2008年01月微积分初步试题及答案
2008级微积分上(A)试题及其参考答案
2008级微积分（上）A理工课程试题及其参考答案1．求下列极限（每小题5分，共20分）
1．
其中，
二．求解下列各题（每小题5分，共20分）.
1．设，其中为连续函数，求
解：.
2．设函数由方程确定，其中具有一阶连续导数，求
解：方程两边同时关于求导，得：
(1)
所以， (2)
故
3．设求
解：两边取对数，得：
上式两边同时关于求导，得：
所以
4．求方程的通解.
解：特征方程为，特征根为，故通解为
三．求下列积分（每小题6分，共30分）
另解：令则
原式
3.
其中
；
所以，
4.设求
解：因为
故
5
四．求解下列各题（共10分）
讨论方程的根的个数.
解：令
令得唯一驻点
因为当时，而当时，
因此为函数的最大值.
又
综合以上信息可以画出函数之草图.
从图易见方程恰有两根.
五．设有连续导数，且（1），求（共10分）
解：由（1）式显然得
(2)
(2)式两边关于求导，得
即
即，
也就是（3）
此为一阶线性微分方程，故其通解为
（4）
将代入（4）式，得，所以.
六.求曲线与与轴及直线所围图形分别绕轴、轴旋转一周所生成的立体的体积.（10分）
解：（一）
（二）。
2008级微积分III考试试题
2008 ~2009学年二学期微积分III课程一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1．设曲线为圆周，则 ．2．设为顺时针方向圆周，则＝ ．3．是平面在第一卦限的部分的上侧，把第二类曲面积分化成第一类曲面积分的表达式＝ ．4．设具有二阶连续偏导，则 ．5．向量的散度＝．二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中），本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1．设为，，则（）（A）4 （B）12 （C）6 （D）122．设为圆周,为所围的平面区域,则下列等式不成立的是 ( )（A）（B）（C）若的方向为逆时针方向，则（D）3．设为球面（），则的值为（）．(A) ； (B) ； (C) ； (D) ．4．设曲面为上半球面（），曲面为曲面在第一卦限中的部分，则下面正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）5．曲面积分数值上等于（）.（A）面密度的曲面的质量（B）均匀曲面关于轴的转动惯量（C）流体以速度穿过曲面的流量（D）流体以速度穿过曲面的流量三、（10分）计算曲线积分，其中：由沿螺线，到点的一段.四、（10分）计算曲线积分：，其中：由沿螺线，到点的一段.五、(10分) 计算曲线积分：，其中为，取逆时针方向.六、（10分）计算曲面积分：，这里Σ是平面位于第一卦限的那一部分。
七、（10分）计算曲面积分：，这里Σ是由曲面和平面所围那部分立体的外表面。
八、（10分）证明：，在整个面内除的负半轴及原点外的开区域内是某个二元函数的全微分，并求出这样一个二元函数.参考答案一、1．；2．；3．；4．；5．。
二、1．D；2．B；3．A；4．B；5．C。
三、（10分）解：四、（10分）解：这里，有且为连续函数，∴积分与路径无关，从而取路径为：从到，有五、（10分）解：作辅助线，含在内。
且的方向取顺时针方向，记和所围区域为，则有：六、（10分）七、（10分）八、证明：这里，则在整个面内附加负半轴及原点外的开区域内连续，从而为某一个二元函数的全微分。
2008级微积分IIB班A卷参考答案
08级《微积分》下B 班A 题参考答案一、填空：（10X2=20分）1、22、4π3、}1|),{(22≤+y x y x 4、-1 5、a a -1 6、2x y - 7、⎰⎰101),(y dx y x f dy 8、π9、 （0，1） 10、212x x C e C e + 二、选择：（5X2=10分）11、D 12、A 13、B 14、B 15、D三、计算：（7X7=49分）16、原式=⎰++1022)1(1121x d x--------------------------------------------------3分 =102|)1ln(21x +-----------------------------------------------------------------------3分 =2ln 21----------------------------------------------------------1分 17、令tdt dx t x t x 2,,2===----------------------------------------------------2分 原式=tdt e t 210⎰------------------------------------------------------------------------------1分 =⎰⎰-=1010102|22dt e te tde t t t --------------------------------------------------------3分=2|2210=-t e e --------------------------------------------------------------------------1分 18、)sin()cos(y x e y x ye xz xy xy +-+=∂∂-----------------------------4分 )sin()cos(y x e y x xe yz xy xy +-+=∂∂-------------------------------------3分 19、022='+'--y y y x y x ------------------------------------------------3分2|0,1='==y x y -----------------------------------------------------------1分2|)22(|0,10,1='+=====y x y x y y x dxdz -----------------------------------------------------3分20、原式=⎰⎰+1022)(x x dy y x dx -------------------------------------------------3分 =⎰-+-10422))(21)((dx x x x x x ------------------------------------------------3分 =14033------------------------------------------------1分 21、ππ221~tan nn ， 当∞→n 时，-------------------3分 133)1(32211lim lim >=+=+∞→+∞→n n u u n n n n n n ππ----------------------3分原级数发散----------------------------------------------------------1分22、齐次方程的通解：Cx y =----------------------------------------2分 非齐次方程的特解：2ln 2)(*+==x x x C y ---------------------------------------3分 非齐次方程的通解2ln 2++=x Cx y --------------------------------------------------1分 由1)1(=y ，得2ln 2++-=x x y ------------------------------------------1分23、应用：（2X8=16分）1、解：如图：（1）1ln 1==⎰e xdx S---------------------------------------------------------------4分 (2)ππ)2(ln 12-==⎰e dx x V e x -----------------------------------------------------4分2、17105.0122.0322222112211--+-=-+=-=P P P P C Q P Q P C R L -----3分 605120,8001.012,04.032212211=⇒==⇒=-=∂∂=-=∂∂L P P P P L P P L ---6分 24、证明：（5分）证：M v n <|| -----------------------------------------2分n n n Mu v u <||--------------------------------------2分所以原级数绝对收敛---------------------------------------------1分When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire, take down this book,And slowly read, and dream of the soft lookYour eyes had once, and of their shadows deep;How many loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur, a little sadly, how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you don't know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you can't see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be together.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using one's indifferent heartTo dig an uncrossable riverFor the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。
2008年数学一试题答案与解析
− 2z + 3z
2
=
= 0, 5,
求
C
上距离
xOy
面最远的点和最近的点。
解 点（x,y,z）到 xOy 面的距离为 z ,故求 C 上距离 xOy 面最远点和最近
点的坐标，等价于求函数 H= z2 在条件 x2 + y2 − 2z2 = 0 与 x + y + 3z = 5 下的最大 值点和最小值点。
∫= π x2 sin 2xdx 0
∫ = −
x2 2
cos 2x
π 0
+
π
x cos 2xdx
0
∫ = − π 2
2
+
x 2
sin 2x
π 0
−
1 2
π
sin 2xdx
0
=−π2 2
解法 2 取 L1 为 x 轴上从点（π ，0）到点（0，0）的一段，D 是由 L 与 L1 围成的区域
∫ sin 2xdx + 2(x2 −1) ydy L
[A] （8）设随机变量 X ~ N (0,1),Y ~ N (1, 4) ，且相关系数 ρXY = 1 ，则
（A） P{Y = −2X −1} = 1
（B） P{Y = 2X −1} = 1
（C） P{Y = −2X +1} = 1
（D） P{Y = 2X +1} = 1
[D] 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。
(A)若{xn}收敛，则{ f (xn )} 收敛
(B)若{xn}单调，则{ f (xn )} 收敛
(C)若{ f (xn )} 收敛，则{xn} 收敛
(D)若{ f (xn )} 单调，则{xn} 收敛
微积分1基础试题及答案
微积分1基础试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2的导数是：A. 2xB. x^2C. 2x^2D. x答案：A2. 下列哪个函数是偶函数？A. y=x^3B. y=x^2C. y=x^5D. y=x答案：B3. 积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：A4. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^x + CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C答案：A5. 函数y=ln(x)的导数是：A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A6. 函数y=sin(x)的二阶导数是：A. -sin(x)B. cos(x)C. -cos(x)D. sin(x)答案：C7. 函数y=x^3 - 3x^2 + 2x的极值点是：A. x=0B. x=1C. x=2D. x=3答案：B8. 曲线y=x^2在x=1处的切线斜率是：B. 1C. 0D. -1答案：A9. 函数y=x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=4答案：B10. 积分∫(0到π) sin(x) dx的值是：A. 0B. 2C. πD. -π答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数y=x^3的二阶导数是_______。
