单源最短路径算法的图示教学设计与实践
算法设计与分析课件--贪心法-单源最短路径问题
4.3 贪心选择的基本要素
贪心法基本要素
1. 贪心选择性质：
✓ 贪心选择可以依赖于以往的选择,但不依赖于将来 所作出的选择,也不依赖于子问题的解。
✓ 动态规划采用自底向上的方式解各子问题, 而贪心 算法采用自顶向下的方式, 迭代方式做出相继的贪 心选择, 每一次贪心选择就将所求问题简化为规模 更小的子问题.
3. 合并：
将各个阶段的解合并为原问题的一个可行解。
8
第四章 贪心法
目录
4.1
概述
4.2
会场安排问题
4.3 贪心选择的基本要素
4.4 单源最短路径问题
4.5 最小生成树问题
9
4.4 单源最短路径问题
单源最短路径 (SSSP) 问题的几个概念：
❖给定一个有向带权图G =(V, E)，V为结点集合，E为 带非负权w的边集合。
迭代
S
u dist[2] dist[3] dist[4] dist[5]
初始 {1} - 10 maxint 30
100
1
2
3
4
V
S
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4.4 单源最短路径问题
Dijkstra算法的求解步骤： ❖步骤3：贪心选择结点。在集合V-S中依照贪心策略 来寻找使得dist[u]具有最小值的顶点u，u就是集合 V-S中距离源点s最近的顶点。
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4.4 单源最短路径问题
Dijkstra算法的求解步骤： ❖步骤1：设计合适的数据结构。带权邻接矩阵a记录 结点之间的权值，数组dist来记录从源点到其它顶 点的最短路径长度，数组pre来记录最短路径；
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4.4 单源最短路径问题
Dijkstra算法的求解步骤： ❖步骤2：初始化。令集合S={s}，对于集合V-S中的 所有顶点u，设置dist[u]=a[s][u]；如果顶点u与源点 s相邻，设置pre[u]=s，否则pre[u]=-1；
单源最短路径
单源最短路径单源最短路径在最短路径问题中，我们给定⼀个带权重的有向图和权重函数, 该权重函数将每条边映射到实数值的权重上。
图中⼀条路径的权重是构成该路径的所有边的权重之和：定义从结点u到结点v的最短路径权重如下：从结点u到结点v的最短路径则定义为任何⼀条权重为的从u到v的路径p。
最短路径的⼏个变体单源最短路径：给定⼀个图G=(V,E),我们希望找到从给定源结点到每个节点的最短路径。
单⽬的地最短路径问题：找到从每个节点u到给定⽬的地节点t的最短路径。
如果将图的每条边的⽅向翻转过来，我们就可以将这个问题转换为单源最短路径问题。
单节点对最短路径问题：找到从给定节点u到给定节点v的最短路径。
如果解决了针对单个节点u的单源最短路径问题，那么也就解决这个问题。
所有节点对最短路径问题：对于每个节点u和v，找到从结点u到结点v的最短路径。
虽然可以针对每节点运⾏⼀遍单源最短路径算法，但通常可以更快地解决这个问题。
初始化松弛操作Bellman-Ford算法topo sort有向⽆环图中的单源最短路径问题根据节点的拓扑排序次序对带权重的有向⽆环图G=(V,E)进⾏边的松弛操作，我们便可以在时间内计算出从单个源结点到所有节点之间的最短路径。
在有向⽆环图中，即使存在权重为负的边，但因为没有权重为负的环路，最短路径都是存在的。
算法⾸先对有向⽆环图进⾏拓扑排序，以便确定结点之间的⼀个线性次序。
以便确定结点之间的⼀个线性次序。
如果有向⽆环图包含从结点u到结点v的⼀条路径，则u的拓扑排序的次序中位于结点v的前⾯。
我们只需要按照拓扑排序的次序对结点进⾏⼀遍处理即可。
每次对⼀个节点进⾏处理时，我们对从该节点发出的发出的所有的边进⾏松弛操作。
Dijkstra算法三个算法的对⽐所有节点对的最短路径问题Floyd-Warshall算法//基本思想是：//进⾏中转......允许经过1~n号所有顶点进⾏中转，求任意两点之间的最短路程。
//⽤⼀句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
数据结构之单源最短路径
算法与数据结构实验报告实验五实验名称:单源最短路径问题姓名：学号：专业：班级：二班指导教师：XXX日期: 2013年月日一、实验目的了解图及有权图的定义，熟悉有向图的存储结构及邻接矩阵和邻接表等有关概念，掌握求单源最短路径的基本操作方法。
