北京大学量子力学课件 第6讲

x p x h
（3）测不准关系是波一粒两象性的必然结果 因波－粒两象性的实验事实，要求用波函 数来描述物质粒子，且要求对波函数进行几率 解释，并有叠加性。 用 (x, t ) 来描述物质粒子时，它总可以表 为 1 ikx ( x, t ) C(k, t ) e dk 由Fourier逆变换有
格林函数的含义是： t 0 时刻，粒子处于r 0 ，则 t 时刻， r 处发现粒子的几率密度振幅就 是 G(r, t; r 0 , t 0 ) ，即
(r , t ) G (r , t; r 0 , t 0 )
1ˆ ˆ i H ( r ,P )( t t 0 ) e ( r r 0)
2
1 ikx C(k, t ) ( x, t ) e dx 2
从Fourier变换理论知：(x, t ) 的扩展范围 （即有意义的区域）和它的富氏变换 C(k, t) 所扩 展的范围不能同时任意小。
ψ ( x, t )
C( k , t )
2
2
Δx
Δk
x k 1
几率解释＋态叠加原理给出了Fourier变换 理论用在量子力学波函数时的物理含意。
由于H与t无关，可简单地用分离变数法求特解。
即H与t无关时，含时间的薛定谔方程的特解为：
E ( r , t ) u H(r, p)u E (r ) Eu E (r )
方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为能量 本征方程。 根据态叠加原理
E ( r , t ) u E ( r )e
p0
(2)1 2
1 来描述，其几率密度 p0 ( x, t ) 2
2
所以，对任何 x 处的相对几率都相同。也就 是说，发现粒子在 x i x i dx 区域中的几率都 x 相同。所以， 的不准确度为 ，虽 p x 0 ， 但不违背测不准关系。 B．如一个自由粒子是由一系列沿x方向的 平面波叠加而成的波包描述。
在 x , t 时，位相也为
0 k0x 0t
所以，位相传播速度
x 0 E 0 vp t k 0 p 0 ，
如前述称为相速度。 这个波包扩展度的区域不是任意小，即
2 x k
于是有
x p x 2 h
所以要波包仅局限于空间一定区域，相应 xP 的扩展度不可能任意小；当 xP 的扩展度一定时， 那波包的扩展度也不可能任意小。 （2）一些实验： A．位置测量：一束电子平行地沿 x 方向 入射，通过窄缝 a ，从而测出 y 方向的位置。在 y 方向有一不确定度Δ y=a，而人们认为 p y 0 p y y 0
1 ( E1 2
2
E2
2 E1 E2 cos(( E1 E 2 )t / ( 2 1 ))
所以几率分布在 间振荡，振荡周期
E1 E 2
1 ( E1 E 2 )2 2
和
2τ 。
E1 E 2
1 ( E1 E2 ) 2 2
B．粒子数守恒 在非相对论的情况下，波函数应满足方程 d 2 dr 0 dt
这即要求，凡满足Schrodinger’ eq.的波函数， 必须满足上式。 若取 2

i * 1 * ˆ j ( ) Re( * P ) 2m m
则
j 0 t
所以，
d 0 l dk k k 0
2
(r, t )
d i x ( ) 0 t l C(k 0 ) k i( k 0 x 0 t ) dk e dl k e
d 2Sin {[ x t ]k} dk 0 Ck 0 e i ( k 0 x t ) d 2 x t dk 0
B. 定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关， 则 1．体系的几率密度不随时间变化，几率流 密度矢的散度为0（即无几率源）。
E (r, t ) u E (r )
0 ˆ 0 j t
2 2
这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率 密度分布不变。
2．几率流密度矢，不随时间变化。
现固定x，有
1 i t (x, t ) C(x, ) e d 2
1 it C(x, ) (x, t ) e dt 2
t 1,
E t ,
B．能量－时间测不准关系的物理含意 1．在空间固定处，发现体系如有一不确 定的时间间隔Δ t，那该体系的能量必有一扩 展度Δ E，且有E t 。
W.Heisenberg指出：当我们测量客体的 动量如有一测不准度 p x（即客体动量在这区 域中的几率很大），我们在同时，不可能预言 它的位置比 px 更精确。也就是说，在同一 时刻测量动量和位置，其测不准度必须满足
x p x
类似
y p y
z p z
2．体系几率分布发生大的改变需时间Δt， 那体系的能量不确定度为 E ，使
E t
例1：定态：其几率分布不随时间变，所以 要使这一分布发生变化，则要求 Δ t ，所以 Δ E 0 （即具有确定能量）。 例2：若体系的波函数为


