【配套K12】中考数学黄金知识点系列专题19分式方程
2025年中考数学考点分类专题归纳之分式方程
2025年中考数学考点分类专题归纳分式方程知识点一、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根．备注：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．4．分式方程无解的原因：（1）将分式方程化为整式方程后，整式方程无解；（2）解出的整式方程的根是增根。
备注：解题时需要区分“分式方程无解”和“分式方程有增根”．知识点二、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解，所得结果应使分式方程有意义，且符合实际意义．1．（2024•甘孜州）若x＝4是分式方程的根，则a的值为（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣42．（2024•张家界）若关于x的分式方程1的解为x＝2，则m的值为（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2024•海南）分式方程0的解是（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．无解4．（2024•重庆）若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且使关于y的方程2的解为非负数，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣3B．﹣2 C．1 D．25．（2024•德州）分式方程1的解为（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．无解6．（2024•重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（）A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣187．（2024•哈尔滨）方程的解为（）A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x D．x＝18．（2017•河南）解分式方程2，去分母得（）A．1﹣2（x﹣1）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣1）＝3C．1﹣2x﹣2＝﹣3 D．1﹣2x+2＝39．（2024•临沂）新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱．各种品牌相继投放市场．一汽贸公司经销某品牌新能源汽车．去年销售总额为5000万元，今年1～5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元．销售数量与去年一整年的相同．销售总额比去年一整年的少20%，今年1﹣5月份每辆车的销售价格是多少万元？设今年1﹣5月份每辆车的销售价格为x万元．根据题意，列方程正确的是（）A．B．C．D．10．（2024•鄂尔多斯）如图，y1，y2分别表示燃油汽车和纯电动汽车行驶路程S（单位：千米）与所需费用y（单位：元）的关系，已知纯电动汽车每千米所需的费用比燃油汽车每千米所需费用少0.54元，设纯电动汽车每千米所需费用为x元，可列方程为（）A．B．C．D．11．（2024•辽阳）九年级（1）班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x千米/时，根据题意列方程得（）A．30B．30C．D．12．（2024•南岸区）市政府决定对一块面积为2400m2的区域进行绿化，根据需要，该绿化工程在实际施工时增加了施工人员，每天绿化的面积比原计划增加了20%，结果提前5天完成任务．设计划每天绿化xm2，则根据意可列方程为（）A．5B． 5C．5D． 513．（2024•巴彦淖尔）小敏上月在某文具店正好用30元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小敏只比上次多用了6元钱，却比上次多买了8本，若设她上月买了x本笔记本，则根据题意可列方程为（）A． 1 B． 1C． 1 D． 114．（2024•绥化）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同．若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为（）A．B．C．D．15．（2024•青海）某班举行趣味项目运动会，从商场购买了一定数量的乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．若每副羽毛球拍的价格比乒乓球拍的价格贵6元，且用400元购买乒乓球拍的数量与用550元购买羽毛球拍的数量相同．设每副乒乓球拍的价格为x元，则下列方程正确的是（）A．B．C．D．16．（2024•怀化）一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行100km所用时间，与以最大航速逆流航行80km所用时间相等，设江水的流速为vkm/h，则可列方程为（）A．B．C．D．17．（2024•通辽）学校为创建“书香校园”，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．100 B．100C．100 D．10018．（2024•淄博）“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．19．（2024•常德）分式方程0的解为x＝____．20．（2024•潍坊）当m＝___时，解分式方程会出现增根．21．（2024•达州）若关于x的分式方程2a无解，则a的值为____．22．（2024•眉山）已知关于x的分式方程2有一个正数解，则k的取值范围为_________．23．（2024•黄石）分式方程1的解为_______.24．（2024•无锡）方程的解是__ _．25．（2024•贺州）解分式方程：1．26．（2024•柳州）解方程．27．（2024•广西）解分式方程：1．28．（2024•东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．29．（2024•襄阳）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．30．（2024•南京）刘阿姨到超市购买大米，第一次按原价购买，用了105元，几天后，遇上这种大米8折出售，她用140元又买了一些，两次一共购买了40kg．这种大米的原价是多少？31．（2024•百色）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：（1）大巴与小车的平均速度各是多少？（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？32．（2024•德阳）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程．（1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？33．（2024•岳阳）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为33000平方米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前11天完成任务，求实际平均每天施工多少平方米？34．（2024•抚顺）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？35．（2024•盘锦）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？