三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题
专题01 三角形的三边、高线、中线及角平分线(解析版)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题01三角形的三边、高线、中线及角平分线考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项，都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；而B选项中，用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性，则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图，人字梯中间设计一“拉杆”，在使用梯子时，固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形，稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性，理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性，即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具有稳定性，故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）．A．1，2，3B．3，4，5C．4，5，11D．6，3，3【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3，不符合题意；B、3+4>5，符合题意；C、4+5<11，不符合题意；D、3+3=6，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．10，7，3【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．【详解】解：A、3+4＜8，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；B、5+6=11，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；C、5+6＞10，符合三角形三边关系，故能构成三角形；D、3+7=10，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中，三条边长分别为3和6，第三边长为奇数，那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围，再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6，所以6-3＜第三边＜6+3，所以3＜第三边＜9，因为第三边长为奇数，∴第三边的长为5或7，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3，x，14，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围，进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3，x，14，x<<．x143143∴-<<+，即1117x为正整数，12x=，13，14，15，16，即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中，BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知，只有选项B中的线段BD是∴ABC的高，故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念，掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，CD ∴AB 于点D ，已知∴ABC 是钝角，则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线 C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴A 错误，不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线，∴B 正确，符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴C 错误，不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线，∴D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】 本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒， ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯， ∴AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5， ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯， ∴CD =125， 故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高，用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图，点A 、点B 是直线l 上两点，10AB =，点M 在直线l 外，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，若点P 为直线l 上一动点，连接MP ，则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时，MP 有最小值，10AB =，6MB =，8MA =，90AMB ∠=︒，AB MP AM BM ∴⋅=⋅，即1068MP =⨯，解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图，已知BD 是∴ABC 的中线，AB ＝5，BC ＝3，且∴ABD 的周长为12，则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD =，再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线，即点D 是线段AC 的中点，AD CD ∴=，5AB =，ABD △的周长为12，12AB BD AD ∴++=，即512BD AD ++=，解得：7BD AD +=，7BD CD ∴+=，则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中，BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD =，然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差，然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1，图2，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD CD =，∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm ，∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=，∴5AB AC -=或者5AC AB -=，∴AB 与AC 的和为11cm ，∴11AB AC +=，∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩， 故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键． 2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图，D ，E 分别是∴ABC 边AB ，BC 上的点，AD =2BD ，BE =CE ，设∴ADF 的面积为S 1，∴FCE 的面积为S 2，若S △ABC =16，则S 1－S 2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝16，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE，∴BE＝12BC，∴S△ABC＝16，∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD，S△ABC＝16，∴S△BCD＝13S△ABC＝163，∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝83，故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，据此可求出三角形的面积，然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图，AD 是∴ABC 的中线，BE 是∴ABD 的中线，EF ⊥BC于点F．若24ABCS=，BD =4，则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC ，S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC ，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线，S △ABC =24，∴S △ABD =12S △ABC =12，同理，BE 是∴ABD 的中线，612BDE ABD SS ==，∴S △BDE =12BD •EF ，∴12BD •EF =6，即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积，三角形的中线特点，理解三角形高的定义，根据三角形的面积公式求解，是解题的关键．考点五 三角形的角平分线 例题：（2022·全国·八年级）如图，在ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是高，CF 是中线，BE 是角平分线，BE 交AD 于G ，交CF 于H ，下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90°，AD是高，可得∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，又因为BE是角平分线，可得∴ABE=∴DBE，故能得到∴AEG=∴DGB，再根据对顶角相等，即可求证该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，可得∴EAG=∴DBA，因为∴DBA=2∴EBC，故能得到该说法正确；④根据中线平分面积，可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90°，AD是高，∴∴AEG=90°−∴ABE，∴DGB=90°−∴DBG，∴BE是角平分线，∴∴ABE=∴DBE，∴∴AEG=∴DGB，∴∴DGB=∴AGE，∴∴AEG=∴AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∴HCB=∴HBC，故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90°，∴DBA+∴DAB=90°，∴∴EAG=∴DBA，∴∴DBA=2∴EBC，∴∴EAG=2∴EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，中线，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图，在∴ABC中，∴C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∴EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE，∴BE是∴ABD的中线，故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC，∴BD是∴BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC，∴∴2＝∴3，但不能推出∴2、∴3和∴1相等，故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC，S△EDB＝12×DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义，熟练掌握三角形中，连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图，AD，BE，CF依次是ABC的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线，所以AE ＝CE ，故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高，所以∴ADC ＝90，故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE ，故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线，所以∴ACB ＝2∴ACF ，故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义，是基础题，熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线，则2AB =______，BD =______，12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线，则1∠=______，132∠=______，2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点，进而得到答案．（2）根据角平分线定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线，∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴BE 是AC 边上的中线，∴AE ＝12AC ，（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线，∴12∠=∠ ，∴BE 是ABC ∠的角平分线， ∴132∠=ABC ∠， ∴CF 是ACB ∠的角平分线，∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线，解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高，正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高，即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法，从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高线，锐角三角形的三条高线都在三角形的内部，钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上，小亮经研究发现：在如图所示的ABC中，连接点A和BC上的一点D，线段AD等分ABC的面积，则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积，∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积，∴两个三角形的高为同一条高，∴BD=CD，∴AD为∴ABC的中线，故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质，理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识，即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线”，故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短”，故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形，利用的是“三角形的稳定性”，故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短”，故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用，结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图，BD是ABC的边AC上的中线，AE是ABD△的边BD上的中线，BF 是ABE△的边AE上的中线，若ABC的面积是32，则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线，∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△，∴AE是ABD△的边BD上的中线，∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=，又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线，则CF 是ACE 的边AE 上的中线， ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯=，182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====，则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影，故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC ，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ，②BC 边上的角平分线AE ，③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线，角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠，其折痕即为BC 边上的中线，故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的角平分线，故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上，且折痕通过A 点，则其折痕即为BC 边上的高，故③符合题意；故选D ．