二、实验内容与实验步骤内容：利用顺序存储结构——邻接矩阵，解决有权图的单源最短路径问题步骤： 1 定义邻接矩阵，采用顺序存储结构实现234578 数据调试9 程序结束三、实验环境操作系统winXP、开发平台:Microsoft Visual C++6.0四、实验过程与分析遇左括号则入栈，遇又括号则与栈内第一个数据比较，若与该左括号匹配，则将该左括号出栈，直到遇到不匹配或表达式结束时，判断结束；五、实验结论输入文件示例输出文件示例6 81 3 10 1 5 301 6 1002 3 53 4 504 6 105 4 20 56 60 31 21 63 6 -1601 5 4 6 603 4 6运行结果：六、附录#include<stdio.h>#include <iostream>using namespace std;#include<string.h>#define M 100#define INFINITY 999typedef struct node{int arcs[M][M]; //邻接矩阵int vexnum; //顶点数int arcnum; //边数}MGraph;int d[M];int p[M];void dijkstrapath(MGraph G,int v0) //单源最短路径算法{int v,w,min,u;bool *end=(bool *)malloc(sizeof(bool)*(G.vexnum+1));for(v=1;v<=G.vexnum;v++){end[v]=false; //初始化未用过该点d[v]=G.arcs[v0][v];for(w=1;w<=G.vexnum;w++) //空路径p[w]=0;if(d[v]<INFINITY) p[w]=v;}end[v0]=true; d[v0]=0;for(v=2;v<=G.vexnum;v++){min=INFINITY; // 当前所知V0顶点的最短距离for(w=1;w<=G.vexnum;w++)if(!end[w] && d[w]<min){min=d[w];u=w;}end[u]=true;for(w=1;w<=G.vexnum;w++) //更新d数组的值和路径的值if(!end[w] && (min+G.arcs[u][w])<d[w]){d[w]=min+G.arcs[u][w];p[w]=u;}}}void inputpath(int v,int v0) //打印最短路径上的顶点{int q[M],t,i,total=0;q[total] = v;total++;t = p[v];while(t!=0){q[total] = t;total++;t = p[t];}q[total]=v0;printf("v%d点到v%d点的路径为: ",v0,v);for(i=total; i>=0; i--)if(i)cout<<q[i]<<"->";elsecout<<q[i]<<endl;}int main(){int i,j,n,v,u,w,v0,vt; //v0表示源顶点printf("请输入有权图的相关信息：\n");MGraph G;while(cin>>G.vexnum>>G.arcnum && G.arcnum!=0) //输入顶点数和边数{for(i=1; i<=G.vexnum; ++i)for(j=1; j<=G.vexnum; ++j)G.arcs[i][j]=INFINITY;for(i=0;i<G.arcnum;i++) // 输入有路径的两个定点及权值{cin>>u>>v>>w; G.arcs[u][v]=w;}cout<<"输入判断次数: ";cin>>n;for(i=0;i<n;i++){printf(" %d、输入源顶点v0和要到达的顶点vt: ",i+1);cin>>v0>>vt;dijkstrapath(G,v0);if(d[vt]==INFINITY)cout<<"源顶点v"<<v0<<"和要到达的顶点v"<<vt<<"的最小路径权值为: "<<-1<<" 没有可达路径!"<<endl;else{cout<<"源顶点v"<<v0<<"和要到达的顶点v";cout<<vt<<"的最小路径权值为: "<<d[vt]<<endl;;inputpath(vt,v0);}}}return 0;}。
单源最短路径 贪心算法
实验三单源最短路径一、实验目的及要求掌握贪心算法的基本思想用c程序实现单源最短路径的算法二、实验环境Window下的vc 2010三、实验内容1、有向图与单源点最短路径2、按路径长度非降的次序依次求各节点到源点的最短路径3、Dijkstra算法四、算法描述及实验步骤设给定源点为Vs，S为已求得最短路径的终点集，开始时令S={Vs} 。
当求得第一条最短路径(Vs ，Vi)后，S为{Vs，Vi} 。
根据以下结论可求下一条最短路径。
设下一条最短路径终点为Vj ，则Vj只有：源点到终点有直接的弧<Vs，Vj>；从Vs 出发到Vj 的这条最短路径所经过的所有中间顶点必定在S中。
即只有这条最短路径的最后一条弧才是从S内某个顶点连接到S外的顶点Vj 。
若定义一个数组dist[n]，其每个dist[i]分量保存从Vs 出发中间只经过集合S中的顶点而到达Vi的所有路径中长度最小的路径长度值，则下一条最短路径的终点Vj必定是不在S中且值最小的顶点，即：dist[i]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S }利用公式就可以依次找出下一条最短路径。
