大学物理(第二版)中国矿业大学出版社

1.1有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为23

4.52x t t =-，试求：⑴ 第2秒内的平均速度⑵ 第2秒末的瞬时速度⑶ 第2秒内的路程。

解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-=平均速度为 ()212 2.50.5m v x x =-=-=-⑵第2秒末的瞬时速度()22966m s t dx

v t t dt

==

=-=-⑶ 第2秒内的路程：

（在此问题中必须注意有往回走的现象）当1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m =;当1t s =时，1 2.5x m = ;当2t s =时，32x m =;所以路程为：

3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-=

1.8一艘正在沿直线行驶的电船，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，即dv/dt=-k v ∧2,试证明电艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为v=v0e ∧-kx 式中，v0是关闭发动机后的速度。 证明：由题可知：

2dv dx kv kv dt dt =-=- 所以有： d v k v d x

=- 变换为： dv

kdx v

=- 两边同时积分就可得到：00v

x v dv kdx v =-?? 0

ln v v v kx =-即0

ln v kx v =- 所以有0k x

v v e -=

1.9迫击炮射击山顶上的一个目标，已知初速度为v0，抛射角为⊙,上坡与水平面成a 角，求炮弹的射程及到达山坡时的速度。 解：

炮弹的运动轨迹如上图的虚线所示，如图建立坐标轴,x y 。将初速

度0v 沿坐标轴分解可得0000cos sin x y

v v v v θ

θ=??=? ⑴ 加速度g 沿坐标轴分解可得

s i n

c o s x y

a g a g αα=-??

=-? ⑵ 在任意时刻t 的速度为 0000cos sin sin cos x x x y

y y v v a t v gt v v a t v gt θα

θα=+=-??

=+=-?⑶任意时刻t 的位移为

22002200

11cos sin 22

11sin cos 22

x x y y x v t a t v t gt y v t a t v t gt θαθα?

=+=-???

?=+=-??⑷ ⑴ 炮弹射程为0y =时，所对应的x 。 0y =对应的时刻02sin cos v t g θα=，代入可得()()220022

2sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos v v x g g θθαθαθθααα

-+== ⑵ 将02sin cos v t g θ

α

=

代入方程组⑶可得

g

00000002sin cos sin cos 2sin tan cos 2sin sin cos sin cos x

y v v v g v v g v v v g v g θθαθθααθθαθ

α?

=-=-??

?

?=-=-??

速度的大小为

v =

s i n α=

c o s

=

= 方向可以由 t a n 2t a n c o t

y x

v v βαθ=

=-

()arctan 2tan cot βαθ=-

1.14一质点沿半径为0.1（m ）的圆周运动，其角坐标⊙可用下式来表示：⊙=2+4t ∧3 请问：（1）当t=2(s)时，法向加速度和切向加速度各是多少？（2）当⊙角等于多少时，其总加速度与半径成45°角。 解：3

24rad t θ=+，角速度为212rad d t dt

θ

?== 角加速度为224

r a d s t β= ⑴ 当2s t =时，2

48rad s β=

2220.148230.4m n a r ?==?= 20.148 4.8m a r τβ==?=

⑵ 在t 时刻，法向加速度与切向加速度分别为

()2

22420.11214.4m s n a r t t ?==?= ()20.124 2.4m a r t t τβ==?=

总加速度与半径夹角为45时，n a a τ= 可得 3

1

0.1676

t =≈，即 2.167rad θ=

2.1 质量为2kg 的质点的运动方程为()()

22??61331r t i t t j =++++，求证质点受恒力而运动，并求力的方向和大小，

采用国际单位制。

解：质点的运动方程为()(

)

22??61331r t i t t j =++++，

那么通过对上式两边求导，便可得到速度()??1263v t i t j

=++ 加速度为：??126a i

j =+ 因此质点所受的力为??2412N F m a i j ==+

2.2 质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，质点的运动方程为??cos sin r a t i

b t j ??=+，,,a b ?为正常数，⑴ 求质点的动量；⑵ 证明作用于质点的合力总指向原点。

解：⑴ 由质点的运动方程可得质点的速度为：??sin cos v a t i

b t j ????=-+

质点的动量为：??s i n c o s p m v m a t i m b t j ?

