八年级数学等边三角形
八年级数学(人教版)最困难考点5 等腰(等边)三角形(解析版)
等腰（等边）三角形★★★○○○○等腰（等边）三角形的定义有两边相等，且底角相等的三角形叫等腰三角形(等边三角形)，相等的两个边称为这个三角形的腰。
细微区别在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
在同一三角形中，有两个底角（底角指三角形最下面的两个角）相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。
在同一三角形中，三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合的三角形是等腰三角形。
（简称：三线合一）。
主要特点1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.等腰三角形是轴对称图形，最少有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。
等边三角形的定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（注意：若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）。
等边三角形的性质1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。
2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）等边三角形的判定⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
等腰直角三角形的定义有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。
北师版八年级下册数学 第1章 【教案】 等边三角形的判定
等边三角形的判定
课题等边三角形课时 2
教学目标知识与技能
理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相
应的数学问题．
过程与方法
在探索等边三角形的性质和判定的过程中，体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．
情感价值观
培养学生的分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯．
教学重点理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法；能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题．
教学难点等边三角形性质和判定的应用．
教学方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．
媒体资源多媒体投影
教学过程
教学流程教学活动
学生
活动
设计
意图
创设情境引出内容1、在等腰三角形中，有一类特殊的三角形——三条边
都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角
形．
2、结合等腰三角形的性质与判定你能探索等边三角形
的性质与判定吗？
独立
思考
交流
完成
引出
课题
等边三角形性质和判定1、等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每个内角都是60°．
2、等边三角形的判定：
（1）：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（2）：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
归纳
证明
明确
知识
分析应用如图，兴趣小组在一次测量活动中测得∠APB＝60°，
AP=BP=200 m，他们便得出了结论：池塘最长处不小
于200 m．他们的结论对吗？
独立
思考
的基
础上
进行
讨论
巩固
性质。
部编数学八年级上册专题08等边三角形的判定和性质(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题08 等边三角形的判定和性质考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·凉山期末）如图， MNP V 中， 60P Ð=° ， MN NP = ， MQ PN ⊥ ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取 NG NQ = ，若 MNP V 的周长为12，MQ m = ，则 MGQ V 周长是（ ）A ．8＋2mB ．8＋mC ．6＋2mD ．6＋m 【答案】C【完整解答】解：∵60P Ð=° ， MN NP = ，∴△PMN 是等边三角形，∵MQ PN ⊥ ，∴QN=PQ= 12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵NG NQ = ，∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG= 12MN ，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG ，∵MNP V 的周长为12， MQ m = ，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，∴MGQ V 周长是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案为：C.【思路引导】易得△PMN 是等边三角形，得QN=PQ=12MN ，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根据等腰三角形的性质可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=12MN ，推出QM=QG ，根据△MNP 的周长可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m ，据此求解.2．（2分）（2021八上·铁岭期末）如图，E 是等边ΔABC 中AC 边上的点，12Ð=Ð，BE CD =，则ADE ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】B【完整解答】解：∵△ABC 为等边三角形∴AB=AC ，∠BAE=60°，∵∠1=∠2，BE=CD ，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴AE=AD ，∠BAE=∠CAD=60°，∴△ADE 是等边三角形．故答案为：B ．【思路引导】利用等边三角形的判定与性质即可得出结论。
人教版数学八年级上册课件等边三角形的判定
∴ ∠B =∠C ，
∵∠B =60°
A
∴ ∠C=60°
∴ ∠A =180°-∠B -∠C=60°
∴ ∠A =∠B =∠C
B
C
∴ △ABC 是等边三角形．
1.张老师原本做了一个更大的等边三角形， 但是不小心在三角形一边上溅了一片墨水， 不得不把它剪小。你知道张老师是怎么剪一 刀变成现在的等边三角形的吗？
A D
E B
F C
2.在等边△ABC内部作DE∥AB，DF∥AC， EF∥BC，假如平移的距离相等
A
D
E B
F C
3.刚才的问题，假如改为“不小心在三角形 三个顶点附近各溅了一片墨水”，此问题又 该如何解决？
A
D
BE
F C
3.在等边△ABC的三边上，分别取点D，E，F， 使AD=BE=CF，连接DE、EF、FD
A D
F
BE
C
3.在等边△ABC的三边上，分别取点D，E，F， 使AD=BE=CF，连接DE、EF、FD
A D
F
BE
C
4.在等边△ABC的三边上，分别取中点D，E， F，连接DE、EF、FD
A
D
F
B
C
E
作业：利用等边三角形的相关知识，完成一 份精美手工小制作
A
A
D
D
F
E B
F
CB
C
E
A
B
C
法1：在等边△ABC的边AB、AC上分别截取
AD=AE，连接DE
法2：在等边△ABC的边AB上取点D，作
∠ADE=60°，交AC于E
法3：在等边△ABC内部作DE∥BC，分别交AB
人教版数学八年级上册 等边三角形
∵在Rt△ABC 中， ∠C =90°，∠A=30°， ∴
例题 下图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱 BC、 DE 垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC 、 DE 要多长?