在程序中c[][]表示带权邻接矩阵， dist[]表示顶点到源点的最短路径， p[]记录顶点到源点最短路径的前驱节点， u源点，函数Way是递归的构造出最短路径的次序。
五、实验结果程序执行的结果：六、源代码#include <iostream>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MAX 999void getdata(int **c,int n){int i,j;int begin,end,weight;for (i=1;i<=n;i++){for (j=1;j<=n;j++){if(i==j)c[i][j]=0;elsec[i][j]=MAX;}}do {cout<<"请输入起点终点权值(-1退出)：";cin>>begin;if(begin==-1) break;cin>>end>>weight;c[begin][end]=weight;} while(begin!=-1);}void Dijkstra(int n,int v ,int *dist,int *prev,int **c){bool s[MAX];int i,j;for (i=1;i<=n;i++){dist[i]=c[v][i]; //从源点到各点的值s[i]=false;if(dist[i]==MAX) prev[i]=0; //最大值没有路径else prev[i]=v; //前驱为源点}dist[v]=0;s[v]=true;for (i=1;i<=n;i++){int temp=MAX;int u=v;for(j=1;j<=n;j++)if((!s[j])&&(dist[j]<temp)) {u=j;temp=dist[j];}//不在集合里，值《temp，选最小值s[u]=true;for (j=1;j<=n;j++){if((!s[j])&&(c[u][j]<MAX)){int newdist=dist[u]+c[u][j];if(newdist<dist[j]){dist[j]=newdist;prev[j]=u;}//前驱u记录下来}}}}void PrintPath(int *prev,int n,int begin,int end){int *path=new int [n+1];int i,m=n;bool k=true;path[end]=end;for(i=end-1;i>1;i--){path[i]=prev[path[i+1]]; //构造路径m--;}for (i=m;i<=end;i++) {cout<<path[i]<<"->"; //输出路径}cout<<"\b\b"<<" "<<endl;}void main(){int n,i;int v=1;cout<<"请输入顶点个数：";cin>>n;int *dist=new int [n+1];int *prev=new int [n+1];int **c;c=new int *[n+1];for (i=0;i<=n;i++){c[i]=new int [n+1];}getdata(c,n); //获取数据int begin=1,end;cout<<"请输入所求单源路径的起点终点：";cin>>begin>>end;v=begin;Dijkstra(n,v,dist,prev,c); //计算路径PrintPath(prev,n,begin,end); //输出路径system("pause");}。
单源最短路径dijkstra算法c语言
单源最短路径dijkstra算法c语言单源最短路径问题是图论中的经典问题之一，指的是在图中给定一个起始节点，求出该节点到其余所有节点之间的最短路径的算法。
其中，Dijkstra 算法是一种常用且高效的解决方案，可以在有向图或无向图中找到起始节点到其余所有节点的最短路径。
本文将逐步介绍Dijkstra算法的思想、原理以及C语言实现。
一、Dijkstra算法的思想和原理Dijkstra算法的思想基于贪心算法，通过逐步扩展当前已知路径长度最短的节点来逐步构建最短路径。
算法维护一个集合S，初始时集合S只包含起始节点。
然后，选择起始节点到集合S之外的节点的路径中长度最小的节点加入到集合S中，并更新其他节点的路径长度。
具体来说，算法分为以下几个步骤：1. 初始化：设置起始节点的路径长度为0，其他节点的路径长度为无穷大。
2. 选择最小节点：从集合S之外的节点中选择当前路径长度最短的节点加入到集合S中。
3. 更新路径长度：对于新加入的节点，更新与其相邻节点的路径长度（即加入新节点后的路径长度可能更小）。
4. 重复步骤2和3，直到集合S包含所有节点。
二、Dijkstra算法的C语言实现下面我们将逐步讲解如何用C语言实现Dijkstra算法。
1. 数据结构准备首先，我们需要准备一些数据结构来表示图。
我们可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图。
这里，我们选择使用邻接矩阵的方式来表示权重。
我们需要定义一个二维数组来表示图的边权重，以及一个一维数组来表示起始节点到各个节点的路径长度。
