2010年高考数学压轴题系列训练5

2010年高考数学压轴题系列训练五1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3． 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. .5． 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅（其中O 为原点），求k 的取值范围.x =6． 数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n .2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解五1．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为).,(y x由P ),(y x 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x P F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x a c a a x 知，所以 .||1x aca F +=………………………3分 证法二：设点P 的坐标为).,(y x 记,||,||2211r F r F ==则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由.||,4,211222121x a ca r F cx r r a r r +===-=+得 证法三：设点P 的坐标为).,(y x 椭圆的左准线方程为.0=+x aca由椭圆第二定义得a c ca x F =+||||21，即.||||||21x a c a c a x a c P F +=+=由0,>+-≥+-≥a c x a c a a x 知，所以.||1x aca F +=…………………………3分 （Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由0||||2=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+…………………………7分 解法二：设点T 的坐标为).,(y x 当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. 当|0||0|2≠≠TF PT 且时，由02=⋅TF PT ，得2TF PT ⊥.又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（y x '',），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x因此⎩⎨⎧='-='.2,2y y c x x ①由a F 2||1=得.4)(222a y c x ='++' ② 将①代入②，可得.222a y x =+综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+……………………7分（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，③ ④212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 解法二：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得.||20c b y ≤ 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x 于是，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ；当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.………………………11分当c b a 2≥时，记cx y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由,2||21a F F <知︒<∠9021MF F ，所以.2|1|tan 212121=+-=∠k k k k MF F …………14分2．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.（Ⅰ）解：).()(000x f x x f m '-=…………………………………………2分 （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为)(x f '递减，所以)(x h '递增，因此，当0)(,0>'>x h x x 时；③ ④当0)(,0<'<x h x x 时.所以0x 是)(x h 唯一的极值点，且是极小值点，可知)(x h 的最小值为0，因此,0)(≥x h 即).()(x f x g ≥…………………………6分（Ⅲ）解法一：10≤≤b ，0>a 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤另一方面，由于3223)(x x f =满足前述题设中关于函数)(x f y =的条件，利用（II ）的结果可知，3223x b ax =+的充要条件是：过点（0，b ）与曲线3223x y =相切的直线的斜率大于a ，该切线的方程为.)2(21b x b y +=-于是3223x b ax ≥+的充要条件是.)2(21b a ≥…………………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式.)1(2)2(2121b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b ③因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分（Ⅲ）解法二：0,10>≤≤a b 是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,122≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .)1(221b a -≤………………………………………………………………8分令3223)(x b ax x -+=φ，于是3223x b ax ≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是 .0)(≥x φ 由.0)(331--==-='a x xa x 得φ当30-<<a x 时;0)(<'x φ当3->a x 时，0)(>'x φ，所以，当3-=a x 时，)(x φ取最小值.因此0)(≥x φ成立的充要条件是0)(3≥-a φ，即.)2(21-≥b a ………………10分综上，不等式322231x b ax x ≥+≥+对任意),0[+∞∈x 成立的充要条件是.)1(2)2(2121b a b -≤≤-①显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式2121)1(2)2(b b -≤- ②有解、解不等式②得.422422+≤≤-b因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系.…………12分3． 已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；（II ）由（I ）知321n n a =⨯-因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()23212321(321)nn ⨯-+⨯-++⨯-=()232222nn +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)31262n n n n ++-⋅-+ 由上()()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()21221n n --=()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)nn n ⎡⎤--+⎣⎦①当1n =时，①式=0所以22(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以22(1)2313f n n '<-当3n ≥时，10n ->又()011211nn n nn n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>22313n n -4．(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2px =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方程为22(0)y px P =>；（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p==，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220k y p y p b -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① （1）当2πθ=时，即2παβ+=时，tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=，221212204y y y y p-=所以2124y y p =由①知：224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p -x =（2）当2πθ≠时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭ 所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以由（1）（2）知，当2πθ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2πθ≠时直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5． 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k k k k k k x x k x x k B A B A.0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得.31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ---- 6． 数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nnn 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=2.71828….（Ⅰ）证明：（1）当n=2时，222≥=a ，不等式成立. （2）假设当)2(≥=k k n 时不等式成立，即),2(2≥≥k a k那么221))1(11(1≥+++=+k k k a k k a . 这就是说，当1+=k n 时不等式成立.根据（1）、（2）可知：22≥≥n a k 对所有成立. （Ⅱ）证法一：由递推公式及（Ⅰ）的结论有 )1.()2111(21)11(221≥+++≤+++=+n a n n a n n a n nn n n 两边取对数并利用已知不等式得 n n n a n n a ln )2111ln(ln 21++++≤+.211ln 2n n n n a +++≤ 故nnn n n a a 21)1(1ln ln 1++≤-+ ).1(≥n 上式从1到1-n 求和可得121212121)1(1321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-n n n n a a .22111121121121111)3121(211<-+-=--⋅+--++-+-=n n n n n 即).1(,2ln 2≥<<n e a a n n 故（Ⅱ）证法二：由数学归纳法易证2)1(2≥->n n n n 对成立，故).2()1(1)1(11(21)11(21≥-+-+<+++=+n n n a n n a n n a nnn n令).2())1(11(),2(11≥-+≤≥+=+n b n n b n a b nn n n 则取对数并利用已知不等式得 n n b n n b l n ))1(11l n (l n 1+-+≤+).2()1(1ln ≥-+≤n n n b n上式从2到n 求和得 )1(1321211l n l n 21-++⨯+⨯≤-+n n b b n .11113121211<--++-+-=nn 因).2(3,3ln 1ln .313ln 11122≥=<+<=+=+++n ee b b a b n n 故故1,,,2,132222121≥<<<≥<-<+n e a e a e a n e e a n n 对一切故又显然成立. 7．（本小题满分12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+（1）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （2）求数列}{n a 的通项公式a n . 解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n=k 时有.21<<-k k a a 则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时 ).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ； 2°假设n=k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 （2）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a 所以 21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-= 则令,又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=n n n n n b a b 即。