【点睛】本题考查三角形中线，角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm ，xcm ，4cm ，则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋，∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系，熟记“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，a b 、满足()2610a b -+-=，c 为偶数，则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c 的取值范围，再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a ，b 满足()2610a b -+-=，∴a -6=0，b -1=0，解得a =6，b =1，∴6-1=5，6+1=7，∴5＜c ＜7，又∴c 为偶数，∴c =6，故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图，AB∴BD 于点B，AC∴CD 于点C，且AC 与BD 交于点E，已知AE=10，DE=5，CD=4，则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高，然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD，AC∴CD，∴AB是∴ADE的边DE上的高，CD是边AE上的高，∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅， ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯===， 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义，三角形的面积等知识，掌握基本概念是解题关键，学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在ABC 中，2AB AC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F .若ABC S =PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接APPE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC ==，ABC S ∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中，BC＝8，AB＝1；(1)若AC是整数，求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线，若∴ABD的周长为17，求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得7＜AC＜9，根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD，根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16，即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB，∴7＜AC＜9，∴AC是整数，∴AC＝8．(2)解：如图所示，∴BD是∴ABC的中线，∴AD＝CD，∴∴ABD的周长为17，∴AB+AD+BD＝17，∴AB ＝1，∴AD +BD ＝16，∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形，解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c +-=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．【答案】(1)a =5b =，c =(2)能构成三角形，周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零，则每个非负数等于零，分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小，再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥0，0c -≥，a 、b 、c 满足(20a c -=，∴0a =，50b -=，0c -，解得a =5b =，c =；(2)解：∴81825<<，∴5，即a c b <<，∴5=>，∴能构成三角形，三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】 本题考查了非负数的性质，二次根式有意义的条件和构成三角形的条件，解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm ，则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，周长为14cm ，BD 是AC 边上的中线，△ABD 比△BCD 周长长4cm ，求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6，AC =6，BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系，先求出三角形第三边长的范围，即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD =，从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14，，以及,AB AC ＝，可得214AB BC +=进行计算即可解答．【详解】解：（1）设第三边长为x ，根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD 是AC 边上的中线，,AD CD ∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm，()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是14，14,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∴BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE 是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以S△BCE＝12S△ABC．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高， ∴12AD •BC ＝12AB •AC ，∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质，涉及等积法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，在6×10的网格中，每一小格均为正方形且边长是1，已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D ，连接CD ，使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点，取格点D ，满足3BD AD =，则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图，AE 即为BC 上的高．(2)如图，利用网格特点，可得3BD AD =，∴D 即为所求作的点，满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高，三角形的面积的计算，熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线，,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒，求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒，40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，CE 是ACB ∠的平分线，∴1352ACE ACB ∠=∠=︒． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒，∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠=，B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+，CE 是ACB ∠的平分线，∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦． CD 是高线，∴90ADC ∠=︒，∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒-， ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，∴ABC 中，∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ，点E 在AB 上，EG ∴AD ， EF ∴AD ，垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE ，若S △ADE ＝S 梯形EFDG ，猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等，理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠，然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2，再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG ，结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º，AD 平分∴BAC ， ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒， 又∴EF ∴AD ，∴29060BAD ∠=︒-∠=︒， ∴EG ∴AD ，∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD ，∴S △ADE =12AD EF ⋅，S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG ，∴AD =AF +DF ，∴DF +EG =AF +DF ，即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式，熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图，AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，已知AB =5，AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中，若AB 边上的高为2，求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h ，根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5，AC =3，∴5353BC -<<+，即28BC <<，故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++，∴ACD 的周长为AC AD CD ++，∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=，故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h ， 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯, 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯， 解得103h =． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形的中线，三角形的高等知识点，熟练掌握基础知识是解本题的关键．。
三角形的高、中线、角平分线
三角形内部 三角形内部 三角形内部
梳理归纳
三角形的高、中线与角平分线有 什么共同的特征？
（1）都是线段；
（2）这些线段一个端点是三角 形的顶点，另一端点在这个顶点 的对边上。
• 1、AD是ΔABC的角平分线（如左图），那么
∠BAC= ∠BAD；
• 2、AE是ΔABC的中线（如右图），
那么BC=
BE。
A
A
B
D
C
B
E
C
探究 如图，在△ABC中,AD是△ABC的
线与它的对边相交，这个角的顶点与
交点之间的 线段 叫做三角形的角平
分线。
如图，∠BAC的平分
A
线交BC于点D，线段AD
就是ΔABC的一条角平
分线。
B
DC
理解定义
如图，∠BAC的平分线交BC于点D，线 段AD就是ΔABC的一条角平分线。
A 线段AD是△ABC
1 2 的角平分线
B
DC
∠1= ∠ 2＝ 1 ∠BAC 2
A
B
D
C
三角形中线定义
在三角形中，连接一个顶点与它对 边中点的线段，叫做三角形的中线。
如图，D为BC的中
点，线段AD就是
ΔABC的BC边上的
中线。
B
A
D
C
理解定义 如图，D为BC的中点，线
A 段AD就是ΔABC的BC边上 的中线。
线段AD是
B
D
C △ABC的中线
ＢD= CD= 1 BC
2
观察思考
思考
有同学说：“三角形的一个角的 平分线就是三角形的角平分线. ”这 种说法对吗？为什么？
解：这种说法不对，三角形一个角
初中数学冀教版七年级下册第九章 三角形9.3 三角形的角平分线、中线和高-章节测试习题(5)
章节测试题1.【答题】下列结论:①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②直角三角形只有一条高;③三角形的中线可能在三角形外部;④三角形的高都在三角形内部.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】解：①三角形的角平分线、中线、高都是线段，正确；②直角三角形有三条高，故②错误；③三角形的中线可能在三角形外部，错误；④三角形的高都在三角形内部，错误．故正确的只有①，选A.2.【答题】不一定在三角形内部的线段是（）A. 三角形的角平分线B. 三角形的中线C. 三角形的高D. 以上都不对【答案】C【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高.选C.3.【答题】如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于（）A. 120°B. 130°C. 115°D. 110°【答案】C【分析】根据三角形的角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB=180°﹣（∠ABC+∠ACB）．∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∴∠BDC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°．选C.4.【答题】如图, ∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是（）A. BD是△ABC的角平分线B. CE是△BCD的角平分线C. ∠3=∠ACBD. CE是△ABC的角平分线【答案】D【分析】根据三角形的角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵∠1=∠2，∴BD是△ABC的角平分线，∵∠3=∠4，∴CE是△BCD的角平分线，∠3=∠ACB，∴A、B、C正确．CE不是△ABC的角平分线，故D错误．选D.5.【答题】下列说法中正确的是（）A. 三角形的角平分线和中线都是线段B. 三角形的角平分线和中线都是射线C. 三角形的角平分线是射线,而中线是线段D. 三角形的角平分线是线段,而中线是射线【答案】A【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】解：三角形的角平分线和中线都是线段．选A.6.【答题】如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为（）A. 2B. 1C.D.【答案】B【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线可将三角形分成面积相等的两部分是解决此题的关键．【解答】解：∵D、E分别为BC，AD的中点，且S△ABC=4，∴S阴影=×S△ADC=×S△ABC=×4=1选B.7.【答题】如图，在△ABC中，BC=6，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC的面积为48时AD的长为（）．