数值分析试题及答案
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题1. 下列哪个方法不适合用于求解非线性方程的根？A. 二分法B. 牛顿法C. 弦截法D. 正割法2. 当使用二分法求解非线性方程的根时，需要满足的条件是：A. 函数f(x)在区间[a, b]上连续B. 函数f(x)在区间[a, b]上单调递增C. 函数f(x)在区间[a, b]上存在根D. 函数f(x)在区间[a, b]上可导3. 数值积分是通过将定积分转化为求和的方法来近似计算积分值的过程。
下列哪个方法是常用的数值积分方法？A. 矩形法则B. 辛普森规则C. 梯形规则D. 高斯-勒让德法则4. 龙格-库塔法是常用于求解常微分方程的数值解法。
以下哪个选项是描述龙格-库塔法的特点？A. 该方法是一种多步法B. 该方法是一种多项式插值法C. 该方法是一种单步法D. 该方法是一种数值积分法5. 用有限差分法求解偏微分方程时，通常需要进行网格剖分。
以下哪个选项是常用的网格剖分方法？A. 多边形剖分法B. 三角剖分法C. 矩形剖分法D. 圆形剖分法二、解答题1. 将函数f(x) = e^x 在区间[0, 1]上用复化梯形规则进行数值积分，分为6个子区间，求得的近似积分值为多少？解：将区间[0, 1]等分为6个子区间，每个子区间的长度为h = (1-0)/6 = 1/6。
根据复化梯形规则的公式，近似积分值为：I ≈ (1/2) * h * [f(0) + 2f(1/6) + 2f(2/6) + 2f(3/6) + 2f(4/6) + 2f(5/6) +f(1)]≈ (1/2) * (1/6) * [e^0 + 2e^(1/6) + 2e^(2/6) + 2e^(3/6) + 2e^(4/6) +2e^(5/6) + e^1]2. 使用二分法求解方程 x^3 - 3x + 1 = 0 在区间[1, 2]上的根。
要求精确到小数点后三位。
解：首先需要判断方程在区间[1, 2]上是否存在根。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析考试题和答案
数值分析考试题和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值法的主要目的是（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 构造一个多项式来近似一个函数D. 求解微分方程答案：C2. 线性方程组的高斯消元法中，主元为零时，应采取的措施是（）。
A. 停止计算B. 回代求解C. 转置矩阵D. 行交换答案：D3. 以下哪种方法不是数值积分方法（）。
A. 梯形规则B. 辛普森规则C. 牛顿法D. 复合梯形规则答案：C4. 以下哪种方法用于求解非线性方程的根（）。
A. 欧几里得算法B. 牛顿迭代法C. 高斯消元法D. 线性插值法答案：B5. 在数值分析中，最小二乘法主要用于（）。
A. 求解线性方程组B. 求解非线性方程C. 曲线拟合D. 微分方程数值解答案：C6. 以下哪种方法不是数值微分方法（）。
A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 欧拉方法答案：D7. 以下哪种方法用于求解常微分方程的初值问题（）。
A. 欧拉方法B. 龙格-库塔方法C. 牛顿迭代法D. 高斯消元法答案：B8. 在数值分析中，矩阵的特征值问题可以通过（）方法求解。
A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形规则答案：B9. 以下哪种方法不是数值稳定性分析中的方法（）。
A. 绝对稳定性B. 相对稳定性C. 条件数D. 牛顿法答案：D10. 在数值分析中，条件数用于衡量（）。
A. 算法的效率B. 算法的稳定性C. 算法的准确性D. 算法的复杂度答案：B二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，插值多项式的次数最高为______，其中n是插值点的个数。
答案：n-12. 线性方程组的高斯消元法中，如果某行的主元为零，则需要进行______。
答案：行交换3. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二4. 牛顿迭代法中，每次迭代需要计算______。
答案：函数值和导数值5. 最小二乘法中，残差平方和最小化时，对应的系数向量是______。
数值分析试题及答案
数值分析试题一、 填空题（2 0×2′）1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。
3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=ni i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
8. 要使20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。
10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差r i＝ (b i-a i1x1-a i2x2-…-a in x n)/a ii，(i=0,1,…,n)。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个算法是数值分析中用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 梯度下降法D. 蒙特卡洛方法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的共同点是：A. 都是多项式插值B. 都使用差商C. 都只适用于等距节点D. 都需要预先知道所有数据点答案：A3. 在数值积分中，辛普森(Simpson)公式比梯形公式的误差：A. 更大B. 更小C. 相同D. 无法比较答案：B4. 以下哪个是数值稳定性分析中常用的方法？A. 条件数B. 收敛性C. 收敛速度D. 误差分析答案：A5. 在求解常微分方程的数值解时，欧拉方法属于：A. 单步法B. 多步法C. 