答案：6x2. 函数y=cos(x)的不定积分是_______。
答案：sin(x) + C3. 曲线y=ln(x)在x=e处的切线斜率是_______。
答案：1/e4. 函数y=x^2 - 4x + 4的最小值是_______。
答案：05. 函数y=e^(-x)的导数是_______。
答案：-e^(-x)6. 函数y=x^4的不定积分是_______。
答案：x^5/5 + C7. 曲线y=x^3在x=-1处的切线斜率是_______。
答案：-38. 函数y=sin(x)的二阶导数是_______。
2024电大《微积分初步》历年试题分类整理
2024电大《微积分初步》历年试题分类整理一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1.函数的的基本学问（定义域、奇偶性图形的对称性<奇函数的图形关于坐标原点；偶函数的图形关于y 轴 >等）⑴下列函数（ B ）为偶函数. （14.1试题）A ．x x cosB ．x x sinC ．x x cos sin +D ．⑵下列函数中为奇函数的是（ D ） （08.1试题）A ．x x sinB ．x lnC ．2x x +⑶ 设函数x x y sin =，则该函数是（A ．）． （ 10.7/07.1试题）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⑷设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）． （11.7试题）A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数⑸设函数，则该函数是（ B ）． （08.7试题） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⑹设函数，则该函数是（A ．）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⑺函数的图形关于（ A ）对称． （09.7试题） A ．坐标原点 B ．x 轴 C ．y 轴 D ．y = x⑻设函数，则该函数是（ B ）． （10.1试题） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数⑼函数的图形关于（ D ）对称． （12.7试题）A ．y = xB ．x 轴C ．y 轴D ．坐标原点⑽函数的定义域为（ D ）． （07.7试题）A ．0>xB ．4≠xC ．0>x 且1≠xD ．0>x 且4≠x⑾函数的定义域为（ C ）． （11.1试题）A ．（1，＋∞）B ．（0，1）∪（1，＋∞）C ．（1，2）∪（2，＋∞）D ．（0，2）∪（2，＋∞）⑿函数的定义域是（ C ）． （12.1试题）A ．（-1，+∞）B ．（0，+∞）C ．（-1，0）∪（0，+∞）D ．（0，1）∪（1，+∞）⒀函数的定义域是（ C ）． （13.1试题）A ．（-2，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-2，-1）∪（-1，+∞）D ．（-1，0）∪（0，+∞） ⒁.函数x x xx f -+-=5)2ln()(的定义域是（ D ）． （13.7试题）A ．（2，+∞）B ．（2，5〕C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，3）∪（3，5〕⒂.设32)1(2-+=+x x xf ，则=)(x f （D ．）A ．12-xB ．22-xC ．42-xD ．42-x⒃.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ．） ( 09.1试题)A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x（17）设1)1(2-=-x x f ，则=)(x f （A ．）A ．)2(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x2.极限与连续⑴.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）． (14.1试题)A ．x 1 B ．x 2 C ．)1ln(x + D ．xx sin ⑵.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）． （10.1/11.7试题）A ．x 1 B ．xx sin C ．)1ln(x + D ．2x x ⑶.已知，当（ C ）时，)(x f 为无穷小量． （12.7试题）A ．+∞→xB ．-∞→xC ．0→xD ．1→x⑷.已知,当→χ( D.)时,)(x f 为无穷小量.A.∞+B. ∞C. 1D. 0⑸.若函数，则=→)(limx f x （A ．）.．0 C ．1 D ．不存在 ⑹.当k =（B ．）时，函数，在0=x 处连续. （07.1/13.1试题）A ．0B ．1C ．2D ．-1⑺.当k=（ B ）时，函数,在0=x处连续. （12.1试题）A. 0B. -1C. 1D. 2 ⑻.当k=（ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续. （10.7试题） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3⑼.当k=（ C ）时，函数,在0=x处连续. （08.1试题）A. 0B. 1C. 2D. 1+e⑽.