A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．【解答】在△ABC中，BC=6，AD为BC边上的高，A点沿AD所在的直线运动时，三角形的面积发生变化，当△ABC的面积为48时，,即×6·AD=48，∴AD=16，选B.8.【答题】如图，在中，、分别是高线和角平分线，交点为，已知，，则的面积等于（）．A. B. C. D.【答案】D【分析】根据三角形的中线定义解答即可．【解答】解：过E作EF⊥AC于F，∵AD是BC边上的高线，CH平分∠ACB，DE=1，∴EF=DE=1，∴△ACE的面积S=×AC×EF=×4×1＝2，选D.9.【答题】在△ABC中∠C=90°，D，E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（）A. BC是△ABE的高B. BE是△ABD的中线C. BD是△EBC的角平分线D. ∠ABE=∠EBD=∠DBC【答案】D【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】解： A.BC是△ABE的高，正确，不符合题意；B.BE是△ABD的中线，正确，不符合题意；C.BD是△EBC的角平分线，正确，不符合题意；D.∵BD是△EBC的角平分线，∴∠EBD=∠DBC，∵BE是中线，∴∠ABE≠∠EBD，∴∠ABE=∠EBD=∠DBC不正确，符合题意．选D.10.【答题】到三角形三顶点距离相等的点是（），到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条角平分线的交点，三条垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点，三条中线的交点C. 三条垂直平分线的交点，三条中线的交点D. 三条垂直平分线的交点，三条角平分线的交点【答案】D【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】试题分析：到三角形三个顶点矩形相等的点在三条中垂线的交点处，到三角形三边距离相等的点在三条角平分线的交点处．选D.11.【答题】如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=4cm2，则S阴影等于（）A. 2cm2B. 1cm2C. cm2D. cm2【答案】B【分析】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．【解答】解：S阴影=S△BCE=S△ABC=1cm2选B.12.【答题】如图，BE、CF都是的角平分线，且∠BDC=110°，则的度数为（）A. 50°B. 40°C. 70°D. 35°【答案】B【分析】根据三角形的角平分线定义解答即可．【解答】∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-2（∠DBC+∠BCD），∵∠BDC=180°-（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°-2（180°-∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°-90°）=40°．选B.13.【答题】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60，则∠BOC的大小为（）A. 135°B. 120°C. 90°D. 60【答案】B【分析】根据三角形的角平分线的定义解答即可．【解答】∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=60°，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°，选B.14.【答题】如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC=8cm2，则S阴影面积等于（）A. 4cm2B. 3cm2C. 2cm2D. 1cm2【答案】C【分析】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．【解答】E是中点，和底相等且高是一半，所以S△AEC=4cm2，F是中点，和是同底等高，所以S阴影面积=2cm2.所以选C.15.【答题】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形【答案】B【分析】根据三角形的中线的定义解答即可．【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.选B.16.【答题】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°，则∠DAC的大小是A. 15°B. 30°C. 25°D. 20°【答案】D【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．【解答】解：∵AD是BC边上的高，选D.17.【答题】下列说法正确的是（）A. 三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部B. 直角三角形只有一条高C. 三角形的高至少有一条在三角形内部D. 三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外【答案】C【分析】根据三角形的中线、角平分线和高线的定义解答即可．【解答】钝角三角形有两条高在三角形外部，所以A错误；每一个三角形都三条高，所以B错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形和钝角三角形只有一条高在三角形的内部，所以C正确；锐角三角形的三条高的交点在三角形有内部，直角三角形的三条高的交点是直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.选C.18.【答题】以下是四位同学在钝角△ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据三角形的高线的定义解答即可．【解答】A选项是过点B作AC延长线的垂线BD,即BD是AC边上的高,B选项过点A作AB的垂线交BC延长线于点D,AD不是三角形的高,C选项是过点A作BC延长线上的垂线AD,即是AD是BC上的高,D选项是过点C作BC的垂线交AB于点D,不是三角形的高,选C.19.【答题】如图在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC 的面积是4，则△BEF的面积是（）A. 1B. 2C. 3D. 3.5【答案】A【分析】本题考查的是三角形的面积，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质．【解答】，E为AD中点，△ABC与△BEC同底，，F为CE的中点，△BEF与△BEC等高，.选A.20.【答题】如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO等于（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°【答案】A【分析】根据三角形的角平分线定义解答即可．【解答】解：在△OBC中，∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-100°=80°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2×80°=160°，在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-160°=20°．∴∠BAO=∠A=.选A.。
人教版八年级数学上册 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 同步训练
人教版八年级数学上册11.1.2三角形的高、中线与角平分线同步训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是()2．下列说法中正确的是()A．三角形的三条高都在三角形内B．直角三角形只有一条高C．锐角三角形的三条高都在三角形内D．三角形每一边上的高都小于其他两边3．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是()A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG4．若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A．AB＝BC B．BD＝DCC．AD平分BC D．BC＝2DC5．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC 的面积为()A．10 B．8 C．6 D．56. 如图，D ，E 分别是△ABC 的边AC ，BC 的中点，那么下列说法中不正确的是( )A ．DE 是△BCD 的中线B ．BD 是△ABC 的中线C ．AD ＝DC ，BE ＝ECD ．AD ＝EC ，DC ＝BE7．如图，CD ，CE ，CF 分别是△ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )A ．AB ＝2BF B ．∠ACE ＝12∠ACB C ．AE ＝BE D ．CD ⊥BE8．如图，AD ，BE ，CF 依次是△ABC 的高、中线和角平分线，下列表达式中错误的是( )A ．AE ＝CEB ．∠ADC ＝90°C ．∠CAD ＝∠CBED ．∠ACB ＝2∠ACF9．三角形一边上的中线一定可以把原三角形分成两个( )A ．形状相同的三角形B ．面积相等的三角形C ．直角三角形D ．周长相等的三角形10．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为( )A ．44°B ．40°C ．39°D ．38°二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_______，则∠ADB ＝∠ADC ＝________．12. 如图，以CF 为高的三角形是_______________________________．13．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若BC ＝5，AD ＝2，则△ABC 的面积为________．14．如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，则AB ＝2________，BD ＝________，AE ＝12________．15．如图②，AE 平分∠BAC ，交BC 于点E.若∠BAE ＝50°，则∠CAE ＝________，∠CAB ＝________．16．如图，AD ⊥BC 于点D ，那么图中以AD 为高的三角形有________个.17．如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，点G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点E ，F 为AB 上一点，且CF⊥AD于点H，下列说法正确的有________个.①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高．18．如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AC于点E，若∠ACB＝60°，则∠EDC＝__________．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 在△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高．若AD＝2，BD＝3，CD＝1，求△ABC 的面积．20．(6分)如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．(1)作出△ABD的边BD上的高．(2)若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长21．(6分) 如图，已知△ABC.(1)画中线AD；(2)画△ABD的高BE及△ACD的高CF.22．(6分) 如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O. DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．23．(6分)如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E，若∠EDA＝∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．24．(8分)如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8 cm2，求阴影部分的面积S阴影．25．(8分) 在等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD将该三角形的周长分成9cm和15cm两部分，求这个三角形的腰长和底边长．参考答案1-5ACBAA 6-10DCCBC11. 高，90°12. △ABC，△BCF和△AFC13. 514. AF(BF)，CD，AC15. 50°，100°16. 617. 118. 30°19. 解：∵BD＝3，CD＝1，∴BC＝3－1＝2.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×2×2＝2.20. 解：(1)如图所示．AM为△ABD的边BD上的高．(2)∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，∴△ABC的面积为12.∵BD边上的高AM为3，∴BC＝12×2÷3＝8.21. 解：(1)中线AD如图．(2)△ABD的高BE及△ACD的高CF如图．22. 解：DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.∴∠EDA＝∠FDA.∴DO是∠EDF的平分线．23. 解：∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD.∵∠EDA＝∠EAD，∴∠CAD＝∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．24. 解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝12S△ABC＝12×8＝4(cm2)，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝12S△ABD＝2 cm2，S△CDE＝12S△ACD＝2 cm2，∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝4 cm2，又∵F 是CE 的中点，∴S 阴影＝12S △BEC ＝2 cm 2 25. 解：设腰长为x cm.①当腰长与腰长的一半是9 cm 时，x ＋12x ＝9， 解得x ＝6.∴底边长为15－12×6＝12(cm)． ∵6＋6＝12，∴6 cm ，6 cm ，12 cm 不能组成三角形．②当腰长与腰长的一半是15 cm 时，x ＋12x ＝15， 解得x ＝10.∴底边长为9－12×10＝4(cm)． ∵10＋4＞10，∴10 cm ，10 cm ，4cm 能组成三角形． 综上所述，三角形的腰长为10 cm ，底边长为4 cm.。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的边三角形的高、中线与角平分线习题(含答案) (50)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第一节三角形的边/三角形的高、中线与角平分线试题（含答案)一个三角形的三边长分别为a、b、c=________．【答案】﹣a+b+c【解析】【分析】根据三角形的三边关系可得三角形两边之和大于第三边可得a-b-c＜0，然后再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】∵三角形的三边长分别为a、b、c，∴c+b＞a，∴a-b-c＜0，=|a-b-c|=-a+b+c.故答案为-a+b+c．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．92．已知等腰三角形的两边长分别为5和9，则它的周长是________．【答案】19或23【解析】分析：根据已知条件：分等腰三角形的底边分别为5和9两种情况，结合三角形三边间的关系进行分析解答即可.详解：（1）当长为5的边是等腰三角形的底边时，其三边长分别为：5、9、9，此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：5+9+9=23；（2）当长为9的边为等腰三角形的底边时，其三边长分别为：9、5、5，此时三条线段能围成等腰三角形，其周长为：9+5+5=19；综上所述，两条边长分别为5和9的等腰三角形的周长为19或23.故答案为：19或23.点睛：已知等腰三角形的两边长分别为a和b，求其周长时，需分底边为a 和底边为b两种情况进行计算，同时需看两种情况下的三条线段是否能围成三角形.93．如图，胶州湾大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是__．【答案】三角形的稳定性【解析】分析：利用三角形具有稳定性，而其它多边形不具有这一特性求解即可.详解：胶州湾大桥是一座斜拉式大桥,斜拉式大桥多采用三角形结构,使其不易变形,这种做法的依据是:三角形的稳定性.故答案为:三角形的稳定性.点睛：本题主要考查了三角形的稳定性,解题的关键是熟记三角形的稳定性.三、解答题94．若a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，化简：|a ﹣b ﹣c | + |b ﹣c ﹣a | + |c ﹣a +b |．【答案】-a +b +3c ．【解析】试题分析：先判断绝对值内式子的正负，然后去掉绝对值符号再合并同类项即可.