36．（2024•宁夏）某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克．已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元．（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？37．（2024•包头）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？38．（2024•广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少？39．（2024•乌鲁木齐）某校组织学生去9km外的郊区游玩，一部分学生骑自行车先走，半小时后，其他学生乘公共汽车出发，结果他们同时到达．已知公共汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车的速度和公共汽车的速度分别是多少？40．（2024•山西）2024年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．41．（2024•邵阳）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？42．（2024•云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？43．（2024•贵阳）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？。
2019中考数学知识点：分式方程
2019中考数学知识点：分式方程各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢5、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
6、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将”分式方程”转化为”整式方程”。
它的一般解法是：去分母，方程两边都乘以最简公分母解所得的整式方程验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
7、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
注意．方程的增根与遗根在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．8、常用的相等关系1．行程问题基本关系：s=vt⑴相遇问题：+=；⑵追及问题：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B 处追上甲，则⑶水中航行：；⑷配料问题：溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂⑸．增长率问题：⑹．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间。
⑺．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
注意语言与解析式的互化如，”多”、”少”、”增加了”、”增加为”、”同时”、”扩大为”、”扩大了”、......又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。
注意从语言叙述中写出相等关系。
如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。
又如，x与y的差为3，则x-y=3。
㈤注意单位换算如，”小时”“分钟”的换算；s、v、t 单位的一致等。
列方程解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。
其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元。
①直接未知数②间接未知数。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
中考数学黄金知识点系列专题19分式方程
专题19 分式方程聚焦考点☆温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、判断方程为分式方程【例1】下列各式中，是分式方程的是（）A．x+y=5 B．22253x y+-=C．165x=+D．1x【答案】C．【解析】D、不是方程，是分式．故选C．考点：分式方程的定义．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【举一反三】下列各式中为分式方程的是（ ）A ．x+1xB ．11123x x =+-C ．253x +=D ．10x π+= 【答案】B ．【解析】考点：分式方程的定义．考点典例二、分式方程的解及增根【例2】（2015凉山州）分式方程233x x=-的解是 ． 【答案】9x =．【解析】试题分析：方程的两边同乘(3)x x -，得：23(3)x x =-，解得9x =．检验：把9x =代入(3)540x x -=≠．∴原方程的解为：9x =．故答案为：9x =．考点：解分式方程．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016广东广州第14题）方程12＝2xx －3的解是 . 【答案】x=-1.【解析】试题分析：方程两边同乘以2x （x-3）得，x-3=4x ，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.考点：解分式方程.2.若分式方程211x m x x-=--有增根，则这个增根是 【答案】x=1．【解析】考点：分式方程的增根．考点典例三、解分式方程【例3】（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 【答案】x =15．【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．考点：解分式方程．【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016海南省第7题）解分式方程1x －1+1=0，正确的结果是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=2 D ．无解【答案】A.【解析】试题分析：1x －1+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A. 考点：解分式方程.2. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：233011x x x +-=--． 【答案】x=0．【解析】考点：解分式方程．考点典例四、分式方程的应用【例3】（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．【举一反三】1. （2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x 个物件，根据题意列出的方程是 ． 【答案】x x 45860=+． 【解析】考点：分式方程的应用.2. （2016山东滨州第14题）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．【答案】9.【解析】试题分析：设甲每小时做x 个零件，乙每小时做(x-3)个零件，根据题意得32030-=x x，解得x=9，经检验，x=9是原方程的解.考点：分式方程的应用. 课时作业☆能力提升一、选择题1. （2016湖北宜昌第8题）分式方程=1的解为（ ）A ．x=﹣1B ．