用数形结合的方法解题
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习(含答案解析)
高考数学运用数形结合的思想方法解题专项练习（含答案解析）一、单选题1．（2023春·江苏盐城·高三盐城中学校考）若直线():40l x m y +−=与曲线x =有两个交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．0m <<B ．0m ≤<C ．0m <≤D ．0m ≤【答案】B【解析】x =()0,0，半径为2的圆在y 轴以及右侧的部分，如图所示：直线():40l x m y +−=必过定点()0,4， 当直线l 与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，2=，结合直线与半圆的相切可得m =当直l 的斜率不存在时，即0m =时，直线和曲线恰有两个交点， 所以要使直线和曲线有两个交点，则0m ≤故选：B.2．（2023春·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考阶段练习）已知x ，y 是实数，且22410x y x +−+=，则21y x ++的最大值是（ ）A B ．116C ．336D 【答案】D【解析】方程可化为()223x y −+=，表示以()2,021y x ++的几何意义是圆上一点与点A ()1,2−−连线的斜率，设21k y x =++，即()21y k x +=+，当此直线与圆相切时，斜率最大或最小，当切线位于切线AB 时斜率最大.=k =，所以21y x ++故选：D ．3．（2023春·陕西渭南·高一统考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()24f x x x =−.若函数()()()R g x f x m m =+∈，则函数()g x 的零点个数不可能是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()224(2)4f x x x x =−=−−,作出()f x 的图像如图：，故当0m =时，()()g x f x =有3个零点；当0m <或4m =时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有两个交点，则函数有2个零点； 当04m <<时，()()g x f x m =+的图像与x 轴有4个交点，则函数有4个零点；由于()()g x f x m =+也为偶函数，结合()f x 图像可知，()()g x f x m =+不可能有1个零点， 故选：A4．（2023春·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨−<⎩， 若函数()()()g x f x f x =−−，则函数()g x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】当0x >时，0x −<，()3f x x −=当0x <时，0x −>，()e xf x −−=()()()3e ,00,0e 3,0x x x x g x f x f x x x x −⎧−>⎪∴=−−==⎨⎪+<⎩，()()()()g x f x f x g x −=−−=−，且定义域为R ，关于原点对称，故()g x 为奇函数，所以我们求出0x >时零点个数即可，(0,)3e x g x x x =−>，()3e 0x g x '=−>，令()3e 0x g x '=−>，解得0ln3x <<，故()g x 在()0,ln 3上单调递增，在(ln3,)+∞单调递减，且(ln3)3ln330g =−>，而()226e 0g =−<，故()g x 在(ln 3,2)有1零点，1311e 03g ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，故()g x 在1(,ln 3)3上有1零点，图像大致如图所示：故()g x 在()0,∞+上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(),0∞−上也有2个零点，且()00g =，故()g x 共5个零点， 故选：D.5．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）若函数()f x 的定义域为(),1f x −R 为偶函数，当1x ≥−时，()31xf x −=−，则函数()()12g x f x =−的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】令310x −−≥解得0x ≤，令310x −−<解得0x >， 所以当1x ≥−时，()11,1033111,03xxxx f x x −⎧⎛⎫−−≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=−=⎨⎛⎫⎪−+> ⎪⎪⎝⎭⎩， ()1f x −为偶函数，所以()1f x −的图像关于y 轴对称，所以()f x 的图像关于直线=1x −轴对称， 故作出()f x 的图像如下，令()()102g x f x =−=，即()12f x =， 由图像可知，()f x 的图像与12y =的图像共有四个交点， 所以函数()()12g x f x =−的零点个数为4个.故选:D.6．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且(1)f x −是奇函数，当01x 剟时，有()f x =()(2021)y f x k x =−−的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．15<2<1kB ．16<3<1kC k k =D ．k <k 【答案】C【解析】∵偶函数()f x ，()()f x f x ∴−=，(1)f x −是奇函数，得(1)(1)f x f x −=−−−，即 ()(2)f x f x =−−−，(2)()f x f x −−−=−，得4T =，()(2021)0f x k x −−=，即()y f x =与(2021)y k x =−的图像交点的个数，因为4T =，即为()y f x =与(1)y k x =−的图像交点的个数，因为()f x =k 应该在1k 与2k 之间或为3k ，213k k k ==k k =故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()ln2,01ln 2ln 2,12xx f x x x ⎧<<⎪=⎨−+≤<⎪⎩，若存在02a b c <<<<使得()()()f a f b f c ==，则111ab bc ca++的取值范围是（ ） A ．