隐式方法D. 显式方法答案：A6. 以下哪个是数值分析中求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯-约当消元法B. 牛顿-拉弗森方法C. 雅可比迭代法D. 高斯-赛德尔迭代法答案：B7. 线性插值公式中，如果给定两个点\( (x_0, y_0) \)和\( (x_1, y_1) \)，插值多项式是：A. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}(x - x_0) \)B. \( y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_0 - x_1}(x - x_0) \)C. \( y = y_0 + \frac{x - x_0}{x_1 - x_0}(y_1 - y_0) \)D. \( y = y_1 + \frac{x_1 - x}{x_1 - x_0}(y_0 - y_1) \)答案：C8. 以下哪个是数值分析中用于求解特征值问题的算法？A. 幂法B. 共轭梯度法C. 牛顿法D. 欧拉法答案：A9. 在数值微分中，使用有限差分法来近似导数时，中心差分法的误差：A. 与步长成正比B. 与步长的平方成正比C. 与步长的立方成正比D. 与步长的四次方成正比答案：B10. 以下哪个是数值分析中用于求解线性最小二乘问题的算法？A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 奇异值分解法D. 共轭梯度法答案：C二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述数值分析中病态问题的特点及其对算法的影响。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章绪论一.填空题1.为精确值的近似值；为一元函数的近似值；*xx ()**x f y =()x f y =1为二元函数的近似值，请写出下面的公式：：()**,*y x f y =()y x f y ,2=**e x x =-***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。
3、分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有 6 位和7（三位有效数字）。
1.73≈-211.73 10 2-≤⨯4、设均具有3位有效数字，则的相对误差限为 0.0055 。
121.216, 3.654x x ==12x x 5、设均具有3位有效数字，则的误差限为 0.01 。
121.216, 3.654x x ==12x x +6、已知近似值是由真值经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .2.4560A x =T x 7、递推公式如果取作计算,则计算到时,误差为,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,0 1.41y =≈10y ;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .8110 2⨯8、精确值，则近似值和分别有 3 位和14159265.3*=π141.3*1=π1415.3*2=π4 位有效数字。
9、若,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5 。
*2.71828x e x =≈=10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；13、为了使计算 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式()()2334610111y x x x =++----改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
数值分析试题及答案
1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使面积误差不超过1cm 2?2. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3. 为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4. 设x 的相对误差界为δ，求n x 的相对误差界.5. 设有3个近似数 a =2.31，b =1.93，c =2.24，它们都有3位有效数字，试计算p =a +bc 的误差界和相对误差界，并问p 的计算结果能有几位有效数字？6. 设x y ln =. 若20≈x ，则取x 的几位有效数字可保证y 的相对误差小于 0.1% ?7. 设],[)(2b a C x f ∈，试证22)(81)()()()()(max M a b a x a b a f b f a f x f b x a -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-≤≤其中)(max 2x f M bx a ''=≤≤8.已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并估计截断误差.9.已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并估计误差.10.已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并估计误差11.. .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x12.已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插值多项式.13.设x x f =)(并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并讨论其误差14.