x=C ．x=1D ．x=2【答案】A.【解析】试题分析：去分母得：2x ﹣1=x ﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，所以分式方程的解为x=﹣1．故答案选A ．考点：分式方程的解法．2. （2016湖北十堰第7题）用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ） A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y 1+3=0 D ．y ﹣y4+3=0 【答案】B ．【解析】 试题分析：∵设xx 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ． 考点：换元法解分式方程．3. (2016山东潍坊第10题)若关于x 的方程333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣34【答案】B.【解析】考点：分式方程的解．4. （2016新疆第9题）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A ． 152.175007500=-x xB ．412.175007500=-x xC ．152.15.75.7=-x x D ．412.15.75.7=-x x【答案】D.【解析】考点：分式方程的应用.5.若关于x 的分式方程2233x m x x++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m【答案】A.【解析】考点：1.解分式方程；2.增根的意义.6. （2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A.4804804160x x -=+ B.4804804160x x -=+ C.4804804160x x -=- D.4804804160x x -=- 【答案】B ．【解析】试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h ，根据题意，可得：4804804160x x -=+，故选B ． 考点：由实际问题抽象出分式方程．7. （2016辽宁葫芦岛第8题）A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）A.120080040x x =+B.120080040x x =-C.120080040x x =-D.120080040x x =+【答案】A ．【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．二、填空题8. （2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x －22x ＋5的值为0．【答案】2.【解析】试题分析：∵x －22x ＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.9. （2016贵州铜仁第13题）方程5302x x -=-的解为 ． 【答案】x =﹣3．【解析】试题分析：去分母，得：5x ﹣3（x ﹣2）=0，整理，得：2x +6=0，解得：x =﹣3，经检验：x =﹣3是原分式方程的解，故答案为：x =﹣3．考点：解分式方程．10. （2016江苏盐城第15题）方程21x x-=的正根为 ． 【答案】x =2．【解析】试题分析：去分母得22x x -=，整理得220x x --=，解得12x =，21x =-，经检验12x =，21x =-都是分式方程的解，所以原方程的正根为x =2．故答案为：x =2．考点：分式方程的解．三、解答题11．（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 【答案】x =15．【解析】 试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．考点：解分式方程．12. （2016福建南平第18题）解分式方程：341x x=+． 【答案】x =3．【解析】考点：解分式方程．13. （2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.14.（2016山东威海第20题）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．【答案】乙班的达标率为90%．【解析】考点：分式方程的应用.15.（2016新疆生产建设兵团第17题）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？【答案】原计划每小时种植50棵树．【解析】试题分析：设原计划每小时种植x棵树，则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵，根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解．试题解析：设原计划每小时种植x棵树，考点：分式方程的应用.。
初中数学之分式方程知识点汇总
初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。
在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
中考数学复习专项知识总结—分式方程(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—分式方程（中考必备）1、定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的解法①将分式方程化成整式方程（去分母，即等号两边同乘以最简公分母）；①解整式方程（去括号；移项；合并同类项；系数化为1或其它解法）；①检验。
3、分式方程与实际问题解有关分式方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。
认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。
根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列方程。
根据题中各个量的关系列出方程。
第4步：解方程。
根据方程的类型采用相应的解法。
第5步：检验。
检验所求得的根是否满足题意。
第6步：答。
1、能解可化为一元一次方程的分式方程。
2、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1、根据问题描述列分式方程。
2、解分式方程。
3、应用分式方程解决实际问题。
1、方程1111x x x --=+去分母后可得方程( ) A 、2210x x +-= B 、220x x -= C 、2210x x --= D 、2220x x +-=2、解方程：①21124x x x -=-- ①25231x x x x +=++3、某工人现在平均每天比原来多做20个零件。
已知现在做1600个零件和原来做1200个零件所用的时间相同，问该工人现在平均每天做多少个零件？4、已知甲做90个零件和乙做120个零件所用的时间相同，又知每小时甲、乙两人共做35个零件。
问甲、乙每小时各做多少个零件？5、某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时。
问采用新工艺前每小时加工多少个零件？6、某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务。
问原计划每天修路多少米？。
中考数学分式方程
