数据结构(省选必须掌握)

数据结构线性数据结构栈队列字符串串树形数据结构树状数组可并堆线段树并查集平衡树动态树函数式线段树分块分块与树有关的算法算法标记维护标记

栈：栈的应用非常广，如递归调用的就是系统栈。栈具有后进先出的特点，即对于栈的操作只有对于栈顶元素的操作，所以我们只需用一个指针指向栈顶就够了。

基本操作：（设栈顶指针为top，栈为d[]）入栈：;提取栈顶元素：x=d[top],top--;判断栈是否为空：returntop>0;由于栈的后进先出的规则，在处理一些问题时，栈有很重要的作用：

例：中缀表达式->后缀表达式我们平时见到的表达式都是中缀表达式，而计算机是无法直接处理这种表达式的，因为运算顺序不是严格的从左到右，还有括号，优先级等限制，而后缀表达式则没有这种问题，对于一个后缀表达式，计算机只需不断的读取元素，然后根据元素出现的顺序进行运算，下面举个例子：中缀表达式：（4+3*5）*（5-2）后缀表达式：435*+52-*后缀表达式的运算：对于后缀表达式，我们采取以下策略：若遇到数，则直接压栈，遇到运算符，则将栈顶的两个数取出来，通过这个运算符进行运算，然后将运算结果压栈，最后栈中剩下的元素就是结果。下面说一下如何将后缀表达式转为中缀表达式：首先，我们要将运算符之间的优先级确定出来，如+和-是平级的，*和/是平级的且优先级大于加和减，（优先级高于所有的，）优先级低于所有的，我们将数和运算符分开放置，遇到运算符就进行压栈，如果该运算符优先级高于栈顶的，说明该运算符要先算，所以直接压，而如果该运算符优先级低于栈顶的运算符，则要先算栈顶的运算符，就将栈顶元素不断退栈直到栈顶元素的运算符优先级小于等于当前要进栈的运算符，左右括号直接退栈但不加入后缀表达式。

栈的优化——双栈操作。现要维护两个栈，两个栈的元素个数总和不大于3S，但一个栈内的元素个数可能达到2S以上，而现在只能开最大4S的栈空间，问如何解决。由于一个栈内的元素可能超过2S个，所以一个栈只开2S个是不够的，这时我们注意到总元素个数不超过3S，所以我们可以只开一个数组，两个栈分别以数组的两头为栈底进行操作，这样由于元素总个数不超过3S，空间是不会爆的，这就是双栈操作。

队列：队列的应用也很广泛，BFS的状态记录就是一个队列。队列满足先进先出的原则，也就是队头支持调用和删除，队尾支持插入，这个性质满足了对头一定在队尾之前加入，这是一个很重要的性质，如拓扑排序，BFS找最优解都应用到了这个性质。另外，由于这个性质，队列中元素的坐标就具有了单调性，这个性质与二份查找结合起来，可以将很多算法的复杂度由O（n2）降为O（nlogn）如LIS的O（nlogn做法）。

基本操作：提取队头：s=q[head],head++;插入队尾：tail++,q[tail]=s;判断对列是否为空returnhead<=tail;

串：串是一种很重要的数据结构，通常我们所说的串大多是指的字符串，但是也有时候我们将序列描述为串。

字符串的使用：C++中一般使用字符数组，而不用字符串：charst[]读入使用%sC++中字符串的读入有一个优点：自动忽略空格和换行符，当然，有时这也是个缺点。

字符串有的应用很广，但在OI中，与字符串有关的算法并不多，下面对串的一些常用算法进行总结。

Trie树Trie树又称字典树，与一般的二叉树不同，键不保存在节点上，而是保存在通向节点的路径上，也就是说，到达一个节点的路径就代表着一个字符串的前缀，也就是说，使用trie树我们可以同时进行多串的操作。我们通常Trie树都是对每个节点开26个数组，表示从该节点经过’a’..’z’会到哪个节点，在插入的过程中，遇到不存在的节点就新开辟一个，这样节点数就是O(n)的。

用Trie数实现最大xor和我们考虑将已算掉的数按其二进制的各位建一棵Trie树，然后对于当前的数，我们要找到之前一个与它xor和最大的数就可以使用贪心的思想，显然，我们要从高到低位考虑，每次如果某个节点存在与当前位相反的儿子就尽量走那一边，这样就可以找到当前最大的数了，复杂度O(n)

模式匹配：KMP：通常是在较长的母串S中寻找子串T，最朴素的算法是枚举S的每一位，然后用T与其匹配，这样的最坏复杂度是O（nm），我们可以显而易见地发现，在匹配的过程中，我们浪费了大量已有的匹配信息，也就是说，在失配之后，我们没必要从下一位重新开始匹配，而可以利用已有的匹配信息，将T串向后“滑”动一段区间。

AC自动机：AC自动机可以看作是trie树上的KMP，我们和KMP一样的定义一个next数组，表示如果在第i号节点失配，下一步应当走向哪里，打法和KMP也类似。(代码较长，就不贴了)