???==-+ ⑵ 质点的加速度为：22??cos sin a a t i

b t j ????=-- 作用于质点的合力为：

()

2222??cos sin ??cos sin F ma m a t i m b t j

m a t i b t j m r

????????==--=-+=-

方向为r -的方向，也就是总指向原点。

2.3 圆柱A 重500N ，半径0.30m A R =，圆柱B 重1000N ，半径0.50m B R =，都放置在宽度为 1.20m l =的槽内，各接触点都是光滑的。求A ，B 柱间的压力及A ，B 柱与槽壁和槽底间的压力。

解：分别以A ，B 为研究对象，受力分析如图所示，建立坐标系如图。

对A 列方程有：x 轴：sin A BA N N α= ⑴ y 轴：c o s A B A

G N

α= ⑵

对B 列方程有：x 轴：1sin AB B N N α= ⑶

y 轴：c o s

B B A B N G N α=+ ⑷ 在三角形中0.4m A B B

C l R R =--= 0.8m A B AB R R =+= 1sin ,cos 2αα=

= ⑸ 通过解上述方程组，可以得到

N A B G

577N AB BA N N ==，1500N B N =，1288.5N A B N N ==

2.5 质量m=2kg 的均匀绳，长L=1m ，两端分别连接重物A 和B ，ma=8kg, mb=5kg, 今在B 端施以大小为F=180N 的竖直拉力，物体向上运动，求张力T(X)

解：

对整体进行受力分析，加速度向上为a ，根据牛顿第二定律有： ()()a b a b F m m m g m m m a -++=++即

()()

22m s a b a b F m m m g

a m m m -++=

=++

对A 进行受力分析，根据牛顿第二定律有：a a T m g m a -= 得到()96N a T m g a =+= 对一小段绳子dm 受力如图，根据牛顿第二定律得：

()()24m

T dT T dmg dma dT dm a g a g dx dx L +--=?=+=

+= 两边积分得到(

)1

196

2496

24N

T x

dT dx T x =?=+?

?

2.6 在图示的装置中两物体的质量各为1m ，2m ，物体之间以及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力。不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：对1m ，2m 分别进行受力分析如上图所示，取x 方向向右为正方向，y 轴方向向上为正方向。根据牛顿第二定律列方程，对1m 有

x 轴：111f T N T m a μ-=-=- y 轴：110N m g -=

对2m 有方程，

x 轴：122F m g T N m a μμ---= y 轴：()2120N m m g -+=

方程组可以变为()111122m g T m a F m g T m m g m a μμμ-=-?

?---+=?

1

a m g

dm

()a b m m m ++

F

可得到 11T m g m a μ=+ ()()112

1

22F m g m m g m m a

μμ--+=+

最后可以解得：()1122F m g

a g m m μμ-=

-+， ()()

11122m F m g T m m μ-=+

2.9 一个半径为R 的光滑球面顶点A 放一滑块，滑块质量为m,从静止开始沿球面下滑，小滑块的位置可用⊙角表示，求滑块对球面的压力与⊙角的关系，并问滑块在何处离开球面？ 解：对滑块进行受力分析如图，建立自然坐标系：

根据牛顿第二定律列方程为：

?τ方向：sin dv

mg m

dt

θ= ① ?n

方向：2

cos v mg N m R

θ-= ② d s R d θ=，①式两边同乘ds 可得：

sin gR d vdv θθ=，两边同时积分可以得到：

2

00

1c o s 2v

g R v θ

θ-=()221c o s v g R

θ?=- 代入②式可得：()()c o s 21c o s 3c o s 2

N m g m g m g θθθ=--=-

当滑块离开球面时，0N =，即2c o s 3θ=

，2

a r c c o s 48.

23

θ==

2.12 升降机中水平桌上有一质量为m 的物体A ，它被细线所系，细线跨过滑轮与质量也为m 的物体B 相连，当升降机以加速度a=g/2上升时，机内的人和地面上的人将观察到AB 两物体的加速度分别是多少？ 解：（一）以升降机为参考系，A 和B 的受力如图所示：

水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，根据牛顿第二定律列方

程为：

对A ：'

T ma =

0N m g m a --= 对B ：()'

T m a g ma -+=-

解方程可得：'

3

4

a g =

因此对机内的人来说，A 的加速度为：3?4g i ，B 的加速度为：3?4

g j - （二）以地面为参考系，

建立坐标系与上边相同，根据牛顿第二定律列方程： 对A ：'

T ma = N m g m a -= 对B ：(

)

'

T mg m a a -=- '

34a g =

，3

4

T mg =， A 的加速度为：131??