中考数学专题复习(分式方程)【基础知识回顾】一、分式方程的概念分母中含有的方程叫做分式方程【提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】二、分式方程的解法：1、解分式方程的基本思路是2、解分式方程的一般步骤：1、2、3、3、增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
提醒：分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略三、分式方程的应用：解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须既要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型】考点一：分式方程的概念（解为正、负数）例1 关于x的方程211x ax+=-的解是正数，则a的取值范围是（D）A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2解：去分母得，2x+a=x－1，∴x=－1－a，∵方程的解是正数，∴－1－a＞0即a＜－1。
又因为x－1≠0，∴a≠－2。
则a的取值范围是a＜－1且a≠－2，解答本题时，易漏掉a≠－2，这是因为忽略了x－1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．对应训练 已知关于x 的分式方程22x +－2a x +=1的解为负数，那么字母a 的取值范围是 ． 答案：a ＞0且a ≠2考点二：分式方程的解法例2解方程：261339x x x x +=+--． 解：方程的两边同乘（x +3）（x －3），得 x （x －3）+6=x +3，整理，得x 2－4x +3=0，解得x 1=1，x 2=3．经检验：x =3是方程的增根，x =1是原方程的根，故原方程的根为x =1．对应训练解分式方程：231422x x x x+=++． 解：去分母得：3x +x +2=4， 解得：x =12， 经检验，x =12是原方程的解． 考点三：分式方程的增根问题 例3若分式方程：2+12kx x --=12x-有增根，则k = ． 思路分析：把k 当作已知数求出x =22k-，根据分式方程有增根得出x －2=0，2－x =0，求出x =2，得出方程22k-=2，求出k 的值即可． 解：∵分式方程2+12kx x --=12x -有增根， 去分母得：2（x －2）+1－kx =－1，整理得：（2－k ）x =2，当2－k ≠0时，x =22k-； 当2－k =0是，此方程无解，即此题不符合要求；∵分式方程2+12kx x --=12x -有增根，∴x －2=0，2－x =0，解得：x =2，即22k -=2， 解得：k =1．故答案为：1．点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．对应训练 已知关于x 的分式方程12a x -+=1有增根，则a = ． 解：方程两边都乘以（x +2）得， a －1=x +2，∵分式方程有增根，∴x +2=0，解得x =－2，∴a －1=－2+2，解得a =1．故答案为：1．考点四：分式方程的应用例4 岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？解：设乙队需要x 个月完成，则甲队需要（x －5）个月完成，根据题意得：11156x x +=-， 解得：x =15，经检验x =15是原方程的根．答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；对应训练某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30支．求第一次每支铅笔的进价是多少元？解：（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，根据题意列方程得，6006003054x x -=，解得，x =4，检验：当x =4时，分母不为0，故x =4是原分式方程的解． 答：第一次每只铅笔的进价为4元．【山东中考】1．对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b =﹣．若2⊕（2x ﹣1）=1，则x =（A ）A ．B ．C ．D ．﹣解答： 解：∵2⊕（2x ﹣1）=1，∴﹣=1，去分母得2﹣（2x ﹣1）=2（2x ﹣1），解得x =，检验：当x =时，2（2x ﹣1）≠0，故分式方程的解为x =． 2．把分式方程214x x=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A ．x B ．2x C ．x +4 D ．x （x +4）答案：D ．3．分式方程21221339x x x -=-+-的解为（ ） A ．3 B ．－3 C ．无解 D ．3或－3 答案：C4．小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了14，设公共汽车的平均速度为x 千米/时，则下面列出的方程中正确的是（ ）答案：A A ．40340204x x =⨯+ B ．40340420x x =⨯+ C ．40140204x x +=+ D ．40401204x x =-+ 5．运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x 元，根据题意可列方程为（ ）A ．4030201.5x x -= B ．4030201.5x x -= C ．3040201.5x x -= D ．3040201.5x x -=答案：B 6．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．分析： 根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．解答： 解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：=+，故选：D ．7．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x 台机器，则可列方程为（ ）A ．B ．C ．D ．分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．解答： 解：设原计划每天生产x 台机器，则现在可生产（x +50）台． 依题意得：=．故选：C ． 8．解方程：321x x =+． 解：方程的两边同乘x （x +1），得：3（x +1）=2x ，解得：x =－3．检验：把x =－3代入x （x +1）=6≠0，即x =－3是原分式方程的解．故原方程的解为：x =－3． 9．解方程：28124x x x -=--． 解：原方程即：812(2)(2)x x x x -=-+-． 方程两边同时乘以（x +2）（x －2），得x （x +2）－（x +2）（x －2）=8．化简，得 2x +4=8．解得：x =2．检验：x =2时，（x +2）（x －2）=0，即x =2不是原分式方程的解，则原分式方程无解．10．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得1111.512x x+=，解得x=20，经检验知x=20是方程的解且符合题意．1.5x=30故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y－1500）元，根据题意得12（y+y－1500）=102000，解得y=5000，甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000－1500）=105000（元）；故甲公司的施工费较少．。
初中数学常考的知识点：分式方程
初中数学常考的知识点：分式方程
初中数学常考的知识点：分式方程
导语：书到用时方恨少，事非经过不知难。
下面小编为大家整理了：初中数学技巧，希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!