20,93⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．∞⎫+⎪⎪⎣⎭ D ．⎫⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】∵()()ln 2ln2ln 22x x ⎡⎤−+=−⎣⎦，∴ln 2y x =与()ln 2ln2y x =−+的图像关于直线1x =对称，作出()f x 的大致图像如图所示，易知2b c +=，由ln2ln2a b =，即ln 2ln 2a b −=，ln 40ab =，得14ab =， ∵112b <<，∴11124a<<，得1142a <<，∴()()421621112181244a a a a b c a c ab bc ca abc a a+++++++====−−. 设81t a =−， 则()1,3t ∈，111117184t ab bc ca t ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭. 17t t+≥=t 故当()1,3t ∈时，令()1718h t t t +=+，()h t 单减，()()80136,33h h ==， 故1172018,943t t ⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A 二、多选题8．（2023·全国·高三专题练习）已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yE a b a b−=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P ，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．2160PF F ∠=，B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【答案】BCD【解析】如下图所示，因为1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，所以2//OM PF ，因为12OM F F ⊥，所以212PF F F ⊥，所以212PF F π∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22b PF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac −=220e −，解得：e =C 正确；所以==c e a 223c a =，所以22222b c a a =−=，所以ba= 所以E 的渐近线方程为y =，D 正确．故选：BCD ．9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l 过抛物线2:8C y x =的焦点F l 与抛物线交于,P Q 两点（P 在第一象限），以,PF QF 为直径的圆分别与y 轴相切于,A B 两点，则下列结论正确的是（ ） A ．32||3PQ =B ．AB =C ．若M 为抛物线C 上的动点，(2,1)N ，则min (||||)4MF MN +=D ．若0(,M x 为抛物线C 上的点，则9MF = 【答案】ABC【解析】设直线PQ 的方程为：y x ﹣2），与28y x =联立整理可得：3x 2﹣20x +12=0，解得：x 23=或6，则P （6，，Q （23，；所以|PQ |=623++4323=，选项A 正确；因为F (2,0),所以PF ，QF 的中点分别为：（4，，（43，，所以A （0，，B （0，，所以|AB =， 选项B 正确；如图M 在抛物线上，ME 垂直于准线交于E ，可得|MF |=|ME |， 所以|MF |+|MN |=|ME |+|MN |≥NE =2+2=4，当N ，M ，E 三点共线时， |MF |+|MN |最小，且最小值为4，选项C 正确；对于选项D ，若0(M x 为抛物线C 上的点，则05x =，又4p =， 所以072pMF x =+=，选项D 错误. 故选：ABC.10．（2023春·河南·高三校联考）在三棱锥A BCD −中，平面ABD ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，2BD CD ==，ABD △为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE与BF AF 的值可能为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．53【答案】AC【解析】由ABD △为等边三角形，取BD 的中点O ，连接AO ,则AO BD ⊥ 又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面BCD BD = 所以AO ⊥平面BCD ，由BD CD ⊥过O 作与CD 平行的直线为y 轴，分别以,OB OA 为,x z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为2BD CD ==，则()1,0,0B ，()()(1,0,0,1,2,0,D C A −−，所以12E ⎛− ⎝⎭．设()F a ，则12DE ⎛= ⎝⎭，()BF a =−，则28=13a =−或23a =−， 故1233AF AD ==或2433AF AD ==．故选：AC11．（2023秋·福建三明·高一福建省宁化第一中学校考阶段练习）已知G 为ABC 的重心，60BAC ∠=︒，2AB AC ⋅=，则||AG uuu r的可能取值为（ ）A ．23B ．1CD ．