试题解析：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以0a b c --<，0b c a --< ，0c a b -+> ，则原式去掉绝对值符号得3b c a a c b c a b a b c +-++-+-+=-++ .95．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且a 2+b 2=6a+10b ﹣34，其中c 是△ABC 中最长的边长，且c 为整数，求c 的值．【答案】c=5.6.7【解析】分析：由a 2+b 2=6a+10b ﹣34，通过配方法求得a ，b 的值，然后利用三角形的三边关系求得c 的取值范围即可．详解：∵a 2+b 2=6a+10b ﹣34∵a 2﹣6a+9+b 2﹣10b+25=0∵（a ﹣3）2+（b ﹣5）2=0∵a=3，b=5∵5﹣3＜c ＜5+3即 2＜c ＜8． 又∵c 是△ABC 中最长的边长∵c=5.6.7点睛：此题主要考查了配方法的应用、非负数的性质及三角形的三边关系，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．96．如图这是一个由七根长度相等木条钉成的七边形木框．为使其稳定，请用四根木条（长短不限）将这个木框固定不变形，请你设计出三种方案．【答案】见解析【解析】三种方案如图所示：97．已知a 、b 、c 为三角形三边的长，化简：|a ﹣b ﹣c |+|b ﹣c ﹣a |+|c ﹣a ﹣b |．【答案】a+b+c ．【解析】【分析】根据三角形的三边关系得出a b c a c b b c a +>+>+>，，，再去绝对值符号，合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为三角形三边的长，∴a+b>c，a+c>b，b+c>a，∴原式=|a−(b+c)|+|b−(c+a)|+|c−(a+b)|=b+c−a+a+c−b+a+b−c=a+b+c．98．已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，求此等腰三角形的周长.【答案】7或8．【解析】分析：由已知条件|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，可得2a-3b+5=0且2a+3b-13=0，由此即可解得a和b的值，再分a为等腰三角形底和b为等腰三角形的底两种情况分别计算出等腰三角形的周长即可.详解：∵|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0，∵2a-3b+5=0∵，且2a+3b-13=0∵，由∵+∵可得：4a-8=0，解得：a=2，将a=2代入∵得：4+3b-13=0，解得：b=3，（1）当a为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2，3，3，此时能围成三角形，其周长为8；（2）当b为等腰三角形的底边时，等腰三角形的三边长为2，2，3，此时能围成三角形，其周长为7．故此等腰三角形的周长为7或8．点睛：（1）两个非负数的和为0，则这两个非负数都为0；（2）求得a、b的值后要分a为等腰三角形的底边和b为等腰三角形的底边两种情况讨论.99．已知a，b，c是三角形的三边长．（1）化简：|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a-b|；（2）在（1）的条件下，若a=5，b=4，c=3，求这个式子的值．【答案】（1）a+b+c；（2）12．【解析】【分析】（1）三角形的两边之和大于第三边，故a-b-c=a-(b+c)＜0，同理b-c-a ＜0，c-a-b＜0；根据绝对值的性质去绝对值符号，然后合并同类项，（2）将a，b，c的值代入（1）中化简的结果求值即可.【详解】（1）∵a、b、c是三角形的三边长，∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b=a+b+c；（2）当a=5，b=4，c=3时，原式=5+4+3=12．【点睛】本题结合绝对值的性质考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用.100．有四根长度分别为9、12、16、25的木条，从中取三根搭三角形，有几种选法？为什么？【答案】有2种选法．【解析】【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答即可.【详解】根据三角形的三边关系，满足的条件选法：9、12、16；12、16、25；故有2种选法．【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系式解答本题的关键.。
中考数学专题练习三角形的角平分线、中线和高(含解析)-精选文档
中考数学专题练习-三角形的角平分线、中线和高（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（）A. 3B. 2C. 1D. 04.三角形的三条中线的交点的位置为（）A. 一定在三角形内B. 一定在三角形外C. 可能在三角形内，也可能在三角形外D. 可能在三角形的一条边上5.三角形的重心是（）A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点6.如图，△ABC中BC边上的高为（）A. AEB. BFC. ADD. CF7.下列说法正确的是（）A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部C. 三角形的三条高线的交点必在三角形内部D. 以上说法都错8.三角形的角平分线是（）A. 射线B. 直线C. 线段D. 线段或射线9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为（）A. 12B. 24C. 16D. 3211.下列说法错误的是（）．A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部C. 直角三角形只有一条高线D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（）A. 射线AC是的角平分线B. 直线BD是的边AD上的高C. 线段AC是的中线D. 线段AD是的边BC上的高13.在下图中，正确画出AC边上高的是( )A. B.C. D.14.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个15.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A. AC是△ABC的高B. DE是△BCD的高C. DE是△ABE的高D. AD是△ACD的高16.三角形的角平分线、中线和高（）A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 不都是线段17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，则CD是△ABC（）A. BC边上的高B. AB边上的高C. AC边上的高D. 以上都不对18.如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.二、填空题19.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为________cm.20.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是________度．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有________.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=________23.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2________，BD=________，AE=________．24.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则________cm2．25.一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为________ 条．三、解答题26.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．27.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长。
角平分线、中垂线性质定理专题复习 (原卷)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：角平分线、中垂线性质定理【角平分线】1．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的角平分线BE，CF相交于点O，∠A＝60°，则∠BOC 的大小为（）A．110°B．120°C．130°D．150°2．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD 的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝．3．如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，则∠BOA= ，∠DAE= ．第3题第4题第5题第6题4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＝4，DE＝7，则线段EC的长为（）A．3B．4C．3.5D．25．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°．则∠FEC的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．60°6．如图，在△ABC中，∠B+∠C＝100°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．如图，点O是△ABC角平分线的交点，过点O作MN∥BC分别与AB，AC相交于点M，N，若AB＝5，BC＝8，CA＝7，则△AMN的周长为．8．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．3：4：5D．2：3：49．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝10，点D到AB的距离为4，则DB 的长为（）A．6B．8C．5D．4第8题第9题第10题第12题10．如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，若EH＝4．则AC＝（）A．8B．7C．6D．911．到三角形的三条边距离相等的点（）A．是三条角平分线的交点B．是三条中线的交点C．是三条高的交点D．以上答案都不对12．如图，点P是∠AOB内的一点，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，连接OP，CD．若PC＝PD，则下列结论不一定成立的是（）A．∠AOP＝∠BOP B．∠OPC＝∠OPDC．PO垂直平分CD D．PD＝CD13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，BC=5，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD ⊥AB于点D，则AD的长为第13题第14题第15题第16题14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E，则△DBE的周长等于16．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm217．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BGC＝90°+∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论有第17题第18题第19题第20题18.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，已知CD＝4．则AC的长为．19．如图，已知△ABC，∠BAC＝80°，∠ABC＝40°，若BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，连接AE，则∠AEB的度数为．20．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；②∠BPC＝∠BAC；③∠APC＝90°﹣∠ABC；④S△APM+S△CPN＞S△APC．其中结论正确的为．（填写结论的编号）21．如图，已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，EF过点O且EF∥BC．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数；（2）若∠BOC＝130°，∠1：∠2＝3：2，求∠ABC、∠ACB的度数．22．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F．（1）若AB＝4，AC＝5，求△AEF的周长．（2）过点O作OH⊥BC于点H，连接OA，如图2．当∠BAC＝60°时，试探究OH与OA的数量关系，并说明理由．23．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，BD＝4，∠B＝30°，S△ACD＝7，求AC的长．24．在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C，（1）如图（1），AE是高，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），点E在AD上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的大小关系，并证明你的结论；（3）如图（3），点E在AD的延长线上．EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B、∠C的关系是（直接写出结论，不需证明）．【线段垂直平分线】1．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（）A．2B．3C．4D．无法确定第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．83．如图，在△ABC中，BC边上两点D、E分别在AB、AC的垂直平分线上，若BC＝24，则△ADE的周长为（）A．22B．23C．24D．254．如图，已知∠B＝20°，∠C＝25°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠P AQ等于（）A．80°B．90°C．100°D．105°第4题第5题第7题5．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）cmA．3B．4C．7D．116．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三条角平分线的交点C．三边上高的交点D．三边垂直平分线的交点7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若DE＝3，AE ＝5，则△ACE的周长为．8．如图，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，若∠F AC＝68°，则∠B的度数为．第8题第9题第10题9．如图，△ABC中，已知∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若∠DAC：∠DAB＝1：2，那么∠BAC＝度．10．如图，已知△ABC的面积为8cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为cm2．11．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠F AC＝∠B．12．在△ABC中，∠A＝120°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，（1）如图（1），连接AM、AN，求∠MAN的度数；（2）如图（2），如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC．。
八上数学每日一练：三角形的角平分线、中线和高练习题及答案_2020年填空题版