设],[)(b a x f 在上有四阶连续导数，试求满足条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式15.给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满足11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项表达式.16. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ，使它满足(0)(0)0,P P '==(1)(1)1,P P '== (2)1P =.17.设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式18.已知实验数据如下：.19.已知数据表如下x i 1 2 3 4 5y i ωi 4 4.5 6 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合.20.表中第4行为ln ,()1i i y y x ω==，可做拟合曲线bx y ae =，试求,a b .21..1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ22.确定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度.23.用复化辛普森公式计算积分⎰=1dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才能使截断误差不超过?10215-⨯24.利用下表中给出的数据，分别用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）x16768696106112x ln 00.154151 0.287682 0.405465 0.510826 0.6061360.69314725.用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6f(x) 3.12014 4.42569 6.042418.0301410.4667526.确定公式⎰+≈11100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度.27.试求高斯求积公式100110()()()f x dx A f x A f x ≈+⎰.28.确定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所确定的求积公式的代数精度29.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭30.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x31.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛542631531321321x x x32.设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试估计由此引起的解的相对误差.33.设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫=⎪⎝⎭b 时，试估计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算).34.设方程组b Ax =，其中10.990.990.98A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 1.991.97b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,若右端有小扰动430.97100.10610b δ--⎛⎫-⨯= ⎪⨯⎝⎭，试估计由此引起的解的相对误差（要求用矩阵的2范数）. 35.证明用雅可比迭代法解线性方程组b Ax =收敛，其中302021212-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A .36.给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A证明：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 只有当2121<<-a 时，J 法收敛.37.对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
数值分析上机试题对应参考答案
一、 问答题1、什么是近似值x * 有效数字？若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。
它可表示为X=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1),其中a i (i=1,2,…,n)是0到9中的一个数字，a 1≠0,m 为整数，且︱x －x *︱≠21×10m-n+12、数值计算应该避免采用不稳定的算法，防止有效数字的损失. 因此，在进行 数值运算算法设计过程中主要注意什么？ （1）简化计算过程，减少运算次数； （2）避免两个相近的数相减；（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值； （4）防止大数“吃掉”小数的现象；（5）使用数值稳定的算法，设法控制误差的传播。
3、写出“n 阶阵A 具有n 个不相等的特征值”的等价条件（至少写3 个）(1)|A|不为零(2)n 阶矩阵A 的列或行向量组线性无关 (3)矩阵A 为满秩矩阵(4)n 阶矩阵A 与n 阶可逆矩阵B 等价4、迭代法的基本思想是什么？就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解得方法。
其基本思想为：先任取一组近似解初值X 0，然后按照某种迭代原则，由X 0计算新的近似解X 1，以此类推，可计算出X 2,X 3，…X K ，。
,如果｛X ｝收敛，则取为原方程组的解。
