离散数学

离散数学复习题

一. 有两个小题

1．分别说明联结词⌝、∧、∨、→和↔的名称，再分别说明它们在自然语言中表示什么含义。

解：(1) ⌝叫做否定。 (2) ∧叫做合取。(3) ∨叫做析取。

(4) →叫做蕴涵。 (5) ↔叫做等价。

“⌝”表示“…不成立”，“不…”。

“∧”表示“并且”、“不但…而且...”、“既…又...”等。

“∨”表示“或者”，是可兼取的或。

“→”表示如果… ，则…；只要… ，就…；只有… , 才…；仅当… 。“↔”表示“当且仅当”、“充分且必要”。

2

解：

二. 将下面命题写成符号表达式。(3,4题要使用句后给定的谓词。)

1.如果小张去，则小王与小李都不去，否则小王与小李不都去。

解：设P：小张去。Q：小王去。R：小李去。

此命题的表达式为：

(P→(⌝Q∧⌝R))∧(⌝P→⌝(Q∧R))

2.我们不能既划船又跑步。

解：令 P:我们划船。Q:我们跑步。

此命题的表达式为⌝(P∧Q)

3.有些运动员是大学生。(L(x): x是运动员，S(x): x是大学生。)

解：∃x(L(x)∧S(x))

4.每个运动员都钦佩一些教练。

( L(x):x是运动员，A(x,y):x钦佩y，J(x):x是教练。)

解：∀x(L(x)→∃y(J(y)∧A(x,y)))

三. 有三个问题

1.先说明什么叫永真式(也叫重言式)。

解：A(P1,P2,…,Pn) 是含有命题变元P1,P2,…, Pn的命题公式，如不论对P1,P2,…, Pn作任何指派，都使得A(P1,P2,…,Pn) 为真，则称之为重言式，也称之为永真式。

2.指出下面的命题公式中哪些是永真式(只写题号即可)。

(1). (P∨Q)→P (2). P→(P∨Q)

(3). (P∧(P→Q))→Q (4). (P∧Q)→Q

解:(2),(3),(4)为永真式。

3.然后对上面的永真式任选其中一个给予证明(方法不限)。

证明 (4). (P∧Q)→Q

设前件(P∧Q)为真，则得Q为真。所以(P∧Q)→Q是永真式。

四. 写出命题公式 (Q→⌝P)→Q 的主合取范式。（要求有解题过程）

解：

方法1：等价变换

(Q→⌝P)→Q

⇔⌝(⌝Q∨⌝P)∨Q ( 去→ )

⇔ (Q∧P)∨Q ( 摩根定律 )

⇔ Q ( 吸收律 )

⇔ (P∧⌝P)∨Q （互补、同一律）

⇔ (P∨Q)∧(⌝P∨Q)( 分配律 )

方法2：真值表法

先列(Q→⌝P)→Q的真值表如下：

(P∨Q)和

02

(⌝P∨Q)。于是此命题公式的主合取范式为：

(Q→⌝P)→Q ⇔ (P∨Q)∧(⌝P∨Q)

五. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。

∃xP(x), ∀x(Q(x)→⌝R(x)), ∀x(⌝P(x)∨R(x)) ⇒∃x⌝Q(x)

解：⑴∃xP(x) P

⑵ P(a) ES ⑴

⑶∀x(⌝P(x)∨ R(x)) P

⑷⌝P(a)∨R(a) US ⑶

⑸ R(a) T⑵⑷ I

⑹∀ x(Q(x)→⌝R(x)) P

⑺ Q(a)→⌝R(a) US ⑹

⑻⌝Q(a) T ⑸⑺ I

⑼∃x⌝Q((x) EG ⑻

六. 用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。要求按照推理的格式书写推理过程。

∀xC(x), ∃x(A(x)∨B(x)), ∀x(B(x)→⌝C(x)) ⇒∃xA(x)

解：⑴∃x(A(x)∨B(x)) P

⑵ A(a)∨B(a) ES ⑴

⑶∀xC(x) P

⑷ C(a) US ⑶

⑸∀x(B(x)→⌝C(x)) P

⑹ B(a)→⌝C(a) US ⑸

⑺⌝B(a) T ⑷⑹ I

⑻ A(a) T ⑵⑺ I

⑼∃xA(x)) EG ⑻

七. 令集合A={1,{1}},B={1}，P(A)表示A的幂集。

1.判断下面命题的真值。并说明原因，否则不给分。

(1) B∈A, (2) P(B)⊆P(A)

(3) {Φ}⊆P(A) (4) {{1}}∈P(B)

解：P(A)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}

P(B)＝{Φ,{1}}

⑴：真值为T；因为A={1,{1}}, B={1}, B是A中一个元素，所以B∈A。

⑵：真值为T；因为P(B)＝{Φ,{1}}，P(B)中两个元素Φ和{1}都属于P(A),所以P(B)⊆P(A)。

⑶：真值为T；因为集合{Φ}中只有一个元素Φ，而P(A)中也有元素Φ，所以{Φ}⊆P(A)。

⑷：真值为F。因为{{1}}不是P(B)中元素，故真值为F。

2.分别计算: （注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）

(1) A×P(B)

(2) A⊕B

(3) P(A)－P(B)

解： A={1,{1}}, B={1}，

⑴ A×P(B)＝{1,{1}}× {Φ,{1}}

＝{<1,Φ>,<1,{1}>,<{1},Φ>,<{1},{1}>}

⑵ A⊕B＝(A⋃B)－(A⋂B)

=({1,{1}}⋃{1})－ ({1,{1}} ⋂ {1})＝{1,{1}}－{1}＝{{1}}。 ⑶ P(A)－P(B)＝{Φ,{1},{{1}}, {1,{1}}－{Φ,{1}} ＝{{{1}}, {1,{1}}}

八. 令全集E={1,2},A={1}, P(A)表示集合A 的幂集。

（注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！）

1. 指出 P(E)和P(A)各有多少个元素。即求|P(E)|和|P(A)|.

解：因为P(E)＝{Φ,{1},{2}, {1,2}} 所以P(E)有4个元素。即|P(E)|＝4。

P(A)＝{Φ,{1}} 所以P(A)有2个元素。即|P(A)|＝2。 2. 计算～A ⊕E

解：因为～A ＝E －A={1,2}-{1}={2}

～A ⊕E ＝{2} ⊕{1,2}＝({2}⋃{1,2})－({2}⋂{1,2})＝{1,2}－{2}＝{1}

九. 令集合A={1},B ＝{1,2}, P(A)表示集合A 的幂集。 （注意：要求要有计算过程，不能直接写出计算结果！） 1．计算A 与B 的对称差A ⊕B 。 解：A ⊕B ＝(A ⋃B)－(A ⋂B)

＝({1}⋃{1,2})－({1}⋂{1,2})＝{1,2}－{1}＝{2} 2．计算 P(B)－P(A)

解： P(B)－P(A)＝P({1,2})－P({1})

＝{Φ,{1},{2},{1,2}}－{Φ,{1}}＝{{2},{1,2}}

十. 给定集合A={1,2,3},定义A 上的关系如下： R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>} S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} T={<1,2>,<2,3>,<3,1>} M=Ф(空关系)

N=A ×A(完全关系（全域关系）)

1.写出关系R 的矩阵；再画出上述各个关系的有向图。 解：关系R 的矩阵如下：

下面是几个关系的有向图：

。

。

。

1

3

2 M

。

。

。

1

3

2

R

。

。

。

1

3

2

T

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=001010111M R