答案：3.7m，1.85m．
练习 在Rt△ABC 中，∠C =90° ，∠B=2∠A ，∠B 和∠A各是多少度 ，边AB 和BC 之间有什么关系？
∵∠B=60°
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=60°， ∴∠A=∠B=∠C， ∴△ABC 是等边三角形．
归纳
要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？
方法一
方法二
方法三
三边相等的 三角相等的 三角形是等 三角形是等 边三角形 边三角形
有一个角是60°的等腰 三角形是等边三角形
例题
如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC， 分别交AB，AC 于点D ，E．求证：△ADE 是等边三角形． 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠ADE，∠C =∠AED． ∴∠A=∠ADE =∠AED． ∴△ADE 是等边三角形． 想一想，还有其他证法吗？
证明
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
∵AB=AC，BD=DC ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC ∵BA=BC，EA=EC ∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC ∵CA=CB，AF=BF ∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB
结论
等边三角形的每条边上的中线、高和这 条边所对的角的平分线都分别重合．
证明
三个角都相等的三角形是等边三角形
已知：△ABC 中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC 是等边三角形．
初中数学人教八年级上册第十三章轴对称-等边三角形的性质与判定
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个 内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的 问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角 和与外角的性质.
例2 △ABC为正三角形，点M是BC边上任
意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝
CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多
少度？
解：∵△ABC为正三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN， ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
底边上的中线、高和顶角 每一边上的中线、高和这一边
的平分线互相重合
所对的角的平分线互相重合
对称轴（1条）
对称轴（3条）
典例精析
例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点， D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝ 40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
∴ △ADE是等边三角形.
变式1 若点D、E 分别在边AB、AC 的延长线上，
且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， A
∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
B
C
∠ACB =∠AED.
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
D
E
∴ △ADE 是等边三角形.
解：△APQ为等边三角形．证明如下： ∵△ABC为等边三角形，
人教初中数学八上《等边三角形》教案 (公开课获奖)3
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．
[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角
形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．
[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方， 再 乘除，然后加减，最后结果分子 、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.
（教科书）例 8 计算： [分析] 这道题是 分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方， 再乘除，然后加减，注意有括号先算括号内的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要
活动 6 整体感知 通过本节课的学习你有那 些收获？ 你还有什么疑惑吗
学生回顾本节课的内容，谈谈自己的收 获，不拘形式。
进一步梳理知识，巩 固知识，使学生养成 自我评价的良好习 惯。
活动 7：作业
在例题图形的基础之上, 教师动画演示图形的变化。