42

a g i g j =

+，

?

'

'a

'a

a

B 的加速度为：'21

?4

a a a g j =-=-

2.13在一与水平方向成a=10°的斜坡上，一辆车以a=0.3m/s2的加速度向上行使，车内有一质量为m=0.2kg,以地面参考系和车为参考系，求绳子的方向和张力。

解： （一）以地面为参考系。对小球进行受力分析。

小球相对于小车的加速度为0，所以a 就是小球的绝对加速度。根据牛顿第二定律列方程： x 方向：()

c o s 90s i n T m g m a αβα---= y 方向：()

s i n 90c o s 0

T m g αβα---= 即：()sin sin T mg ma αβα+-=，()cos cos 0T mg αβα+-=

()cos tan sin mg mg ma ααβα+-=()sin tan 0.2074cos g a

g ααβα

+?+=

=

()

cos 1.97N cos mg T α

αβ=

=+

（二）以加速度为2

0.3m s 的小车为参考系，则小球所受的力应该加一个沿着斜面向下的非惯性力。根据牛顿第二定律列方程：

()cos 90sin 0T mg ma αβα----=

()sin 90cos T mg αβα--= 同样得到上边的结果。

2.14 抛物线形弯管的表面光滑，可绕竖直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y=a x ∧2,a 为常数,小环套与弯管上。求（1）弯管角速度多大？（2）若为圆形光滑弯管，情形如何？ 求 解：⑴

受力分析如图所示，根据牛顿第二定律有：

2

sin N m x α?=

cos mg N α= tan 2dy

k ax dx

α=== 所以可得：2tan 2x

ax g

?α==

可以解得：?=⑵

x

2 2x

?

受力分析如图所示，根据牛顿第二定律有：

2sin N m x α?=

cos mg N α=

但此时曲线方程变为：

()2

22x y a a +-=

tan dy x k dx y a

α==

==-

2t a n x

g

?α?=

=

?=

2.15质量为m1的木块静止在光滑的水平桌面上，质量为m,速率为v0的子弹水平射入到木块内并与其一起运动。（1）木块的速率和动量，以及子弹的动量。（2）在此过程中子弹施与木块的冲量. 求 解：⑴ 在水平方向不受外力作用，所以在碰撞前后动量守恒。碰撞前只有子弹的动量；碰撞后子弹嵌入木块一起运动，设速度为v 。可得到方程： ()01mv m m v =+0

1

mv v m m ?=

+

子弹的动量为：20

1m v p mv m m ==

+子弹

，木块的动量为：1011

mm v p m v m m ==+木块 ⑵ 在此过程中，子弹施于木块的冲量为：10

1

0mm v I p p m m =?=-=

+木块木块

2.16 已知绳子的最大强度T0=9.8N ，m=500g,l=30cm.开始时m 静止。水平冲量I 等于多大才能把绳子打短？ 解：设绳子断时，m 的速度为v 。则有：

()22

020T mg l v v T mg m m v R l m

--==?=

所以冲量为：()0.86Ns I p mv =?===

2.17 一力F=30+4t 作用在质量为10kg 的物体上求：（1）在开始的两秒内，此力的冲量是多少？（2）要使冲量等于300N.S,此力的作用时间是多少？（3）如果物体的初速度为10m/s,运动方向与F 相同，在（2）问的时间末，此物体的速度是多少？ 解：⑴ ()()1

2

220

30430268Ns t I Fdt t dt t t

==+=+=?

?

⑵ 2

22

2

2220

302302300t t I Fdt t t t t =

=+=+=?

可以解得时间为：2 6.86s t =

⑶ 22121I p p mv mv =-=- ()2123001010

40m s 10

I mv v m ++??===

3.5 在半径为R 的光滑半球状圆塔的顶点A 上有一石块M 。若使石块获得水平初速度0v ，问：⑴ 石块在何处()??=脱离圆塔？⑵ 0v 的值为多大时，才使石块一开始便脱离圆塔？

解：图略。⑴ 石块脱离圆塔时，0N =，只受重力作用。

法线方向：2

cos v mg m v R

?=?=由动能定理可得：()22011

1cos 22

mgR mv mv ?-=

-代入可得： 2013cos 22gR v gR ??

?+=

???202cos 33v gR ??=+ 所以2

02arccos 33v gR ???=+ ???

