2018届高考数学二轮复习极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化课件(全国通用)
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极坐标和直角坐标的互化 课件
x=ρcosθ, y=ρsinθ
2 x2 y2, tan y (x 0)
x
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重 合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的 正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
知识回顾
正弦、余弦、正切的三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
1
3 2
2 2
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
y 5sin 2 5 3
32 所以, 点M的直角坐标为( 5 , 5 3 )
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
O
X
（1）给定（,）,就可以在极坐标平面内 确定唯一的一点M。
（2）给定平面上一点M，但却有无数个极 坐标与之对应。
能否附加限定条件使平面内的点和极坐标一
一对应呢?
限定条件ρ＞0,0≤θ＜2π
你能把点的直角坐标和极坐标 进行互相转化么？
2 x2 y2, tan y (x 0)
x
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重 合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的 正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
知识回顾
正弦、余弦、正切的三角函数值
θ
sinθ cosθ tanθ
0 64
01
2
22
1
3 2
2 2
0
3 3
1
2 3 5
32 3 4
2
2
10 2
1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
3 不存在 3 1 3 0
3
例1. 将点M的极坐标 (5, 2 )
3
化成直角坐标.
解: x 5cos 2 5
32
y 5sin 2 5 3
32 所以, 点M的直角坐标为( 5 , 5 3 )
O X
（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取 任意实数。
（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ）， 可 取任意值。
三、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
M (ρ,θ)…
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有
无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。
O
X
（1）给定（,）,就可以在极坐标平面内 确定唯一的一点M。
（2）给定平面上一点M，但却有无数个极 坐标与之对应。
能否附加限定条件使平面内的点和极坐标一
一对应呢?
限定条件ρ＞0,0≤θ＜2π
你能把点的直角坐标和极坐标 进行互相转化么？
高中数学极坐标和直角坐标的互化优秀课件
(2)当 x=0,y>0 时,可取 θ= ;
(3)当 x=0,y<0 时,可取 θ= .
做一做 (1)假设点P的直角坐标为(-2, 2
),那么它的极坐标可表示为(
)
A. ,
C. ,
B. ,
D. ,
(2)点M的极坐标为
π
3
,那么它的直角坐标为
5,
2
2
解析：(1)ρ= (- 2) + ( 2) =2,tanθ=
(2) 2
11π
2,
6
2 = 2 + 2 ,
(2)由坐标变换公式
tan = ( ≠ 0),
得 ρ= ( 6)2 + (- 2)2 =2 2,
- 2
tanθ=
6
=
- 3
3
.
∵点 M 在第四象限,ρ>0,
11π
∴最小正角 θ= .
6
因此,点 M 的极坐标是 2 2,
11π
6
.
极坐标方程与直角坐标方程的互化
得2ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-3ρcos θ+7=0.
化简得2ρ2-3ρcos θ+7=0.
(2)把方程变形为ρ2=9(ρcos
答案：(1)x2+y2=4y (2)x2+y2-9x-9y=0
(3)ρsin + = (4)2ρ2-3ρcos θ+7=0
变式训练2 将以下直角坐标方程与极坐标方程
∴直角坐标方程为x2+y2=9(x+y),
第1节 极坐标、参数方程、直角坐标方程的互化
【解析】 (1)圆的参数方程为
:
x y
6 5 sin
5 cos
(
为参数).
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极 坐标方程.
(2)由x cos , y sin可得C的极坐标方程为 : 2 12 cos 11 0.
以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)1中3.,直线l的方程为
sin( + π ) 2 2.
4 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.
(2) 直线l的直角坐标方程为x y 4 0, 由x2 y2 4x 0得直线l与曲线C的交点坐标为(2, 2), (4, 0),
x y 4 所以直线l被曲线C截得的弦长为2 2.
【解析】由于cos 2 1 2sin2 ,故y 1 2x2,
即y 2x2 1(1 x 1).
8.将参数方程
x y
t t
1 t
2
1 t2
(t为参数)化为普通方程为
.
【答案】 x2 y 2( y 2)
【解析】 y
t2
x2 y2 2x 6 y,即(x 1)2 ( y 3)2 10. 曲线C2的直角坐标方程为(x 1)2 ( y 3)2 10.
5.圆O的方程为:(x-1)2+(y+1)2=4.
【解析】 参数方程
:
x
y
1 2 1
cos 2 sin
(
为参数);
极坐标方程 : 2 2 cos 2 sin 2 0.
6.椭圆的方程为: x2 y2 1. 94
2018届高考数学(全国通用)二轮复习中档大题精品课件 第7讲 坐标系与参数方程
1.已知圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋2
解
π 2ρ· sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径.