c#define MAX_NODES 100int graph[MAX_NODES][MAX_NODES];int dist[MAX_NODES];2. 初始化在使用Dijkstra算法之前，我们需要对数据进行初始化，包括路径长度、边权重等信息。
cvoid initialize(int start_node, int num_nodes) {for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {dist[i] = INT_MAX; 将所有节点的路径长度初始化为无穷大}dist[start_node] = 0; 起始节点到自身的路径长度为0初始化边权重for (int i = 0; i < num_nodes; i++) {for (int j = 0; j < num_nodes; j++) {if (i == j) {graph[i][j] = 0; 自身到自身的边权重为0} else {graph[i][j] = INT_MAX; 其他边权重初始化为无穷大}}}}3. 主要算法接下来是Dijkstra算法的主要逻辑。
c语言单源最短路径
c语言单源最短路径
《C语言单源最短路径》
一、简介
C语言单源最短路径算法是将每一个节点与起点连接起来，并且最短路径从起点出发，然后选择最小距离路径，继续前进，直到到达目的地。
它是一种运用搜索算法把每一个节点和起点连接起来，以便为给出最短路径的二叉树算法。
二、思路
（1）求一条从源点s到各个顶点v的最短路径D[v]，求最短路径的表达式：D[v] = min {D[u] + w(u, v)}，其中u是s到v的最短路径上的前一个顶点，w(u, v)是边(u, v)的权重。
（2）第一步：设置源点s，将源点s到达各个顶点v的最短距离D[v]初始化为正无穷。
（3）第二步：设置一个集合S，将源点s加入集合S中，设置一个标记，用来查找集合S中是否存在点V。
（4）第三步：循环以下步骤，判断所有顶点是否都已加入集合S中，如果是，则算法结束；如果不是，则从未加入集合S中的顶点中找到到源点s距离最小的节点u，并将其加入集合S中。
（5）第四步：更新所有在集合S中的顶点u到集合S中未加入的顶点v的最短距离D[v]，计算公式为：D[v] = min {D[u] + w(u, v)}，其中u是s到v的最短路径上的前一个顶点，w(u, v)是边(u, v)的权重。
单源点最短路径算法的实现 数据结构 课程设计
数据结构课程设计设计说明书数学与计算机科学学院 2014年3月7日单源点最短路径算法的实现学生姓名 学 号班 级成 绩 指导教师课程设计任务书2013 —2014 学年第2 学期专业：学号：姓名：课程设计名称：数据结构课程设计设计题目：单源点最短路径算法的实现完成期限：自2014 年 2 月24 日至2014 年 3 月7 日共 2 周设计依据、要求及主要内容（可另加附页）：最短路径算法关键先把已知最短路径顶点集（只有一个源点）和未知的顶点分开，然后依次把未知集合的顶点按照最短路径（特别强调一下是源点到该顶点的路径权重和，不仅仅是指它和父结点之间的权重，一开始就是在没有这个问题弄清楚）加入到已知结点集中。
在加入时可以记录每个顶点的最短路径，也可以在加入完毕后回溯找到每个顶点的最短路径和权重。
针对最短路径问题，在本系统中采用图的相关知识，以解决在实际情况中的最短路径问题，本系统中包括了建立图的存储结构、单源最短问题，这对以上几个问题采用了迪杰斯特拉算法。
并为本系统设置一人性化的系统提示菜单，方便使用者的使用。
本课程设计中主要完成以下内容：1. 建立图的存储结构。
2. 解决单源最短路径问题。
3.实现两个顶点之间的最短路径问题。
基本要求如下：1.程序设计界面友好；2.设计思想阐述清晰；3.算法流程图正确；4.软件测试方案合理、有效。
指导教师（签字）：教研室负责人（签字）：批准日期：年月日课程设计评阅评语：指导老师签名：年月日摘要本软件以VC++作为开发平台，设计了关于从某个单一原点到任意顶点的一个类似于查询，咨询系统的软件。
它能够准确快速的计算出从某个单一原点到任意顶点的最短路径以及路径长度。
该类软件目前广泛运用于城市交通运输系统，为人们出行带来了方便。
关键字：VC++；最短路径；迪杰斯特拉算法；目录目录 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 -1、课题描述----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 1 -2、问题分析与设计思想------------------------------------------------------------------------------------- - 2 -3、概要设计----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 4 -4、详细设计----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 6 -4.1建立图的存储结构---------------------------------------------------------------------------------- - 6 -4.2单源最短路径 ---------------------------------------------------------------------------------------- - 6 -5、程序编码----------------------------------------------------------------------------------------------------- - 8 -6、程序调试和测试 ----------------------------------------------------------------------------------------- - 12 -7、总结--------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 16 - 参考文献 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 16 -1、课题描述在城市交通网络日益发达的今天，针对人们出行关心的各种问题，利用计算机软件建立一个交通咨询系统。
实验项目名称∶用贪心算法解单源最短路径问题
实验项目名称：用贪心算法解单源最短路径问题一、实验目的：明确单源最短路径问题的概念；利用贪心算法解决单源最短路径问题；并通过本例熟悉贪心算法在程序设计中的应用方法。
二、实验原理：贪心算法原理：在贪婪算法（greedy method）中采用逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。
决策一旦作出，就不可再更改。
作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion）。
三、实验内容与步骤：问题描述：求网（带权有向图）中从一个顶点到其余各顶点间的最短路径。
一个有向图G，它的每条边都有一个非负的权值c[i,j]，“路径长度”就是所经过的所有边的权值之和。
对于源点需要找出从源点出发到达其他所有结点的最短路径。
基本思想分步求出最短路径，每一步产生一个到达新目的顶点的最短路径。
下一步所能达到的目的顶点通过如下贪婪准则选取：在未产生最短路径的顶点中，选择路径最短的目的顶点。
设置顶点集合S并不断作贪心选择来扩充这个集合。
当且仅当顶点到该顶点的最短路径已知时该顶点属于集合S。
初始时S中只含源。
设u为G中一顶点，我们把从源点到u 且中间仅经过集合S中的顶点的路称为从源到u特殊路径，并把这个特殊路径记录下来（例如程序中的dist[i]）。
每次从V-S选出具有最短特殊路径长度的顶点u，将u添加到S中，同时对特殊路径长度进行必要的修改。
一旦V=S，就得到从源到其他所有顶点的最短路径，也就得到问题的解。
如上图所示，编程实现求从任一顶点出发到其它顶点的最短路径长度。
如下：please input the first number:00->0:00->1:450->2:100->3:250->4:450->5:50please input the first number:11->0:351->1:01->2:151->3:181->4:101->5:15please input the first number:22->0:202->1:352->2:02->3:152->4:452->5:50please input the first number:33->0:553->1:203->2:353->3:03->4:303->5:35please input the first number:44->0:634->1:284->2:434->3:84->4:04->5:5please input the first number:55->0:585->1:235->2:385->3:35->4:335->5:0四实验结果与结论自己总结五实验中遇到的问题及解决办法自己总结六实验结论自己总结参考程序段如下#include<stdio.h>#define MAX 10000int main(){int cost[6][6]={{0,50,10,MAX,45,MAX},{MAX,0,15,MAX,10,MAX},{20,MAX,0,15,MAX,MAX},{MAX,20,MAX,0,35,MAX},{MAX,MAX,MAX,30,0,5},{MAX,MAX,MAX,3,MAX,0}};int s[6],dist[6];int n;int i,j,k,m,min;clrscr();printf("please input the first