用机械能守恒也可以。

⑵ 石块一开始便脱离圆塔。则要求：

2

00v mg m v R

=?=

3.6 重量为W 的物体系于绳的一端，绳长为l ，水平变力F 从零逐渐增加，缓慢地拉动该物体，直到绳与竖直线成θ角，试用变力作功和能量原理两种方法计算变力F 做的功。

解：（一）变力作功。

对物体进行受力分析如图，根据牛顿第二定律列方程：

x 方向：sin F T θ= y 方向：cos T W θ=

?cos W

T θ

=

，tan F W θ=， sin cos r l dr l d θθθ=?=

因此变力所作的功为：

()00

tan cos sin cos 1cos A Fdr Wl d Wl d Wl Wl θθθ

θ

θθθθθθθ====-=-???

（二）能量原理（机械能守恒，动能和势能相互转换）

()cos 1cos F F Wl Wl A A Wl θθ=+?=-

3.7 轻质不可伸长的线悬挂质量为500g 的圆柱体。圆柱体又套在可沿水平方向移动的框架内，框架槽沿铅直方向。框架质量为200g ，自悬线静止于铅直位移开始，框架在水平力F=20N 作用下移至图中位置，求圆柱体的速度，线长20cm 。 解：以轻绳，圆柱体和框架组成质点组。

质点组所受外力有：圆柱体重力11W m g =，框架重力22W m g =，轻绳拉力T 和作用在框架上的水平力F 。其中2W 和T 不做功。

质点组所受内力有：框架槽和小球的相互作用力R ，'

R ，由于槽面光滑，所以R ，'

R 二力做功之和为零。 以地面为参考系，根据质点组动能定理：

()2211221111cos30sin 3022

m v m v m gl Fl +=--+ l 表示绳长，1v 表示圆柱体的绝对速度，2v 表示框架的绝对速度，有关系式为： 12v v v =+相对

F

投影可得：12cos30v v =，

()2221121111

cos 301cos30sin 3022

m v m v m gl Fl +=--+ 代入数据可得圆柱体的速度为：1 2.4m s

v =

4.8 一均匀圆柱体半径为R ，质量为m1,可以绕固定水平轴旋转，一细绳索长l ，质量m2单层绕在圆柱体上，若悬线

挂在圆柱体上的长度为x ，求其角加速度与长度x 的关系式， 解：圆柱体相对于其中心的转动惯量为：2111

2

I m R =

围绕在圆柱体上的绳索的长度为()l x -，质量为

()2

m l x l

-，相当于小圆环，其相对于中心的转动惯量为：()2

22m I l x R

l

=

- 转动部分总的转动惯量为：12I I I =+ ①

对转动部分以及悬挂在圆柱体外的绳索部分进行受力分析，根据牛顿第二定律和刚体的转动定律列方程为： m g T m a -= ② T R I β= ③ 2

,m a R m x l

β==

④

可得：

2

222

2m m

m m x g R I x a R I x R x g R

l l

l l ββ?

?

-=?+= ?

?

?

222

222212121122m xgR m xgR m x g Il m xR R

m R l m lR m m l β=

==+??++ ???

4.9 一半径R=15cm 质量m=16kg 的均质实心圆柱体。一条绳绕在圆柱体上，另一端系一质量m1=8kg 的物体，求：（1）

由静止开始1秒后物体下降的距离。（2）绳的张力

解：图略。对圆柱体与物体组成的系统进行受力分析，圆柱体受绳子拉力形成的顺时针力矩；物体在重力与向上的拉

力的作用下，有一向下的加速度。

根据牛顿第二定律和刚体的转动定律列方程为

11m g T m a -= ①

21

2

T R I

m R ββ== ② a R β= ③ 联立方程可得： 11

22

T mR ma β=

=

1112m g

a m m =

?

?+ ?

?