分式方程：
含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分式的混合运算:
分式的.混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a^0=1(a不等于0);当n为正整数时，a^-n=1/(a^n)(a不等于0) 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数
分式的加减法则：
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：b(a)± b(c)= b(a±c)
法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为：b(a)± d(c)=bd(ad)± bd(bc)=bd(ad±bc)
注意：(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略;
(2)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性;
(3)运算时顺序合理、步骤清晰;
(4)运算结果必须化成最简分式或整式。
分式方程知识点归纳(K12教育文档)
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分式方程知识点归纳1. 分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零.3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注:(1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时,要注意C ≠0,以及隐含的B ≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3。
分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2) 最简分式:分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式.4) 最简公分母：取“各个分母"的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。
中考数学专题——分式方程
中考专题——分式方程考点解读考点扫描：1. 了解分式方程的概念，会判断方程是否为分式方程.2. 会解可化为一元一次和一元二次方程的分式方程，了解增跟产生的原因，会检验根的合理性.3. 能根据具体问题中的数量关系，列分式方程解决简单的实际问题.复习建议：建议在平时复习及练习时，要注意对一元二次方程及解的理解，加强解一元二次方程训练提高运算能力，联系生活实践，注意用数学知识解决生活中的实际问题，加强这部分的配套练习.试题特点：写出本课时在中考中所占分值及百分比，并指出考查题型。
金题精析：考点一：分式方程及解的概念例题（2008山东烟台）请选择一组,a b 的值，写出一个关于x 的形如2ab x =-的分式方程， 使它的解是0x =，这样的分式方程可以是______________.思路点拨：分式方程是分母含有未知数的方程，能够使分式方程成立的未知数的值 叫分式方程的解.解析：0x =是方程的解，将0x =代入2a b x =- 得，b a =-20，2ab -=，所以 只要取一对a,b 的值符合2a b -=， 例如 取1=a ，21-=b ，得方程2121-=-x .规律总结：分式方程中分母不能为0.[针对训练]：1.（2008黑龙江齐齐哈尔）关于x 的分式方程15mx =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数C ．5m <-时，方程的解为负数D ．无法确定2（2008湖北襄樊）当m=_________时,关于x 的分式方程132-=-+x mx 无解. 考点二 分式方程的解法. 例题（2008四川凉山州）分式方程263111x x -=--的解是 ． 思路点拨：解分式方程的关键步骤是去分母，在方程的两边同时乘以分母的最简公分母，去掉分母。
化为整式方程，解整式方程求出未知数的值，特别注意分式方程在两边同时乘以分母的最简公分母时可能产生不适合原方程的根，因此解分式方程要检验是否有增根的存在.解析：先将方程263111x x -=--的分母分解因式，131)1)(1(6-=--+x x x ，分母 的最简公分母是)1)(1(-+x x ，所以两边同时乘以)1)(1(-+x x 去掉分母得，)1(3)1)(1(6+=-+-x x x ，整理得0432=-+x x ，解方程得，41-=x ，12=x .检验：当41-=x 时，015)14)(14()1)(1(≠=--+-=-+x x ，所以41-=x 是原方程的解.当12=x 时，0)1)(1(=-+x x ，所以12=x 是增根，舍去.所以原方程的根是4-=x . 规律总结：检验增根只需要将解出的未知数的值代入所乘的最简公分母检验，不等于0是原方程的解，等于0就是增根 [针对训练]：1.（2008上海）解方程：2654111x x x x x ++=--+ 2.（2008赤峰）解分式方程：2112323x x x -=-+考点三 实践与探索 例题：（2008四川内江）今年以来受各种因素的影响，猪肉的市场价格仍在不断上升．据调查，今年5月份一级猪肉的价格是1月份猪肉价格的1.25倍．小英同学的妈妈同样用20元钱在5月份购得一级猪肉比在1月份购得的一级猪肉少0.4斤，那么今年1月份的一级猪肉每斤是多少元？解析：设今年1月份的一级猪肉每斤是x 元，则5月份的一级猪肉每斤是1.25x 元， 由题意，得20200.41.25x x-=，解得x=10，经检验x=10是原方程的解. 答：今年1月份的一级猪肉每斤是10元。
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专题19 分式方程聚焦考点☆温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、判断方程为分式方程【例1】下列各式中，是分式方程的是（）A．x+y=5 B．22253x y+-=C．165x=+D．1x【答案】C．【解析】D、不是方程，是分式．故选C．考点：分式方程的定义．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【举一反三】下列各式中为分式方程的是（ ）A ．x+1xB ．11123x x =+- C ．253x += D ．10x π+= 【答案】B ．【解析】考点：分式方程的定义．考点典例二、分式方程的解及增根【例2】（2015凉山州）分式方程233x x=-的解是 ． 【答案】9x =．【解析】试题分析：方程的两边同乘(3)x x -，得：23(3)x x =-，解得9x =．检验：把9x =代入(3)540x x -=≠．∴原方程的解为：9x =．故答案为：9x =．考点：解分式方程．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016广东广州第14题）方程12＝2xx －3的解是 . 【答案】x=-1.【解析】试题分析：方程两边同乘以2x （x-3）得，x-3=4x ，解得x=-1，经检验x=-1是原方程的解.