将△ ADE 绕 A 顺时针旋转
120°，连接 CE、BD，与
学生能从图片中抽象出等边三角形的形象， 从学生的生活经验
看一组图片：上海世博会 进而产生 求知欲：等边三角形有什么特 出发，在丰富 的现
永久性标志建筑之一世博 点？
实情境中，感受到
轴、跳棋、警示牌、国旗、 教师引出课题 ：等边三角形
“等边三角形”无处
等，感受“等边三角形”。
不在。
活动 2： 回顾：什 么是等边三角 形？它与以 前学过的等 腰三角形有何关系？
15.2.2 分式的加减
八年级数学《等边三角形》练习题
八年级数学《等边三角形》练习题八年级数学《等边三角形》练题1、填空题1）等边三角形的三条边相等，三个内角都是60度，且每个内角都等于180度/3=60度。
2）等边三角形有三条对称轴。
3）等边三角形的中心、重心、外心互相重合。
4 )等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三条中线所在的直线。
5）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，如果∠ABE=40°，那么∠CBD=80度。
2．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=90度。
3．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=60度。
4．△ABC中，∠B=∠C=15度，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD的长度是2cm。
一、选择题1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）C．120度2．下列三角形：①有两个角等于60度；②有一个角等于60度的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）B．①②④3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）A．等边三角形4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30度，AD=2cm，则AB的长度是（）D．16cm5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）A．等腰三角形三、解答题1．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？答：60度。
2．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△XXX的形状并说明理由。
答：①因为AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠CDE=∠CED=60度，所以△BCE≌△ACD；②因为AD=CE，∠AED=∠CED=60度，所以△AED≌△CED，从而CF=CH；③因为CF=CH，∠XXX∠CHF=60度，所以△CFH是等边三角形。
2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等边三角形常考作辅助线法(解析版)
等边三角形常考作辅助线法技巧1：作平行线法技巧2：截长补短法【典例1】（烟台）如图在等边三角形ABC中点E是边AC上一定点点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．【问题解决】如图1 若点D在边BC上求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2 若点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE如图1所示：∵△ABC是等边三角形∴∠ECH＝60°∴△CEH是等边三角形∴EH＝EC＝CH∠CEH＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝FE∠DEF＝60°∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°∴∠DEH＝∠FEC在△DEH和△FEC中∴△DEH≌△FEC（SAS）∴DH＝CF∴CD＝CH+DH＝CE+CF∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝60°过D作DG∥AB交AC的延长线于点G如图2所示：∵GD∥AB∴∠GDC＝∠B＝60°∠DGC＝∠A＝60°∴∠GDC＝∠DGC＝60°∴△GCD为等边三角形∴DG＝CD＝CG∠GDC＝60°∵△EDF为等边三角形∴ED＝DF∠EDF＝∠GDC＝60°∴∠EDG＝∠FDC在△EGD和△FCD中∴△EGD≌△FCD（SAS）∴EG＝FC∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-1】（2020秋•句容市期中）如图在等边三角形ABC中点E是边AC上一定点点D是射线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．【问题解决】如图1 点D与点B重合求证：AE＝FC；【类比探究】（1）如图2 点D在边BC上求证：CE+CF＝CD；（2）如图3 点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？直接写出你的结论．