32【答案】CD【解析】如图，G 是ABC 的重心，记,,AB c AC b AB a ===， 则2211()()3323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+， 222222111()(2)(4)999AG AB AC AB AB AC AC b c =+=+⋅+=++，又1cos6022AB AC bc bc ⋅=︒==，即4bc =，所以2228b c bc +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以214(84)93AG ≥⨯+=．即233AG ≥CD 满足． 故选：CD ．12．（2023春·湖北黄冈·高三校考开学考试）已知ABC 的重心为G ，过G 点的直线与边AB ，AC 的交点分别为M ，N ，若AM MB λ=，且AMN 与ABC 的面积之比为920，则λ的可能取值为（ ）A ．43B ．32C ．53D ．3【答案】BD【解析】如图，()AM MB AB AM λλ==−，1AM AB λλ∴=+，即1AB AM λλ+=，设AC t AN =，则11()333tAG AB AC AM AN λλ+=+=+， M G N 、、三点共线，1=133t λλ+∴+，12t λ∴=−， 所以12AC AN λ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，AMN ∴与ABC 的面积之比为920，191sin sin 2202AM AN A AB AC A ∴=⨯⨯， 即112029λλλ+⎛⎫⎛⎫−=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22990λλ−+=，解得32λ=或3. 故选：BD13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校联考）在三维空间中，定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①()a a b ⊥⨯，()b a b ⊥⨯，且a ，b 和a b ⨯构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=，(,a b 表示向量a ，b 的夹角)． 在正方体1111ABCD A B C D −中，有以下四个结论，正确的有（ ）A ．11AB AC AD DB ⨯=⨯ B ．111AC A D ⨯与1BD 共线C ．AB AD AD AB ⨯=⨯ D ．6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等【答案】ABD【解析】对于A ，设正方体的棱长为1，在正方体中1,60AB AC =︒，则111sin ,2AB AC AB AC AB AC ⨯===， 因为11//BD B D ，且1160AD B ∠=︒，所以1,120AD DB =︒，所以111sin ,2AD DB AD DB AD DB ⨯=== 所以11AB AC AD DB ⨯=⨯，所以A 正确；对于B ，1111AC B D ⊥，111AC BB ⊥，1111B B B D B ⋂=，111,B B B D ⊂平面11BB D D ，11AC ⊥平面11BB D D ，因为1BD ⊂平面11BB D D ，所以111BD AC ⊥，同理可证11BD A D ⊥， 再由右手系知，111AC A D ⨯与1BD 同向，所以B 正确；对于C ，由a ，b 和a b ⨯构成右手系知，a b ⨯与b a ⨯方向相反， 又由a b ⨯模的定义知，sin ,sin ,a b a b a b b a a b b a ⨯===⨯， 所以a b ba ⨯=−⨯，则AB AD AD AB ⨯=−⨯，所以C 错误； 对于D ，正方体棱长为a ，266sin 456BC AC BC AC a a ⨯=⋅︒=⨯， 正方体表面积为26a ，所以D 对． 故选：ABD ．三、填空题14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩.若关于x 的方程()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，则m 的取值范围___________.【答案】7,5⎛− ⎝⎭【解析】因为243,0()41,01x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨−>⎪+⎩，所以当0x ≤时，()243f x x x =++开口向上，对称轴为2x =−，()()min 21f x f =−=−，两零点为1,3x x =−=−；当0x >时，()411f x x =−+，则()f x 在()0,∞+上单调递减，零点为3x =，且()1f x >−； 由此作出()f x 的图像如图，.令()t f x =，则当13t −<<时，()t f x =有三个实数根，因为()()()2[]2110f x m f x m +−−+=有6个不同的实数根，所以()22110t m t m +−−+=必须有两个不等实根12,t t ，且()21,1,3t t ∈−，令()()2211g t t m t m =+−−+，则()()103021132Δ0g g m ⎧−>⎪>⎪⎪⎨−−<−<⎪⎪>⎪⎩，即()()()()212110932110621221410m m m m m m m ⎧−−−+>⎪+−−+>⎪⎨−<−<⎪⎪−−−+>⎩，解得75m −<<7,5m ⎛∈− ⎝⎭.故答案为：7,5⎛− ⎝⎭. 15．（2023春·全国·高一期末）已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧−⎪=⎨+>⎪⎩…集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=−++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【解析】令()f x m =，记21()(2)2g m m t m t =−++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图像与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意； 当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=−−+<⎪⎩，解得12t >. 综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥16．