? 代入数据得：()39.2N T =，()

24.9m s a =，()211

4.91 2.45m 22

h at =

=??=

4.10 在阶梯形滑轮上绕两根细绳，下挂质量为m1和m2的两物体，滑轮半径为R 和r ，转动质量为I ，求m1下降的加

速度和两边绳中的张力？ 解：图略。对滑轮和物体分别受力分析。1m 受向下的重力1m g 与向上的拉力1T ，具有向下的加速度1a ；2m 受向下

的重力2m g 与向上的拉力2T ，具有向上的加速度2a ；滑轮受1T 、2T 反作用力产生的逆时针力矩。 根据牛顿第二定律和转动定律列方程可得：

1111m g T m a -= ① 2222T m g m a -= ② 12T R T r I β-= ③ 1a R β= ④ 2a r β= ⑤ 最后联立解方程可得： ()122

2

12m R m r g

m R m r I

β-=

++ ()1212

2

12m R m r gR a m R m r I

-=

++ ()122

2

2

12m R m r gr

a

m R m r I

-=

++

()21211112212m Rr m r I

T m g a m g m R m r I ++=-=++

()212222222

12m R m Rr I

T m g a m g m R m r I

++=+=++

4.12 质量为2.97kg ，长为1m 的均质等截面细杆可绕水平光滑的轴线O 转动，最初杆静止于铅直方向，一弹片质量

为10g ，以水平速度200m/s 射出并嵌入杆的下端，求杆的最大摆角。 解：

以弹片与细杆组成的系统为研究对象。弹片嵌入细杆前后角动量守恒。 弹片嵌入之前，系统的角动量为：

0L l mv =

弹片嵌入细杆之后，一起运动时的角速度为?，整体的角动量写为：

21L I m l ??=+ ，21

3

I M l =

角动量守恒等式为：01L L =，即

2

221

3

l mv I m l M l m l ????=+=

+ ① 若先求出细杆与弹片组成系统的转动惯量：'22

13

I Ml ml =+，那么角动量守恒等式可以写为：'l m v I ?=

m

①'

弹片与细杆一起运动到停止的过程中，只有重力做功，所以可以运用机械能守恒或动能定理列方程。 弹片质心上升的高度为()1cos h l θ=- 细杆质心上升的高度为()1cos 2

l

H θ=- 根据动能定理可得方程：

22211

022mgh MgH I m l ??--=--② 或者 '2

102

mgh MgH I ?--=-②'

联立解方程可得：

2rad s ?=，cos 0.863θ=，30.34θ=

4.13 一质量为m1，速度为v1的子弹沿水平面击并嵌入一质量为m2=99m2,长度为L 的棒的断点，求角速度 解：

子弹与细杆碰撞前后角动量守恒，碰撞前只有子弹1m 以速度1v 运动，碰撞后子弹嵌入细杆，并绕其中心轴转动。

由于在碰撞过程中对中心轴的合力矩为零，所以角动量守恒。可列方程为：

2

20112112122L L L m v m L m ????

==+ ???

最后可以得到：1160.058102v v

L L

?=

=

4.14 某经典脉冲星，半径为几千米，质量与太阳大致相等，转动角速度很大，试估算周期为50ms 的脉冲星的转动动

能？ 解：动能212k E I ?=

，其中转动惯量22

5

I mR =（球相对于中心轴的） 相关数据有：30

1.9910kg M =?，()240rad s T

π?π==

()()22222306222391121402255

1

1.991010410 3.14 6.2810J 5

k E I MR MR ??π=

=?==??????=?

5.4 一质量为10g 的物体作简谐振动，其振幅为24cm ，周期为4s ，当t=0时，位移为24cm,求：（1）在t=0.5s 时，物体所在的位置；（2）在t=0.5s 时，物体所受力的大小和方向；（3）在x=12cm 处，物体的速度； 解：⑴ 已知条件：

310g 1010kg 0.01kg m -==?=

24c m 0.24m

A ==

，()024s r a s 2

T T ππ

?=?== 当0t =时，c o s 24c m 0

x A αα==?= 运动学方程为：()0c o s 0.24c o s m

2x A t t π?α??

=+=

???

1m 1v

2m

L

0.5s t =时，0.24c o s 0.1

7m 4

x π

==

⑵ 弹力的表达式为：()2200cos

N 2

t

f kx m x m A π??=-=-=-

当0.5s

t =时，(

)2

3

0.010.24c o s 4.1910N

4

4

f ππ

-=-??

?=-

? ⑶ 当12cm x =，代入可得1cos

2

2t

π=

?23

t ππ

=± 根据运动学方程可知速度的表达式为： ()0.24s i n 0.24s i n 0.326m s

2223t v π

πππ????

=-

?=-?±=

? ?????