当k=（ D ）时，函数,在0=x 处连续. （09.7试题）A. 0B. 1C. 2D. 3⑾.函数的间断点是（ A ） （08.7试题）A ．2,1==x xB ．3=x C.3,2,1===x x x D ．无间断点3.导数⑴.下列函数在指定区间（-∞，+∞）上单调削减的是（ B ）． (13.7试题)A ．x sinB ．x -3C ．2x D ．xe⑵.下列函数在指定区间（-∞，+∞）上单调削减的是（ B ）． （11.7试题）A ．x cosB ．x -5C ．2xD ．x2⑶.下列函数在指定区间（-∞，+∞）上单调增加的是（ B ）． （12.7试题）A ．x sinB ．x2 C ．2x D ．x 25-⑷.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ） （09.1试题） A ．单调增加 B ．单调削减 C ．先增后减 D ．先减后增⑸．函数12+=x y 在区间)2,2(-是（B ．）( 08.1试题)A ．单调下降B ．先单调下降再单调上升C ．先单调上升再单调下降D ．单调上升 ⑹.函数642-+=x x y 在区间)4,4(-是（A ．）A ．先减后增B ．先增后减C ．单调削减D ．单调增加⑺.函数722++=x x y 在区间)2,2(-是（ C ） （09.7试题）A ．单调削减B ．单调增加C ．先单调削减再单调增加D ．先单调增加再单调削减⑻.曲线1)(2+=x e x f 在x=2处切线的斜率是（ D ）． （11.1试题）A ．2B ．2e C ．4e D ．24e⑼.函数x x f ln )(=在e =x 处的切线方程是（ C ）． （07.7试题） A. B. C. D. ⑽.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（C ．）． ( 08.1试题)A ．12+=x yB ．22+=x yC ．y =x 2 + 3 D ． y = x 2 + 4⑾.设y x =lg2，则d y =（D ．）． （10.1/ 13.7试题）A ．B ．1d xx C ． D ．⑿.下列等式中正确的是（D.）． （07.7/10.7试题） A .)cos d(d sin x x x = B. C . )d(d x xa x a = D.⒀.以下等式成立的是（A ．）A ．B ．C ．D ．⒁.满意方程0)(='x f 的点肯定是函数)(x f 的（ C ）。
最新中央电大《微积分初步》形成性考核册参考答案
中央电大《微积分初步》形成性考核册参考答案微积分初步作业1 参考答案1、函数、极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1．()()3,+∞2，3 或填{}23x x x >≠且； 2．(),5-∞或填{}5x x <；3．()(]2,11,2--⋃-或填{}121x x x -<≤≠-且； 4．26x +； 5．2； 6．21x -； 7.1x =-； 8.1； 9.2； 10.32.二、单项选择题（每小题2分，共24分）1.B2.A3.D4.C5.D6.D7.C8.D9.C 10.B 11.D 12.A三、解答题（每小题7分，共56分） 1．解：原式＝()()()()221211limlim .2224x x x x x x x x →→---==+-+ 2．解：原式＝()()()()126167lim lim .1112x x x x x x x x →→+-+==+-+ 3．解：原式＝()()()()323333limlim .1312x x x x x x x x →→+-+==+-+ 4．解：原式＝()()()()422422lim lim .1413x x x x x x x x →→---==--- 5．解：原式＝()()()()22244limlim 2.233x x x x x x x x →→---==--- 6．解：原式＝111.2x x →→==-7．解：原式＝111.8x x →→==-8．解：原式＝()()0sin 4242lim16.x x x x x→→⋅⋅==微积分初步作业2 参考答案2、导数与微分3、导数的应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．12； 2．10x y -+=； 3．230x y +-=； 41； 5．6-； 6．()271ln3+；7.21x-； 8.2-； 9.()1,+∞； 10. 0a >.二、单项选择题（每小题2分，共24分）1.D2.C3.C4.B5.D6.C7.C8.C9.A 10.B 11.B 12.A三、解答题（每小题7分，共56分）1．解：()111221221xxx y xe x e x e x ⎛⎫'=+-=- ⎪⎝⎭.2．解：24cos43sin cos y x x x '=-. 3．解：21y x '=-. 4．解：sin tan cos x y x x '==. 5．解：方程两边同时对x 求微分，得()()2202222xdx ydy xdy ydx x y dx x y dyx ydy dxx y+--=-=--∴=-6. 解： 原方程可化为()21x y +=1,1x y y x ∴+=±=-±1,y dy dx '∴=-=-7. 解：方程两边同时对x 求微分，得20x y y e dx e dy xe dx xdx +++=()2y x y xe dy e e x dx =-++2x y ye e xdy dx xe++∴=-. 8. 解：方程两边同时对x 求微分，得()()sin 0y x y dx dy e dy -+++=()()sin sin yx y dy dx e x y +∴=-+ 微积分初步作业3 参考答案4、不定积分、极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．2ln 2x x x c -+； 2．24x e --； 3．()1x x e +； 4．2cos 2x ； 5．1x；6．4cos 2x -；7.2x e dx -； 8.sin x c +； 9.()1232F x c -+； 10. ()2112F x c--+.二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1.A 3.A 4.A 5.A 6.A 7.C 8.B三、解答题（每小题7分，共35分）1．