（2023秋·黑龙江绥化·高一校考期末）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知30,12=︒=A b ，若ABC 有两解，写出a 的一个可能的值为__________．【答案】7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一） 【解析】由于满足条件的ABC 有两个，则sin b A a b <<，即612a <<.故答案为：7（满足(612)a ∈，均可，答案不唯一）．17．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数()314f x x m π⎛⎫=++− ⎪⎝⎭在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有3个零点1x ，2x ，3x ，其中123x x x <<，则1232x x x ++=______． 【答案】53π−【解析】令()0f x =314x m π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故()314f x x m π⎛⎫++− ⎪⎝⎭的零点为函数()314g x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭与函数y ＝m 交点的横坐标，作出函数g (x )在3,04π⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的大致图像：令3()42x k k πππ+=+∈Z ，解得()123k x k ππ=+∈Z ， 令1k =−，得4x π=−，则由图知2322=4x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭，令2k =−，得712x π=−，则由图知12772=126x x ππ⎛⎫+=⨯−− ⎪⎝⎭， 故123752263x x x πππ++=−−=−． 故答案为：53π−﹒18．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知双曲线22:14x y C m −=与直线2y x =无交点，则m 的取值范围是_____． 【答案】(]0,16【解析】依题意，由22:14x y C m −=可得0m >，双曲线C 的渐近线方程为y =，因为双曲线C 与直线2y x =无交点，所以直线2y x =应在两条渐近线上下两部分之间，2≤，解得016m <≤，即(]0,16m ∈. 故答案为：(]0,16..。
用数形结合的方法解题
1 引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。
数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。
解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。
实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。
应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。
2 文献综述国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。
自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。
文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。
文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。
文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。
不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。
国内外研究现状评价文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。
对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。
提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
数学数形结合解题技巧
数学数形结合解题技巧数学是一门抽象而又具体的学科，它以数字和符号为基础，通过逻辑推理和运算规则来研究数量、结构、变化和空间等概念。
而数形结合解题技巧则是指通过数学和几何的结合，来解决一些复杂的问题。
本文将介绍一些数学数形结合解题技巧，帮助读者更好地应对数学难题。
一、平面几何与代数平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、面以及它们之间的关系。
而代数则是数学中的另一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。
将平面几何和代数结合起来，可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，当我们遇到一个关于三角形的问题时，可以尝试使用代数的方法来解决。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，我们可以利用代数中的距离公式来计算三角形的边长。
然后，我们可以利用这些边长来计算三角形的面积、周长等属性。
通过将平面几何和代数结合起来，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题。
二、数学与图形图形是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更直观地理解和解决一些数学问题。
将数学与图形结合起来，可以帮助我们发现一些规律和性质，从而更好地解决问题。
例如，当我们遇到一个关于函数的问题时，可以尝试将函数的图像绘制出来。
通过观察函数的图像，我们可以发现函数的增减性、极值点、零点等性质。
这些性质可以帮助我们更好地理解和解决与函数相关的问题。
