权方和不等式专题研究

2
而 ( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) ≥ 3 ( ab + bc + ca )
2
(a + b + c) 3 a b c + + ≥ = 故 b +1 c +1 a +1 1 a + b + c 2 + a + b + c ( ) ( ) 4 3
3
例 9. 已知：a, b ∈ R + , 求证：
a
3 2
简证：左=
a 3 + 3b 2 a
+
b
3 2
b3 + 3a 2b
≥
( a + b)2
a 3 + 3a 2b + 3b 2 a + b3
3
而 a 3 + 3a 2b + 3b 2 a + b3 = a + 3b b + 3a 2 等号在a = b时取得.
2
1 等号在a = b = c = 取得. 3 a b c 3 例 8. 已知a, b, c ∈ R +且a + b + c = 1, 求证： + + ≤ a +1 b +1 c +1 4
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huajie313 初等数学研究系列——不等式
简证：左=3-(
1 1 1 + + ) a +1 b +1 c +1
(1 + 1) = 4 1 1 简证: + ≥ 1− x 1− y 2 − x − y 1+ z
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同理 :
1 1 4 1 1 4 + ≥ ， + ≥ 1− y 1− z 1+ x 1− x 1− z 1+ y
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huajie313 初等数学研究系列——不等式
1 1 1 2 2 2 + + ≥ + + 1− x 1− y 1− z 1+ x 1+ y 1+ z 1 等号在x = y = z = 时取得. 3 三式累加得 : 权方和不等式除了可以直接用，凑着用，还有一个更“神奇”的用法—— 变换着用。把看起来与权方和不等式“毫不相关”的问题通过特殊变换与权方和 不等式联系起来，再解决之。 例 11. 已知a, b, c为三角形三边长, 求证 : a 2b(a − b) + b 2 c(b − c) + c 2 a(c − a) ≥ 0 简证:做变换(换元)a = x + y, b = y + z, c = z + x( x, y, z ∈ R + ) 则原不等式
又f ( x) = ln x在(0, +∞)上单调增
故有 : ∑ λi ai ≥ ∏ aiλi (等号在 ai = a j 时取得)
i =1 i =1 n n
引理 2： （Holder 不等式） 若ai > 0, bi > 0(i = 1, 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅n),
⎛ n ⎞p ⎛ n ⎞q 则∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aip ⎟ ⋅ ⎜ ∑ biq ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
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huajie313 初等数学研究系列——不等式
例 4．已知x, y,∈ R +且x + y = 1, λ > 0, n ∈ N * .求
1 λ + 的最小值. xn y n
1 λ 1 简解： n + n = n x y x
n +1
( +
n +1
λ
yn
)
n +1
(1 + ≥
n +1
λ
)
n +1
( x + y)
n
= 1 + n +1 λ 1 1+
n +1
(
)
n +1
联立x + y = 1,
1 = x
n +1
λ
y
, 可解得在x =
λ
,y=
n +1
λ λ
1+
n +1
时取得最值.
例 5. 求函数y =
a b ⎛ π⎞ + (a, b, m > 0)在 ⎜ 0， ⎟ 上的最小值. m m sin α cos α ⎝ 2⎠
i =1 i =1 i =1 n n n
证明：
因函数f ( x) = ln x在(0, +∞)上是凹函数
由Jensen不等式 : 对λi > 0, ai > 0且∑ λi = 1
i =1 n
⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ n 有 : ln ⎜ ∑ λi ai ⎟ ≥ ∑ λi lnai = ln ⎜ ∏ aiλi ⎟ (当 ai = a j 等号成立) ⎝ i =1 ⎠ i =1 ⎝ i =1 ⎠
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1 1 8 + + 的最小值 a 2 b2 c2
等号在
1 1 2 1 1 = = 且a + b + c = 1即a = b = , c = 时取得 4 2 a b c
例 3．已知x + 2y + 3 z + 4u + 5v=30,求w = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 + 4u 2 + 5v 2的最小值.
注 3: 例5与例6还可以进一步推广为：已知ai > 0, ∑ ai = s, n ≥ 2且n ∈ N *
i =1
n
∑ a + s ≤ n +1 ≤ a
i =1 i
n
ai
n
a a1 a + 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + n a3 + s a1 + s 2 +s
a a 2 + 3b 2 + b b 2 + 3a 2 ≥1
n
1
m
⎛ n ⎞ ai ⎟ ∑ n ai m +1 ⎜ i =1 ⎝ ⎠ ( a > 0, b > 0, m > 0.等号在a = λb 时取得 ). 将上式整理为 ∑ m ≥ i i i i m n b i =1 ⎛ ⎞ i ⎜ ∑ bi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ 我们称上式（狭义）权方和不等式（m 称为该不等式的权） 。它的特点是分 子的幂指数比分母高 1 次。灵活的选用（狭义）权方和不等式常常可以起到意想 不到的化简效果。以下我们将从求极值和证明不等式两个方面来展示（狭义）权 方和不等式的“化简魅力” 。 Ⅰ.用于求极值 1 1 例 1.已知x, y ∈ R +且 + = 1, 求x + 2 y的最小值. x y
i =1 i =1
1
⎛ n ⎞p ⎛ n ⎞q 此即 : ∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aip ⎟ ⋅ ⎜ ∑ biq ⎟ （当 aip = λ biq 时取等号） i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
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huajie313 初等数学研究系列——不等式
注 1：引理 1 实际上是加权算术平均与几何平均不等式的特例。 注 2：在引理 2 中令 p=q=2 即可得到 Cauchy 不等式。 下面我们对引理 2.实施两步特殊化处理： ⎛ ⎞ ①令 p=m+1 则 m>0,原不等式变形为： ∑ ai bi ≤ ⎜ ∑ aim +1 ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠
2
(1 + 1 + 1) = 9 1 1 1 而 + + ≥ a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 4
a b c 9 3 + + ≤ 3− = a +1 b +1 c +1 4 4 1 等号在a = b = c = 取得. 3 例 5 与例 6 分别揭示了使用狭义权方和的两个典型技巧： 一是调整分子分母幂指 数差以利套用公式；二是凑分母简化分子以利不等号变向。 故
n 1 1
1 1 + = 1且p > 1 p q
证明：由引理1易知:
ai bi 1 aip 1 biq + ≥ n n 1 1 p q p q n p ⎛ n q a b ⎛ ⎞ ⎞ p q ∑ ∑ i i ⎜ ∑ ai ⎟ ⋅ ⎜ ∑ bi ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
⇔ ( x + y)
2
( y + z )( x − z ) + ( y + z ) ( z + x )( y − x ) + ( z + x ) ( x + y )( z − y ) ≥ 0
2 2
⇔ xy 3 + yz 3 + zx 3 − ( x + y + z ) xyz ≥ 0 ⎛ y 2 z 2 x2 ⎞ ⇔ xyz ⎜ + + − x − y − z ⎟ ≥ 0 x y ⎝ z ⎠ 2 2 2 y z x ⇔ + + ≥ x+ y+ z z x y y 2 z 2 x2 ( x + y + z ) = x+ y+ z 而 + + ≥ z x y x+ y+ z
n n
1 m +1
⎛ ⋅⎜∑b ⎝ i =1
n
m +1 m i
⎞ ⎟ ⎠