平面问题有限元解法公式推导讲解64页
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有限元分析——平面问题
Re=
NT
s
Pstds
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4、整体分析 整体刚度矩阵 整体刚度矩阵组装的基本步骤：
先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。
不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为
τZX z= + t/2 =0
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整
Z
个板内各点都有
σZ=0 τYZ=0 τZX=0
O
tX
图1 平面应力问题
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T
x2 y2 ɑ1= x 3 y 3
1 y2 b1=- 1 y 3
1 c1= 1
x2 x3
(1,2,3)
上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
uv((xx,,yy))N（x,y）qe
其中形函数矩阵为
Y
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图2 平面应变问题
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1
D=
E1
1 1 2 1
1
4 有限元分析平面问题
厚壁圆筒
4.1 两类平面问题
2、平面应变问题
(3) 变形特征
设z方向为无限长，则 x,， x,，u,
沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视
为对称面，则有 w 0 ， z zx zy 0 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面 —— 平面位移问题
am vi bm v j v cm m
1 xi 式 中 ： 2A 1 xj 1 xm
·A ——三角形单元的面积
为2A第1行 各个元素的 代数余子式
ai x j ym xm y j bi y j y m ci xm x j
最终确定六个待定系数
ai 1 1 bi 2 2 A c 3 i
aj bj cj
am ui bm u j u cm m
yi yj ym
ai a j 4 1 bi b j 5 2 A c c j 6 i
令
1 Ni (ai bi x ci y) （下标i，j，m轮换） 2A
4.3.2 平面问题的三角形单元求解
则 ：u
i
N i u
j
N j u
m
N m u
i
N i
Nj
N 称为形函数，只与单元节点坐标有关，反应了i， j，m 节点位移对单元内任意点位移的贡献率。 ui v 写成矩阵形式： i u N i 0 N j 0 N m 0 u j 0 N 0 N 0 N i j m v j v um 缩写为： vm
4.1 两类平面问题
4.1 两类平面问题
2、平面应变问题
(3) 变形特征
设z方向为无限长，则 x,， x,，u,
沿 z 方向都不变化，仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视
为对称面，则有 w 0 ， z zx zy 0 所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面 —— 平面位移问题
am vi bm v j v cm m
1 xi 式 中 ： 2A 1 xj 1 xm
·A ——三角形单元的面积
为2A第1行 各个元素的 代数余子式
ai x j ym xm y j bi y j y m ci xm x j
最终确定六个待定系数
ai 1 1 bi 2 2 A c 3 i
aj bj cj
am ui bm u j u cm m
yi yj ym
ai a j 4 1 bi b j 5 2 A c c j 6 i
令
1 Ni (ai bi x ci y) （下标i，j，m轮换） 2A
4.3.2 平面问题的三角形单元求解
则 ：u
i
N i u
j
N j u
m
N m u
i
N i
Nj
N 称为形函数，只与单元节点坐标有关，反应了i， j，m 节点位移对单元内任意点位移的贡献率。 ui v 写成矩阵形式： i u N i 0 N j 0 N m 0 u j 0 N 0 N 0 N i j m v j v um 缩写为： vm
4.1 两类平面问题
有限元第二章 平面问题有限元方法
二、常应变三角形单元分析
2.单元位移函数
其中
△为三角形单元面积，其计算公式为
y k（xk,yk）
ai x j yk xk y j bi y j yk c x x j k i
1 xi 1 1 x j 2 1 xk
i、j、k按序轮换
yi yj yk
3.单元刚度矩阵
1）单元应变
二、常应变三角形单元分析
3.单元刚度矩阵
2）单元应力 根据前面介绍的平面应力问题的弹性矩阵，可得
D DB
e e e e
DB e 反映单元应力与节点位移之间的关系，记 矩阵 S DBe 称为应力矩阵，且有
1 1 0 0 0
y x 0
对 0 21 0 0
0 z y
称
0 0
z 0 x
21 0
21
一、弹性力学基本理论
1.空间问题基本方程
平衡方程
A F 0
二、常应变三角形单元分析
3.单元刚度矩阵
单元刚度矩阵是单元特性的具体描述，它取决于 所选的单元类型，以下来推导三角形单元的单刚阵 1）单元应变 根据平面应力问题的几何方程
e
x
y xy
T
u x v y v u x y
y
y
o
x
z o
一、弹性力学基本理论
平面应力问题
几何特征：结构在某一方向上 尺寸相对较小，存在一个短维， 从几何上呈平板形。 载荷特征：结构所受载荷均与 短维轴垂直，且沿短维轴均匀， 而且短维两外表面无载荷作用。 应力特征：
第六章-用有限单元法解解平面问题.ppt
§6-1 基本量及基本方程的矩阵表示
·FEM简史
FEM是上世纪中期才出现, 并得到迅速发展和广泛应用的一 种数值解法:
1943年, 柯朗第一次提出了FEM的概念.