解：原式＝32sin 3ln cos 3x dx x x c x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰.2．解：原式＝()()()()10111121212121221122x d x x c x c --=⨯-+=-+⎰.3．解：原式＝111sin cos d c x x x⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎰. 4．解：原式＝11111cos 2cos 2cos 2cos 2sin 222224xd x x x xdx x x x c -=-+=-++⎰⎰. 5．解：原式＝()1x x x x x x xde xe e dx xe e c x e c -------=-+=--+=-++⎰⎰.四、极值应用题（每小题12分，共24分）1．解： 设矩形ABCD 的一边AB x =厘米，则60BC x =-厘米， 当它沿直线AB 旋转一周后，得到圆柱的体积()()260,060V x x x π=-<<令()()2602600V x x x π⎡⎤'=---=⎣⎦得20x = 当()0,20x ∈时，0V '>；当()20,60x ∈时，0V '<.20x ∴=是函数V的极大值点，也是最大值点.此时6040x -=答：当矩形的边长分别为20厘米和40厘米时，才能使圆柱体的体积最大. 2. 解：设成矩形有土地的宽为x 米，则长为216x米， 于是围墙的长度为()4323,0L x x x=+> 令243230L x'=-=得()12x =取正易知，当12x =时，L 取得唯一的极小值即最小值，此时21618x= 答：这块土地的长和宽分别为18米和12米时，才能使所用的建筑材料最省. 五、证明题（本题5分）()()()()1 0, 01 0, 0,0.x x f x e x e x f x f x x e '=-<<<'∴<>=--∞证：当时当时从而函数在区间是单调增加的微积分初步作业4 参考答案5、定积分及应用一、填空题（每小题2分，共20分）1．23-； 2．2； 3．3221633y x =-； 4．4； 5．24a π； 6．0；7.12；8.x y e =； 9.3x y ce -=； 10. 4.二、单项选择题（每小题2分，共20分）1.A2.A3.A4.D5.D6.B7.B8.D9.C 10.B三、计算题（每小题7分，共56分）1．解：原式＝()()()2ln 23ln 20011911133xx x ed e e ++=+=-⎰. 2．解：原式＝()()()21111715ln 15ln 15ln 5102e ex d x x ++=+=⎰. 3．解：原式＝()111100011x x x xxde xe e dx e e e e =-=-=--=⎰⎰.4．解：原式＝02cos 2cos 4sin 4222x x x xd x ππ⎡⎤-=-+=⎢⎥⎣⎦⎰.5．解：原式＝22220000cos cos cos 0sin 1xd x x x xdx x ππππ-=-+=+=⎰⎰.6. 解：()()21,1P x Q x x x==+()()()()()()112ln 2ln 342 1 11 111 42P x dx P x dx dx dx x x x xy e Q x e dx c e x e dx c e x e dx c x x dx c x x x c x ---⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰通解即通解31142c y x x x=++ 7. 解：()()1,2sin 2P x Q x x x x=-=()()()()11ln ln 2sin 2 2sin 21 2sin 2 cos 2P x dx P x dx dx dx x xx x y e Q x e dx c e x xedx c e x xe dx c x x x dx c x x x c ---⎡⎤⎰⎰∴=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰⎰⎰通解即通解为()cos2y x x c =-+.四、证明题（本题4分）()()()()()()()()()()()000000aaaaaaaa af x dx f x dxf x dx f x dxf x d x f x dx f x dx f x dxf x f x dx ----+=-+=---+=-+=-+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证：左边＝右边。
微积分初步考试题及答案
微积分初步考试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C2. 曲线y=x^3+3x-2在x=0处的切线斜率是（）。
A. 1B. 2C. 3D. -2答案：B3. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是（）。
A. cos(x)+CB. sin(x)+CC. -cos(x)+CD. -sin(x)+C答案：A4. 以下哪个函数是奇函数（）。
A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^4D. f(x)=|x|答案：B5. 以下哪个函数是偶函数（）。
A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^4D. f(x)=|x|答案：A6. 函数f(x)=ln(x)的导数是（）。
A. 1/xB. xC. ln(x)D. x^2答案：A7. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。
A. e^x+CB. 1/e^x+CC. ln(e^x)+CD. xe^x+C答案：A8. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B9. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是（）。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B10. 函数f(x)=x^3的原函数是（）。