八上数学每日一练：三角形的角平分线、中线和高练习题及答案_2020年填空题版答案解析答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：图形的性质_三角形_三角形的角平分线、中线和高练习题1.(2020厦门.八上期中) 如图，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC=2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC 、△ADF 、△BEF 的面积分别为S ， S ， S ， 且S =12，则S －S =________．考点： 三角形的角平分线、中线和高;三角形的面积;2.(2020江岸.八上期中) 如果一个三角形两边上的高所在的直线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是________三角形.考点： 三角形的角平分线、中线和高;3.(2020渝中.八上期中) 如图，AD 是△ABC 的角平分线，BE 是△ABC 的高，∠BAC ＝40°，则∠AFE 的度数为________.考点： 三角形的角平分线、中线和高;4.(2020九龙坡.八上期中) 如图，点P 在AC 上，点Q 在AB 上，BE 平分∠ABP ，交AC 于E ，CF 平分∠ACQ ，交AB 于F ，B E 、CF 相交于G ，CQ 、BP 相交于D ，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A 的度数为________考点： 三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;5.(2020江岸.八上期中) 如图，点O 是三角形内角平分线的交点，点I 是三角形外角平分线的交点，则∠O 与∠I 的数量关系是________△A BC △A DF △BEF △A BC △A DF △BEF答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析考点： 三角形的角平分线、中线和高;多边形内角与外角;6.(2020江岸.八上期中) 如图，已知点I 是△ABC 的角平分线的交点.若AB ＋BI ＝AC ，设∠BAC ＝α，则∠AIB ＝________（用含α的式子表示）考点： 三角形的角平分线、中线和高;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;7.(2019萧山.八上期末)如图，在中，AD 是高，AE是角平分线，若，，则 ________度 考点： 三角形的角平分线、中线和高;8.(2019椒江.八上期末) 如图，在△ABC 中，BD 和CE 是△ABC 的两条角平分线，若∠A=52∘，则∠1+∠2的度数为________．考点： 三角形的角平分线、中线和高;三角形内角和定理;9.(2019潘集.八上期中) 如图，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，∠A ＝100°，则∠P ＝________．考点： 三角形的角平分线、中线和高;10.(2018钦州.八上期末) 如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=________．考点：三角形的角平分线、中线和高;答案解析2020年八上数学：图形的性质_三角形_三角形的角平分线、中线和高练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：6.答案：7.答案：8.答案：9.答案：10.答案：。
三角形(压轴必刷30题5种题型专项训练)—2023-2024学年八年级数学上册(人教版)(解析版)
三角形（压轴必刷30题5种题型专项训练）一．三角形的角平分线、中线和高（共1小题）1．（2022秋•瑞金市校级月考）如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【分析】由BD是中线，可得AD＝CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，可得AB﹣BC＝6cm，2AB+BC＝21cm，继而求得答案．【解答】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．二．三角形三边关系（共1小题）2．（2022春•徐汇区校级期末）周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有个．【分析】不妨设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可确定c的取值范围，以此作为解题的突破口．【解答】解：设三角形三边为a、b、c，且a＜b＜c．∵a+b+c＝30，a+b＞c∴10＜c＜15∵c为整数∴c为11，12，13，14∵①当c为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，6；14，9，7；②当c为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；③当c为12时，有2个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；④当c为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；故答案为：12个．【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．三．三角形内角和定理（共12小题）3．（2021秋•新罗区校级月考）在△ABC中，∠A＝36°，当∠C＝，△ABC为等腰三角形．【分析】分三种情形分别讨论，运用三角形内角和定理即可解决问题【解答】解：①当AB＝AC时，∵∠A＝36°，∴∠C＝∠B＝72°．②当CA＝CB时，∵∠A＝∠B＝36°，∴∠C＝108°．③当BA＝BC时，∴∠C＝∠A＝36°，综上所述，∠C的值为72°或108°或36°，故答案为：72°，36°，108°．【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的运用，解题的关键是用分类讨论的思想思考问题．4．（2022秋•潍坊期末）如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是．【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，则有，解得，∴∠C＝70°，故答案为70°．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．5．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）【分析】延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，利用SAS证明△ADC≌△EDC，得AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，再证明△EDA为等边三角形，得出AB是∠EAD的角平分线，再通过导角得出答案．【解答】解：如图，延长CB到E，使CE＝CA，连接DE，EA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝，在△ADC与△EDC中，，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，∵∠CAD＝30°﹣α，∠ACD＝α，∴∠ADC＝180°﹣（30°﹣α）﹣α＝150°，∴∠EDC＝∠ADC＝150°，∴∠EDA＝360°﹣150°﹣150°＝60°，∵ED＝AD，∴△EDA为等边三角形，∴∠EAD＝∠AED＝60°，∵∠BAD＝30°，∴∠EAB＝60°﹣30°＝30°，∴AB是∠EAD的角平分线，∵AB是ED的垂直平分线，∴BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE，∵∠ACB＝2α，∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝60°+30°﹣α＝90°﹣α，∴∠AEC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α，∴∠EDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∴∠EDB＝∠BED＝30°﹣α，∴∠DBC＝∠BDE+∠BED＝（30°﹣α）×2＝60°﹣2α，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣（60°﹣2α）﹣α＝120°+α，故答案为：120°+α．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（2020秋•杏花岭区校级月考）如图，在第1个△ABA1中，∠B＝40°，∠BAA1＝∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2＝∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3＝∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为；第n个三角形中以A n为顶点的底角的度数为．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形的以An为顶点的底角的度数．【解答】解：∵在△ABA1中，∠B＝40°，AB＝A1B，∴∠BA1A＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣40°）＝70°，∵A1A2＝A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1＝∠BA1A＝×70°＝35°；同理可得，∠DA3A2＝×70°＝17.5°，∠EA4A3＝×70°，以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数＝．故答案为：17.5°，．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，进而找出规律是解答此题的关键．7．（2022春•台江区校级期末）如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，∠BAC＞∠C，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F＝（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABE+∠C．其中正确的是．【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FJD＝∠BJH，证明结论正确；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③证明∠DBE＝∠BAC﹣∠C，根据①的结论，证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．【解答】解：设BE交FH于点J．①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°∵FH⊥BE，∴∠BGJ+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGJ，∴∠DBE＝∠F，①正确；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，②正确；③∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴∠F＝（∠BAC﹣∠C）；③正确；④∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，FH⊥BE，∴∠FGD＝∠BGH＝∠FEB，∴∠BGH＝∠ABE+∠C，④正确，故答案为：①②③④．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．8．（2021秋•雷州市月考）如图，D是△ABC的BC边上的一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°．（1）求∠B的度数．（2）求∠C的度数．【分析】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC＝∠B+∠BAD，再由∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD即可得出∠B的度数；（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数．【解答】解：（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，又∵∠ADC＝80°，∠B＝∠BAD，∴∠B＝∠ADC＝×80°＝40°；（2）在△ABC 中，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．9．（2021春•东台市月考）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA．（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？（2）若∠B＝50°，∠CAD：∠E＝1：3，求∠E的度数．【分析】（1）由于AD平分∠BAC，根据角平分线的概念可得∠BAD＝∠CAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，结合已知条件可得∠EAC与∠B相等；（2）若设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°．根据（1）中的结论以及三角形的内角和定理及其推论列方程进行求解即可．【解答】解：（1）相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD．又∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠EDA﹣∠BAD＝∠B；（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3x°，由（1）知：∠EAC＝∠B＝50°，∴∠EAD＝∠EDA＝（x+50）°在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA＝180°，∴3x+2（x+50）＝180，解得：x＝16．∴∠E＝48°．【点评】（1）建立要证明的两个角和已知角之间的关系，根据已知的相等的角，即可证明；（2）注意应用（1）中的结论，主要是根据三角形的内角和定理及其推论用同一个未知数表示相关的角，再列方程求解．10．（2021秋•新建区校级月考）如图，∠B＝50°，点P在∠ABC内部，∠P的两边分别交AB，BC于点E，F．（1）若PE⊥AB，PF⊥BC．①如图1，则∠P＝°；②如图2，EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，求∠Q的度数．（2）若∠BEP与∠BFP两角的平分线交于ABC内一点Q，请写出∠Q与∠P的数量关系，并说明理由．【分析】（1）①由∠BEP＝∠BFP＝90°，∠ABC＝50°，解可得∠EPF＝130°；②根据EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，得∠QEP＝45°，∠QFP＝45°，即可得∠Q＝140°；（2）分两种情况：①四边形BEPF为凸四边形时，由∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q，消去∠2、∠4即可得∠Q+∠P＝200°；②四边形BEPF为凹四边形时，可得2∠Q﹣∠P＝40°．【解答】解：（1）①∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴∠BEP＝∠BFP＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠EPF＝360°﹣∠BEP﹣∠BFP﹣∠ABC＝130°，故答案为：130；②∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠QEP＝∠BEP＝45°，∠QFP＝∠BFP＝45°，∴∠Q＝360°﹣∠QEP﹣∠QFP﹣∠EPF＝140°；（2）①四边形BEPF为凸四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠BEP＝2∠2，∠BFP＝2∠4，∵∠B+∠BEP+∠BFP+∠P＝360°，∴∠B+2∠2+2∠4+∠P＝360°，而∠B＝50°，∴2∠2+2∠4＝310°﹣∠P，即∠2+∠4＝155°﹣∠P①，又∠2+∠4＝360°﹣∠P﹣∠Q②，由①②可得：155°﹣∠P＝360°﹣∠P﹣∠Q，整理得：∠Q+∠P＝205°．②四边形BEPF为凹四边形时，如图：∵EQ平分∠BEP，FQ平分∠BFP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠B＝50°，∴2（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝130°（Ⅰ），又∠Q+（∠2+∠3）+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅱ），（Ⅱ）×2﹣（Ⅰ）得：2∠Q+∠PEF+∠PFE＝230°（Ⅲ），而∠P+∠PEF+∠PFE＝180°（Ⅳ），（Ⅲ）﹣（Ⅳ）得：2∠Q﹣∠P＝50°；同理当四边形BEPF、四边形BEQF均为凸四边形时，2∠Q﹣∠P＝310°，综上所述，∠Q与∠P的数量关系为∠Q+∠P＝205°或2∠Q﹣∠P＝50°或2∠Q﹣∠P＝310°．【点评】本题考查多边形内角和，涉及角平分线、角的和差等知识，解题的关键是掌握四边形的内角和是360°．11．（2022秋•东港区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC平分线，∠B＝30°，∠DAE＝15°，（1）求∠BAE的度数；（2）求∠C的度数．【分析】（1）由AD是BC边上的高可得出∠ADE＝90°，在△ADE中利用三角形内角和可求出∠AED的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠BAE的度数；（2）根据角平分线的定义可得出∠BAC的度数，在△ABC中利用三角形内角和可求出∠C的度数．【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，∴∠ADE＝90°．∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝180°﹣90°﹣15°＝75°．∵∠B+∠BAE＝∠AED，∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝75°﹣30°＝45°．（2）∵AE是∠BAC平分线，∴∠BAC＝2∠BAE＝2×45°＝90°．∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）在△ADE中利用三角形内角和求出∠AED的度数；（2）利用角平分线的定义求出∠BAC的度数．12．