，g（θ）最小．答：当时，观光专线的修建总成本最低．18．（15分）已知椭圆的离心率为，F1，F2分别为左，右焦点，A，B分别为左，右顶点，原点O到直线BD的距离为．设点P在第一象限，且PB⊥x轴，连接PA交椭圆于点C．（1）求椭圆E的方程；（2）若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；（3）求过点B，C，P的圆方程（结果用t表示）．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以a2=2c2，b=c，所以直线DB的方程为，又O到直线BD的距离为，所以，所以b=1，，所以椭圆E的方程为．（2）设，t＞0，直线PA的方程为，由，整理得，解得：，则点C的坐标是，因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，，，则，解得．所以直线PA的方程为．（3）因为，，，所以BP的垂直平分线，BC的垂直平分线为，所以过B，C，P三点的圆的圆心为，则过B，C，P三点的圆方程为=，即所求圆方程为．19．（15分）已知数列{a n}满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，n∈N*，S n是数列{a n}的前n项的和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，求正整数p，q的值；（3）是否存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）数列{a n}满足（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，①可得1﹣=，可得a1=2，当n≥2时，（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=，②由①②可得（1﹣）=，即有a n﹣a n=1，﹣1可得a n=2+n﹣1=n+1，n∈N*；（2）S n=，a p，30，S q成等差数列，a p，18，S q成等比数列，可得a p+S q=60，a p•S q=182=324，即有p+1+=60，（p+1）•=324，解得p=5，q=9；（3）假设存在k∈N*，使得为数列{a n}中的项，即有，可令=n+1，即有（k+1）（k+2）=（n﹣3）（n+5），由（k+1）（k+2）为偶数，可得n为大于3的奇数，即有n=5，k=3；n=15，k=14．则存在正整数k=3，14，使得为数列{a n}中的项．20．（15分）已知函数f（x）=e x（3x﹣2），g（x）=a（x﹣2），其中a，x∈R （1）求过点（2，0）和函数y=f（x）图象相切的直线方程；（2）若对任意x∈R，有f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围；（3）若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范围．【解答】解：（1）∵点（2，0）不在f（x）=e x（3x﹣2），设切点为为（x0，y0），∴k=f′（x0）=（3x0+1）=，∵y0=（3x0﹣2），∴（3x0+1）=（3x0﹣2）•∴3x0﹣2=（3x0+1）（x0﹣2），即3x02﹣8x0=0，解得x0=0，或x0=，∴k=1或k=9，∴切线方程为y=x﹣2，或y=9（x﹣2）（2）由（1）可得f′（x）=e x（3x+1），令f′（x）=0，解得x=﹣，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）≥f（﹣）=﹣3，∵g（x）=a（x﹣2）恒过点（2，0），设直线g（x）与f（x）相切于点（x0，y0），∴a=f′（x0）=（3x0+1），∴（3x0﹣2）=a（x0﹣2）=（3x0+1）（x0﹣2），∴3x0﹣2=（3x0+1）（x0﹣2），即3x02﹣8x0=0，解得x0=0，或x0=，∴a=1或a=9，结合图象可得，a的范围为[1，9]；（3）函数f（x）=e x（3x﹣2），g（x）=a（x﹣2），由题意知存在唯一的整数x0使得f（x0）在直线y=a（x﹣2）的下方，由（2）可得f（x）min=f（﹣）=﹣3，当x=0时，f（0）=﹣2，当x=1时，f（1）=e＞0，直线y=g（x）=a（x﹣2）恒过定点（2，0）且斜率为a，故﹣a＞f（0）=﹣1且f（﹣1）=﹣5e﹣1≥﹣3a，解得≤a＜1故a的范围为[，1）附加题：[选修4-2：矩阵与变换]21．已知矩阵，若矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为，属于特征值λ2的一个特征向量为．求矩阵A．【解答】解：由矩阵A属于特征值λ1的一个特征向量为，可得：，即，∴a﹣2b=10，由矩阵A属于特征值λ2的一个特征向量为，可得，即，∴2a﹣3b=9，解得．∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ，且直线l与圆C相交，求实数m的取值范围．【解答】解：由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，所以x2+y2=4y，即圆C的方程为x2+（y﹣2）2=4，又由，消t，得，由直线l与圆C相交，所以，即﹣2＜m＜6．23．某公司有A，B，C，D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为0，B，C两辆车的车牌尾号为6，D车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A，D两辆汽车每天出车的概率为，B，C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设ξ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件A，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车．