A. x^4/4+CB. x^4/3+CC. x^3/3+CD. x^4/3+C答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=3x^2+2x-5的导数是______。
答案：6x+212. 曲线y=x^2-4x+3在x=2处的切线方程是______。
答案：y=-113. 函数f(x)=cos(x)的不定积分是______。
答案：sin(x)+C14. 函数f(x)=1/x的导数是______。
答案：-1/x^215. 函数f(x)=e^(-x)的原函数是______。
《微积分初步》期末复习典型例题
《微积分初步》期末复习典型例题一、函数、极限与连续（一）考核要求1.了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念.熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法.2.了解极限概念，会求简单极限.3.了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点. （二）典型例题 1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ．答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ． 答案：1)(2-=x x f （6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→xx x 1sinlim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim=→kxx x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2e exxy +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e exx+- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）．A ．5->xB ．4-≠xC ．5->x 且0≠xD ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）423lim222-+-→x x x x ．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x（2）329lim 223---→x x x x解：234613lim)1)(3()3)(3(lim 329lim33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x （4）计算极限xx x 11lim 0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim11lim00+---=+-+---=--→→→x x x x x x x xx x x x21)11(1lim 0-=+--=→x x（5）计算极限xx x 4sin 11lim 0--→解：xx x 4sin 11lim0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim0+---=+-+---=→→x x x x x x x x x81)11(4sin 44lim)11(4sin lim-=+--=+--=→→x x xx x xx x二、 导数与微分 （一）考核要求1.了解导数概念，会求曲线的切线方程.2．熟练掌握求导数的方法(导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则)，会求简单的隐函数的导数.3.了解微分的概念，掌握求微分的方法.4.了解高阶导数的概念，掌握求显函数的二阶导数的方法. （二）典型例题1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：e x y +=（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：xx f 1)(='，)(x f ''=21x-（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2答案：C（2）设y x =lg 2，则d y =（ ）．A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设x x y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx-+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2c o s s i n 34c o s 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '.解：2121(21exx y x -+='+（4）设x x x y cos ln +=，求y '. 解：)sin (cos 12321x xx y -+=' x x tan 2321-=（5）设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy x y y --='22于是得到x xy x y y d 22d --=（6）设2e e cos y x y x =++，求y d ． 解：方程两边对x 求导，得y y y x yx'='++-2e e sin yx y yx 2e e sin --='于是得到x yx y yx d 2e e sin d --=三、导数应用 （一）考核要求1.掌握函数单调性的判别方法.2.了解极值概念和极值存在的必要条件，掌握极值判别的方法.3.掌握求函数最大值和最小值的方法. （二）典型例题1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞ （2）函数1)(2+=axx f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．答案：0>a 2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 答案：Ａ（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．x eC ．2xD ．