2
1 2
2
( E1 e iE1t / E 2 e iE2 t / )
(r , t )
k 0 k C(k ) k 0 k
1 i (kx t ) e dk 2
C 设：Δk很小，(k)变化很缓慢，可近似取为 C(k 0 )
k k 0 (k k 0 ) k 0 l
d 0 (k k 0 ) dk k k 0
例如：若一个自由粒子的波包宽 Δ x ，它通 x 过 x0 所需时间 v 。所以，在间隔 t 0 t 0 g 内，都有可能在 x 0 处发现粒子。由
x x E x p x E vg p x
所以，这一自由粒子波包的能量并不是取确 定值，而是有一扩展度。
4. 任何不显含 t 的力学量在该态中取值的 几率不随时间变化。
§2.6 测不准关系 由于粒子应由态函数 (r, t) 来描述。因此， 就不能像经典那样以每时刻 r ， p 来描述（事 实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定 取一个值）。但是否仍能像经典那样在 r0 处发 现粒子具有动量 p 0 呢？
iEt /
是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是 该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可 表为
(r, t ) c(E)u E (r )e iEt / dE
c(E)E (r, t)dE
通常称
E (r, t ) u E (r )e iEt /
ˆ ˆ （其中 H(r, p)u E (r ) Eu E (r ) ）为定态波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但 只有按自身的定态波函数展开时，系数 C 才与t 无关。否则与t有关。 （2）定态： A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体 系的定态，或者说，以波函数 iEt / E ( r , t ) u E ( r )e
第六讲
Ⅰ. 薛定谔方程的讨论 波包扩展的时间量级 我们从所举的例子可以估算到波包扩展的时 间量级 13 ⅰ 人： 10 亿年 ⅱ 尘粒：102 万年 ⅲ 电子：1016秒
波函数随时间的演化可用Green函数来实现。
(r, t ) G(r, t; r' , t ' )(r' , t ' )dr'
但事实上，通过缝后，在不同位置接收到的电 子数的多少显示出干 涉图象（电子数的大 小），这一单缝干涉 的第一极小为
λ sinθ 1 a
即通过单缝后，电子在 y 方向的动量不再为 0，
而在0附近有一宽度 h Δ p y p sin θ 1 a 所以，当测量y的位置越精确（即a越小）， 那动量在y方向越不精确，它们的精确度至少要 满足 Δ y Δ p h
这是具有一定形状沿x方向传播的波包。波 包的极大值位置为 d x ( ) k0 t 0 ， dk 所以它移动的速度 dx d dE vg ( ) k0 ( ) k0 dt dk dp 即粒子的速度，如前述称为群速度。
在 x0 , t 0 时，位相为 0 k 0 x 0 0 t 0
x px
（4）能量－时间测不准关系 A．能量－时间测不准关系：在狭义相对论 ( ( 中， p, E) ，r, t ) 都看作四度矢，所以有 p, r 测不 准关系，即推测 E, t 也应有。 当固定t时，有
1 ikx ( x, t ) C(k, t ) e dk 2 1 ikx C(k, t ) ( x, t ) e dx 2
其中
N Pi2 ˆ H V( r i ) Vij ( r i , r j ) i 2mi i i j
Ⅱ. 不含时间的薛定谔方程，定态问题 我们已介绍一些极为有用的特例，即位势与 时间无关 V(r, t ) V(r) 。 （1） 不含时间的薛定谔方程
ˆ ˆ ˆ i (r, t ) H(r, p)(r, t ) t ˆ p2 ( V(r )) (r, t ) 2m
这称为Heisenberg测不准关系。
应该注意：这是实验的结果; 当然也是波 一粒两象性的结果；自然也是波函数几率解释 和态叠加原理的结果。 我们将从几个方面来论述它: （1）一些例子： A. 具有确定动量 p 0（一维运动）的自由粒子， 1 i( p0 x E p t ) / 是以 ( x, t ) e
ˆ i (* (r, t ) (r, t ) (r, t )* (r, t )) j E E E E 2m i * (u E (r)u E (r) u E (r)u * (r)) E 2m