以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴
的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
2ρ
2 2 sin θ － cos θ －4＝0， 2 2
1 2 3 4
解答
4.在以 O 为极点的极坐标系中，直线 l 与曲线 C 的极坐标方程分别是
π ρcosθ＋4＝3
2和 ρsin2θ＝8cos θ，直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求线段
AB 的长.
1
2
3
4
解答
考点二 参数方程与普通方程的互化
要点重组 常见曲线的参数方程
2 x ＝ 2 pt ， 2 (4)抛物线 y ＝2px(p＞0)的参数方程为 (t 为参数). y＝2pt
方法技巧
参数方程化为普通方程：由参数方程化为普通方程
就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、
乘除消元法、三角代换法，且消参数时要注意参数的取值范围 对x，y的限制.
5 6 7
(t 为参数)，
8
解答
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|· |PB|的值.
x＝1＋ 3t， 2 解 把直线 l 的参数方程 1 y＝2＋2t
得1＋
代入 x2＋y2＝16，
3 2 1 2 ＋ 2＋ t ＝16， 2 t 2
由|AP|＝d，得3sin θ－4cos θ＝5，
3 4 又 sin θ＋cos θ＝1，得 sin θ＝5，cos θ＝－5.
2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(K12教育文档)
2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程(word版可编辑修改)的全部内容。
《2018年高考数学分类汇编》：极坐标与参数方程一、填空题1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a=__________．2。
【2018天津卷12】)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,32⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A,B 两点，则ABC △的面积为 。
二、解答题1。
【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+。
以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=。
(1）求2C 的直角坐标方程；(2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程。
2。
【2018全国二卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）,直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．3。
【2018全国三卷22】在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． (1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．参考答案一、填空题1.21+2.21二、解答题1。
极坐标与参数方程ppt课件
当 θ1=θ2，|AB|＝/ρ1—-ρ2/
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
• 3．直线的极坐标方程：若直线过点M(ρ0，θ0)，且极 轴到此直线的角为α，则它的方程为：
• ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． • 几个特殊位置的直线的极坐标方程 • (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π+θ0； • (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0 ＋t2cos α，y0＋t2sin α)． (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝t1＋2 t2， 中点 M 到定点 M0 的距离|MM0|＝|t|＝t1＋2 t2. (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0.
[解] (1)直线 l 的普通方程为 xsin α－ycos α＋cos α＝0. 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ＝4sin θ， 即 ρ2cos2θ＝4ρsin θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2＝4y.
x＝tcos α， (2)将 l: y＝1＋tsin α 代入曲线 C∶x2＝4y 中， 得 t2cos2α－4tsin α－4＝0.
意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以 便正确地求出角θ. • (2)注意“双坐标系”是直角坐标与极坐标互化的 前提．若要判断曲线的形状，通常是先将极坐标 方程化为直角坐标方程，再判断．
(3)极坐标系中两点间的距离公式：已知点 A(ρ1，θ1)，
B(ρ2，θ2)，那么|AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.
坐标系与参数方程的互化课件
[解析] 消去参数得，直线l：3x＋4y－10＝0，⊙C：(x ＋1)2＋(y－2)2＝25，
则圆心C(－1,2)到直线l的距离为 d＝|－3＋58－10|＝1， ∴弦长l＝2 52－12＝4 6.
ห้องสมุดไป่ตู้
3、 (文)(2012·云南省宣威市二中模拟)已知圆O1和圆
O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2 2ρcos(θ－π4)＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
7、(理)(2012·河南商丘市二模)已知在平面直角坐标系xOy
内，点M(x，y)在曲线C：
x＝1＋cosθ， y＝sinθ
(θ为参数，θ∈R)上
运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
ρcos(θ＋π4)＝0. (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若直线l与曲线C相交于A、B两点，试求△ABM面积的
[解析]
(1)将
x＝4＋5cost， y＝5＋5sint，
消去参数t，化为普通方程
(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将xy＝ ＝ρρcsionsθθ，， 代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，
ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.
rsinθ
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x y
= =
a b
+ +
rcosθ(θ为参数) rsinθ
4、
椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)的参数方程：
x＝acosθ y＝bsinθ
极坐标和直角坐标的互化 课件
(2)A舰发射炮弹的仰角θ应为多少？ (注：射程公式 s v02sin 2 )
g
【解题探究】1.如何求旋转后的点B的极坐标与向量的直角坐
标？
2.如何建立直角坐标系定位目标的直角坐标以及极坐标？
探究提示：
1.极坐标中的ρ不变，角度θ再由 加6上 即2得, .向量
OB
的坐标即终点B的直角坐标.