1956年, 特纳等人提出了FEM .
20世纪50年代,平面问题的FEM建立,并应用于工程问题.
1960年提出了FEM的名称. 20世纪60年代后, FEM应用于各种力学问题和非线性问题, 并得到迅速发展. 1970年后, FEM被引入我国, 并很快地得到应用和发展.
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数几何意义
i
Nm Nj
O
j
Ni
m
i
i
O
j
m
三角形单元形函数是 单元各点的面积坐标.
O
j
m
i
O
j
m
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数性质
i
j
只在顶点成立
j
对单元各点均成立
m i
m
§6-3 单元的位移模式与解答的收敛性
·形函数性质
i
ij中点
j
δ: 整体结点位移列阵
材料属性、几何形状、网格属性为已知量 外力为已知量 结点位移, 基本未知量
§6-2 有限单元法的概念
·总结
归纳起来，FEM分析的主要步骤： 1.将连续体变换为离散化结构（1） 2.对单元进行分析 （2）单元的位移模式 （3）单元的应变列阵 （4）单元的应力列阵 （5）单元的结点力列阵 （6）单元的等效结点荷载列阵
虚功方程：
§6-5 单元的结点力列阵与劲度矩阵
·单元刚度矩阵
令
单元刚度矩阵
单元刚度矩阵表示单元各结点发生单位位移时, 引起 的结点力;
有限元分析 第二章 平面问题的有限元方法
当采用有限元方法求解时，第一步是将平板离散成有 限个小单元。
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
A：
梁结构的离散：取一段梁为一单元 单元类型：简单直线段 离散原则：几何上真实模拟原结构及其变形
平板的离散：取一小面积板为一单元 单元类型：由最基本的平面图形构成 三角形、四边形（如正方形、长方形、梯形） 而五边形、圆、扇形不宜作为单元。 离散原则：几何上真实模拟原结构（无缺陷、重叠） 模拟变形状态
(2.3)
对于平面问题：
u x x v y y u v xy y x
(2.4)
x x y 0 z y
0 u y v x
简记，
u H ( x, y)a v
u H a v
（2.14）
e e Ⅱ、单元节点位移 与 a 之关系
u l 1 xl v 0 0 l u m 1 x m v m 0 0 u n 1 x n vn 0 0
第2章 平面问题的有限元方法
2.1 弹性理论基础
Ⅰ、基本假设： • 连续性－物质连续。相应的应力应变，位移等连续变量可 以用坐标的连续函数表示； • 均质各向同性——物体内部各点，各方向上物理性质相同， 材料常数（弹性模量，泊松比）不随坐标方向而变； • 完全弹性——材料服从Hooke定律； • 小变形（几何假设）——略去二阶小量，所有微分方程为 线性的； • 无初应力——加载前物体内无初应力。
yl 0 ym 0 yn 0
0 1
0 xl
0 0 1 xm 0 1 0 xn
0 a1 a yl 2 0 a3 y m a 4 0 a 5 yn a 6
第三章平面问题的有限单元法PPT课件
1
2A
ai aj am
bi bj bm
x ci c j cm
y
1
简记为
Ni N j Nm 1
这说明，三个形函数中只有二个是独立的。
(3-11)
2. 形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点
为零”的性质，即
在结点i上，
N i xi
,
yi
1 2A
ai
bi xi
ci yi
若令
Ni
1 2A
ai
bi x
ci y
（i , j , m轮换） (3-9)
这样，位移模式 就可以写为
u Niui Njuj Nkmukm Niui v Nivi Njvj Nkmvkm Nivi
[N] 形函数矩阵
u
u
v
Ni I
Nj I
NkmI e Ne
式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它 们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形
y
Ym vm
m( xm
,
ym
)
X m um
Yi vi Xi
Fy Fx
Yj vj
i(xi , yi ) ui
j
(
x
j
,
X y
j j
u )
j
0
x
ai
xj xm
yj ym
x j ym xm y j
1
bi
1
yj ym
y j ym
（i , j , m轮换） (3-5)
1
ci 1
xj xm
x j xm
u N e
（3-1）
有限元平面问题