x -3 答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x ==xx xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点，且04322263>⨯+=''=x xy ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，361082==h 用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh =所以,164)(22xx xh x x S +=+=2162)(xx x S -='令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元） 4.证明题（1）证明函数x x f 23)(-=，在定义区间上是单调下降的.证明 因为x x f 23)(-=的定义区间为),(+∞-∞，且02)(<-='x f ，所以x x f 23)(-=在),(+∞-∞是单调下降的.（2）证明函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的．证明：因为在（)0,∞-上，有0e 1)(>-='x x f ，所以函数x x x f e )(-=在（)0,∞-是单调增加的.四、 一元函数积分 （一）考核要求1.理解原函数与不定积分的概念、性质，掌握积分基本公式，掌握用直接积分法、第一换元积分法和分部积分法求不定积分的方法.2.了解定积分的概念、性质，会计算一些简单的定积分.3. 了解广义积分的概念，会计算简单的无穷限积分。
电大专科《微积分初步》复习题及答案
电大微积分初步考试小抄一、填空题⒈函数xx f -=51)(的定义域是5－x ＞0 →x ＜5⒉=∞→xx x 1sin lim1sin lim=∞→x x x ，01→∞→xx 时，⒊已知x x f 2)(=，则)(x f''⒋若+=cx F x x f )(d )(，则⎰-x x f d )32(⒌微分方程y x x y y x +='+'''e sin )(4的阶数是 y ''' 6.函数)21)(+=x x f {}{}{-1ln )2(ln 2-x 02ln 02⇒≠+⇒≠++x x x x ＞，＞，＞∴{}1- 2-x |≠且＞x7.→xxx 2sin lim 02112122sin lim 2sin lim00=⋅=→→xx xx x x 21:222sin lim0==→x x x 8.若y = x – 2)(x – 3)，则y 'y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x 2-x)(x 2-5x+6)=x 4-5x 3+6x 2-x 3+5x 2-6x=x 4-6x 3+11x 2-6x , 622184y 23x -+-='x x⇐（把0带入X ）,6)0(-='∴y9.⎰-x x d e d 2)()(x f dx x f ='⎰）（或dx x f dx x f d )())((=⎰ 10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为y y ='y dxdy= ⎰⎰==∴dx dy dx y dy y 1两边积分 ecx y +=∴又y(0)=1 (x=0 , y=1)c x y +=∴ln 010==∴+c e c，11.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是⎩⎨⎧-≠≤-⇒⎩⎨⎧≠+≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠++≥-122122x 21ln )2ln(2-2x 2-0)2(ln 02042x x x x x x x x ＜＜＞＞12.若函数⎪⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则k)()(lim00x x f x f x =→ ()(x f 在x处连续)∵k f =)0(113sin 0lim )13sin (0lim =+⋅→=+→∴xx x x x x （无穷小量x 有界函数）13.曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是xx y 21== ，x y 2121-=' 切k y ==='∴211x |2121y )1(211y +=⇒-=-∴∴x x 方程 14.'⎰x x s d )in (15.微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 16.函数)2ln()(-=xx x f {}3x 2x |122)2ln(20)2ln(02≠⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠-⇒⎩⎨⎧≠--且＞＞＞＞x x x n x x x x17.∞→xxx 2sin lim18.已知xx x f 3)(3+=，则)3(f ' 3ln 3)(32xx x f +=' 3ln 2727)3(+='∴f19.⎰2de x 20.微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 二、单项选择题⒈设函数2e e xx y +=-，则该函数是（偶函数）．∵所以是偶函数)(2e e )(x f x f xx =+=--⒉函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（2,1==x x ）分母无意义的点是间断点∴2,1,0232===+-x x x x⒊下列结论中（)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上⒋如果等式⎰+-=c x x f xx11ed e )(，则=)(x f )()1()()(,1u )(),()(,)()(111'-•='-•'='∴=-=='∴='∴+=⎰---x e xe e e y xe xf x F C x F dx x f u u x u x，令22112121)()()(x x f x e ex f x e x e xxxu =∴=∴=•=----⒌下列微分方程中，（x yx y y sin =+' ）是线性微分方程．6.设函数2e e xx y --=，则该函数是（奇函数）．7.