5、病态线性方程组的主要判断方法有哪些？（1）系数矩阵的某两行（列）几乎近似相关 （2）系数矩阵的行列式的值很小（3）用主元消去法解线性方程组时出现小主元（4）近似解x*已使残差向量r=b-Ax*的范数很小，但该近似解仍不符合问题要求。
6、Lagrange 插值的前提条件是什么？并写出二次Lagrange 插值的基函数。
前提条件是：⎩⎨⎧≠==i j i j x j，，（01)l i .2,1,0,n j i ， = 二次Lagrange 插值的基函数：()))(())((2010210x x x x x x x x x l ----=()))(())((2101201x x x x x x x x x l ----= ()))(())((1202102x x x x x x x x x l ----=7、什么是数值积分的代数精度？如果某一个求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度（或代数精确度）。
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文档来源为：从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持 、单项选择题（每小题 3分，共15分）1.3.142和3.141分别作为 的近似数具有（）和（）位有效数子.A . 4 和 3B . 3和2C . 3 和 4D . 4和42121f x dxf 1Af()-f(2)2.已知求积公式163 6 ,则 A =()1112A .6B .3C .2D3A . l o X o = 0, h X 1 0B .' ，0 沧=0,h X 1 1C . l o X o= 1, l 1 x 1 1D .' 0 X 0 — 1I 1 X 1 1f x4.设求方程'X的根的牛顿法收敛, 则它具有（ ) 敛速A .超线性B .平方C .线性D .三次X i 2x 2 X 32x i 2x 2 3x 3单项选择题答案3.通过点 x o ,y oX l ,y 1的拉格朗日插值基函数l o x ,l 1 x 满足（5.用列主元消元法解线性方程组 x-) 3x 2 2作第一次消元后得到的第 3个方程（AX 2 X 3 2 2x 2 1.5x 3 3.5C . 2x ? X 33 D x 2 0.5 x 3 1.5文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持、填空题（每小题3分，共15分）1.设X (2,3, 4)T,则||X |1 l|X||22. 一阶均差f心为3.已知n 3时，科茨系数C o38，C i3C23 3 C38，那么C34.因为方程内有根。
0在区间1,2上满足，所以f x 0在区间5.取步长h 0.1，用欧拉法解初值问题的计算公式填空题答案f x0 f x11. 9和292.3. 4.21 0.1k0.1 ,k 0,1,2|ll1.已知函数段线性插值函数，并计算f 1.5的近似值.三、计算题（每题15分，共60 分）计算题1.答案所以分段线性插值函数为10x | x 2 2x 3 7.2 x 1 10x 2 2x 38.32.已知线性方程组x 1 ix x 2 5x 3 4.2（1） 写出雅可比迭代公式、高斯-塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值X 0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯—塞德尔迭代公1式分别计算X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案x 2m1 0.1x ,m 0.2x 3m 0.83X 3m1 0.2以 0.2X 2“ 0.84（m 0,1...）高斯-塞德尔迭代法公式 m 1mmx 1 0.1x 2 0.2x 3 0.72 m 1m 1 m X2 0.1X1 0.2x3 0.83m 1m 1m 1X30.2x10.2x20・84 （m 0,1...）0.720 00,0.830 00,0.840 001•解原方程组同解变形为 x 0.1x 2 0.2x 3 0.72 X 2 0.1X 1 0.2x 3 0.83 x 3 0.2x !0.2x 2 0.841.0,1x 0 ——0.5 1 01 0.5xx 1,2x 2 X 1x ---------- 0.5 ——0.2 0.3x 0.8------ 1 2 2 1用雅可比迭代公式得1用高斯-塞德尔迭代公式得X °.720 00,0.902 00,1.164 40 3.用牛顿法求方程x 3 3x 1在1,2之间的近似根(1 )请指出为什么初值应取 2? (2 )请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案计算题4.答案bb af x dxf a f b 4解梯形公式a2111 1 1 dx []0.752 10 11应用梯形公式得01 x4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分11 dx 01 x25 36确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，2即A4A ，将f X hx,x 分别代入求积公式，并令其左右相等，得1 4hA 1 Ah A得33 。
所求公式至少有两次代数精确度。
又由于hh 4 h f x dxf h f 0f h故h33 3 具有三次代数精确度。
填空（共20分，每题2 分）辛卜生公式为f x dx a[f a4f （a b ） f b ]2应用辛卜生公式得11 ------ dx 01 x16°[f 4f 耳）23次代数精确度1.设x2.3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x=3.设 X (2, 3, 1)T ,则 Mb _，||X|| _。