∴．答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为．（2）由题意，ξ的可能值为0，1，2，3，4，；；；；．．答：ξ的数学期望为．24．在四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，E是线段AB的中点，PE⊥底面ABCD，已知DA=AB=2BC=2．（1）求二面角P﹣CD﹣AB的正弦值；（2）试在平面PCD上找一点M，使得EM⊥平面PCD．【解答】（1）解：因为PE⊥底面ABCD，过E作ES∥BC，则ES⊥AB，以E为坐标原点，EB方向为x轴的正半轴，ES方向为y轴的正半轴，EP方向为z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则E（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），A（﹣1，0，0），D（﹣1，2，0），，，设平面PCD的法向量为，则，，解得，又平面ABCD的法向量为，所以，所以．（2）证明：设M点的坐标为（x1，y1，z1），因为EM⊥平面PCD，所以，即，也即y 1=2x1，，又，，，所以=，所以得x 1=λ﹣μ，y1=λ+2μ=2x1=2（λ﹣μ），即λ=9μ，，，所以，所以M点的坐标为．。
江苏省无锡市2017--2018学年高二数学下学期期末试卷文课件
2016-2017学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）一.填空题（每题5分）1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∪B= ．2．已知幂函数y=f（x）的图象过点，则= ．3．已知复数z=（其中i为虚数单位），若z为纯虚数，则实数a= ．4．若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线y=﹣x（x≤0），则sinα= ．5．用反证法证明结论“实数a，b，c至少有两个大于1．”需要假设“实数a，b，c至多有”．6．已知tanα=2，则= ．7．已知平面向量，，满足=（m，2），=（3，﹣1），且（﹣）⊥，则实数m= ．8．函数f（x）=+定义域为．9．若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，再把所得图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到函数图象C2．若图象C1与C2重合，则φ的最小值为．10．在等差数列{a n}中，若mp+np=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则ma p+na q=ma k+na t；类比以上结论，在等比数列{b n}中，若mp+nq=mk+nt（m，n，p，q，k，t∈N*），则．11．已知α，β∈（﹣，），tanα，tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根，则α+β= ．12．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M为AD的中点，若?=4，则?= ．13．在△ABC中，已知sinA+sinBcosC=0，则tanA的最大值为．14．若函数f（x）=对任意实数b均恰好有两个零点，则实数a的取值范围是．二.解答题15．已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）．（1）求函数y=f（x）的最大值，并指出此时x的值；（2）若α∈（﹣，）且f（α）=1，求f（2α）的值．16．已知复数z满足|z|=，z2的虚部为﹣2，且z所对应的点在第二象限．（1）求复数z；（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积．17．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，?=4，D为△ABC所在平面内一点，且满足=+2．（1）求||；（2）cos∠BDC．18．某创业投资公司拟投资某种新能源产品，研发小组经过初步论证，估计能获得10万元到100万元的投资效益，现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元，设奖励y 是投资收益x的模型为y=f（x）．（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=，试确定最小的正整数a的值．19．已知函数f（x）=log a（）（0＜a＜1，b＞0）为奇函数，当x∈（﹣1，a]时，函数y=f（x）的值域是（﹣∞，1]．（1）确定b的值；（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增，并求a的值；（3）若对于任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求k的取值范围．20．已知函数y=f（x），若存在零点x0，则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）．例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3，﹣1是它的一个零点，则f（x）=（x+1）g（x）（这里g （x）=x2﹣3x+3）．若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2．。
江苏省无锡市2017-2018学年高二下期期末数学(理)试题(解析版)