（2022秋•香洲区校级月考）△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．（1）若点P在边AB上，且∠α＝50°，如图1，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为．（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由【分析】（1）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可；（2）连接CP，根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠DCP+∠DPC，∠2＝∠ECP+∠EPC，再根据∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE进行计算即可得到∠α、∠1、∠2之间的关系；（3）根据三角形外角性质，即可得到∠1＝∠C+∠CMD，∠CMD＝∠2+∠α，进而得到∠1＝∠C+∠2+∠α，据此可得∠α、∠1、∠2之间的关系．【解答】解：（1）如图1，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+50°＝130°，故答案为：130°；（2）如图，连接CP，∵∠1是△CDP的外角，∴∠1＝∠DCP+∠DPC，同理可得，∠2＝∠ECP+∠EPC，∴∠1+∠2＝∠ACB+∠DPE＝80°+∠α，故答案为：∠1+∠2＝80°+∠α；（3）∠1＝80°+∠2+∠α，理由如下：如图3，∵在△CDM中，∠1＝∠C+∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2+∠α，∴∠1＝∠C+∠2+∠α，即∠1＝80°+∠2+∠α．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．13．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°，求∠AEC的度数．【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据直角三角形两锐角互余求出∠DAC，然后根据角平分线的定义求出∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠AEC＝∠DAE+∠ADE＝25°+90°＝115°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的角平分线和高线的定义，解题的关键是学会用分类的思想思考问题，属于中考常考题型．14．（2020秋•官渡区校级月考）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是△ABC的一条角平分线，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°．∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，∠AEC＝90°﹣14°＝76°．【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理．四．三角形的外角性质（共10小题）15．（2022春•云龙区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝∠ADB；③∠ADC+∠ABD＝90°；④，其中正确的结论有．【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据三角形外角性质得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．【解答】解：①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，故②错误；③在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故③正确；④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠DCF＝∠ADC，∵∠ADC+∠ABD＝90°，∵∠DCF＝90°﹣∠ABC＝∠DBC+∠BDC，∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠ADB＝∠DBC＝45°﹣∠BDC，故④正确；故答案为：①③④．【点评】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．16．（2022秋•游仙区校级月考）如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP＝2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q ＝45°，∠BDC＝4∠ABD，则∠P的度数为°．【分析】设∠PBD＝α，表示出∠BDE＝6α，于是∠P＝5α，由∠Q＝45°可推出∠BAC+∠ACD＝90°，根据∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD求得α的值，进一步得出结果．【解答】解：如图，设PD的延长线交BC于E，设∠PBD＝α，则∠ABP＝2α，∴∠ABD＝∠ABP+∠PBD＝3α，∴∠BDC＝4∠ABD＝12α，∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝＝6α，∴∠P＝∠BDE﹣∠PBD＝6α﹣α＝5α，在△ACQ中，∠QAC+∠ACQ＝180°﹣∠Q＝135°，∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG，∴∠FAC＝2∠QAC，∠ACG＝2∠ACQ，∴∠FAC+∠ACG＝2（∠QAC+∠ACQ）＝270°，∴∠BAC+∠ACD＝180°﹣∠FAC+180°﹣∠ACG＝90°，∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC+∠ACD，∴12α＝3α+90°，∴α＝10°，∴∠P＝5α＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理及其推论等知识，解决问题的关键是设未知数，寻找角之间的数量关系．17．（2021•惠济区校级开学）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∴又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A∴∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：．【分析】（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠A的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠2＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠2﹣∠1＝∠A+∠1﹣∠1＝∠A；（2）探究3：∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键，读懂题目提供的信息，然后利用提供信息的思路也很重要．18．（2021秋•回民区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，点E在BD上，点F在CA的延长线上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度数．（2）求∠F的度数．【分析】（1）根据外角的性质即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DAC＝BAC＝35°，根据平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠BAF＝∠B+∠C，∵∠B＝40°，∠C＝70°，∴∠BAF＝110°；（2）∵∠BAF＝110°，∴∠BAC＝70°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAC＝BAC＝35°，∵EF∥AD，∴∠F＝∠DAC＝35°．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，三角形的内角和，角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．19．（2020秋•顺昌县月考）如图，已知：点P是△ABC内一点．（1）求证：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度数．【分析】（1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．【解答】（1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，∴∠BPC＞∠A；（2）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，在△ABC中，∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×140°＝110°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．20．（2022秋•威县校级月考）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+∠A的理由．【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是；②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【拓展应用】（3）请用以上结论解决下列问题：如图4，在△ABC中，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q 分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ．若∠A＝80°，则∠F的度数是．【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），再利用三角形内角和定理即可求解；（2）①利用三角形内角和定理可得∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，利用角平分线的定义可得∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，从而得到∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，化简即可求解；②利用三角形的外角性质可得∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，从而得到∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，化简即可求解；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，即可求出∠A，利用三角形内角和定理可得∠MBC+∠NCB，再利用角平分线的性质可得∠CBE+∠BCE，利用三角形内角和定理可得∠E，再由（2）②可知∠F＝∠E，求解即可．【解答】解：（1）∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠D＝90°+∠A；（2）①∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝90°﹣∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD＝∠DBC，∠BCD＝∠DCF，∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝180°﹣2∠DBC，∠ACB＝180°﹣2∠DCB，∴∠A+180°﹣2∠DBC+180°﹣2∠DCB＝180°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠D，∴∠A﹣2（∠DBC+∠DCB）＝﹣180°，∴∠A﹣2（180°﹣∠D）＝﹣180°，∴∠A+2∠D＝180°，∴∠D＝90°﹣∠A，故答案为：∠D＝90°﹣∠A；②∠D与∠A之间的等量关系是：∠D＝∠A，理由如下：∵BD、CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∠A+2∠DBC＝2∠DCE，∴∠A+2∠DBC＝2∠DBC+2∠D，∴∠A＝2∠D，∴∠D＝∠A；（3）由（1）知：∠D＝90°+∠A，∵∠A＝80°，∴∠D＝130°，∴∠DBC+∠DCB＝50°，∴∠MBC+∠NCB＝360°﹣50°＝310°，∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，∴∠CBE+∠BCE＝（∠MBC+∠NCB）＝155°，∴∠E＝180°﹣155°＝25°．由（2）②知：∠F＝∠E，∴∠F＝∠E＝12.5°，故答案为：12.5°．【点评】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义．21．（2021秋•信丰县校级月考）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数，只要求出∠D+∠1+∠2的度数，利用三角形外角性质得，∠1＝∠A+∠E，∠2＝∠B+∠C；在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【解答】解：∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＝∠A+∠E．∵∠2是△BOC的外角，∴∠2＝∠B+∠C．在△DOF中，∠D+∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠D+∠1+∠2＝180°．【点评】考查三角形外角性质与内角和定理．将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E拼凑在一个三角形中是解题的关键．22．（2020秋•兴义市校级月考）（1）如图1，这是一个五角星ABCDE，你能计算出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数吗？为什么？（必须写推理过程）（2）如图2，如果点B向右移动到AC上，那么还能求出∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的大小吗？若能结果是多少？（可不写推理过程）（3）如图，当点B向右移动到AC的另一侧时，上面的结论还成立吗？（4）如图4，当点B、E移动到∠CAD的内部时，结论又如何？根据图3或图4，说明你计算的理由．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠D＝∠1，在△BCE中，利用三角形的内角和列式计算即可得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解；（4）延长CE与AD相交，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，然后利用三角形的内角和定理列式即可得解．【解答】解：（1）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（2）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠D＝∠1，∵∠1+∠DBE+∠C+∠E＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°；（3）如图，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠D＝∠2，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；（4）如图，延长CE与AD相交，由三角形的外角性质，∠A+∠C＝∠1，∠B+∠E＝∠2，∵∠1+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形内角和定理，比较简单，关键在于准确识图，理清图中各角度之间的联系与转化．23．（2022秋•冷水滩区校级月考）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC＝∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠OCD＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠ABC＝∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC＝∠A+∠OBC﹣∠OBC＝∠A；（2）探究3：结论∠BOC＝90°﹣∠A．根据三角形的外角性质，∠DBC＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∵O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠BCE，∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°+∠A，在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）拓展：结论∠BOC＝（∠A+∠D）．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝（360°﹣∠A﹣∠D），∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣∠A﹣∠D），在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）＝（∠A+∠D），即∠BOC＝（∠A+∠D）．