广东省广州市天河区2009届普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题

广东省广州市天河区2009届普通高中毕业班综合测试（一）文科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．2． 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．3． 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．4． 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =A ．()0,2B ．(]0,2C ．[)0,2D ．[]0,2 2．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是A ．sin2xy = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =- 4．直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定5．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．84，4.84B ．84，1.6C ．85，1.6D ．85，46．偶函数)(x f 在区间[0,a ]（a >0）上是单调函数，且(0)()0f f a ⋅<，则方程0)(=x f 在区间[－a ,a ]内根的个数是A. 3B. 2C. 1D. 07． 如图某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边选取两点A 、B ，观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且200AB =米.则A 、C 两点的距离为米B.D.8．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为A. 4B. 32C. 22D. 3 9．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = A ．2B ．12C ．12-D ．2- 10．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点。

一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点。

若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点。

该青蛙从5这点跳起，经2008次跳后它将停在的点是A ．1B ．2C ．3D ．42俯视图正视图B 1A 1BAB 1A 1A7984464793D能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。

11．已知等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，则该数列前9项和S 9等于 ．12． 若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213x y -=的右焦点重合,则p 的值 ． 13. 设x 、y 满足条件310x y y x y +≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，则22(1)z x y =++的．14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为____ _____ ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆， 过点C 的切线交AB 的延长线于点D，CD =3AB BC ==。

则BD 的长_____，AC 的长_______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．17． （本小题满分12分）已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（Ⅰ）求cos()αβ-的值; （Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α．18．（本小题满分14分）右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3.（I ）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1； （II ）求此几何体的体积．19．（本小题满分14分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）当2a =时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知A （1，1）是椭圆2222by a x +＝1（0a b >>)上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点C 、D 是椭圆上两点，直线AC 、AD 的倾斜角互补，求直线CD 的斜率．21．（本小题满分14分）根据如图所示的程序框图，将输出的x 、y 值依次分别记为122008,,,,,n x x x x ；122008,,,,,n y y y y（Ⅰ）求数列}{n x 的通项公式n x ；（Ⅱ）写出y 1，y 2，y 3，y 4，由此猜想出数列{y n }；的一个通项公式y n ，并证明你的结论;（Ⅲ）求1122(,2008)n n n z x y x y x y x N n =+++∈*≤ ．ABOCB 1C 1A12009届天河区普通高中毕业班综合测试（一）文科数学 参考答案一、选择题：CADBC BABDA 二、填空题：11．36 12． 4 13. 414． 22(2)4x y +-= )2,2(π15． 4三、解答题：16．解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为y x ,，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共16种． ……4分（Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2， ()2,1， ()2,3，()3,2，()3,4， ()4,3，共6种． ……6分故所求概率63168P ==． 答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38． ……8分 （Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2， ()2,1， ()2,4， ()3,3，()4,2，共5种． ……2分故所求概率为516P =． 答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516． ……4分17． （Ⅰ）解：1= 1= ……1分)sin sin cos (cos 2222βαβα+-+=+⋅-=b b a a ……3分 )cos(211βα--+= ……4分545522=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 53)cos(54)cos(22=-=--∴βαβα得 ……6分（Ⅱ）解：0022ππβααβπ-<<<<∴<-< ……1分由 53)cos(=-βα 得54)sin(=-βα ……2分 由 135sin -=β 得12cos 13β= ……4分[]ββαββαββααsin )cos(cos )sin()(sin sin -+-=+-=∴ ……5分 6533)135(53131254=-⨯+⨯=……6分 18．（1）证明：作1OD AA ∥交11A B 于D ，连1C D ．则11OD BB CC ∥∥． ……2分 O 是AB 的中点，∴1111()32O D A A B B C C =+==． 则1ODC C 是平行四边形，∴ 1OC C D ∥．……4分1C D ⊂平面111C B A 且OC ⊄平面111C B A ， ∴OC ∥面111A B C ． ……6分（2）如图，过B 作截面22BA C ∥面111A B C ，分别交1AA ，1CC 于2A ，2C ．作22BH A C ⊥于H ．……2分1CC ⊥面22BA C ，∴ 1CC BH ⊥，则BH ⊥平面1AC ． ……4分又 2111A B A B ==，2111BC BC ==，∴2BH =， ……6分∴22221111(12)33222B AAC C AA C C V S BH -=⋅=⋅+=． ABHODC C 2B 1C 1A 2A 11112211111212A B C A BC A B C V S BB -=⋅=⋅=△ 所求几何体体积为：221112232B AAC C A B C A BC V V V --=+= ……8分19．解：（1）当2a =时,32()21f x x x x =+++ 2()341f x x x '=++, ……2分令()0f x '≥解得:113x x ≤-≥-或; 令()0f x '≤解得:113x -≤≤-……5分 ()f x 在(-∞，-1]和1[,)3-+∞递增，在1(1,)3--递减，……7分（2）2'()321f x x ax =++ ……1分要使函数()f x 在区间2133⎛⎫-- ⎪⎝⎭，内是减函数，则2'()031'()03f f ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩ ……4分 即：441033121033aa ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩……5分解得：a ≥2 ……7分20．解(1）由椭圆定义知2a ＝4，所以a ＝2，……2分即椭圆方程为2224b y x +＝1 ……4分 把(1，1）代人得2141b +＝1所以b 2=34，椭圆方程为22344x y +＝1 ……6分(2)由题意知，AC 的倾斜角不为900, 故设AC 方程为y =k (x －1)十1, ……1分联立 131)1_(22=++=y x x k y 消去y ，得（1＋3k 2）x 2－6k （k －1）x ＋3k 2－6k －1＝0. (3)分点A （1，1）、C 在椭圆上，∴ x C ＝131_6_322+k k k ……5分 AC 、AD 直线倾斜角互补，∴ AD 的方程为y ＝－k (x －ｌ）＋1，同理x D ＝22_36131k k k ++ ……6分 又y C ＝k （x C －1）＋1， y D ＝－k （x D －1）＋1，∴y C －y D ＝k （x C ＋x D ）－2k . ∴31__=D C D C x x y y ． ……8分 21．解：（Ⅰ）由框图，知数列2,1}{11+==+n n n x x x x 中， ……2分 ∴12(1)21(*,2008)n x n n n N n =+-=-∈≤ ……4分 （Ⅱ）y 1=2，y 2=8，y 3=26，y 4=80.由此，猜想31(*,2008).n n y n N n =-∈≤ ……2分 证明：由框图，知数列{y n }中，y n +1=3y n +2 ∴)1(311+=++n n y y ∴1113,1 3.1n n y y y ++=+=+ ……4分∴数列{y n +1}是以3为首项，3为公比的等比数列。