[]()1,2111121=∴---++==i i i jk i j k i i k k j j i kkj j i i y x N y x y x y x y x y x y x y x y x y x A即：()()()1,,,===k k k j j j i i i y x N y x N y x N （由i,j,k 轮换性知） 同理可证：()()0,,==k k i j j i y x N y x N （作业：证明：()()k j i j i y x N j j i ,,0,=≠=）因此()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎩⎨⎧≠===⇒======1,,0,,0,,1,00,,1,,0,0,,0,,1,k k k j j k ii k jii k k j j j j i i j k k i j j i i i i y x N y x N y x N j i j i j N y x N y x N y x N y x N y x N y x N δ （2-12）即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。
2. 在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即()()()1,,,=++y x N y x N y x N k j i 。
证明：()()()()()()()[]y c c c x b b b a a a Ay c x b a y c x b a y c x b a Ay x N y x N y x N k j i k j i k j i k k k j j j i i i k j i ++++++++=++++++++=++2121,,,⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=j i k i k j k j i y y b y y b y y b ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=ij k k i j j k i x x c x x c x x c ()()()()()()()()()()()()1,,,002=++∴=-+-+-=++=-+-+-=++=-+-+-=++y x N y x N y x N x x x x x x c c c y y y y y y b b b A y x y x y x y x y x y x a a a k j i i j k i j k k j i j i i k k j k j i i j j i k i j k j k k j k j i （2-13）由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。
有限元法求解平面问题
一般写成：
ai
业 大
xj yj 1 xj 1 y , xm ym bi 1 y j , ci 1 x (i, j, m) m m
学
第三节 单元位移模式 解的收敛性
用矩阵形式表示：
有 限 元 分 析
ui vi u 1 ai bi x ci y 0 a j bj x c j y 0 am bm x cm y 0 u j vj v 2A 0 ai bi x ci y 0 a j bj x c j y 0 am bm x cm y u m Ni 0 N j 0 N m 0 e N [ ]e vm [ ] 0 Ni 0 N j 0 N m 1 1 2 ai bi x ci y (i, j, m) u 1 这里： N i 形函数 2A [d ] e x y 0 0 0 3 v 4 N 形函数矩阵 则：[d ] 0 0 0 1 x y N
限 元 分 析
2A 1 y 4 m[a a j v j am vm ] ximviym 2A 1 5 [bi vi j bx v jy bm vm ] j j j 2A xi yi i 1 6 [ci vi c j v j cm vm ] x 2A
合 肥 工
1
业 大 学
D 题弹性矩阵：
平面应变问
有 限 元 分 析
第二节 结构离散化
合
肥
工
业
大
学
第二节 结构离散化 将连续体变换为离散化结构：将连续体划分为有限多个、有限大小的 单元，并使这些单元仅在一些节点处连接，构成所谓“离散化结构”。
第二讲平面问题有限元课件
➢ 该平板的总位能表达式可写成
3
p
e p
e1
3 e1
1 aeTK eae 2
3
a eT Pfe
e1
3
a eT Pse
e1
3 1 a eT K e a e 3 a eT P e
e1 2
e1
1 a1T K 1a1 a 2T K 2a 2 a3T K 3a3 a1T P1 a 2T P 2 a3T P3 2
v
1 2
ai
bix ci yvi
aj
bj x cj y
vj
ak
bk x ck yvk
式中：
ai
xj xk
yj , yk
1
bi
1
yj , yk
1 ci 1
xj xk
ai a j ak
11 1
bi b j bk
xi x j xk
ci c j ck
yi y j yk
形函数
Ni
1 2
ai
bi
x
ci
y
(i, j,k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
形函数的性质
1. 形函数 N（i xi , yi ) 1 N（i x j , y j ) 0 j i
序号为下标，以所属单元序号为上标；
T