考点：解分式方程.2.若分式方程211x m x x-=--有增根，则这个增根是 【答案】x=1．【解析】考点：分式方程的增根．考点典例三、解分式方程【例3】（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 【答案】x =15．【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．考点：解分式方程．【点睛】本题考查解分式方程的能力，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016海南省第7题）解分式方程1x －1+1=0，正确的结果是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=2 D ．无解【答案】A.【解析】试题分析：1x －1+1=0，1+x-1=0，x=0，经检验：x=0是原方程的根，故选A. 考点：解分式方程.2. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：233011x x x +-=--． 【答案】x=0．【解析】考点：解分式方程．考点典例四、分式方程的应用【例3】（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．【举一反三】1. （2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x 个物件，根据题意列出的方程是 ． 【答案】x x 45860=+． 【解析】考点：分式方程的应用.2. （2016山东滨州第14题）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．【答案】9.【解析】试题分析：设甲每小时做x 个零件，乙每小时做(x-3)个零件，根据题意得32030-=x x ，解得x=9，经检验，x=9是原方程的解.考点：分式方程的应用. 课时作业☆能力提升一、选择题1. （2016湖北宜昌第8题）分式方程=1的解为（ ）A ．x=﹣1B ．x=C ．x=1D ．x=2【答案】A.【解析】试题分析：去分母得：2x ﹣1=x ﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，所以分式方程的解为x=﹣1．故答案选A ．考点：分式方程的解法．2. （2016湖北十堰第7题）用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ） A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y1+3=0 D ．y ﹣y 4+3=0 【答案】B ．【解析】 试题分析：∵设xx 122-=y ，则122-x x =y 1，原方程可转化为：y ﹣y 4=3，即y ﹣y 4﹣3=0．故答案选B ． 考点：换元法解分式方程．3. (2016山东潍坊第10题)若关于x 的方程333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣34【答案】B.【解析】考点：分式方程的解．4. （2016新疆第9题）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A ． 152.175007500=-x xB ．412.175007500=-x xC ．152.15.75.7=-x x D ．412.15.75.7=-x x【答案】D.【解析】考点：分式方程的应用.5.若关于x 的分式方程2233x m x x++=--有增根，则m 的值是( ). A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m【答案】A.【解析】考点：1.解分式方程；2.增根的意义.6. （2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A.4804804160x x -=+ B.4804804160x x -=+ C.4804804160x x -=- D.4804804160x x -=- 【答案】B ．【解析】试题分析：设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，则高铁列车的平均速度为（x+160）km/h ，根据题意，可得：4804804160x x -=+，故选B ． 考点：由实际问题抽象出分式方程．7. （2016辽宁葫芦岛第8题）A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）A.120080040x x =+B.120080040x x =-C.120080040x x =-D.120080040x x =+【答案】A ．【解析】考点：由实际问题抽象出分式方程．二、填空题8. （2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x －22x ＋5的值为0．【答案】2.【解析】试题分析：∵x －22x ＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2. 考点：分式.9. （2016贵州铜仁第13题）方程5302x x -=-的解为 ． 【答案】x =﹣3．【解析】试题分析：去分母，得：5x ﹣3（x ﹣2）=0，整理，得：2x +6=0，解得：x =﹣3，经检验：x =﹣3是原分式方程的解，故答案为：x =﹣3．考点：解分式方程．10. （2016江苏盐城第15题）方程21x x-=的正根为 ． 【答案】x =2．【解析】试题分析：去分母得22x x -=，整理得220x x --=，解得12x =，21x =-，经检验12x =，21x =-都是分式方程的解，所以原方程的正根为x =2．故答案为：x =2．考点：分式方程的解．三、解答题11．（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 【答案】x =15．【解析】 试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．考点：解分式方程．12. （2016福建南平第18题）解分式方程：341x x=+． 【答案】x =3．【解析】考点：解分式方程．13. （2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米， 根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.14.（2016山东威海第20题）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．【答案】乙班的达标率为90%．【解析】考点：分式方程的应用.15.（2016新疆生产建设兵团第17题）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？【答案】原计划每小时种植50棵树．【解析】试题分析：设原计划每小时种植x棵树，则实际劳动中每小时植树的数量是120%x棵，根据“结果提前2小时完成任务”列出方程并求解．试题解析：设原计划每小时种植x棵树，考点：分式方程的应用.。