统计学课件第5章概率与概率分布配套讲义

• 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
事件与样本空间
1. 基本事件(elementary event)
• • 一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6} 在投掷硬币的试验中，{正面，反面}
概率的古典定义
(例题分析)
• 解：(1)用A 表示“抽中的职工为男性”这一事件；A 为全公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的 集合。则
全公司男性职工人数 8500 P( A) 0.68 全公司职工总人数 12500
(2) 用B 表示“抽中的职工为炼钢厂职工”；B为炼钢 厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合。则 炼钢厂职工人数 6200 P( B) 0.496 全公司职工总人数 12500
2. 规范性
• 必然事件的概率为 1；不可能事件的概率为 0。 即P ( ) = 1； P ( ) = 0
若A与B互斥，则P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) 推广到多个两两互斥事件 A1， A2， …， An，有 P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指 标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天 的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节 电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30 次 超过用电指标天数 12 P( A) A 表示用电超过指标出现了 12 0.次。根据 4 试验，试验 试验的天数 30 概 率的统计定义有
(例题分析)
• 【例】 某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。
• • •
从 该公司中随机抽取1人，问： (1)该职工为男性的概率 (2)该职工为炼钢厂职工的概率 某钢铁公司所属企业职工人数
工厂 炼钢厂 炼铁厂 轧钢厂 合计 男职工 4400 3200 900 8500 女职工 1800 1600 600 4000 合计 6200 4800 1500 12500
1. 在相同条件下，对事物或现象所进行的观察
• • • • 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
2. 试验的特点
事件的概念
1. 事件(event)：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集 合)
i 1
n
全概公式
(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品 率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的 25%、 35% 、 40%，将它们的产品组合在一起，求任取一个是次品的概 率。 解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台 机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。 根据全概公式有
概率的加法法则
(additive rule)
• • 法则二 对任意两个随机事件A和B，它们和的概率为两个事件分别 概率的和减去两个事件交的概率，即
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
概率的加法法则
(例题分析)
【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有 20% 读甲报纸， 16% 读乙报纸， 8% 两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：设A＝{读甲报纸}，B＝{读乙报纸}，C＝ {至少读一种报纸}。则 P ( C ) =P ( A∪B )
3. 可加性
• •
概率的加法法则
(additive rule)
• 1. 法则一 两个互斥事件之和的概率，等于两个事件概率之和。设A和B为 两个互斥事件，则
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B )
2. 事件A1，A2，…，An两两互斥，则有
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
= P ( A ) + P ( B ) - P ( A∩B )
=0.2 + 0.16 - 0.08 = 0.28
条件概率与独立事件
条件概率
(conditional probability)
• 在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这 种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为
2.
样本空间(sample spacbability)
1. 2. 3. 4. 事件A的概率是对事件A在试验中出现的可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主观概率定义
事件的概率
• 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2.
随机事件 (random event) ：每次试验可能出现也可能不 出现的事件
• 例如：掷一枚骰子可能出现的点数
3.
必然事件(certain event)：每次试验一定出现的事件，用 表示
• 例如：掷一枚骰子出现的点数小于7
4.
不可能事件 (impossible event)：每次试验一定不出现的 事件，用表示
概率的古典定义
• 如果某一随机试验的结果有限，而且各个
结果在每次试验中出现的可能性相同，则事 件 A 发生的概率为该事件所包含的基本事件 个数 m 与样本空间中所包含的基本事件个数 n 的比值，记为
事件A所包含的基本事件个数 P( A) 样本空间所包含的基本事件个数 m ＝ n
概率的古典定义
事件的独立性
(independence)
1. 一个事件的发生与否并不影响另一个事件 发生的概率，则称两个事件独立 2. 若 事 件 A 与 B 独 立 ， 则 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A) 3. 此时概率的乘法公式可简化为 • P(AB)=P(A)· P(B) 4. 推广到n个独立事件，有 • P(A1 A2 …An)=P(A1)P(A2) … P(An)
P( B) p ( Ai ) P( B | Ai )
i 1
3
0.25 0.05 0.35 0.04 0.40 0.02 0.0345
贝叶斯公式
(逆概公式)
1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 2. 设 n 个 事 件 A1 ， A2 ， … ， An 两 两 互 斥 ， A1+A2+…+ An= (满足这两个条件的事件组称为 一个完备事件组)，且P(Ai)>0(i=1,2, …,n)，则
5. 计算离散型随机变量的概率和概率分布
6. 计算连续型随机变量的概率
7. 用正态分布近似二项分布
8. 用Excel计算分布的概率
5.1 随机事件及其概率
5.1.1 随机事件的几个基本概念
5.1.2 事件的概率 5.1.3 概率计算的几个例子
随机事件的几个基本概念
试 验
(experiment)
概率的统计定义
• 在相同条件下进行n次随机试验，事件A出
现 m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为
m P ( A) p n
概率的统计定义
(例题分析)
•
• • • • • •
P(AB) P(A|B) = P(B)
概率的乘法公式
(multiplicative rule)
1. 2. 3. 用来计算两事件交的概率 以条件概率的定义为基础 设 A 、 B 为两 个事件 ，若 P(B)>0 ，则 P(AB)=P(B)P(A|B) ，或 P(AB)=P(A)P(B|A)
概率的乘法公式
事件的独立性
(例题分析)
【例】某工人同时看管三台机床，每单位时间 ( 如 30 分钟 ) 内机床 不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙机床为0.85。 若机床是自动且独立地工作，求
（1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率
（2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看管的 概率
P ( Ai | B )
P ( Ai ) P ( B | Ai )
p( A ) P( B | A )
j 1 j j
n
贝叶斯公式
(例题分析)
【例】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床的次品率 分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产量的 25%、35%、 40%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次品，分 别求这一产品是甲、乙、丙生产的概率
(例题分析)
【例】设有 1000 件产品，其中 850 件是正品， 150 件是次品，从中依次抽取 2 件，两件都是次 品的概率是多少？ 解：设 Ai 表示“第 i 次抽到的是次品”(i=1,2)， 所求概率为P(A1A2)
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 150 149 0.0224 1000 999
解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自乙台机 床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到次品”。根据 贝叶斯公式有：
0.25 0.05 0.3623 0.0345 0.35 0.04 P ( A2 | B ) 0.406 0.0345 0.4 0.02 P ( A3 | B ) 0.232 0.0345 P ( A1 | B )