无锡市普通高中2018年春学期期终教学质量抽测建议卷高二数学（理）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应．．．．．的位置上.）1. 已知复数，其中是虚数单位，则的模是__________．【答案】【解析】分析：分子分母同时乘以，化简整理，得出，再得模。
详解：，所以。
点睛：复数的除法运算公式。
2. 设离散型随机变量的概率分布如下：则的值为__________．【答案】【解析】分析：离散型随机变量的概率之和为1详解：解得：。
点睛：离散型随机变量的概率之和为1，是分布列的性质。
3. 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线：，则直线的方程为__________．【答案】【解析】分析：用相关点法求解，设直线上的点为直线上的点为，所以，，代入直线的方程详解：设直线上的点为直线上的点为，直线在矩阵对应的变换作用下所以：，代入直线的方程整理可得直线的方程为。
点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换。
4. 直线与圆相交的弦长为__________．【答案】【解析】试题分析：将直线化为普通方程为：，∵，∴，化为普通方程为：，即，联立得，解得，∴直线与圆相交的弦长为故答案为．将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法．考点：简单曲线的极坐标方程．视频5. 若，，则，的大小关系是__________．【答案】【解析】分析：作差法，用，判断其符号。
详解：，所以，。
点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键6. 求值：__________．【答案】1【解析】分析：观察通项展开式中的中的次数与中的一致。
详解：通项展开式中的，故=点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的中的次数与中的一致，有负号时注意在上还是在上。
7. 有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由人承担，乙、丙各需由人承担，从人中选派人承担这三项任务，不同的选法共有__________种．（用数字作答）【答案】60【解析】分析：先从5人中选4人（组合），再给4个人分派3项任务，甲需2人，乙、丙各需由人。
2018年1月江苏省无锡市2017～2018学年高三上学期期末数学试题及参考答案
江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试题2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900,用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AB ⊥BC,AB=3,BC=4,AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C:22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |−|=|AM −|,则·=___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF.(1)求证:AC ⊥平面BDE (2)求证:AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD,是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22a x +22by =1(a>0,b>0)的离心率为22,F 1,F 2分别为左,右焦点,A,B 分别为左,右顶点,原点O 到直线BD 的距离为36,设点P 在第一象限,且PB ⊥x 轴,连接PA 交椭圆于点C.(1)求椭圆E 的方程(2)若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积,求直线PA 的方程; (3)求过点B,C,P 的圆方程(结果用t 表示)19.已知数列{a n |满足(1−11a )(1−21a )…-(1−n a 1)=na 1,n ∈N*,S n 是数列{a n }的前n 项的和 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若p a ,30,S q 成等差数列,p a ,18, S q 成等比数列,求正整数P,q 的值;(3)是否存在k ∈N*,使得161++k k a a 为数列{a n }中的项?若存在,求出所有满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=xe (3x −2),g(x)=a(x −2),其中a,x ∈R (1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x ∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a 的取值范围 (3)若存在唯一的整数0x ,使得f(0x )<g(0x ),求a 的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试题数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。
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件（填“充分不必要” ， “必要不充分” ， “充要” ， “既不 充分又不必要”之一） ．
第3题
6．若一个正六棱柱的底面边长为 a ，侧面对角线的长为 2a ，则它的体积为 7．函数 f ( x) x 2cos x(0
2 2
．
x
2 ) 的单调递减区间为
．
