验证牛顿第二定律的三种方法

关于“验证牛顿第二定律实验”的三个问题
wangqixue@
问题1. 在“验证牛顿第二定律”的实验中，小车包括砝码的质量为什么要远大于砂和砂桶的总质量。

分析：在做
关系实验时，用砂和砂桶重力m g 代替了小车所受的拉力F ，如图1所
示：
而砂和砂桶的重力m g 与小车所受的拉力F 是并不相等．这是产生实验系统误差的原因，为此，必须根据牛顿第二定律分析m g 和F 在产生加速度问题上存在的差别．
实验时可得到加速度与力的关系的图像，如图2所示 ，由图像经过原点知，小车所受的摩擦力已被平衡．设小车实际加速度为a ，由牛顿第二定律可得：
()mg M m a =+ 即 ()
mg
a M m =+
若视 F m a =，设这种情况下小车的加速度为 a '，则 m g
a M '=．在本实验中，M 保持
不变，与()mg F 成正比，而实际加速度a 与m g 成非线性关系，且m 越大，图像斜率越小。

理想情况下，加速度a 与实际加速度差值为
图１
图２
221()()
m g
m g
m g
g a M
M M m M M m M m m ∆=-==
+++ 上式可见，m 取不同值， a ∆不同，m 越大，a ∆越大，当m M 时，a a '≈， 0a ∆→，这就是要求该实验必须满足m M 的原因所在．
由图２还可以可以看出，随着()F mg 的增大，加速度的实验值与理想值之间的差别越来越大.
本实验是因原理不完善引起的误差，实验用砂和砂桶的总重力m g 代替小车的拉力，而实际小车所受的拉力要小于砂和砂桶的总重力，这个砂和砂桶的总质量越接近小车和砝码的总质量，误差越大，反之砂和砂桶的总质量越小于小车和砝码的总质量，由此引起的误差就越小．即此误差可因为 m M 而减小，但不可能消去此误差．
问题2：在利用打点计时器和小车做“验证牛顿第二定律”的实验时，实验前为什么要平衡摩擦力？应当如何平衡摩擦力？
分析：牛顿第二定律表达式 F m a =中的F ，是物体所受的合外力，在本实验中，如果不采用一定的办法平衡小车及纸带所受的摩擦力，小车所受的合外力就不只是细绳的拉力，而应是细绳的拉力和系统所受的摩擦力的合力．因此，在研究加速度a 和外力F 的关系时，若不计摩擦力，误差较大，若计摩擦力，其大小的测量又很困难；在研究加速度a 和质量m 的关系时，由于随着小车上的砝码增加，小车与木板间的摩擦力会增大，小车所受的合外力就会变化（此时长板是水平放置的），不满足合外力恒定的实验条件，因此实验前必须平衡摩擦力
应如何平衡摩擦力？怎样检查平衡的效果？有人是这样操作的；把如图3所示装置中的长木板的右端垫高一些，使之形成一个斜面，然后把实验用小车放在长木板上，轻推小车，给小车一个沿斜面向下的初速度，观察小车的运动情况，看其是否做匀速直线运动．如果基本可看作匀速直线运动，就认为平衡效果较好．这样操作有两个问题，一是在实验开始以后，阻碍小车运动的阻力不只是小车受到的摩擦力，还有打点计时器限位孔对纸带的摩擦力及打图3
点时振针对纸带的阻力．在上面的做法中没有考虑后两个阻力，二是检验平衡效果的方法不当，靠眼睛的直接观察判断小车是否做匀速直线运动是很不可靠的．正确的做法是。

将长木板的末端（如图中的右端）垫高一些，把小车放在斜面上，轻推小车，给小车一个沿斜面向下的初速度，观察小车的运动，当用眼睛直接观察可认为小车做加速度很小的直线运动以后，保持长木板和水平桌面的夹角不动，并装上打点计时器及纸带，在小车后拖纸带，打点计时器开始打点的情况下，给小车一个沿斜面向下的初速度，使小车沿斜面向下运动．取下纸带后，如果在纸带上打出的点子的间隔基本上均匀，就表明小车受到的阻力跟它的重力沿斜面的分力平衡．
打点计时器工作时，振针对纸带的阻力是周期性变化的，所以，难以做到重力沿斜面方向的分力与阻力始终完全平衡，小车的运动也不是严格的匀速直线运动，纸带上的点子间隔也不可能完全均匀，所以上面提到要求基本均匀．
在实验前对摩擦力进行了平衡以后，实验中需在小车上增加或减少砝码，因此为改变小车对木板的压力，摩擦力会发生变化，有没有必要重新平衡摩擦力？其实由此引起的摩擦力变化是极其微小的，从理论上讲，在小车及其砝码质量变化时，由力的分解可知，重力沿斜面向下的分力1G 和垂直斜面方向的分力 2G （大小等于对斜面的压力），在斜面倾角不变
的情况下是成比例增大或减小的，进而重力沿斜面方向的分力1G 和摩擦力f 成比例变化，仍能平衡．但实际情况是，由于纸带也受到阻力 f '，另外小车的轴与轮的摩擦力也会略有变化，这些对实验的误差都会有影响，不过由此产生的误差很小可忽略不计．
问题３.a -F 图线出现截距的原因和调整方法是什么？
利用图4所示装置做“验证牛顿第二定律”实验，甲同学
根据实验数据画出小车的加速度和小车所受拉力a －F 的图像
为右图中的直线I ，乙同学画出a －F 图像为右图中的直线
II ．直线I 、II 在纵轴和横轴上的截距较大，明显超出了误差范围，
出现截距的原因和调整方法是什么？
分析：图像I 在纵轴上有较大的截距，说明在绳对小车的拉力F
＝0时（还没有挂砂桶）时，小车就有了沿长木板向下的加速度0a 。

设长木板与水平桌面间的夹角为θ,小车所受的重力为m g ,沿长木板向下的分力应为
sin mg θ，
长木板对小车的摩擦阻力应为cos mg μθ，又设运动系统所受其他阻力为f （可视为定值），则应有0sin (cos )m g m g f m a θθ-+=，在此式中m g f μ、、、 为定值，F
图4
如果适当减少θ值，可使sin θ减小而cos θ增大，实现0a ＝0,图像起点回到坐标系原点。

图像II 在横轴上有较大的截距，说明在绳对小车有了较大的拉力F 后，小车的加速度仍然为零，因此合外力一定为零，此时应有sin cos F mg mg f θμθ+=+（cos mg μθ为静摩擦力，随θ变化，且有最大值），当θ较小或等于零时该式成立。

表明长木板倾角太小，调整的方法是增大木板的倾角θ。