stone-weierstrass逼近定理

stone-weierstrass逼近定理
Stone-Weierstrass逼近定理是数学中的一个重要定理，它的重要性不仅在于它提供
了一种用一组简单函数逼近任意实函数的方法，而且在其证明过程中应用了许多有趣的数
学技巧，在学习数学的过程中也可以通过这个定理来领略其中的美妙。

这个定理首先在20世纪初由Karl Weierstrass提出，后来由Johann Heinrich Lambert和Georg Cantor的工作进行了完善。

定理表述如下：
设E是一个紧集合，令A为E上所有实函数之集合，对于任意的f∈A和任意的ϵ>0，
都存在多项式P(x)使得
|f(x)−P(x)|<ϵ(x∈E)
换句话说，任意一个连续函数f都可以在紧集合E上被用一组多项式函数严密地逼近，而且这组多项式函数非常简单，就是所有的单项式和恒等函数。

这个定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

它的证明过程中需要用到复
分析、逼近论、代数学、实变函数论等多个领域的知识。

在这篇文章中，我们将以复分析
为主线，简要介绍这个定理的证明过程。

我们首先需要定义向量空间V，它是所有在E上连续的实函数的集合。

V中的函数满足以下条件：
f, g ∈ V ⇒ f+g ∈ V；
我们可以在V上定义一个内积，在一个区间[a, b]内实值的函数f(x)和g(x)的内积定义为:
< f,g > = 定积分 f(x) g(x) dx
内积的定义满足以下性质：
< f,f > >=0，等号在f(x)为零的时候成立。

< a f + b g,h > = a< f,h > + b< g,h >
我们可以用内积来描述一些有趣的性质。

例如：在区间[a, b]中，具有正弦
(f(x)=sin(nx))和余弦(g(x)=cos(nx))的函数构成的集合是费贝尼乌斯空间。

对于任意2
个不同的整数m, n，内积< sin(mx), sin(nx) > 和< cos(mx), cos(nx) > 都等于零，并且< sin(mx), cos(nx) > =0。

现在我们可以考虑一组单项式和恒等函数。

对于一个正整数n，
pn(x)=(x−a)^n
q(x)=1
它们组成的集合S可以写为
S={pn|n∈N}∪{q}
我们可以证明，S是一个线性空间，在V中也是一个稠密集合。

所谓稠密集合，是指在V中除了S之外再加上一个单独的函数，我们一定能在S中找到一组足够接近这个函数的元素，它们的线性组合可以把这个函数严密地逼近。

我们现在要证明的是，S在V内稠密。

也就是说，对于任意f∈V，我们都可以用S中的元素来逼近。

我们构造出一个函数类F，它包括所有在S和V中的函数。

F={r(x)q+p(x)(x−a)^n|r∈R,p∈N,(x−a)^n∈[a,b]}
我们注意到，如果#F表示F中函数的数量，那么#F是有限的，它等于所有形如
(x−a)^n的项数+1。

现在我们证明F在V中稠密。

我们首先需要一个引理：
引理：假设f∈V，且f在[a, b]上连续，那么对于任意的ϵ>0，存在一个多项式P(x)使得在[a, b]上
我们以f(x)=x为例，证明如下所示：
当f(x)=x时，我们需要找到一个多项式P(x)，满足|f(x)−P(x)|<ϵ。

首先，我们把区间[a, b]均分成N份。

然后把P(x)定义为:
P(x)=aj m(x−a/b−a(j+1)/b) (a(j+1)/b−x)/(a/b−a(j+1)/b)+aj+1
m(x−a(j−1)/b−a/b) (a(j−1)/b−x)/(a/b−a(j−1)/b)
其中aj和aj+1是f在相邻的两个区间中的线性插值，
我们发现，随着N的增大，P(x)越来越接近f(x)，因此P(x)能把f(x)严密地逼近。

至于为什么这个定义是有用的，可以考虑多项式P(x)在区间[a, b]上的分段线性插值。

现在我们可以回到Stone-Weierstrass定理。

我们定义V(X,Y)为在集合X上取值于集合Y中的实函数的集合。

更准确的说，V(S)=V(S,R)。

我们可以证明，V(S)是V中的一个子空间，并且在V中是稠密的。

证明思路如下：
任意函数f(x)都可以用F中的函数严密地逼近。

所以，F中的任意函数可以用S中的元素逼近。

因此，V(S)在V中是稠密的。

细节留给读者自己思考吧。

我们现在来总结一下Stone-Weierstrass逼近定理的证明：
证明就是证明S在V中稠密，而F在S中稠密。

首先，我们把区间[a, b]分成长度为h 的小区间，然后用内积的方法把连续函数f和单项式(x−a)^n在一个小区间上相近的部分匹配起来，最后加和得到f在整个区间上的逼近多项式。

然后再把所有的逼近多项式加起来，得到一个可以逼近这个函数的单项式和恒等函数的线性组合。

因此，S在V中稠密。

然后我们证明F在S中稠密，而这是显然成立的。

综合起来，S在V中稠密，定理得证。