高考数学复习 空间中位置关系的判断与证明问题

第2讲空间中位置关系的判断与证明

问题

高考定位 1.以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小；2.以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透.

真题感悟

1.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()

解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A 项不正确.

图(1)图(2)

法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ 不平行.A项不正确.

答案 A

2.(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).

解析当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.

答案②③④

3.(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()

A.

3

2 B.

2

2

C.

3

3 D.

1

3

解析如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，因为α∥平面CB1D1，所以m1∥m，

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面B1D1C∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

所以B1D1∥m1，故B1D1∥m.

因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，

且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，

同理可证CD1∥n.

故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成

角为60°，其正弦值为

3 2.

答案 A

4.(2017·全国Ⅰ卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面P AB⊥平面P AD；

(2)若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P－ABCD的体积为8

3，求该四

棱锥的侧面积.

(1)证明∵∠BAP＝∠CDP＝90°，∴AB⊥P A，CD⊥PD. ∵AB∥CD，∴AB⊥PD.

又∵P A∩PD＝P，P A，PD⊂平面P AD，∴AB⊥平面P AD. ∵AB⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面P AD.

(2)解 取AD 的中点E ，

连接PE .

∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD .

由(1)知，AB ⊥平面P AD ，

故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ，可得PE ⊥平面ABCD .

设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ，

故四棱锥P －ABCD 的体积

V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3. 由题设得13x 3＝83，故x ＝2.

从而P A ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝22，

可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为

12P A ·

PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3. 考 点 整 合

1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α.

(2)线面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .

(3)面面平行的判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b .

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m ⊂α，n ⊂α，m ∩n ＝P ，l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b .

(3)面面垂直的判定定理：a ⊂β，a ⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β.

热点一 空间点、线、面位置关系的判定

【例1】(2017·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β.有下列命题：

①若α∥β，则m∥n；

②若α∥β，则m∥β；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β.

其中真命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析①若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；

②若α∥β，根据平面与平面平行的性质，可得m∥β，正确；

③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β不一定垂直，不正确；

④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，l与n不一定相交，不能推出α⊥β，不正确.

答案 B

探究提高判断与空间位置关系有关的命题真假的方法

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.

(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.

【训练1】(2017·广东省际名校联考)已知α，β为平面，a，b，c为直线，下列命题正确的是()

A.a⊂α，若b∥a，则b∥α

B.α⊥β，α∩β＝c，b⊥c，则b⊥β