三、数学与实际问题数学是一门应用广泛的学科，它可以帮助我们解决各种实际问题。
将数学与实际问题结合起来，可以帮助我们更好地应对复杂的实际情况。
例如，当我们遇到一个关于比例的问题时，可以尝试使用数学的方法来解决。
假设我们需要计算一个物体的实际长度，但是我们只知道它的缩放比例和图像上的长度。
通过建立比例方程，我们可以利用已知的信息来计算出物体的实际长度。
通过将数学与实际问题结合起来，我们可以更好地解决与比例相关的问题。
四、数学与逻辑推理数学是一门严谨的学科，它强调逻辑推理和推导。
数形结合解题方法和技巧
数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。
数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。
下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。
一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。
在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。
例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。
二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。
在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。
三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。
在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。
数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
数形结合十大经典题型
数形结合十大经典题型
数形结合是一种常见的解题方法，特别适用于一些几何问题。
以下是十大经典的数形结合题型：
1. 长方形面积问题：已知长方形的周长或宽度，求最大面积。
2. 圆的问题：已知圆的周长或半径，求其面积或直面积。
3. 直角三角形问题：已知直角三角形的两条边，求第三条边的长度。
4. 正方形问题：已知正方形的对角线长度，求其边长。
5. 圆环问题：已知两个同心圆的半径，求其面积差。
6. 多边形问题：已知多边形的边长和内角个数，求其周长或面积。
7. 体积问题：已知几何体的表面积和一个尺寸，求其体积。
8. 圆柱问题：已知圆柱的底面半径或高度，求其体积或表面积。
9. 三角形面积问题：已知三角形的底边和高，求其面积。
10. 平行四边形问题：已知平行四边形的两个邻边和夹角，求其面积。
数形结合思想在解题中的应用(包含30例子)
数形结合思想在解题中的应用（包含30例子）一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：“数形结合”在解题中的应用原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
用数形结合思想方法解题时的常见错误分析
像的延伸趋势不 同， 例 如 当 ａ＝ ２时 ，
原方程 无实 数解 ：
／
ｇ ｏ
而 当 ａ＝、 ／ ２时 ，
＝
２便是 原方程的
／ ｆ ｘ 、
图１
ｏ 。 时， ｇ （ ） 一一 ， 即直 线ｘ ＝ Ｏ 和ｙ ＝ ｌ 是 函数 ｇ （ ｘ ） 的两条 渐近
察却 看不 出什么规 律来 ，这 时就需要 给 图形赋值 ，如 边长 、 角度等等 ，特别是在做选择题 时，只有一个答案是 正确答案 ，
用此种方法就 可能起到意想不到 的效果 ．“ 以形 助数 ”是指把
０ ，ｏ ≠１ ）的图像 ，当 ａ 非常小时它们有 三个交点 ，此 时 ，方
程ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 解 的有 ３ 个．
ｅ
错解 ：在 同一坐标系中 ，分 别画出函数 ’ ， ＝ （ ａ ＞ １ ）及 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ａ ＞ １ ）的图像 ，如图 １ 所示 ，可见它们没有公共点 ，所
以方程确无实数解 ．
ｚ ：ｙ ＝ ｋ ｘ － １ 与曲线 ｙ ） 没有公共点 ，求 ｋ的最大值．
故命题正确．
解是因为没有充分注意到两 图像 的递增 “ 速度 ” ！要 比较两个 图像的递增 速度 ，确实很难 由图像直观而得 ． 本题 可以先猜想 ，
后用数学归纳法证 明． 本题的正确答案是 当 ｎ ＝ ２ ．４时 ２ ｎ ＝ ｎ ： ，
例１ ． 判断命题 “ 当ａ ＞ ｌ 时 ，关 于 的方程 ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 。 无实
误差 ，或者 “ 无 中生有” 的不 准确 ．有 时可能会 出现一些错 误． 本文就运用数形结合 时容易出现 的失误做个 简单的归类分 析 ，希望 引起你的重视．
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1引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。
华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。
数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。
解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。
实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④ 函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。
应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。
2文献综述国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。
自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。