number:");while(scanf("%d",&n)&&n>=0&&n<6){for(i=0;i<6;i++){s[i]=0;dist[i]=cost[n][i];}s[n]=1,dist[n]=0;for(j=1;j<6;j++){min=MAX;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0&&min>dist[k]){min=dist[k];m=k;}}if(min==MAX)break;s[m]=1,dist[m]=min;for(k=0;k<6;k++){if(s[k]==0)dist[k]=(dist[k]<(dist[m]+cost[m][k]))?dist[k]:(dist[m]+cost[m ][k]);}}for(i=0;i<6;i++){if(dist[i]<MAX)printf("%d->%d:%d\n",n,i,dist[i]);}printf("please input the first number:");}}。
算法单源最短路径问题PPT课件
2021/3/9
授课：XXX
4
6.2 单源最短路径问题
while (true) {
for (int j = 1; j <= n; j++)
if ((c[E.i][j]<inf)&&(E.length+c[E.i][j]<dist[j])) {
// 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束
dist[j]=E.length+c[E.i][j];
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下面以一个例子来说明单源最短路径问题：在下图所给的有 向图G中，每一边都有一个非负边权。要求图G的从源顶点s到目 标顶点t之间的最短路径。
2021/3/9
授课：XXX
1
6.2 单源最短路径问题
1. 问题描述
下图是用优先队列式分支限界法解有向图G的单源最短路径问题 产生的解空间树。其中，每一个结点旁边的数字表示该结点所对应 的当前路长。
顶点I和j间有边，且此路
prev[j]=E.i;
径长小于原先从原点到j
// 加入活结点优先队列
的路径长
MinHeapNode<Type> N;
N.i=j;
N.length=dist[j];
H.Insert(N);}
try {H.DeleteMin(E);}
// 取下一扩展结点
catch (OutOfBounds) {break;} // 优先队列空
2021/3/9
授课：XXX
3
6.2 单源最短路径问题
3. 剪枝策略
在算法扩展结点的过程中，一旦发现一个结点的下界不小 于当前找到的最短路长，则算法剪去以该结点为根的子树。
最短路径问题教案
最短路径问题教案目标：通过教学学生如何解决最短路径问题的基本方法和算法。
预备知识：- 图的基本概念和表示：- 顶点（节点）和边（连接节点的线段）- 有向图和无向图- 图的存储方法：- 邻接矩阵- 邻接表引入最短路径问题：- 解释最短路径问题的定义和场景（例如，在道路网络中找到两个位置之间的最短路程）解决最短路径问题：1. 单源最短路径（从一个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）- 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）2. 多源最短路径（从任意一个顶点到达其他所有顶点的最短路径）- 方法：- 弗洛伊德算法（Floyd-Warshall Algorithm）详细讲解迪杰斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）：1. 解释算法的基本思想（通过逐步更新当前节点到其他节点的最短距离）2. 介绍算法的步骤：- 创建一个距离集合，用于存储从源节点到其他节点的当前最短距离（初始值为无穷大）；- 遍历所有节点，选取一个未被访问的节点作为当前节点；- 更新当前节点到其他节点的距离；- 选择下一个未被访问的节点作为当前节点，重复前面两个步骤，直到所有节点都被访问；- 最终得到源节点到每个节点的最短距离。
3. 通过一个示例图进行演示和详细讲解算法的步骤和执行过程。
4. 讲解算法的复杂度分析：- 时间复杂度：O(V^2)，其中 V 是顶点数，对于稀疏图可以使用堆优化的方式将时间复杂度优化到 O((V+E)logV)。
- 空间复杂度：O(V)，用于存储距离集合。
应用和实际问题：- 最短路径问题在实际生活中的应用- 导航系统- 网络路由- 物流配送优化等练习和作业：1. 练习手动计算给定图的最短路径。
2. 通过编程实现迪杰斯特拉算法，并测试不同的图和输入情况。
授课方法：- 结合课堂讲解、示例图演示和实践编程练习- 鼓励学生提问和参与讨论- 可以结合图形化工具展示算法执行过程评估方式：- 练习题和作业的完成情况- 对算法执行过程的理解和分析。
