专题2：数列-学生版

数 列1.设数列{}n a 满足：123232n n a a a na ++++=*()n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n n b n a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．2.已知等差数列{a n }的前n 项和为Sn ，且a 3=5，S 15=225。

（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）设b n =na 2+2n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。

3.在数列{}n a 中，13a =，121n n a a n -=--+(2n ≥且*)n ∈N ． ⑴求2a ，3a 的值；⑵证明：数列{}n a n +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；⑶求数列{}n a 的前n 项和n S ．4.在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且553=+a a ，又3a 与5a 的等比中项为2。

（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log 5-=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列}{n S 的通项公式； （3）设n n S S S T 11121+++=，求n T .5.已知数列}{n a 满足21n n n ta S S =+-（t>0，n ≥2），且01=a ，n ≥2时，n a >0．其中n S 是数列n a 的前n项和．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若对于n ≥2，n ∈N *，不等式211114332<++++n n a a a a a a 恒成立，求t 的取值范围．6.在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（1）证明数列{}n a n -是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求n n S S 41-+的最大值。

7.设数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知对任意*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）证明数列{}n a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）证明211121<+++nS S S ；（3）设集合km m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k ，若存在m ∈M ，使对满足m n > 的一切正整数n ，不等式210052nn a S >-恒成立，求这样的正整数m 共有多少个？8.各项都为正数的数列{}n a ，满足22111, 2.n n a a a +=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明12111n a a a +++≤ 对一切n N *∈恒成立.9.数列{}n a 中，32n a =，63n S =，（1）若数列{}n a 为公差为11的等差数列，求1a ； （2）若数列{}n a 为以11a =为首项的等比数列，求数列2{}m a 的前m 项和.m S '10.已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足2(1)n n p S p a -=-，其中p 为正常数，且 1.p ≠ （1）求数列{}n a的通项公式；（2）设1()2log n p nb n a =∈-N *，数列{}2n n b b +的前n 项和为n T ，求证：3.4n T <11.已知数列{}n a 满足：111,1,22,nn n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（1）求234,,a a a ；（2）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式；（3）求和S2n+1=.12221+++++n n a a a a12.为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。

据初步统计，到2004年底库区的绿化率只有30%。

计划从2005年开始加大绿化造林的力度，每年原来坡度在25°以上的坡荒面积的16%将被造林绿化，但同时原有绿化面积的4%还是会被荒化。

设该地区的面积为1，2004年绿化面积为1031=a ，经过一年绿化面积为a 2，…，经过n 年绿化面积为.1+n a（1）试写出n n a a 与1+的关系式，并证明数列}54{1-+n a 是等比数列； （2）问至少需要经过多少年努力，才能使库区的绿化面积超过60%？13.等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值； （2）当b=2时，记1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T14.已知数列｛a n ｝是公差为1的等差数列，｛c n ｝是公比不为1的等比数列，且每一项均为正整数，如果数列｛a n ｝的子数列1c a ,2c a ,3c a ,…nc a ,…也是等比数列，求｛a n ｝的前n 项的和。

15.已知21),0,5(),0,1(,,12121=+n n n A A A A x A A A 轴上依次在)3,2(,1 =-n A A n n 、点B 1、B 2……B n ……依次在射线)0(≥=x x y 上，且B 1（3，3）)3,2(22||||1 =+=-n n n（1）用n 表示n n B A 与的坐标；（2）设直线n n B A 斜率为K ，求nn K ∞→lim 的值；（3）若四边形A n A n+1B n+1B n 面积为S ，求S 的取值范围.16.设定义在R 的函数)(x f 满足：①对任意的实数x 、y R ∈有).()()(y f x f y x f ⋅=+②当x>0时，f （x ）>1、数列*)(,)1(1)(),0(}{11N n a f a f f a a n n n ∈--==+且满足（1）求)(),0(x f f 并判断的单调性； （2）求数列}{n a 的通项公式a n（3）令b n 是最接近++=∈<-2111*,,21||,b b T N b b a a n n n n n 设即的正整数.*),(11000T N n b n求∈17. 若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3nnS t =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1nn cb a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数t 的取值范围．18.已知函数))((,1}{,13)(11*+∈==+=N n a f a a a x xx f n n n 满足数列（1）求证：数列}1{n a 是等差数列；（2）记)(,)(221x S a x a x a x x S n n n n 求+++= .19.数列}{n a 满足：*).(2123,23,11221N n a a a a a n n n ∈-===++（1）记n n n a a d -=+1，求证：{d n}是等比数列；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）令23-=n b n ，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和S n。

20.设111(,)P x y 、222(,)P x y是()x f x =图象上的两点，且121()2OP OP OP =+ ，点P 的横坐标为12．（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若*1(),N nn i iS f n n ==∈∑，求n S ；（3）记T n为数列的前n项和，若1(n n T a S +<对一切*N n ∈都成立，试求a的取值范围．21.已知正项数列{}n a 满足：()()()2*113,2122181,n n a n a n a n n n N -=-+=++>∈ ．（1）求证：数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）求12111lim n n a a a →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 的值．22.已知：等差数列{a n }中，a 3 + a 4 = 15，a 2a 5 = 54，公差d < 0.（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）求n a S nn -的最大值及相应的n 的值.23.数列{}n a ，)(32,1211*+∈+-==N n n n a a a n n ，是否存在常数λ、μ，使得数列{}n n a n μλ++2是等比数列，若存在，求出λ、μ的值，若不存在，说明理由。

24.已知4)1(2-=+x x f ，等差数列｝｛n a 中，)( ,23),1(321x f a a x f a =-=-=；⑴求实数x 的值；⑵求数列｝｛n a 的通项公式； ⑶求26852a a a a ++++ 的值；25.已知数列{an}的前n 项之和为Sn ，点(n,n S n)在直线y=2x+1上，数列{b n }满足n n n a b b b =-++-+-313131221 (n ∈N ﹡)。

（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前n 项之和T n ；（3）是否存在常数p(p ≠-1)，使数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)3(3p n T n n 是等比数列？若存在，求出p 的值；若不存在请说明理由。

26.已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设bn ＝1(3)n n a +（n ∈N*），S n＝b 1＋b 2＋…＋b n，是否存在最大的整数t ，使得任意的n 均有S n＞36t 总成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．27. 已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式； （3）设1lg 3n n n a b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．28.已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+.⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；29.已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1+2a 2+22a 3+…+2n －1a n =4n 对任意的n ∈N*都成立，数列{b n+1－b n }是等差数列. （1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）问是否存在k ∈N*，使得b k －a k ∈（0，1）？若存在，求出所有的k ；若不存在，说明理由.30.从数列{}n a 中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{}n a 的一个子数列． 设数列{}n a 是一个首项为1a 、公差为d (0)d ≠的无穷等差数列． （1）若1a ，2a ，5a 成等比数列，求其公比q ．（2）若17a d =，从数列{}n a 中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．（3）若11a =，从数列{}n a 中取出第1项、第m (2)m ≥项（设m a t =）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t 为何值时，该数列为{}n a 的无穷等比子数列，请说明理由．31.已知数列{}n a 满足：16a =，)2)(1(21++++=+n n a n n a n n 。