⑷ 由⑶可知，从起始位置运动到12cm x =处所转过的角度为13

π

θ?=或

53

π

所用的最少时间：112

4s 2323

t T θπππ?=

?=??=

5.5 一质点质量为2.5*10∧-4kg ，它的运动方程为x=0.06sin(5t-pi/2),求：（1）振幅和周期;(2)初速度；（3）质点在初位置时所受的力；（4）在pis 末的位移，速度和加速度； （5）能动的最大值； 解：运动学方程：

0.06sin 5m 2x t π?

?=- ??

?，

⑴ 振幅为：0.06m A =；周期为：()0

220.4 1.26s 5

T π

π

π?=

=

== ⑵ 初位置为：00.06sin 0.06m 2t x π=??

=-=- ???

⑶ ()()2

440000

2.510250.06

3.7510N t t t f

kx

m x

?--====-=-=-???-=?

⑷ 速度与加速度的表达式分别为：0.3cos 50m s 2t t v

t ππ

π==?

?=-= ?

?

?

2

1.5s i n 5 1.5m

s 2t t a

t ππ

π==?

?=--=-

?

?

? ⑸ 222

425max 0110.5 2.510250.06 1.12510J 22

k E kA m A ?--=

==????=?

5.10 弹簧下面悬挂质量为50g 的物体，物体沿铅直方向的运动方程为x=2*10∧-2sin10t,平衡位置为势能零点，求(1)弹簧的弹性系数（2）最大动能（3）总动能

解：根据已知条件有：()2

210sin10m x t -=?，()

20.2cos10m s v t =

⑴ ()2

3

2

05010105N m k m ?-==??=

⑵ 动能表达式为2

12

k E mv =，其最大值为： ()223243m a x 0

10.550101041010

J

2

k E m A ?---=

=?????=

⑶ 总能量为：()2223011

10J 22

E kA m A ?-=

==

5.11 两同向的谐振动，已知运动方程为x1=5cos(10t+0.75pi),x2=6cos(10t+0.25pi),式中x 单位为厘米，t 为秒，（1）求合震动的振幅和初相位；（2）若另有谐振动x3=7cos(10t +⊙),则⊙为何值量x1+x2的振幅最大？⊙为何值时x2+x3的振幅最小？

解：⑴ 根据已知条件有：15cm A =，26cm A =，10.75απ=，20.25απ= 合振幅为：

7.81cm=0.078m A =

==

1122

112

2

s i n s i n t a n

11c o s c o s A A

A A

ααααα+==+'84.808448α?== ⑵ ()37cos 10cm x t π?=+

13x x +的振幅最大应满足条件：31310135αααα-=?== 23x x +的振幅最小应满足条件：32322

25ααπααπ-=?=+=

5.12 有两个同振向，同周期的谐振动，其合震动的振幅为20cm,相位与第一振动的相位差为30°，若第一振动的振幅为17.3cm ，求第二振动的振幅及第一，第二两振动的相位差. 解：

根据余弦定理：

210cm=0.1m A == 2

22

212

cos 0.52A A A AA α+-==

60α=，所以第一与第二振动的相位差为 213090ααα-=+=

6.5 已知波源在质点()0=x 的平面简谐波方程为：()cx bt A y -=cos ，c b A ,,均为常数，试求：⑴ 振幅、频率、波速和波长。

⑵ 写出在传播方向上距波源l 处一点的振动方程式，此质点振动的初相位如何。

解：⑴ 振幅：A , 周期：b T π2=

频率：π

ν21b T == 波长：c πλ2=，波速为：c

b

T u ==λ

⑵ l x =处质点的振动方程式为：()cl bt A y -=cos 该质点振动的初相位为：cl -

6.6 一横波的方程为：()x t A y -=νλ

π

2cos

，若m 01.0=A ，m 2.0=λ，s m 25=u 。试求：s 1.0=t 时，m

2=x 处的一点的位移、速度和加速度。

解：m 01.0=A ，m 2.0=λ，m 25=u ， 频率为：Hz 1252

.025

==

=

λ

νu

30

横波的方程为：()x t y -=125

10cos 01.0π 位移：()m 01.0cos 01.025.1210cos 01.02

1.0-==-===ππx t y

速度：()0s i n 5.1225.1210sin 5.122

1.0=-=--===ππππx t v

加速度：

()25222

1.0s m 101.5412505.1225.1210cos 12505.12?=?=-?-===πππx t a

6.7 平面简谐波的方程为：cm 10022cos 8??

?