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文章编号:0494-0911(2010)04-0058-04中图分类号:P208 文献标识码:B单源最短路径算法的图示教学设计与实践沙宗尧,边馥苓(武汉大学国际软件学院,湖北武汉430079)Desi gn and Practice of D i agra m-based T eachi ng of Si ngle -destinationShortest Path A lgorith mS HA Zongyao ,BI AN Fu ling摘要:单源最短路径是G IS 网络分析的一个重点内容,对G I S 、空间信息技术等相关专业的学生来讲,由于经典的最短路径算法(D ij ks tra)描述较抽象,让学生掌握单源最短路径算法的本质思想较难。
提出用图示教学法来教授GIS 中单源最短路径算法的基本原理和思路,详细介绍了图示表示的过程,可以为最短路径算法及其应用的教学过程提供参考。
关键词:GIS;网络分析;图示教学法;单源最短路径收稿日期:2009-08-21基金项目:教育部高等理工教育教学改革与实践重点研究基金资助项目(2006-310)作者简介:沙宗尧(1974)),男,回族,安徽肥西人,副教授,主要从事环境信息系统、空间数据挖掘的教学与研究。
一、单源最短路径单源最短路径及其算法是G I S 网络分析的一个重点内容,在实际生产生活中具有广泛的应用[1],在GIS 、空间信息技术相关专业的教学实践中需要向学生讲解其实现思路,教学过程中应运用多种教学方法,让学生领会算法实现的过程和本质,加深对所学知识的理解、记忆和应用[2]。
单源最短路径的物理意义是:n 个城市由m 条道路连接起来,由一个确定的初始城市(源点)出发,求出其到所有其他n -1个城市的最短路径,可以解决实际中交通运输网中的网络结构分析、运输线路选择、通讯线路建造与维护、运输货流最小成本分析、城市公交网络规划等应用问题[2]。
对于这类典型的网络应用,D-ij k stra 算法是解决该类问题最经典的方法[3],绝大多数教科书均有算法的介绍,然而教科书(包括一些经典的数据结构教科书)对单源最短路径算法实现的论述,一般是先介绍应用背景,然后就直接给出了算法实现的过程,缺少形象的算法分析过程,如果课堂教学中按照这种方式去传授,学生在理解上十分吃力,而且不能有效掌握,对于没有专门学习过数据结构的学生来讲,理解起来就更为困难。
笔者结合自己在教学中的经验,采用了图示教学法来分析单源最短路径算法D ijkstra 基本原理和实现过程,取得了较好的效果。
二、单源最短路径的图示分析图示教学法就是用各种图形表示的方法描述问题,引导学生进行思考,增强对新知识的记忆,并在教学中已被广泛使用[4]。
单源最短路径算法是G I S 网络分析中的一个典型问题,以下以图1所示的网络图,设计图示教学法对单源最短路径算法进行过程分析并给出实现。
图1 基本网络结构[5]单源最短路径就是要计算一个网络中的某个给定的节点到其他任意某个节点间的最短距离,假设某区域有n 个城市,城市间具有一定的道路相连通,以图1为例,数字表示城市,数字间的边表示城市间连接道路,其中箭头方向表示道路方向(如表示单行道),现用图示教学法描述由城市1(源点)到其他所有城市的最短路径的求解过程。
将源节点作为种子节点,求该种子节点到其他节点(外围节点)的最短距离。
算法实现的目标是求出一个最短路段网,该路段网中种子节点通过一定的网络路径,到达其他任意一个节点的距离都最短。
首先构造一个初始最短路径网,但该网络只有一个节点,即源节点(城市1,位于图2(a)中的中心圆圈内),而其他所有节点都是外围节点。
然后根据图1城市间的道路(网络节点间的边的权值),求其他所有城市(网络节点)与种子城市间的道路距离(通过访问网络的物理存储结构如邻接表获取,预先需要给学生讲解网络的物理存储知识),从图2(a)可以发现,如果直接由种子节点引出一条道路到其他各城市,则到绝大多数城市的道路都不是最短的,例如到城市3和6根本就没有一个/直达0的道路,但由图1可知,到城市3和6都可以通过中间城市(如城市5和4)间接的到达。
由图2(a)可以确定由种子节点(城市1)到城市4的最短路径(R 1-4)就是当前的直达路段(L 1-4,L 表示路段,L 1-4表示由城市1到城市4的直达路段;R 表示路径,如R 1-4表示城市1到城市4间的路径),这是因为从城市1到城市4不可能存在一个途经一个或多个中间城市的路径,使该路径中所包含的路段长度总和小于L 1-4(因为由城市1到城市4的任意一个路径R 1-4的第1个路段L 1-i 都大于L 1-4,i 代表网络外围圈中的任意一个城市),因此可以确定由种子节点到节点4(或城市4)的最短路径已经找到(即L 1-4,这里R 1-4=L 1-4),故把节点4加入到最短路径网中,得到图2(b )。
随着节点4的加入,就有可能使得原先由种子节点直达到外围节点的路径的距离,通过节点4作为中间节点(桥梁)而变小,例如原先种子节点到节点6的距离(R 1-6)为],通过结点4作为/桥梁0,使其值缩小到42,同样,节点7也由原先的35缩小到32,而源点结点2和结点5的距离不会因为结点4的/桥梁0作用而改变,因为仍为原值。
图2 单源最短路径算法过程的图示描述注:R 1-i 表示源点(这里为节点1)到节点i 的路径,L i -j 表示两个相邻的节点i 和节点j 的路段,其中,路径是由一个或多个路段组成的。