P1 p11x p11y p12 x p12 y p13x p13 y
T
P2
p
2 1x
p
2 1
第3章 弹性平面问题有限元法
2020/6/30
§3-2 平面问题有限元法
❖ 二维3节点三角形单元
a1 x1 y3 x3 y1 a2 x2 y1 x1 y2 a3 x3 y2 x2 y3
b1 y2 y3 b2 y3 y1
b3 y1 y2
第
c1 x3 x2 c2 x1 x3
c3 x2 x1
三 章 弹
限 元
形函数.
法2020/6/30来自§3-2 平面问题有限元法
❖ 二维3节点三角形单元
❖二维单元——面积坐标 (局部坐标）
定义面积坐标L1、L2 、L3
3 (x3,y3) (0,0,1)
Li
Ai A
, i 1,2,3
y
1 (x1,y1) (1,0,0)
A2 P
A1
(x,y) (L1,L2,L3)
A3
xx yy xy
x v
y u x
v y
x
0
y
0
y
uv
Lu
x
第 三 章 弹 性 平 面 问 题 有
限
元
法
ε Lu
2020/6/30
§3-1 平面问题的定义
本构方程
二维问题
平面应力状态
zz 0
xx
yy
zz xy
y
z
zx
2020/6/30
2020/6/30
o
x
第 三 章
弹
性
平
面
问
题
有
2 (x2,y2) (0,1,0)
限 元 法
§3-2 平面问题有限元法
❖ 二维3节点三角形单元
❖面积坐标L1、L2 、L3特性
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平面问题的有限单元法求解
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
用结构力学方法进行求解
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方
向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 0
F V
＝f
这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。
正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。
切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（三）
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
F S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
有限单元法的分析步骤如下：
即： 三大方面
三大方程
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
05.04.2020
将连续体变换成为离散化结构。即将连续体划分为有限多个有限大小的单元， 这些单元仅在一些结点连接起来，构成一个所谓离散化结构。（对于平面问 题，常用的单元是三角形单元）
用结构力学方法进行求解
05.04.2020
南京农业大学工学院机械工程系
有限元单元法分析步骤（一）
结构离散化
力。 为了表明物体在某一点P所受体力的大小和方
向，在这一点取物体的一小部分，它包含P点，
而它的体积为△V，作用于其上的体力为△F， 则体力的平均集度为△F/ △V。当△V不断减 小，假定体力为连续分布，则△F/ △V将趋于
一定的极限f，即:
lim V 0
F V
＝f
这个极限矢量f就是该物体在P点所受体力在集度。 f的方向就是
在P点的面力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为
负。
05.04.2020
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弹性力学中应力的方向规定
每一个面上的应力可以分解为一个正应力和两个切应力。
正应力用σ表示，加上一个下标字母，表示作用面和作用方向。
切应力用τ表示，并加上两个下标字母，表示作用面和作用方向。前 一个字母表示作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表示作用方 向沿着哪一个坐标轴。
载荷
作用在单元节点上的外力 （集中力、分布力）
载荷
约束
限制某些节点的某些自由度
弹性模量（杨式模量）E
泊松比（横向变形系数）μ 密度
约束
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单元 节 点
节点力
平面问题有限单元法基本概念
有限单元法(FEM)是20世纪50年代以来随着计算机的广泛应用而发展起 来的一种数值解法。简单地说，就是用结构力学方法求解弹性力学问题。
节点编码。
注意：有限元分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是由同样材 料、众多单元以一定方式连接成的离散物体。所以，用有限元分析计 算所获得的结果是近似的（满足工程要求即可）。