??-

=x t y π，波源位于原点，求： ⑴ s 1.2=t 时波源及距波源m 1.0处的相位。 ⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差。 解：⑴ s 1.2=t 时波源的相位：()ππ?

4.801.0220

1.2=-?===x t

距波源m 1.0处的相位：()ππ?2.81.01.0221

.01.2=-?===x t

⑵ 离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差： πππ?

?

?-=??

? ??

--??? ??-=-=?==100302210080223

.08

.0t t x x

因此，离波源m 80.0及m 30.0两处的相位差为π。

6.8 有一频率为Hz 500的平面简谐波，在空气(

)

33

m kg 10

3.1-?=ρ中以速度m 340=v 的速度传播，到达人耳时，

振幅为cm 104

-=A ，试求耳中声音的平均能量密度及声强。

解：频率Hz 500=ν，角频率：ππν?10002==

平均能量密度为： ()()

()

392

26322m J 104.6100010103.12

1

21----??=????==π?ρA w

声强：

()()

()

262

2

6322m W 1018.2340100010103.12

1

21----??=?????==

=π?ρv A v w I 6.9 同一介质中的两个

波源位于B A ,两点，其振幅相等，频率都是Hz 100，B 比A 的相位超前π。若B A ,两点相距30m ，波在介质中的传播速度为s m 400，试求B A ,连线上因干涉而静止的各点位置。

解：以A 点为坐标原点，AB 连线为x 坐标轴。波长：m 4100

400

==

=

ν

λu

设A 点的振动方程为：t A y A ?cos =，B 点的振动方程为：()π?+=t A y B cos 在A,B 连线上的一点x 处，A 波源的方程为： ??

?

?

?-

=λπ?x t A y AP 2cos B 波源的方程为： ()??

?

??

?--

+=λππ?x t A y BP 302cos

干涉时的相位差为：()

λ

πλ

ππ?x

x 2302+

--

=?

干涉加强的条件为：7,2,1,0,1422 ±±=+=?=?k k x k π? 干涉减弱的条件：()7,2,1,0,

15212±±±=+=?+=? k k x k π?

通过计算可以得到：⑴ 在A,B 两点之间因为干涉而静止的点为：

29,27,5,3,1 =x ，也就是在30~1之间所有的奇数，因此也可以写为：

14,3,2,1,012 =+=k k x

⑵ 在A,B 两点之间因为干涉而加强的点为：28,6,4,2 =x ，也就是在30~1之间所有的偶数。

6.10 B A ,两点为同一介质中的两相干波源。其振幅皆为cm 5=A ，频率皆为Hz 100，但当A 点为波峰时，B 点恰为波谷。设在介质中的波速为s m 10，试写出由B A ,两点发出的两列波传到P 点时干涉的结果。 解：由题可知，m 15=AP ，m 20=Ab ，所以：m 25=BP

Hz 100=ν，s m 10=u

波长：m 1.0100

10

==

=

ν

λu

A 点为波峰时，

B 点为波谷，则A,B 两相位差为π。 A,B 两相干波源传到P 点时的相位差为： ()

()πππλπ???2011

.0251522=--

=--

-=?BP AP A B 相位

差为π的奇数倍，所以干涉之后的结果是减弱的。合振幅为：0=A

7.2 一气球在17℃时，球中氢气的压强为2atm ，求该气球内氢气的密

度和分子数的密度。

解：27317290K T =+=

()5

2a t m =2.0262510

P a

p =? 氢气的密度：()53

32.02625102100.17kg m 8.31290M p V RT μρ-???====? ()525-3

23

2.0262510 5.010m 1.3810290

p p nkT n kT -?=?===???

7.5 在容积为V 的容器中盛有被试验的气体，其压强为p1，称得容器连同气体的重量为G1，然后放掉一些气体，气体的压强降至p2，再称得重量为G2，为在1大气压下气体密度是多少 解：已知条件：1p ，1G G G =+0气；2p ，

'2G G G =+0气，0G 为容器的质量。

根据理想气体的状态方程有： 101G G p V RT g μ-=

， 20

2G G p V RT g μ

-=

A

B

P

1012112

022021

G G p p G p G G p G G p p --?

=?=-- 2112

01210011p G p G p G G p p p p M V RT p V g p Vg

μ

μρμ??-- ?

-?