2.根据直线与二次曲线的交点的直角坐标定位目标，联想二
极坐标和直角坐标的互化
极坐标与直角坐标的互化公式 以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且 在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点M的直角坐 标与极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ)，则由三角函数的定义可 以得到如下两组公式：
图示
直角坐标(x,y)
极坐标(ρ,θ)
x _ρ__c_o_s__θ___， y _ρ__s_i_n__θ___
x2 y2
2，且tan角θ的xy终边1，经
当θ∈［0,2π)时， 由于，θ∈R,
4
故点的极坐标为 (
2, 4
2k ), k
Z.
答案： (
2, 4
2k ), k
Z
2.(1)由
x2 y2
2，t且an角θ的y 终－边1，经过
x
点(1,－1)，
当θ∈［0,2π)时，
7， 4
故点的极坐标为 (
2, 7 ). 4
2.将下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)(2,0).(2)(2, 2 ).(3)(3, 3 ).
3
2
(4)(4,－3 ).(5)(5,6).(6)(4, ).
2
12
【解题探究】1.点的极坐标化为直角坐标惟一吗？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 探究提示： 1.极坐标化为直角坐标是惟一的. 2.x=ρcos θ,y=ρsin θ.
高三第二轮专题复习极坐标与参数方程课件.ppt
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数)
其中参数的几何意义为: θ为圆心角
4.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)的参数方程为:
x
y
a b
cos sin
(为参数)
双基自测
1．极坐标方程 ρ＝cos θ 和参数方程xy＝ ＝2－＋1t－t， (t 为参
数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线
答案 (－4,0)
4．(2013·广州调研)已知直线 l 的参数方程为：xy＝＝12＋t，4t (t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2sin θ，则直线 l 与圆 C 的位置关系为 ________．
x＝2t，
解析 将直线 l 的参数方程：
化为普通方程得，y＝1＋2x，
y＝1＋4t
圆 ρ＝2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，圆心(0， 2)到
重点方法：<1>消参的方法；<2>极 坐标方程化为直角坐标方程的方法； <3>设参的方法。
1、过定点 M 0 (x0 , y0 ) 、倾斜角为 的直线 l 的参
数方程为
x
y
x0 y0
t cos t sin
，(t
为参数)
我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式，其
中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x,y)为终 点的有向线段的数量M0M。当点M在点M0的上方时， t>0；当点M在点M0的下方时，t<0；当点M与点M0重合 时，t=0。很明显，我们也可以参数t理解为以M0为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上点M的坐标，其长度
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【解析】 (1)曲线C 的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将
代入方程
x2+y2-4x=0,化简得ρ =4cosθ .所以,曲线C的极坐标方程为ρ =4cosθ .
(2)∵直线l 的直角坐标方程为x+y-4=0,由 坐标为(2,2),(4,0),所以直线l被曲线C截得的弦长为 得直线l与曲线C的交点
.
【答案】
(θ 为参数) 【解析】 曲线C的直角坐标方程是 (θ 为参数).
(x-1)2+y2=1,其参数方程为
10.已知曲线C1的参数方程为 ( ρ =2cosθ +6sinθ .
θ 为参数),曲线C2的极坐标方程为
将曲线C1的参数方程化为普通方程,将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程.
【解析】 由 (
θ 为参数),得(x+2)2+y2=10.∴曲线C1的普通方程为
(x+2)2+y2=10.∵ρ =2cosθ +6sinθ ,∴ρ 2=2ρ cosθ +6ρ sinθ .∴x2+y2=2x+6y,即(x1)2+(y-3)2=10.∴曲线C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
7.参数方程(Βιβλιοθήκη 为参数)所表示的曲线的普通方程为
.
【答案】
y=-2x2+1(-1≤x≤1) 【解析】 由于cos2θ =1-2sin2θ ,故y=1-2x2,即
y=-2x2+1(-1≤x≤1).
9.(广东高考)已知曲线C的极坐标方程为ρ =2cosθ .以极点为原点,极轴为x轴的正半 轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为
专题训练1 写出下列直线的参数方程和极坐标方程:
1.直线过点(1,0)倾斜角为45°.
专题训练2
1.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α = (1)写出直线l的参数方程.
(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A、B,求点P 到A、B 两点的距离之积.
2.直线l通过P0(-4,0),倾斜角α =
第十一章
圆锥曲线
第1节 极坐标、参数方程、 直角坐标方程的互化
【例1】 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)请写出圆C的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程.
【解析】 (1)圆的参数方程为:
(α 为参数).
(2)由x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ 可得C的极坐标方程为:ρ 2+12ρ cosθ +11=0.
l与圆x2+y2=7相交于A、B两点.
(1)写出直线的参数方程,求弦长|AB|;
(2)求A、B两点坐标.
5.已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
(θ 为参数),在极坐标
系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,直线l 的方程为 (1)求曲线C 在极坐标系中的方程; (2)求直线l被曲线C 截得的弦长.