【答案】详见解答【解答】证明：【问题解决】∵△ABC和△DEF是等边三角形∴AB＝BC∠ABC＝∠EDC＝60°DE＝DF∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EDC﹣∠EBC即∠ABE＝∠CBF在△ABE和△CBF中∴△ABE≌△CBF（SAS）∴AE＝CF；【类比探究】（1）如图2 在CD上截取CH＝CE连接EH∵△ABC是等边三角形∴∠ECH＝60°∴△CEH是等边三角形∴EH＝EC＝CH∠CEH＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝FE∠DEF＝60°∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°∴∠DEH＝∠FEC在△DEH和△FEC中∴△DEH≌△FEC（SAS）∴DH＝CF∴CD＝CH+DH＝CE+CF∴CE+CF＝CD；（2）线段CE CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠B＝60°过D作DG∥AB交AC的延长线于点G如图3所示：∵GD∥AB∴∠GDC＝∠B＝60°∠DGC＝∠A＝60°∴∠GDC＝∠DGC＝60°∴△GCD为等边三角形∴DG＝CD＝CG∠GDC＝60°∵△EDF为等边三角形∴ED＝DF∠EDF＝∠GDC＝60°∴∠EDG＝∠FDC在△EGD和△FCD中∴△EGD≌△FCD（SAS）∴EG＝FC∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．【变式1-2】（天心区期中）如图在等边△ABC中点D是边AC上一定点点E是直线BC上一动点以DE为一边作等边△DEF连接CF．（1）如图1 若点E在边BC上且DE⊥BC垂足为E求证：CD＝2CE；（2）如图1 若点E在边BC上且DE⊥BC垂足为E求证：CE+CF＝CD；（3）如图2 若点E在射线CB上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【答案】详见解答【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°又∵DE⊥BC∴∠DEC＝90°∠EDC＝30°∴CD＝2CE；（2）∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠EDC＝30°∴∠FDC＝30°＝∠EDC DC＝DC∴△EDC≌△FDC（SAS）∴CE＝CF∴CD＝2CE＝CE+CF；（3）当点E在线段BC上如图2 结论：CD＝CE+CF理由如下：如图2 在BC上截取CG＝CD连接GD∵∠DCG＝60°∴△DCG是等边三角形∴DG＝DC∠GDC＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠GDE+∠EDC＝60°＝∠EDC+∠CDF∴∠GDE＝∠CDF∴△GDE≌△CDF（SAS）∴GE＝CF∴CD＝CG＝CE+EG＝CE+CF；当点E在射线BC延长线上如图3 结论：CE＝CD+CF理由如下：如图3 在BC上截取CG＝CD连接GD∵∠DCG＝60°∴△DCG是等边三角形∴DG＝DC∠GDC＝60°∵△DEF是等边三角形∴DE＝DF∠EDF＝60°∵∠GDE+∠GDF＝60°＝∠GDF+∠CDF∴∠GDE＝∠CDF∴△GDE≌△CDF（SAS）∴GE＝CF∴CE＝CG+EG＝CD+CF．【典例2】（2020秋•湖南期末）如图△ABC是等边三角形点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点点D从点A出发沿射线AB移动点E从点B出发沿BG移动点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．（1）如图①当点D移动到线段AB的中点时求证：DE＝DC．（2）如图②当点D在线段AB上移动但不是中点时试探索DE与DC之间的数量关系并说明理由．（3）如图③当点D移动到线段AB的延长线上并且ED⊥DC时求∠DEC度数．【答案】详见解答【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形AD＝DB∴∠DCB＝∠ACB＝30°AD＝DB由题意得AD＝BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠BED∵∠BDE+∠BED＝∠ABC＝60°∴∠BDE＝∠BED＝30°∴∠DCE＝∠BED∴DE＝DC．（2）解：DE＝DC理由如下：作DF∥AC交BC于F则∠BDF＝∠A＝60°∠DFB＝∠ACB＝60°∴△DBF为等边三角形∴DB＝DF＝BF∠DBF＝∠DFB＝60°∴FC＝AD＝BE∠DBE＝∠DFC在△DBE和△DFC中∴△DBE≌△DFC（SAS）∴DE＝DC；（3）解：在BE上截取BH＝BD连接DH∵∠DBH＝∠ABC＝60°∴△BDH为等边三角形∴DH＝DB∠BDH＝∠BHD＝60°∴∠DHE＝∠DBC＝120°∵AD＝BE BH＝BD AB＝BC∴HE＝BC在△DHE和△DBC中∴△DHE≌△DBC（SAS）∴∠HDE＝∠BDC∵∠EDC＝90°∠HDB＝60°∴∠HDE+∠BDC＝30°∴∠HDE＝∠BDC＝15°∴∠DEC＝∠DHC﹣∠HDE＝45°．【变式2-1】（道外区期末）如图△ABC中AB＝AC点D在AB边上点E在AC的延长线上且CE＝BD连接DE交BC于点F．（1）求证：EF＝DF；（2）过点D作DG⊥BC垂足为G求证：BC＝2FG．