当=k （2 ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f 在0=x 处连续.8.下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调减少的是（x -3）．9.10.下列微分方程中为可分离变量方程的11.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （)2(-x x ）可导，则13.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（先减后增）14.=''⎰x x f x d )((c x f x f x +-')()(）15.下列微分方程中为可分离变量方程的16.17.当=k （2）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1e )(x k x x f x在0=x 处连续.18.函数12+=x y 在区间)2,2(-是（先单调下降再单调上升） 19.在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x 2 + 3）． 20.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为（x y e =）．三、计算题 ⒈计算极限423lim 222-+-→x x x x ．解:41)2()1(lim 2)2(1(lim 22=+-=---→→x x x x x x x ）⒉设x x y x +=-2e ，求y d .解：x ex e xx 23221x 2-+=⨯+-ey x21-=ey u=1，u= -2x)(11e y u =′·(-2x)′=e u·（-2）= -2·e -2x∴y ′= -2e -2x +x 2123∴dy=(-2·e -2x+x 2123)dx⒊计算不定积分x xx d sin ⎰解：令u=x21x =,u ′=xx 212121=-∴dx xd u 21=∴⎰u sin ·2du=⎰udu sin 2=2(-cos)+c = -2cos c +x⒋计算定积分x x x d e 210⎰ u=x ，v ′=e x ,v= e x∴⎰1u v ′dx=uv x vd u -11|'⎰1)(011111|||=-'-=-=-⋅=∴⎰⎰e eee e e e e x dxx dx x x x xx x∴原式=2 5.计算极限9152lim 223--+→x x xx34353lim )3)(3()3)(5(3lim =++→=+--+→x x x x x x x x6.设x x x y cos ln +=，求y d解：x x x y x x cos ln cos ln 2321+=+⋅=y 1=lncosxy 1=lnu1,u=cosx ∴xxx u x u ycos sin )sin (1)(cos )(ln 11-=-⋅='⋅'=y 1=xxx cos sin 2321-∴dy=(xxx cos sin 2321-)dx7.计算不定积分x x d )21(9⎰- 解：dx x ⎰-)21(9令u=1-2x , u ′= -2 ∴du dx x du 212-=⇒-=c c dudu x u u u +-=++⋅-=-=-⋅-⎰⎰20192121)21()21(1010998.计算定积分x x x d e 10⎰-解：u=x,ee xx v v ---=='，)()(101111|x d dxx dx x ee e ee xxx x--=--⋅-=⋅⎰⎰⎰-----=1)11(1|11=--=---ee ee x 9.计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x3212lim )4)(1()4)(2(lim44=--=----→→x x x x x x x x10.设x y x 3sin 2+=，求y dy 1=sin3x y 1=sinu , u=3x ,x y3cos 3x 3sinu 1='⋅'='）（）（∴y ′=2x ln2+3cos3x∴dy=(2x ln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分x x x d cos ⎰⎰xdx x cos u=x , v ′=cosx , v=sinx ⎰⎰+--=-⋅=cx x x xdx x x xdx x )cos (sin sin sin cos12.计算定积分x xxd ln 51e1⎰+ ⎰⎰⎰⎰+=+=+e e e edx x x dx x x x dx xx dx x 11e 111ln 51ln 5ln ln 51|令u=lnx, u ′=x1,du=x1dx , 1≤x ≤e 0≤lnx ≤1∴2121ln |102101===⎰⎰u udu dx x x e∴原式=1+5·21=2713.计算极限623lim 222-++-→x x x x x解：5131lim )2)(3x ()1)(2(lim22=+-=-+--→→x x x x x x x 14.设xx y 12e =，求y '解：ex xy 12⋅=(e y x 11=) , e y u=1 , xu 1=,x e x e e y x u u x 21211)1()1()(-=-⋅='⋅'=) ee xe x e e x e x x1x 12x12x1x 12x 122)(2)()(y -=-⋅+='⋅+⋅'='∴x x15.计算不定积分x x d )12(10⎰-解：dxx ⎰-)12(10u=2x-1 ,d '=2du=2dx∴cdu du dx u uux +⋅=⋅=⋅=⎰⎰⎰-1121212111101010)12(c x +=-）（121121 16.计算定积分⎰10d e x x x解：dx x e x⎰⋅10 u=x , e x v =' , exv =1)1(111|=--=-⋅=⎰⎰e e dx x dx x e ee xx x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低最低总费是多少 解：设水箱的底边长为x ，高为h,表面积为s ，且有h=x24所以S(x)=x 2+4xh=x 2+x16'xx S 2162-='令S '（x ）=0，得x=2因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。