4•求方程x 2 X 1.25的近似根，用迭代公式X . X 1.25，取初始值冷1那么X1 --------------- °y' f(X ,y)5•解初始值问题y(X 0) y °近似解的梯形公式是y k 1 — °1 1A6、5 1，则A 的谱半径XA) = °7、设 f (X ) 3X25, X k kh, k 0,1,2...,则 f人，Xn 1, X n 2和xn，X n 1,x n 2, x n 38、若线性代数方程组 AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯 塞德尔迭代都 ________________ °9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为2 3(X 1) (X 1)的乘除法运算次数尽量的少式改写成 ________________填空题答案1、2.31502.设一阶差商X i ,X 2f x 2f X 1 4 3X 2 X 12 1则二阶差商X 1,X 2,X 3y 1010、为了使计算，应将表达X 2,X 3X 3 X 2、计算题(共75分，每题15 分)3f(x) X 2,x °1 •设1 9(1)试求f x 在 4 4上的三次Hermite 插值多项式x使满足H(jfg, j 0,1,2,... H '(x 1)f '(xj2•已知2卩⑴的/⑴满足炉⑶一耳° ,试问如何利用呻)构造一个收敛的以升幂形式给出(2)写出余项R (x )f(x) H(x)的表达式计算题1.答案2、X 1,X 2,X 3 f x 2, x 3f XpX 2co9 |CM11X 3 X 1 4 163、6和丿41.5 y k5、f Xk 1, y k 16、 (A)7、 1, X n 23, f X n ，X n i ，X n 2X收敛 9、y 10 10、(x 1)3(x 1)1x 1 1,x 294 4X R2)2535\7^1XX9 4简单迭代函数■:，，使’皿' 0, 1…收敛?计算题2.答案3.试确定常数A , B , C 和a ,使得数值积分公式扛杯 尚4/(p) +(①+巧S)有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为的？计算题3.答案y' f(x,y)4.推导常微分方程的初值问题y(x 0) y °的数值解公式:y n 1 y n 13(y n1 4y n y . 1)(提示：利用Simpson 求积公式。
) 计算题4.答案h '''yn1 yn13(yn1 4yn yn1)2、由 x (x)，可得 x 3x(x) 3x12((x )3x )(x)4、 数值积分方法构造该数值解公式：对方程y f (x)在区间xn1,xn 1上积分,xn 1y(X n 得1) y(X n 1)f (x,y(x))dx，记步长为h,x n 1对积分x,x n 1f (x,y(x))dxxn 12hh '' 'r f(xn1) 4f(xn) f(xn1)3(yn1 4yn yn1)Gauss 型所以得数值解公式:X 1 2X 2 3X314 2x 1 5X 2 2X 3 185.利用矩阵的LU 分解法解方程 组 3X 1X 2 5X 3 20计算题5.答案11 2 3 A LU2 1 1 4 5、解：35 124三、证明题 （5分）1设" 71,证明解 八， 的Newton 迭代公式是线性收敛的证明题答案、填空题（20分）证明：因 X n 1 X na)2,故 f (x) 6X 2(X 3 a),由Newton 迭达公式： f(x) (X 3 f (X n ) -- ----- ,nf (X n ) / 3 \2 (X n a) 0,1,...得 5x n a 6 2（3 、才 y,n 0,1,... 6X n （X n a ） 6 6X n 因迭达函数 （x ） 5X a2,而 6 6x 2又 x 苗则（V 0） 5 a （va ） 6 3 故此迭达公式是线性收敛的。
X n 1 X n(X) 5 6 1 3 a 33X ，1 0,（1）.设x *2.40315是真值x 2.40194的近似值，则x 有 __________________ 位有效数字。
（2） .对 f （x ） x 3 x 1,差商 f [0,1,2,3]（）。
（3）.设 X （2, 3,7）T,则 ||X|1 _。
n（n ）C k（4） .牛顿一柯特斯求积公式的系数和k 0_____________ 。
填空题答案（1）3 （ 2）1 （ 3）7 （ 4）1二、计算题1）.（ 15分）用二次拉格朗日插值多项式L 2（X ）计算弘0.34的值。
插值节点和相应的函数值是（0, 0）,（ 0.30, 0.2955），（ 0.40， 0.3894）。
计算题1.答案(x X 0)(X X 2) (X x °)(x xj---------------------- f 1 ---------------------------------------(X 1 X 0)(X 1 X 2)(X 2 X °)(X 2 X 1)32).( 15分)用二分法求方程f (x )x x 1 0在 口。
1.5］区间内的一个 根，误差限102。
计算题2.答案N 6 X 1 1.25X 2 1.375X 3 1.3125 2) x 41.34375 x 51.328125 &1.32031254x 1 2X 2 X 3 11 X 14X 2 2X 3 18L 2(X )(x xj(x X 2) (X o X 1)(X o X 2)1）=0.3333363）.（15分）用咼斯-塞德尔方法解方程组2x1X2 5X3 22，取x(0)(O0O)T，迭代三次(要求按五位有效数字计算).计算题3.答案3) 迭代公式4) .( 15分)求系数A1,A2和A使求积公式1f(x)dx A1 f( 1) A2f ( -) A3f (-)对于次数2的一切多项式都精确成立1 3 3计算题4.答案1 1 1 1 2A A A3 2 A 3A23人0 A9 A2A39 31 3A—A0 A4) 2 23x1 2X2 10x3 1510X1 4X2X3 55). (10分)对方程组2X1 10x2 4X3 8试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由计算题5.答案5)解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x1k °110(4x2k)(k)X3 5)x2k1) 110(2x1k。