【答案】详见解答【解答】证明：（1）过点D作DH∥AC DH交BC于H如图1所示：则∠DHB＝∠ACB∠DHF＝∠ECF∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠B＝∠DHB∴BD＝HD∵CE＝BD∴HD＝CE在△DHF和△ECF中∴△DHF≌△ECF（AAS）∴EF＝DF；（2）如图2 由（1）知：BD＝HD∵DG⊥BC∴BG＝GH由（1）得：△DHF≌△ECF∴HF＝CF∴GH+HF＝BH+CH＝BC∴BC＝2FG．【变式2-2】（东城区期末）（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1 等边△ABC边长为2 过AB边上一点P作PE⊥AC于E Q为BC延长线上一点且AP＝CQ连接PQ交AC于D求DE的长．小明同学经过认真思考后认为可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2 当P为BA的延长线上一点时作PE⊥CA的延长线于点E Q 为边BC上一点且AP＝CQ连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC当P为AB的延长线上一点时作PE⊥射线AC于点E Q为②（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点且AP＝CQ连接PQ交直线AC于点D能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）【答案】详见解答【解答】解：（1）如图过点P作PF∥BC交AC于点F∴∠Q＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ又∠PDF＝∠CDQ∠Q＝∠FPD∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AC﹣AF）∴DE＝DF+EF＝（AC﹣AF）+AF＝AC＝1；（2）1、补全的图形如下过点P作PF∥BC交CE的延长线于点F∴∠DQC＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB ∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠F AP＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ又∠PDF＝∠CDQ∠DQC＝∠FPD ∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AC+AF）∴DE＝DF﹣EF＝（AC+AF）﹣AF＝AC＝1；2、过点P作PF∥BC交BC的延长线与点F．∴∠DQC＝∠FPD∠APF＝∠ABC∠AFP＝∠ACB∵△ABC为等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°∴∠APF＝∠AFP＝∠BAC＝60°∴△APF为等边三角形∴AP＝AF＝PF又∵PE⊥AC∴EF＝AF∴PF＝AP＝CQ∠PDF＝∠CDQ∠DQC＝∠FPD∴△PDF≌△QDC（AAS）∴FD＝CD＝FC＝（AF﹣AC）∴DE＝EF﹣DF＝（AC+CF）﹣CF＝AC＝1；答案为②．1．（2021秋•咸丰县期末）如图等边△ABC的边长为12cm D为AC边上一动点E为AB延长线上一动点DE交CB于点P点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC求BP的长．【解答】（1）证明：作DF∥AB交BC于F如图所示：∵△ABC是等边三角形∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°∵DF∥AB∴∠CDF＝∠A＝60°∠DFC＝∠ABC＝60°∠DFP＝∠EBP ∴△CDF是等边三角形∴CD＝DF∵点P为DE中点∴PD＝PE在△PDF和△PEB中∴△PDF≌△PEB（AAS）∴DF＝BE∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC∴∠ADE＝90°∴∠E＝90°﹣∠A＝30°∴AD＝AE∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E∴BP＝BE由（1）得：CD＝BE∴BP＝BE＝CD设BP＝x则BE＝CD＝x AD＝12﹣x∵AE＝2AD∴12+x＝2（12﹣x）解得：x＝4即BP的长为4．2．（2021秋•绵竹市期末）在等边△ABC中点E是AB上的动点点E与点A、B不重合点D在CB的延长线上且EC＝ED．（1）如图1 若点E是AB的中点求证：BD＝AE；（2）如图2 若点E不是AB的中点时（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立请直接写出BD与AE数量关系若成立请给予证明．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝60°∵点E是AB的中点∴CE平分∠ACB AE＝BE∴∠BCE＝30°∵ED＝EC∴∠D＝∠BCE＝30°．∵∠ABC＝∠D+∠BED∴∠BED＝30°∴∠D＝∠BED∴BD＝BE．∴AE＝DB．（2）解：AE＝DB；理由：过点E作EF∥BC交AC于点F．如图2所示：∴∠AEF＝∠ABC∠AFE＝∠ACB．∵△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°AB＝AC＝BC∴∠AEF＝∠ABC＝60°∠AFE＝∠ACB＝60°即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°∴△AEF是等边三角形．