文献[1] 中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3] 中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。
文献[4-6] 通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。
文献[7-10] 认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。
不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。
国内外研究现状评价文献[11-13] 中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。
对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。
提出问题如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。
然而一个不争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。
因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。
3数形结合思想概述1、数形结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。
以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。
以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。
2、数形结合思想应遵守的原则（1）等价性原则。
数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。
（2）双向性质原则。
利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。
如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。
（3）简单性原则。
简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。
3、数形结合思想的的解题方法（1）图示法如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。
（2）区域法如用不等式的几何意义表示平面区间。
（3）坐标法如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。
（4）特征法如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。
4数形结合思想在解题中的应用在集合中的应用集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补 运算的考查是检验掌握知识的关键。
通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用 数形结合能快速解决集合问题。
的取值范围为由图1知-5 b 5,2.如图2所示图2(-%, 1］，［1,2］，［2，3］，［3，+x).其中增区间是［1,2］ 与［3 ,+x),减区间是(—％,1］与［2,3］.在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质x 例1若集合A(x,y )| y5cos5sin (0)，集合B(x, y)| y x b 且 AB ，则 b(x, y) / xy解析：集合A 可以变为AA B ，即使直线y xb 与圆x 225,0 y 5B 表示斜率为 显然，A 表示以(0，0)为圆心,K 1，纵截距为b 的直线，要使 在函数中的应用函数问题是高中数学的一大重难点,然 通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜 迎刃而解。
注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题 问题、直线的纵截距问题等，则可使问题例2已知函数F (x) x 2 4x，求函数1F(x)的单调区间X 并指出单调性。
解析：当x 2-4x 3 当 x 2-4x 3 0 即 1 x 3 时，F (x) -x 2 4x-3所以F (x)(x-2)21(x 1 或 x 3) -(x-2)2 1(1 x 3)所以函数F(x)的单调区间有: 25( x上半部分)有公共点。
5 2(x) x 2-4x 3 0即x 1或x 3时,构造几何图形突破数列问题。
例3若数列a n 为等差数列，a p q , a q p 求a p q .解析：设p q 等差数列a n 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故 三点（p,q ）、（q, p ）、（p q,m ）共线，设 a p q m ，由已知得三点（p,a q ），（q,a p ），（p q,a p q ） 共线。
图3如图3,则K AB K BC ，即舸m~p.q-p p q-p由图3知m 0，即a p q 0.在不等式中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想。
应用数形结合思想 解决不等式就是根据问题的内在联系或数式的结构特征，通过唤起表象和再造想象，赋予 适当的几何意义，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的性质和图形之间的关系来 解决问题。
例4解不等式 x 2>x .则不等式V x : 2S x 的解就是使y , 的图像在y 2 x 的上 所示，不等式 x 2>x 的解集为｛X | X A x X B ｝，由x 2 x 可解得X B 2，所以有X A -2 .解析: 常规方法：原不等式化为x 0,x 2 0, (1)2X ,0， 2 0,(2)(1)得 0 x 2 ;解(2)得- (1) (2)可得{ x | 0x2用数形结合方法可以很直观的从x 0}={ x | -2 x '0 B —x中得到答案,2解法如下:.C ( p q, m)令 y i 、x 2 , y 2 x ,方的那段对应的坐标轴，如图4xy 2 xA(p,q)B(q, p)例5设关于x , y的不等式组x x o - 2 y o 2，求m的取值范围。