在图2(a)~图2(g )中,圆外部的节点都称为外围节点。
接下来在图2(b )中,可以看出源点距节点5在所有的外围节点中具有最短的路径值(25),可以确定该路径(R 1-5,由于R 1-5只有一个路段,R 1-5=L 1-5)就是源点到节点5的最短路径,这是因为不可能通过任何一个或多个其他的外围节点作为R 1-5的中间路段,而缩短该路径长度(因为由城市1到城市5的任意一个路径的第1个路段L 1-i 都大于L 1-5,这里i 是网络外围圈中的任意一个城市,而最短路径网内的节点,如节点4,已经在前序步骤中最大限度地缩小了R 1-5的值,或已被证明不可能进一步缩小R 1-5的值),因此把节点5加入到最短路径网中(图2(c ))。
随着节点5的加入,可以发现还没有加入的外围节点中的节点2和3,都可以通过该路径R 1-5而缩短由源点到它们的路径长度,其中节点2由原来的路径长度45缩小到40(R 1-5+L 5-2),而节点3更由原来的]缩小到55(R 1-5+L 5-3)。
根据最短路径的优选原则,节点7进入最短路径网,而节点7的加入(图2(d )),并不能使源点到剩下的其他外围节点间的路径长度。
在图2(e )中,将节点2加入到最短路径网中,由于节点2的加入,源点到节点3的最短路径长度也有原来的55缩小到52。
图2(f)中,将节点6加入到最短路径网中,由于节点6的加入,使得源点到节点3的路径由原先的52缩小到50,最后将节点3加入到最短路径网络中,得到图2(g)的最终结果,即算法目标所要构造的最短路段网,该图的另一种形式为图2(h),直观地显示了由源点1到其他节点的最短路径。
三、算法求解过程基于图2所示及描述,在讲解D ij k stra 算法时就比较容易了。
算法在实现上需构造三个辅助数组:第1个数组A [n](n 为节点数)记录当前节点是外围节点还是已加入最短路段(路径)网的节点,数组元素A [i]=0或1,0表示节点i 是一个外围节点,当加入到最短路段(路径)网后,A [i]=1;第2个数组B [n]记录各节点到最短路段(路径)网的距离,用B [n]表示;第3个数组C [n ]记录外围节点通过最短路段(路径)网内的哪一个节点为/桥梁0而进入该路段(路径)网的。
以下结合图2,分析这些数组的变化情况。
辅助数组的变化情况如图3所示,其中图3(a)即对应于图2(a),图3(b)对应于图2(b),依此类推。
在图3(a )中,最初只有第一个节点进入最短路径网,因此A [1]=1,其他的A 元素均为0,外围节点和最短路径网的距离B [i]与图2(a )对应,这里节点1由于与源点是同一个节点(距离为0),所以B [1]=0,当前所有的节点目前都是通过节点1与最短路径网连接的,因而所有的C [i]的值都是1。
在图3(b )中,由于节点4距最短路段网内的源点(节点1)距离最小(12),节点2进入最短路径网,因而A [2]=1,此时由于节点2已进入最短路径网且与节点1直接连接,因而B [2]=R 1-2=L 12=12,而节点6和节点7通过节点2为/桥梁0,使源点距它们的距离由]和35分别缩短到42和32,其他节点不变。
图3(c)~图3(g)的过程不再赘述。
最后的结果(图3(g))表明,源点(即节点1)距节点1(其本身)的距离为0,通过的/桥梁0节点也是节点1,节点2通过节点5进入最短路径网,而节点5直接和节点1(源点)具有直接连接关系,因此源点到节点2以节点5为中介,节点3通过节点6进入最短路径网,而后者又通过节点4进入最短路径网,节点4与节点1(源点)直接相连,因此源点到节点3的最短路径为¹y ¼y ¾y »,这与图2(h)表示的最短路径网结果均一致。
图3 单源最短路径算法的辅助数组变化过程(与图2相对应)基于上述分析,不难给出以上两种算法的实现描述:1)初始化数组A 、B 、C,结果如图3(a)(对应于图2(a )),这里假设以节点1为起始(源)节点,共有n 个节点。
2)反复执行如下操作:将B [i]中值最小的元素对应的编号i(即节点i)放入A 中(即修改A [i]为1),然后修改A [j ]!=0(j !=i)对应的B [j ]和C [j ]的值,修改的前提是:如果B [j]>R 1-i +L i -j ,这里R1-i就是B[i],即如果B[j]>B[i]+L i-j,则将B[j]的值由B[i]+L i-j代替,直至所有的A[i](1≦i≦n)都是1为止。
3)输出结果,将B、C的最后值输出即可以得到最后结果,最终B中的元素值表示的是源点到该节点的最短路径的值,而C中的元素值表示从源点到该节点的最短路径链中的前一个节点编号,这个节点通常不一定是源节点,还需要通过当前节点按同样的方法求由源节点到该节点的上一个节点,直至最后的节点到达源节点。
例如求源点(节点1)到节点2的最短路径,由图3(g)可知,节点2对应的C[2]值为5,即说明由源点1到节点2最短路径中的倒数第2个节点是节点5,而节点5的前一个节点就是节点1(即C[5]=1),因此,由节点1至节点2的最短路径包括3个节点:节点1、节点5、节点2,形成最短路径¹y½yº,而这个最短路径的值即是40(B[2])。