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠PBC+∠PCB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°；③∠Q＝2∠E；④∠E＝2∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】（1）解：∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×100°＝130°，（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝（180°+∠A）＝90°+∠A∴∠Q＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A；（3）延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝2∠E＝90°，则∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，则∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，则90°﹣∠A＝∠A，解得∠A＝60°；④∠E＝2∠Q，则∠A＝2（90°﹣∠A），解得∠A＝120°．综上所述，∠A的度数是90°或60°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．五．多边形内角与外角（共6小题）25．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n＝；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n ＝．【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【解答】解：这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1800°，解得：n＝12，则这个多边形是12．如果一个n边形每一个内角都是135°，∴每一个外角＝45°，则n＝＝8，如果一个n边形每一个外角都是36°，则n＝＝10，故答案为：十二，8，10．【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．26．（2021秋•河东区校级期末）如图，AD，CE是△ABC的两条高，它们相交于点P，已知∠BAC的度数为α，∠BCA的度数为β，则∠APC的度数是．【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可．【解答】解：∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣（α+β），∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝90°﹣[180°﹣（α+β）]＝α+β﹣90°，∴∠APC＝∠AEC+∠BAD＝α+β故填α+β．【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起．27．（2021秋•仙桃校级月考）如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC．（1）五边形ABCDE的内角和为度；（2）若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出即可；（2）求出∠EAB+∠ABC，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA，即可求出答案．【解答】解：（1）五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，故答案为：540；（2）∵在五边形ABCDE中，∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E＝540°，∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，∴∠EAB+∠ABC＝230°，∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝115°，∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝65°．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的内角和定理是解此题的关键．28．（2022秋•礼县月考）小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2620°．（1）求这个多加的外角的度数；（2）求这个多边形的边数．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°＝2620°﹣α，∵2620°＝14×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∴小明多加的一个外角为100°，∴这是14+2＝16边形的内角和．故这个多加的外角的度数为100°，这个多边形的边数是16．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式判断出多边形的内角和公式是180°的倍数是解题的关键．29．（2020秋•夏津县校级月考）如图，AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．（1）判断∠AOB与∠COD有怎样的数量关系，为什么？（2）若∠AOD＝∠BOC，AB、CD有怎样的位置关系，为什么？【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，根据四边形的内角和即可得到结论；（2）由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，得到∠AOD+∠BOC＝180°，根据角平分线的定义得到∠BAD+∠ADC＝180°，由平行线的判定定理即可得到结论．【解答】解：（1）∠AOB+∠COD＝180°，理由：∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠1＝DAB，∠2＝ABC，∠3＝ADC，∠4＝BCD，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝（∠DAB+∠ABC+∠ADC+∠BCD）＝＝180°，∴∠AOB+∠COD＝360°﹣∠1﹣∠2﹣∠3﹣∠4＝180°；（2）AB∥CD；理由：由（1）证得∠AOB+∠COD＝180°，∴∠AOD+∠BOC＝180°，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠AOD＝90°，∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，∴∠OAD+∠ADO＝（∠BAD+∠ADC）＝90°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∴AB∥CD．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，平行线的判定，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．30．（2019秋•广丰区校级月考）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题．（1）探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若∠A＝70°，则∠BPC＝度；（2）探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系？并说明理由．（3）拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D ＝α．①直接写出∠BPC与α的数量关系；②根据α的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）．。
初中数学三角形的高、中线和角平分线提高训练5套(能力题含答案)
三角形的高、中线和角平分线提高训练5套（能力题）能力训练（1）1．下列说法中正确的是（ ）A ．三角形的三条高都在三角形内B ．直角三角形只有一条高C ．锐角三角形的三条高都在三角形内D ．三角形每一边上的高都小于其他两边2．（易错题）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（ ）3.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误的是（ ） A ．BD 是△ABC 的角平分线 B ．CE 是△BCD 的角平分线C ．132ACB ∠=∠ D ．CE 是△ABC 的角平分线4．如图，若已知AE 平分∠BAC ，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，则∠3的度数为________，以AE 为角平分线的三角形还有________．5．如图所示：（1）在△ABC 中，BC 边上的高是________； （2）在△AEC 中，AE 边上的高是________.6．如图所示，△ABC 的高AD ，BE ，CF 相交于点H ，过点F 作FG ⊥AC 交AC 于点G ，请说出△ABH ，△BCH ，△ACH ，△ACF 中各边上的高．7．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，DE ∥AC 交AB 于点E ，若∠EDA ＝∠EAD ，试说明AD 是△ABC 的角平分线.8．不等边△ABC 的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．（1）参考答案1．C 解析 锐角三角形的三条高都在三角形内，直角三角形有两条高恰是其直角边，故选C ． 2．C 解析 最长边上的高，应是过这条边所对的顶点来作它的垂线段，图形中只有C 选项是正确的，故选C ．3．D 解析 因为34∠=∠，CE 交BD 于点E ，所以CE 是△BCD 的角平分线，虽然CE 将∠ACB 分为两个相等的角，但CE 未与边AB 相交，所以CE 不是△ABC 的角平分线，故选D ．4．15° 解析 因为AE 平分∠BAC ，所以B A E C A E ∠=∠．又因为1215∠=∠=︒，所以12151530BAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，所以30CAE BAE ∠=∠=︒，即4330BAE ∠=∠+∠=︒，所以330151∠=︒-︒=︒．因为2315∠=∠=︒，所以AE 是△DAF 的角平分线．5．AB CD 解析 根据三角形的高的定义即可判断．6．解：在△ABH 中，FH 是AB 边上的高，AE 是BH 边上的高，BD 是AH 边上的高；在△BCH 中，HD 是BC 边上的高，CE 是BH 边上的高，BF 是CH 边上的高；在△ACH 中，HE 是AC 边上的高，CD 是AH 边上的高，AF 是CH 边上的高；在△ACF 中，FG 是AC 边上的高，CF 是AF 边上的高，AF 是CF 边上的高．7．解：∵DEAC ，∴EDA CAD ∠=∠．∵EDA EAD ∠=∠，∴CAD EAD ∠=∠， ∴AD 是△ABC 的角平分线． 8．它的长为5，或4．提示：设S △ABC ＝S ，第三条高为h ，则△ABC 的三边长可表示为：hSS S 212242、、，列不等式得：12242212242SS h S S S +<<- ∴3＜h ＜6．能力训练（2）1．若AD 是△ABC 的中线，则下列结论中错误的是（ ） A ．AD 平分∠BAC B ．BD ＝DC C ．AD 平分BC D ．BC ＝2DC2．已知D ，E 分别是△ABC 的边AC ，BC 的中点，那么下列说法不正确的是（ ） A ．DE 是△BCD 的中线 B ．BD 是△ABC 的中线 C ．AD ＝DC ，BE ＝EC D ．AD ＝EC ，DC ＝BE3．如图，△D 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，若CE ＝9 cm ，则BC ＝________cm ． 4．如图，BD 是△ABC 的中线，AB ＝6 cm ，BC ＝4 cm ，则△ABD 与△BCD 周长的差是________.5．如图所示，AE 和AF 分别是△ABD 和△ACD 的中线，根据条件填空．因为AE 是△ABD 的中线（已知），所以1______________________2==.因为AF 是△ACD 的中线（已知），所以1______________________2==.所以111__________________222EF =+=6．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AD 的中点，S △ABC ＝24 cm 2，求S △ABE ．7．在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 边上的中线BD 把△ABC 的周长分为12 cm 和15 cm 两部分，求三角形的各边长．8．已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，如果D 点把三角形ABC 的周长分为12cm 和15cm 两部分，求此三角形各边的长．9．将一个三角形剖分成若干个面积相等的小三角形，称为该三角形的等积三角形的剖分(以下两问要求各画三个示意图)(1)已知一个任意三角形，并其剖分成3个等积的三角形． (2)已知一个任意三角形，将其剖分成4个等积的三角形．（2）参考答案1．A 解析 AD 是△ABC 的中线，它不一定平分∠BAC ．2．D 解析 由三角形的中线定义可知A ，B 选项正确；由题意可明显得出AD DC =，BE EC =，C 选项正确．故选项D 错误．3．12 解析 ∵AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，∴12CD BD BC ==，12DE BD =， ∴34CE DE CD BC =+=．∵9cm CE =，∴12cm BC =．4．2cm 解析 因为BD 是△ABC 的中线，所以A D C D =，所以△ABD 与△BCD 的周长差是()()()642cm AB BD AD BC BD DC AB BC ++-++=-=-=．5．BE DE BD CF FD CD BD CD BC6．解：由D ，E 分别是BC ，AD 的中点，且等底同高的三角形面积相等，得()2112412cm 22ABD ADC ABC S S S ∆∆∆===⨯=，ABE DBE S S ∆∆=，所以()211126cm 22ABE ABD S S ∆∆==⨯=7．解：设cm AB AC x ==．则1cm 2AD DC x ==．（1）若12cm AB AD +=， 即1122x x +=，则8x =， 所以8cm AB AC ==，4cm DC =．故()15411cm BC =-=．此时，AB AC BC +>，三角形存在．所以三角形的三边长分别为8cm ，8cm ，11cm ．（2）若15cm AB AD +=，即1152x x +=，则10x =，所以5cm DC =，故()1257cm BC =-=． 显然，此时三角形存在，所以三角形三边长分别为10cm ，10cm ，7cm ． 综上所述，此三角形的三边长分别为8cm ，8cm ，11cm 或10cm ，10cm ，7cm ． 8．提示：有两种情况，分别运用方程思想，设未知数求解． ⎩⎨⎧===,11,8BC AC AB 或⎩⎨⎧===.7,10BC AC AB 9．(1)(2)下列各图是答案的一部分：能力训练（3）1．如图，在△ABC中，BD为角平分线，且∠ABC＝60°，则∠ABD的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．15°2．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，则图中相等的角有________，相等的线段有________.5．如图，AD，BE分别是△ABC中BC，AC边上的高，AD＝4cm，BC＝6 cm，AC＝5 cm，则BE＝________.6．如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，3），B点坐标为（5，0），则△AOB的面积为________．7．有一块肥沃的三角形土地ABC，其中一边与灌渠相邻，如图，政府要将这块地按人口数分给甲、乙、丙三家，若甲家有3口人，乙家有3口人，丙家有6口人，且每家所分土地与灌渠相邻，请你帮忙设计一个合理的分配方案．8．如图所示，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，试分别画出三条边的中线，然后探究三条中线的位置关系，你发现了什么？9．如图，AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．请问：（1）DO是∠EDF的平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（2）若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分线，DE∥AB，DF∥AC中的任何一个条件交换，所得命题正确吗？若正确，请选择一个证明．（3）参考答案1．C 解析 因为BD 为角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，而60ABC ∠=︒，所以1302ABD ABC ∠=∠=︒．2．B 解析 ∵BD 是△ABC 的中线，∴162ABD CBD ABC S S S ∆∆∆===．∵2EC BE =，∴2AEC ABE S S ∆∆=，∴143AEE ABC S S ∆∆==，∴()642ADF BEF ADF ABF BEF ABF ABD ABE S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆-=+-+=-=-=．