后缀数组：串的后缀在字符串中有着十分重要的地位，很多算法都是基于后缀而进行的，通常情况下我们需要将后缀进行排序再进行分析，而对后缀进行排序使用后缀数组是十分简洁高效的算法：O(nlogn)倍增求后缀数组：我们在将后缀数组进行排序时，按照长度从小到大排，而每一次我们没有必要重新比较，而可以充分利用前面比较的结果来进行当次比较，我们将每次排序的结果存在sa[]数组中，具体流程如下：1.我们将所有的后缀的前1个字符串进行排序比较2.我们枚举长度k（每次乘2），然后对于他们进行两个关键字的基数排序，令len=2^(k-1)，则排序第一关键字为S[i..i+len–1]，第二关键字为S[i+len..i+2*len–1]，排完之后我们就得到了所有的后缀开头的长度为2^k的串之间的大小关系。枚举长度的时间复杂度为O(logn)，基数排序复杂度为O(n)，总的时间复杂度就是O(nlogn)。后缀数组求出来的结果存在一个sa[]数组中，sa[i]表示后缀数组中排名第i小的是从哪一位开始的后缀，有了sa[i]，rank[i](以i开头的后缀的排名)就很好求了，显然rank[sa[i]]=i通常情况下，光是有一个sa[]和rank[]还远远不够，大部分的问题都解决不了，我们通常还需要求一个height[]数组：height[i]表示后缀中sa[i]和sa[i–1]的最长公共前缀，设h[i]=height[rank[i]]，我们有一个很优美的性质h[i]>=h[i–1]+1于是我们就可以在O（n）的时间内求出height

字符串hash：将字符串看成压成一个序列，对于一个序列，我们可以通过一定的hash函数设计将其压成一个hash值，那么同样的，对于一个字符串的某个区间，我们也可以算出它的hash值。通过求出hash值，我们可以判断两个串是否相等(可能出现冲突，但是概率很低)，然后就可以完成很多有关字符串的操作及询问了。

最长回文子串O(n)做法：Manacher算法：我们设f[i]表示以f[i]为中心的最长回文子串的一边的长度，设x为当前求出的所有的i+f[i]中最大的i，那么如果i满足if[i]>=min{f[i*2–x]，x+f[x]–i}，因为关于x对称的i*2–x的最长回文子串的部分/全部会与i重复，然后我们从i+f[i]向外扩展，求出f[i]，要注意实时更新x，由于每一个点最多被扫一次，所以复杂度是O(n)的。

并查集：定义：在信息学中，经常会要用到集合，但由于语言自带的集合类型功能十分有限，所以就诞生了许多与集合有关的数据结构，并查集就是一种。

基本模型：我们将集合中的每一个元素看做一个节点，对于同一个集合中的元素，我们选取一个代表元，这个代表元就用共同的父亲来代替。

基本操作：1.初始化：对于每一个节点，我们定义它的父亲为fa[i]，一开始，第i个节点的fa[i]为i，表示i所在集合的代表元为i。2.查询元素所在集合对于一个节点i，我们要查询它属于哪个集合，可以使用一个getfather函数Intgetfather(into){If(fa[o]!=o)fa[o]=getfather(fa[o]);returnfa[o];}我们发现，上述代码在判断fa{o}!=o时，并没有直接返回getfather(fa[o])，而是先将代表元记录下来再返回，这里我们就应用到了一个路径压缩的原理，因为对于集合中的每一个元素，我们只需直到它们的代表元是哪一个就可以了，而不需要将路径上的每一个元素都访问一遍，那样在链很长的时候查找会相当的慢，所以我们在一次查找过后就将该信息记录下来，那么下一次访问就可以大大缩短时间了，均摊的时间复杂度是常数级的。3.询问两个元素是否在一个集合有了代表元的定义和上面的查询操作，该问题就非常简单了，我们只需找出两个元素所在的集合的代表元，然后判断是否相等即可了。4.合并集合该问题也比较简单，我们找出代表元之后，如果代表元相同显然没有必要合并，如果代表元不相同，我们就需要将其中一个代表元的父亲改成另一个代表元，这里必须要修改代表元，而不能仅仅修改子节点的父亲节点，因为修改子节点只能改变一部分元素，而修改代表元就可以修改所有的元素了。

带权并查集：带权并查集的思想不算特别难，只是在由子节点到根节点的路径上加上了权值，实际操作中只需注意在路径压缩的时候把权值也累加就好了。

树状数组：树状数组是一种很强大的数据结构，它可以在很小的常数时间内支持单点修改和前缀和查询的功能，实际上，树状数组同样可以利用差分实现区间加值和单点查询（单点修改和区间查询）。设原数组为a[i]，设s[i]=a[i]–a[i–1]，特别的，s[1]=a[1]，下面我们来处理操作：给区间[L，R]加上C，也就是a[L..R]变为a[L]+C,a[L+1]+C…a[R]+C，对应的s数组变为d[L]+C,d[L+1]…d[R],d[R+1]–C，也就是在L处+C，在R+1处减C，如果要询问第i项的和，也就是a[i]=d[i]+d[i–1]+……+d[1]，就是询问d的前缀和了。

树状数组通常情况下是作为信息维护的工具出现的，树状数组的问题通常都需要将询问进行变形，使得询问和修改时的变量都有确切的值，且查询的范围刚好是一个不等关系，这样的问题我们都可以使用树状数组维护，对于>的情况，我们可以使用补集转化的思想，用总的减去<=的就可以了。