∴∠DBE＝∠EFC＝120°∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°∵DE＝EC∴∠D＝∠ECD∴∠BED＝∠ECF．在△DEB和△ECF中∴△DEB≌△ECF（AAS）∴DB＝EF∴AE＝BD．3.（2020秋•旅顺口区期中）如图在等边三角形ABC中点E是边CA延长线上一点点D是直线BC上一动点以DE为一边作等边三角形DEF连接CF．（1）如图1 若点D在边BC上求证：CE＝CF+CD；（2）如图2 若点D在边BC的延长线上请探究线段CE CF与CD之间存在怎样的数量关系并说明理由．【答案】详见解答【解答】（1）证明：在CA上截取CG＝CD连接DG如图1所示：∵△ABC和△DEF是等边三角形∴∠B＝∠ACB＝∠EDF＝60°BC＝AC DE＝DF∵CG＝CD∴△CDG是等边三角形∴DG＝DC＝CG∠GDC＝60°＝∠EDF∴∠EDG＝∠FDC在△DEG和△DFC中∴△DEG≌△DFC（SAS）∴GE＝CF∵CE＝GE+CG∴CE＝CF+CD；（2）解：CD＝CF+CE理由如下：在CA的延长线上截取CG＝CD连接DG如图2所示：同（1）得：△CDG是等边三角形△DEG≌△DFC（SAS）∴DG＝DC＝CG GE＝CF∵CG＝GE+CE∴CD＝CF+CE．4.（2020•安徽）如图D是等边△ABC的边AB上一点E是BC延长线上一点CE＝DA连接DE交AC于F过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：（1）AG＝AD；（2）DF＝EF；（3）S△DGF＝S△ADG+S△ECF．【答案】详见解答【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠A＝60°∵DG⊥AC∴∠AGD＝90°∠ADG＝30°∴AG＝AD；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H∴∠ADH＝∠B∠AHD＝∠ACB∠FDH＝∠E∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°∴△ADH是等边三角形∴DH＝AD∵AD＝CE∴DH＝CE在△DHF和△ECF中∴△DHF≌△ECF（AAS）∴DF＝EF；（3）∵△ABC是等边三角形DG⊥AC∴AG＝GH∴S△ADG＝S△HDG∵△DHF≌△ECF∴S△DHF＝S△ECF∴S△DGF＝S△DGH+S△DHF＝S△ADG+S△ECF．5．（2020秋•花雨区校级月考）我们在前面曾遇到过这样一道题目：小明与同桌小聪讨论后进行了如下解答：（1）特殊情况探索结论当点E为AB的中点时如图1 确定线段AE与DB的大小关系请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）一般情况证明结论：如图2 过点E作EF∥BC交AC于点F．请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明．（3）变式探究：如图3 △ABC是等边三角形D是边BC上一点点E在BA的延长线上且BD＝AE此时CE和DE有何数量关系？请画出图形作出判断并说明理【答案】详见解答【解答】解：（1）∵E为等边三角形AB边的中点∴∠ECD＝30∵DE＝CE∴∠ECD＝∠D＝30°∵∠DEB＝180°﹣∠D﹣∠DBE＝30°∴∠DEB＝∠D∴BD＝BE∴AE＝BD．（2）如图2∵在等边三角形ABC中EF∥BC∴BE＝CF∵DE＝CE∴∠D＝∠ECD∵∠D+∠DEB＝60°∠ECF+∠ECD＝60°∴∠ECF＝∠DEB在△CEF和△DBE中∴△CEF≌△DBE（SAS）∴AE＝DB．（3）如图3 过D做DF∥AC则△BDF为等边三角形∴BD＝BF＝DF∵BD＝AE∴AB＝BF+AF＝BD+AF＝AE+AF＝EF∴AC＝EF∵DF∥AC∴∠DFE＝∠EAC在△DEF和△ECA中∴△DEF≌△ECA（SAS）∴CE＝DE．6．（2020秋•河西区期末）如图△ABC是边长为6的等边三角形P是AC边上一动点由A向C运动（与A、C不重合）Q是CB延长线上一点与点P同时以相同的速度由B 向CB延长线方向运动（Q不与B重合）过P作PE⊥AB于E连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时求AP的长；（2）证明：在运动过程中点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变求出线段ED的长；如果变化请说明理由．【解答】（1）解：设AP＝x则BQ＝x∵∠BQD＝30°∠C＝60°∴∠QPC＝90°∴QC＝2PC即x+6＝2（6﹣x）解得x＝2即AP＝2．（2）证明：如图过P点作PF∥BC交AB于F∵PF∥BC∴∠PF A＝∠FP A＝∠A＝60°∴PF＝AP＝AF∴PF＝BQ又∵∠BDQ＝∠PDF∠DBQ＝∠DFP∴△DQB≌△DPF∴DQ＝DP即D为PQ中点（3）运动过程中线段ED的长不发生变化是定值为3 理由：∵PF＝AP＝AF PE⊥AF∴又∵△DQB≌△DPF∴∴．7．（2020秋•裕华区校级期末）知识链接：将两个含30°角的全等三角尺放在一起让两个30°角合在一起成60°经过拼凑、观察、思考探究出结论“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”．如图等边三角形ABC的边长为4cm点D从点C出发沿CA向A运动点E从B出发沿AB的延长线BF向右运动已知点D、E都以每秒0.5cm的速度同时开始运动运动过程中DE与BC相交于点P设运动时间为x秒．