?====气 ()()()()012102112121p p G G p G

G p V g p p g V p p

--=

=--

7.6 一系统有图中的a 态沿abc 到达c 态时，吸收了350J 的热量，同时对外作126J 的功，（1）如果沿adc 进行，则

系统作功24J ，问这时系统吸收了多少热量。（2）当系统由c 态沿曲线ca 返回a 态时，如果外界对系统作功84J ，问这时系统是吸热还是放热？热量传递是多少？ 解：图略。根据已知条件，当系统沿abc 过程进行时，

350J abc Q =，126J abc A =可以得到350126224J ac abc abc U Q A =-=-=

⑴ adc 过程：224J ac U =，42J adc A =，可以得到adc 过程中吸收的热量为 22442266

a d c a c

a d c

Q U

A

=+=+= ⑵ ca 过程：224J ca ac U U =-=-，外界对系统做功，即84J ca A =- 热量：2

2484308c a c a

c a Q U

A =+=--=- 因为热量0ca Q <，所以在此过程中系统放热。

7.8 压强为1atm ，体积为11的氧气（Cv`m=5/2R ）自0℃加热到100℃，问：（1）当压强不变时需要吸收多少热量？

（2）当体积不变时需要多少热量？（3）以上二过程各作了多少功？ 解：⑴ 当压强不变时， 由理想气体状态方程可得：11

1111

p V p V RT RT νν=?=

内能的改变为：

()()()(),21

11

,211

535 1.013101037327392.77J 2273

v m v m U C T T p V C T T RT ν-?=-=

-??=?-?=

系统所作的功：()()212111

15311001.0131011037.1J 273T A p V V p V T -??=-=- ?????

=????= ???

吸收的热量：()129.88J

Q U A =?+= ⑵ 体积不变时，作功0A =，内能的变化完全由吸收热量引起。 ()92.77J Q U =?= （与压强不变时内能的变化相同） ⑶ 等压过程中的作功：()37.1J A =，等体过程中作功为零。

7.9 质量为1kg 的氧气（Cv`m=5/2R ）其温度由300K 升高到350K.若温度升高是在下列特况下发生的，向其内能各改

变多少？（1）体积不变（2）压强不变（3）绝热

解：在等体过程，等压过程以及绝热过程中，内能的变化都相等。 ()(),2121

,v m v m M

U C T T C T T νμ

?=-=

- ()3

4

11058.3150 3.2510J

322

?=???=?

7.13 1mol 氢（Cv`m=5/2R ）.在压强为1atm,温度为20℃时，其体积为V0，（1）先保持其体积不变，加热使其温度升高到80℃，然后等温膨胀，体积变为原来的2倍.(2)先使其等温膨胀至原来体积的2倍，然后保持其体积不变，加热到80℃。 分别计算以上两种过程中气体吸收的热量，对外作的功及内能的增量. 解：⑴

1mol ν=，,52

v m C R =

1atm a p =， 20C=293K a T =，0a V V = ?atm b p =， 80C=353K b T =，0b V V =

?atm c p =， 80C=353K a T =，02c V V =

内能的改变为：

()(),5

8.31601246.5J 2

v m c b U C T T ν?=-=??=

系

统

对

外

界

作

功

为

：

()l n 8.31353l n 2203

3.3J c

b

V c b

V b

V A p d V R T V ν

===??=?

热量为：()3279.8J Q A U =+?= ⑵

1mol ν=， ,5

2

v m C R =

1atm a p =， 20C=293K a T =，0a V V = ?atm b p =， 20C=293K b T =，02b V V =

?atm c p =， 80C=353K a T =，02c V V =

内能的改变为：

()(),5

8.31601246.5J 2

v m c b U C T T ν?=-=??= 系统对外界作

功为：()ln

8.31293ln 21687.7J b

a

V b

a V a

V A pdV RT V ν=

==??=?

热量为：()2934.2J Q A U =+?=

V

8.1 某容器中的压强是10∧-16tam ，求此压强下，温度为27℃时，1立方米体积中有多少个气体分子？ 解：p nkT =，

23-11.3810J K k -=?

()155

1023

1010 2.4101.3810300

p n kT --?===???个

8.3 质量为10g 的氮气，当压强为p=1atm,体积为7.7*10∧3cm 时，其分子的平均平动动能？ 解：A

mN N n V V

μ=

= ()53621

23

2

3

33328 1.0107.71010 5.41022210 6.0210

A p n p pV n mN ?μ?--=

???????====????个