x y 点 M(1， 3 )在其渐近线上， 则 C 的方程为 ． 2 1 的焦距为 8， 2 a b 9． 如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是 5:3， 那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值 为 ．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需要写出解答过程，请将答案 填写在答题卡相应的位置上 ． ） ．．．．．．．．． 1．直线 x 3 y c 0 的倾斜角的大小为 2． （文）命题“对任意的 x R，x3 x 2 1 ．
0 ”的否定是
． ．
C1 B1
焦点．现从椭圆 13． 设 k R ， 过定点 A 的动直线 kx y 0 和过定点 B 的动直线 x ky 2k 0 交于点 M( x ，
y )( x 0) ，若 MB＝2MA，则点 M 的坐标为
．
14．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f ( x) ln x( x 0) 图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 x 轴于点 E，过点 P 作 l 的垂线交 x 轴于点 E，设线段 EF 的中点 T 的横 坐标为 t ，则 t 的最大值是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题纸指定区域 内作答，解答应写出文字 ．．．．．．． 说明，证明过程或演算步骤． ） 15． （本题满分 14 分） 设直线 l1 ： 2 x y 1 0 ， l2 ： x y 2 0 ， l3 ： 3x my 6 0 ． （1）若直线 l1 ， l2 ， l3 交于同一点，求 m 的值； （2）设直线 l 过点 M(2，0)，若 l 被直线 l1 ， l2 截得的线段恰好被点 M 平分，求直线 l 的方程． 16． （本题满分 14 分） 如图，在四面体 PABC 中，已知 PA⊥平面 ABC，PA＝AC，∠ACB＝90°，D 为 PC 的 中点． （1）求证：AD⊥BD； （2）若 M 为 PB 的中点，点 N 在直线 AB 上，且 AN：NB＝1：2，求证：直线 AD//平 面 CMN．
AF 1 ．
（1）求二面角 B DE C 的大小； （2）求点 F 到平面 BDE 的距离．
F E A
D
B
C
18． （本题满分 16 分） 已知圆 C 的圆心为 C(t ，
t2 ) (t R ， t 0) ，过定点 A(0 ， a ) (a 0) ，且与 x 轴交于 2a
点 B，D． （1）求证：弦长 BD 为定值； （2） 设a
（理）设 a ＝(1，3，﹣2)， b ＝(2，m＋1，n﹣1)，且 a // b ，则实数 m n 3．如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 a，则异 面直线 BC1 与 AC 所成的角为 ． ．
D A B A1 D1
4．以 x 1 为准线的抛物线的标准方程是
5．已知命题 p ：多面体 ABCD 为正三棱锥，命题 q ：多面 体 ABCD 为正四面体，则命题 p 是命题 q 的 条
江苏省无锡市 2017~2018 学年第一学期期末试卷
高二数学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
2018．1
1. 本卷共 4 页，包含填空题（第 1 题 第 14 题） 、解答题（第 15 题 第 20 题） ．本卷满分 160 分， 考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位 置． 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米 黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 4. 如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
8． 若双曲线 C： 10．已知点 P 在抛物线 y 8 x 上运动，F 为抛物线的焦点，点 A 的坐标为(5，2)，则 PA＋ PF 的最小值是 ．
1
2
11． 椭圆具有如下的光学性质： 从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个
Hale Waihona Puke x2 y 2 + 1 的左焦点 F 发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回 9 5 到点 F，则光线所经过的总路程为 ． 12．已知 ， ， 是三个互不重合的平面， l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若 ， l ，则 l ∥ ； ② 若 l ， l ，则 ∥ ； ③ 若 ， ∥ ，则 ； ④ 若 m ， n ， m ∥ ， n ∥ ，则 // ． 其中所有 正确命题的序号是 ． ．．
2 1 5， ， t 为整数， 若点 C 到直线 2 x y 6 0 的距离为 求圆 C 的方程． 5 2
3
19． （本题满分 16 分）
3 2 已知函数 f ( x) ax (a 2) x (a 为实数)．
P
D
M A N B
2
C
17． （本题满分 14 分） （文科班选做此题）已知 m R ，命题 p ：{ m |方程
y2 8m
x2 2m 1
1 表示焦点在 y 轴
上的椭圆 } ，命题 q ： { m | 方程 “
y2 m 1
x2 m2
1 表示双曲线 } ，若命题“
”为真，
”为假，求实数 m 的取值范围． （理科班选做此题） 如图， 已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在平面互相垂直， AB 2 ，