（1）请直接写出AD长．（用x的代数式表示）（2）当△ADE为直角三角形时运动时间为几秒？（3）求证：在运动过程中点P始终为线段DE的中点．【解答】解：（1）由题意得CD＝0.5x则AD＝4﹣0.5x；（2）∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC＝4cm∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．设x秒时△ADE为直角三角形∴∠ADE＝90°BE＝0.5x AD＝4﹣0.5x AE＝4+0.5x∴∠AED＝30°∴AE＝2AD∴4+0.5x＝2（4﹣0.5x）∴x＝；答：运动秒后△ADE为直角三角形；（3）如图2 作DG∥AB交BC于点G∴∠GDP＝∠BEP∠DGP＝∠EBP∠CDG＝∠A＝60°∠CGD＝∠ABC＝60°∴∠C＝∠CDG＝∠CGD∴△CDG是等边三角形∴DG＝DC∵DC＝BE∴DG＝BE．在△DGP和△EBP中∴△DGP≌△EBP（ASA）∴DP＝PE∴在运动过程中点P始终为线段DE的中点．8．（2021秋•营口期末）已知A（﹣10 0）以OA为边在第二象限作等边△AOB．（1）求点B的横坐标；（2）如下图点M、N分别为OA、OB边上的动点以MN为边在x轴上方作等边△MNE连结OE当∠EMO＝45°时求∠MEO的度数．【解答】解：（1）如图过B作BD⊥OA于点D∵△AOB为等边三角形点A（﹣10 0）∴OA＝OB＝AB＝10 ∠BAO＝∠ABO＝∠AOB＝60°∵BD⊥OA∴AD＝OD＝OA＝×10＝5∴点B的横坐标为﹣5；（2）如图2 过点M作MF∥AB交OA于点F∵MF∥AB∴∠MFO＝∠BAO＝∠AOB＝60°∴△MOF为等边三角形∴∠FMO＝60°MF＝MO∵△MNE是等边三角形∴∠NME＝60°MN＝ME∴∠FMN+∠NMO＝∠NMO+∠OME＝60°∴∠FMN＝∠OME在△MFN和△MOE中∴△MFN≌△MOE（SAS）∴∠MFN＝∠MOE＝60°∵∠EMO＝45°∴∠MEO＝180°﹣∠MOE﹣∠EMO ＝180°﹣60°﹣45°＝75°．。
八年级数学等边三角形的性质(北师版)(基础)(含答案)
等边三角形的性质（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.下面选项对于等边三角形不成立的是( )A.三边相等B.三角相等C.是等腰三角形D.只有一条对称轴答案：D解题思路：等边三角形三边都相等、三个内角都是60°，所以A，B选项成立；等边三角形三边都相等，所以等边三角形是特殊的等腰三角形，故C选项成立；等边三角形的三边的垂直平分线均为对称轴，所以对称轴有3条，故D选项不成立．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，△ABC是等边三角形，AE∥BD，若∠CBD=15°，则∠CAE的度数为( )A.45°B.55°C.60°D.75°答案：A解题思路：∵AE∥BD∴∠ABD+∠BAE=180°∴∠CBD+∠ABC+∠BAC +∠CAE=180°∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°∵∠CBD=15°∴∠CAE=45°故选A．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为( )A.30°B.20°C.25°D.15°答案：D解题思路：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵AD是等边△ABC的中线∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAC=×60°=30°．∴∠ADC=90°．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°．∴∠EDC=15°故选D．试题难度：三颗星知识点：略4.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE 的度数为( )A.15°B.30°C.45°D.60°答案：A解题思路：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ACB=60°∴AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∴∠ACE=15°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为( )A.60°B.45°C.40°D.30°答案：A解题思路：如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC，又∵BD=AE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠1=∠2，又∵∠1+∠DAC=60°，∴∠2+∠DAC=60°，∴∠DFC=60°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD；④∠ABE=60°.