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有限元单元法分析步骤（二）
单元特性分析
选择未知量模式 选择节点位移作为基本未知量时，称为位移法； 选节点力作为基本未知量时，称为力法； 取一部分节点位移和一部分节点力作为未知量，称为混合法。
△F的方向，矢量f在坐标轴x,y,z上的投影fx,fy,fz称为该物体在P点
的体力分量，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。
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弹性力学中的几个基本概念
面力：分布在物体表面上的力，如流体压力和 接触力。
为了表明物体在某一点P所受面力的大小和方 向，在这一点取物体表面的一小部分，它包含
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有限元单元法分析步骤（三）
整体分析
集成整体节点载荷矢量 F 。结构离散化后，单元之间通过节点传递 力，作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移 到节点上去，形成等效节点载荷。将所有节点载荷按照整体节点编 码顺序组集成整体节点载荷矢量。
组成整体刚度矩阵K ，得到总体平衡方程：
将结构分成有限个小的单元体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。 结构的离散化是有限元法分析地第一步，关系到计算精度和效率，包括以下 三个方面：
单元类型的选择。选定单元类型，确定单元形状、单元节点数、 节点自由度数等。
单元划分。网格划分越细，节点越多，计算结果越精确，但计算 量越大。网格加密到一定程度后计算精度提高就不明显，对应应 力变化平缓区域不必要细分网格。
物体离散化 单元特性分析 单元组集，整体分析 求解未知节点的位移 由节点的位移求解各单元的位移和应力
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物体变形及受力情况的描述
基本变量
u
εσ
σ =E ε
（位移） （应变） （应力）
E 弹性模量
基本方程
力的平衡方程 几何方程 物理方程
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弹性力学中的基本假定
连续性——假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质 所填满，不留任何空隙。
完全弹性——假定物体在引起形变的外力被除去之后能恢 复原形，而没有任何剩余形变。
K＝F
引进边界约束条件，解总体平衡方程求出节点位移。
通过上述分析可以看出有限单元法的基本思想是“一分一合”，分是 为了进行单元分析，合是为了对整体的结构进行综合分析。
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弹性力学中的几个基本概念
作用于物体的外力可以分为体积力和表面力。 体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性
P点，而它的面积为△S，作用于其上的面力为 △F，则面力的平均集度为△F/ △S。当△S不 断减小，假定体力为连续分布，则△F/ △S将 趋于一定的极限 f ，即:
lim S 0
F S
＝f
这个极限矢量 f 就是该物体在P点所受面力在集度。 f 的方向就是 △F的方向，矢量 f 在坐标轴x,y,z上的投影 f x , f y , f z 称为该物体
有限元单元法基本思想
有限单元法的思想是将物体（连续的求解域）离散成有限个且按一 定方式相互联结在一起的单元组合，来模拟或逼近原来的物体，从 而将一个连续的无限自由度问题简化为离散的有限自由度问题求解 的一种数值分析法。物体被离散后，通过对其中各个单元进行单元 分析，最终得到对整个物体的分析。
有限单元法的分析步骤如下：
即： 三大方面
三大方程
求解方法
经典解析 半解析 传统数值解法 现代数值解法（计算机硬件、规范化、标准化、规模化）
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有限元单元模型中几个重要概念
单元
网格划分中每一个小的块体
节点
单元
确定单元形状、单元之间相互联结的 点
节点力
单元上节点处的结构内力
分析单元力学性质 根据单元材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置等，找出单元 节点力和节点位移关系式，应用几何方程和物理方程建立力和位 移的方程式，从而导出单元刚度矩阵。
计算等效节点力 作用在单元边界上的表面力、体积力或集中力都需要等效地移到 节点上去，即用等效力来替代所有作用在单元上的力。
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