近世代数期末考试试卷及答案(正)

近世代数期末考试试卷及答案
(正)
近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个
备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、
多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（C ）是子群。

A、a B、ea, C、3,ae D、3,,aae
2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法
3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|

4、设1、2、3是三个置换，其中1=（12）（23）（13），2=（24）（14），3=
（1324），则3=（ ）
A、12 B、12 C、22 D、21
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A、不可能是群 B、不一定是群
C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上
正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。
2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。

3、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于--25----。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=--{2}---。
6、若映射既是单射又是满射，则称为----一一映射-------------。

7、叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于零的元---naaa,,,10使
得010nnaaa。
若x∈G也是a*x＝b的解，则x＝e*x＝(a－1*a)*x＝a－1*(a*x)
＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。

2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a〜b当且仅当m︱
a–b。
证明：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义
的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；
m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a
≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个
备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、
多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,） B、（Z,）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)
交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上
正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是---唯一-----的，每个元素的逆元素是----唯一----的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则aff1--a--------。
3、区间[1，2]上的运算},{minbaba的单位元是--2-----。
4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——24————————。

5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数--相等--------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---商群------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。

9、设群G中元素a的阶为m，如果ean，那么m与n存在整除关系为
---nm-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？
解： 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用
黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2
种，…等等，可得总共8种。

2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
证： 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩
S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ，
因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。
S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、设有置换)1245)(1345(，6)456)(234(S。
1．求和1；
2．确定置换和1的奇偶性。
解： 1．)56)(1243(，)16524(1；
2．两个都是偶置换。

四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。

证明：假定是R的一个理想而不是零理想，那么a0，由理想的定义

11aa

，因而R的任意元•1bb

这就是说=R，证毕。

2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
证： 必要性：将b代入即可得。
充分性：利用结合律作以下运算：
ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，
ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，
所以b=a-1。