其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案：A解题思路：∵△ABC为等边三角形，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=DC，∠BAD=30°，①正确，又∵△ADE是等边三角形，∴AF⊥ED，EF=FD，②正确，由②得BE=BD，③也正确，由②得，∠ABE=∠ABD，∴∠ABE=60°，④也正确，①②③④都正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA⊥PD，有下列四个结论：①∠PBC=15°；②AD∥BC，③PC⊥AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：根据题意，∠BPC=360°-60°×2-90°=150°，∵BP=PC，∴∠PBC=(180°-150°)÷2=15°，①正确；△APD是等腰直角三角形，△PBC是等腰三角形，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，可得∠BAD=105°，∠ABC=75°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，②正确；延长CP交AB于点E，∵∠BPC=150°，∴∠BPE=30°，即PE是∠APB的角平分线，而△ABP为等边三角形，∴PC⊥AB，③正确；根据题意可得四边形ABCD是轴对称图形，④也正确，四个命题都正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形BCN，连接AN，BM．若∠MBN=38°，则∠ANB等于( )A.82°B.92°C.90°D.98°答案：A解题思路：∵△ACM和△BCN是等边三角形，∴AC=MC，CB=CN，∠ACM=∠BCN∴∠ACN=∠MCB．∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴∠ANC=∠MBA．∵∠MBN=38°∴∠MBA=22°，∴∠ANC=22°．∴∠ANB=82°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略9.如图，点E是等边三角形ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，则∠BDE等于( )A.20°B.30°C.35°D.40°答案：B解题思路：要求∠BDE的度数，缺少条件，考虑转化，连接CE，可证△DBE≌△CBE（SAS），求∠BDE就转化为求∠3．猜测∠3=∠4，需通过证明△ACE≌△BCE得到．如图，连接CE．∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=AC，∠ACB=60°，∵BE平分∠DBC，∴∠1=∠2．∵BD=AC，∴BD=BC，又∵BE=BE，∴△DBE≌△CBE（SAS），∴∠BDE=∠3．∵EA=EB，AC=BC，CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SSS），∴∠3=∠4，∴∠3=30°，∴∠BDE=30°．故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD=62°，则∠AEB的度数是( )A.124°B.122°C.120°D.118°答案：B解题思路：如图，∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠BCD=∠ACE，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠DBC=∠4，即62°-∠1=60°-∠3，即62°-(60°-∠2)=60°-∠3，∴∠2+∠3=58°，在△ABE中，∠AEB=180°-(∠2+∠3)=122°．故选B．试题难度：三颗星知识点：略。
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八年级数学——等边三角形
什么是等边三角形？
等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等。
等边三角形的三个角也是相等的，每个角都是60度。
等边三角形有很多有趣的性质和应用。
在数学中，我们经常会遇到等边三角形，所以了解和掌握等边三角形的性质是非常重要的。
等边三角形的性质
1.三条边相等：等边三角形的三条边的长度都相等。
2.三个角度都是60度：等边三角形的每个角度都是60度。
3.对称性：等边三角形有三个对称轴，通过任意两个顶点和中点可以找到一个对称轴。
4.高度和面积：等边三角形的高度可以通过勾股定理计算，它等于边长的一半再乘以√3。
等边三角形的面积可以通过公式：面积= 1/4 × (√3 × 边长^2) 来计算。
如何判断一个三角形是等边三角形？
要判断一个三角形是否为等边三角形，只需要测量三角形的三条边是否相等即可。
如果三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
除了测量边长外，我们还可以通过判断三个角度是否都为60度来确认一个三
角形是否为等边三角形。
等边三角形的应用
等边三角形在几何学中有很多应用。
下面介绍一些常见的应用：
1.建筑设计：等边三角形常常用于建筑设计中，例如一些塔楼、桥梁等结构中会使用等边三角形来增强稳定性。
2.几何画图：等边三角形是画几何图形时常常用到的形状之一，它可以作为其他图形的边或顶点。
3.推理证明：等边三角形是几何推理和证明时经常出现的形状，研究等边三角形的性质可以帮助我们更好地理解数学原理。
总结
等边三角形是一种特殊的三角形，它的三边长度相等，每个角度都是60度。
了解和掌握等边三角形的性质对于数学学习和应用非常重要。
通过测量边长和角度，可以判断一个三角形是否为等边三角形。
等边三角形在建筑设计、几何画图和推理证明等方面有广泛的应用。
希望通过本文，读者可以对等边三角形有更深入的理解，并能应用这些知识解决实际问题。