解析：如图5要使可行域存在, 只要边界点（m,1 2m）在直线m 1-2m组1 -2m -^m得m —2 3m - m 12在向量中的应用2x- y 1 0喺0nyB 2必有m1x-12表示的平面区域内存在点p( X o, y°)满足12X_1上的点, —2m 1B要求可行域内包含直线A x1上方，且（m,m）在直线y - x-1下方，解不等式向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数学学科中具有广泛的应用。
平面向量是高考中新增加的最重要内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观。
数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了道路例6在平面上，AB1 AB2，OB1 |OB^| 1，AP AB1 AB2.则QA的取值范围是（）图6解析：根据已知条件，A，B，p，B2构成一个矩形AB1 PB2，AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设AB1 aAB2 b，点O的坐标为（x,y）,则点P的坐标为（a,b），(x a)2 x2 (yy^ 1，则b) 12 2(X a) 1 y2 2 ‘(y b) 1 x故不等式的解集为{x | -2 x 2}.在线性规划中的应用应用线性规划知识判断平面区域，求目标函数的最值、取值范围在高考中常以选择或填空的形式出现，都是以中档题为主，解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想，将代数问题转化为几何问题，借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。
a ）2 （yb ）2 则 1-x 2 1 y 2 -，即 x 2y 2 - 44 4在概率统计中的应用概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知识，因 此概率统计成为很多学生的学习障碍。
利用数形结合把线段、平面、空间图形能明确直观 地分析、判断事件发生的概率大小。
而概率事件的计算正是依据图形的长度、面积和体积 来完成的。
例7有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下:[,），6； [ ,），16； [ ,），18； [ ,），22； [,），20； [ ,），10； [ ,），8.求数据小于的概率是多少?解析:C, D ，求 CD CA 的概率。
解析：将线段AB 放在数轴的正上方，以A 为原点，点B 的坐标为L 数设C,D 的坐标分别 为(x, y)、(x, y) 0, L .而所有可能的结果都在如图9所示的正方形内,又由OP-，得(x 2又由（x a ）2y 2得 x 2y221 2ax 1 a2 x 2，贝U y 2 1 ；同理有x 2 (y 2b ）21，得 x 2 即有x 2y 22由①②知7 x 22，所以■, x 2 y 2 ■- 2 .y 2，所以子|OA 、2.图8数据大于等于的频率是所以小于的频率为:3在长度为L 的线段AB 上任意作两点CD CA ，即x y x ，故 2x y 0.图9在导数中的应用导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。
利用导数研究函数的极值、单调区 间、实际应用或证明不等式，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象的问 题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。
然而将抽象的数学 语言与直观的图象结合起来，也由f (x ) 0求得函数f( x)的单调递增区间，由f (x ) 0求得函数f (x)的单调递减区1间，而导函数f (X)由两个基本函数g(x) —X 2k 和h(x)k的图像，无论k 0还是k 0,都位于x 轴的上方，所以h(x) 0恒成立，故影响导函数f (x) 符号正负的只有函数g(x) -x 2k ，而函数g(x)丄x 2k 的实质是一个二次函数。
kk①当k 0时，函数g(x) -x 2k 图像是一个开口方向向上的抛物线(如图10)k此时，只需看图10说话了：当 x ( , k)时，f (x ) 0 ;当 x ( k,k)时，f (x ) 0;则所求概率为PS 梯形 S 正方形4 L -就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几 何背景，在代数与几何的结合上寻找解题 几何形式”的数学化归现“由一种代数形式转化为一种x例9已知函数f(x) (x k)2e k.(I)求f (x)的单调区间 (U)若对于任意的x (0思路，使南 F 解决的数的问题转化为形的讨论，实 A)，者2有 f--------------- ►B 求k 的取值范围Xe解析：(I)函数f(x)的定义域为(1彳f (x )(T 2宀 0)，xxe k的乘积构成，函数h(x) e k所以，当k 0时f （x ）的单调递增区间是（，k ）和（k,）;单调递减区间是（k,k ）.(k,k).）的单调情况是：在区间（0,k ）上递减；在区间（k,）上递增，且解得1 一-时，k 的取值范围是 e在复数中的应用f(k 1) e^ 1，因此,ef （x ）在区间（0,）上的图如图12图12所以不会有x （0, ②当k 0时，f （x ）1 ）,f（x ） f e （x）什 g （x ）的单调递减区间是（（,k ））和（k,）;单调递增区间是（k, k ）.因此，f （x ）在区间（0, ）的单调情况是 因此，f （x ）在区间（0, ） 上的草图（如 在区间（0, k ）上递增；在区间（k,）上递减.—y -e ■>x *■图13图13因此，f （X ）在（0,）上的最大值f( k) 4k 2 e所以(0,),f(x) 1等价于f （ 4k 2因此，f （x ）在区间（0, 图10(k,①当k 0时，f （x ）的单调递增区间是（（，k ））和（k,）;单调递减区间是复数有四种表示形式：代数形式，几何形式，三角形式及指数形式。