3．B 解析 由12∠=∠知AD 平分∠BAE ，但AD 不是△ABE 的线段，故①错误，而正确的说法为AD 为△ABC 的角平分线；BE 经过△ABD 的边AD 的中点G ，但BE 不是△ABD 内的线段，故②错误，而正确的说法为BG 为△ABD 的边AD 上的中线；由于CF AD ⊥于点H ，所以CH 是△ACD 的边AD 上的高，故③正确；AH 平分∠FAC ，且H 在△AFC 的边FC 上，因而AH 为△AFC 的角平分线，又因为AH FC ⊥，故AH 也为△AFC 的高，所以④正确．4．BAE CAE ∠=∠，ADB ADC ∠=∠ B F C F = 解析 ∵AE 是△ABC 的角平分线，∴BAE CAE ∠=∠．∵AD 是△ABC 的高，∴90ADB ADC ∠=∠=︒．∵AF 是△ABC 的中线，∴BF CF =．5．24cm 5解析 由1122BC AD AC ⋅=，得1164522BE ⨯⨯=⨯⨯，得24cm 5BE =．6．7.5 解析 如图，过A 点作AD x ⊥轴于点D ，则D 点坐标为（3，0），3AD =，所以11537.522ACB S OB AD ∆=⋅=⨯⨯=．7．解：因为人口数分别为3，3，6，且336+=，所以先找△ABC 的边BC 上的中线AD ，AD 将△ABC 分成两部分：△ABD 和△ADC ．若将△ADC 分给丙家，则将△ABD 分给甲、乙两家，由于甲、乙两家人口数相等，因此找△ABD 的边BD 上的中线AE ，AE 将△ABD 分成相等的两部分：△ABE 和△AED ．可将△ABE 分给甲家，△AED 分给乙家．如图所示．8．解：如图所示，由图中的信息可知：①三角形ABC的三条中线相交于一点；②三条中线交点到对边中点的距离等于它到对应顶点距离的一半．9．思路建立（1）要说明DO是∠EDF的平分线，则需说明EDA ADF∠=∠，根据角平分线的性质及平行线的性质进行等量代换即可．（2）与（1）的求证过程类似．解：（l）DO是∠EDF的平分线．证明：∵AD是∠CAB的平分线，∴EAD FAD∠=∠．∵DE AB，DF AC，∴EDA FAD∠=∠．∠=∠，FAD EAD∴EDA ADF∠=∠，∴DO是∠EDF的平分线．（2）①若与AD是∠CAB的平分线交换，正确．理由与（1）中证明过程类似．②若与DE AB交换，正确．理由：∵DF AC，∴FAD EAD∠=∠．∵AD是∠CAB的平分线，∴EAD FAD∠=∠．∠=∠．∴FAD FDA又∵DO是∠EDF的平分线，∴EDA FDA∠=∠，∴DE AB．∠=∠，∴EDA FAD③若与DF AC交换，正确，理由与②类似．能力训练（4）1.已知等腰△ABC的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或62.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形的周长可能是( )A.19B.20C.25D.303.已知三角形三边的长分别为1、2、x,则x的取值范围在数轴上表示为( )4.如果a,b,c为三角形的三边长,且(a-b)2+(a-c)2+|b-c|=0,则这个三角形是.5.已知a、b、c为△ABC的三边长,b、c满足(b-2)2+|c-3|=0,且a为方程|a-4|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.6.三角形两边之和为8,第三边上的高为2,面积大于5,则第三边a的范围是( )A.2<a<8B.5<a<8C.2<a<5D.不能确定7.一个三角形3条边长分别为x cm、(x+1)cm、(x+2)cm,它的周长不超过39 cm,则x的取值范围是.8.一个等腰三角形的周长为9,三条边长都为整数,则等腰三角形的腰长为.9.已知a,b,c是三角形的三边长.(1)化简:|b+c-a|+|b-c-a|-|c-a-b|-|a-b+c|;(2)在(1)的条件下,若a,b,c满足a+b=11,b+c=9,a+c=10,求这个式子的值.10.(2018浙江义乌月考,10,★★☆)边长为整数,周长为20的三角形个数是( )A.4B.6C.8D.1211.(2017山东泰安新泰中考模拟,16,★★★)已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5,且它又不是最短边,则满足条件的三角形个数为( )A.4B.6C.8D.1012.(2018天津西青区期末,21,★★★)如图,△ABC中,A1,A2,A3,…,A n为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形,……(1)完成下表:6(2)若出现了45个三角形,则共连接了多少个点?(3)若一直连接到A n,则图中共有个三角形.13.(2016江苏盐城中考,8,★★☆)若a、b、c为△ABC的三边长,且满足|a-4|+=0,则c的值可以为( )A.5B.6C.7D.814.(2016贵州安顺中考,5,★★☆)已知实数x,y满足|x-4|+=0,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )A.20或16B.20C.16D.以上答案均不对15.若a、b、c为三角形的三边,且a、b满足+(b-2)2=0,则第三边c的取值范围是.16.如图,用四个螺丝钉将四条不可弯曲的木条钉成一个木框,不计螺丝钉大小,其中相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两个螺丝钉间的距离的最大值为( )A.6B.7C.8D.1017.不能构成三角形的三条整数长度的线段的长度和的最小值为1+1+2=4;若四条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该四条线段的长度和的最小值为1+1+2+3=7;……,依此规律,若八条整数长度的线段中,任意三条不能构成三角形,则该八条线段的长度和的最小值为.（4）参考答案1.A ∵|AC-BC|=2,∴AC-BC=±2,∵等腰△ABC的底边BC=8,∴AC=10或6.故选A.2.C 设第三边的长为x,∵三角形两边的长分别是4和10,∴10-4<x<10+4,即6<x<14.则三角形的周长L满足20<L<28,只有C选项中25符合题意.3.A ∵三角形的三边长分别是x,1,2,∴x的取值范围是1<x<3,故选A.4.答案等边三角形解析∵(a-b)2+(a-c)2+|b-c|=0,∴a-b=0,a-c=0,b-c=0,∴a=b,a=c,b=c,∴a=b=c,∴这个三角形是等边三角形.5.解析∵(b-2)2+|c-3|=0,∴b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3,∵a为方程|a-4|=2的解,∴a-4=±2,解得a=6或2,∵a、b、c为△ABC的三边长,b+c<6,∴a=6不合题意,舍去,∴a=2,∴△ABC 的周长为2+2+3=7,△ABC是等腰三角形.6.B ∵三角形两边之和为8,第三边为a,∴a<8,∵第三边上的高为2,三角形的面积大于5,∴a>5,∴5<a<8,故选B.7.答案1<x≤12解析∵一个三角形的3条边长分别是x cm,(x+1)cm,(x+2)cm,它的周长不超过39 cm,∴解得1<x≤12.8.答案3或4解析设腰长为x,则底边长为9-2x.∵9-2x-x<x<9-2x+x,∴2.25<x<4.5,∵三边长均为整数,∴x可取的值为3或4.9.解析(1)∵a、b、c为三角形三边的长,∴a+b>c,a+c>b,b+c>a,∴原式=|(b+c)-a|+|b-(c+a)|-|c-(a+b)|-|(a+c)-b|=b+c-a+a+c-b-a-b+c+b-a-c=2c-2a.(2)∵a+b=11①,b+c=9②,a+c=10③,∴由①-②,得a-c=2④,由③+④,得2a=12,∴a=6,∴b=11-6=5,c=10-6=4.当a=6,b=5,c=4时,原式=2×4-2×6=-4.10.C 8个,分别是:(9,9,2),(8,8,4),(7,7,6),(6,6,8),(9,6,5),(9,7,4),(9,8,3),(8,7,5).故选C.11.D ①当5是最大的边长时,可能的情况有3、4、5;4、4、5;3、3、5;4、2、5,共四种情况.②当5是第二大的边长时,可能的情况有2、5、6;3、5、7;3、5、6;4、5、6;4、5、7;4、5、8,共六种情况.所以共有10个三角形.故选D.12.解析(1)62(2)共连接了8个点.(3)1+2+3+…+(n+1)=[1+2+3+…+(n+1)+1+2+3+…+(n+1)]=(n+1)(n+2).故填(n+1)(n+2).13.A ∵|a-4|+=0,∴a-4=0,b-2=0,∴a=4,b=2,则4-2<c<4+2,即2<c<6,故选A.14.B 根据题意得解得(1)若4是腰长,则三角形的三边长为4、4、8,不能组成三角形;(2)若4是底边长,则三角形的三边长为4、8、8,能组成三角形,周长为4+8+8=20.故选B.15.答案1<c<5解析由题意得,a2-9=0,b-2=0,解得a=3,b=2,∵3-2=1,3+2=5,∴1<c<5.16.B 已知相邻两螺丝钉间的距离依次为2、3、4、6,故可将4根木条的长看作2、3、4、6.①选5(2+3=5)、4、6作为三边长,5-4<6<5+4,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为6;②选7(3+4=7)、6、2作为三边长,6-2<7<6+2,能构成三角形,此时两个螺丝钉间的最大距离为7;③选10(4+6=10)、2、3作为三边长,2+3<10,不能构成三角形,此种情况不成立;④选8(6+2=8)、3、4作为三边长,3+4<8,不能构成三角形,此种情况不成立.综上所述,任意两个螺丝钉间的距离的最大值为7.故选B.17.答案54 解析1+1+2+3+5+8+13+21=54.能力训练（5）一、单选题(共14道，每道7分)1.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形的三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形的三条中线交于一点2.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线3.如图，△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC的高B.FC是△BCF的高C.BE是△ABC的高D.BE是△ABE的高4.如图，在△ABC中，作BC边上的高，下列选项中正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E，F为AB上的一点，CF⊥AD于H．则下列判断正确的个数是( )①AD是△ABE的角平分线；②BG是△ABD的中线；③CH为△ACD中AD边上的高.A.1个B.2个C.3个D.0个6.如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于E，∠BAC=60°，∠C=80°，则∠EOD的度数为( )A.20°B.30°C.10°D.15°7.如图，已知BD是△ABC的中线，AB=5，BC=3，△ABD和△BCD的周长的差是( )A.2B.3C.6D.不能确定8.有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.49.已知三角形的三边长分别是3，8，x；若x的值为偶数，则x的值有( )A.6个B.5个C.4个D.3个10.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( )A.7B.8C.9D.1011.已知三角形的两边分别为3和8，且周长为偶数，则周长为( )A.大于5，小于11B.18C.20D.18或2012.一个三角形的两边分别是5和11，若第三边是整数，则这个三角形的最小周长是( )A.21B.22C.23D.2413.已知等腰三角形的周长为16，其中一边长为3，则该等腰三角形的腰长为( )A.3B.10C.6.5D.3或6.514.已知等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边为( )A.7B.3C.7或3D.8（五）参考答案1.D2. D3.A4. C5.B6.A7.A8.C9.D10.C11.D12.C13.C14.B。
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三角形的角平分线、中线和高的专题训练50题1. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若BD=DC，求证：∠B=∠C。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
根据等边三角形的性质可知∠B=∠C。
2. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=30°，求∠B和∠C的度数。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
由于∠BAD=30°，所以x=30°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
又由等边三角形的性质可知∠B=∠C，即∠B=∠C=75°。
3. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAD=80°，求∠ABC的度数。
【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。
由于∠BAD=80°，所以x=80°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$又由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
由等边三角形的性质可知∠ABC=∠ACB，设∠ABC=∠ACB=y，则∠ADB=∠ADC=180°-2x=20°。
再由三角形内角和为180°可知∠B+∠ADC=180°，即y+20°=180°，解得y=160°。
所以∠ABC=∠ACB=160°。
4. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠B=70°,∠C=50°，求∠BAD的度数。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
由于∠B=70°，∠C=50°，所以∠A=180°-∠B-∠C=60°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
通过正弦定理可知：$\frac{AB}{\sin∠B}=\frac{AC}{\sin∠C}$代入已知值可得$\frac{AB}{\sin70°}=\frac{AC}{\sin50°}$，化简得$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin70°}{\sin50°}$，由于AB=AC，所以$\frac{\sin70°}{\sin50°}=1$，解得$\frac{\sin70°}{\sin50°}=1$。
根据正弦函数性质可知$\sin70°=\sin(180°-70°)=\sin110°$。
所以$\sin110°=\sin50°$，∠BAD=110°。
5. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠BAC=120°，求∠BAD的度数。
【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。
由于∠BAC=120°，所以∠A=180°-∠BAC=60°。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
通过正弦定理可知：$\frac{AB}{\sin∠B}=\frac{AC}{\sin∠C}$代入已知值可得$\frac{AB}{\sin120°}=\frac{AC}{\sin∠C}$，化简得$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin120°}{\sin∠C}$，由于AB=AC，所以$\frac{\sin120°}{\sin∠C}=1$，解得∠C=120°。
而∠C=180°-∠A-∠BAD=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD，所以120°-∠BAD=120°，解得∠BAD=0°。
6. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若AD=BD=CD，求证：∠A=∠B=∠C。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，由于角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，所以AD是△ABC的角平分线。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
又因为AD=BD=CD，所以△ABC是等边三角形。
等边三角形的性质是三个内角都相等，即∠A=∠B=∠C。
7. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠BAD=∠ACD，求证：△ABC是等腰三角形。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于∠BAD=∠ACD，所以x=x。
因此$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
所以△ABC是等腰三角形。
8. 在△ABC中，角B的角平分线交对边AC于点D，若∠B=60°，求∠BAD的度数。
【解答】设∠BAD=∠DAC=x，根据题意可知角B的角平分线AD相交对边AC于点D。
由于∠B=60°，所以∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-∠C=120°-∠C。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
通过正弦定理可知：$\frac{AB}{\sin∠B}=\frac{AC}{\sin∠A}$代入已知值可得$\frac{AB}{\sin60°}=\frac{AC}{\sin(120°-∠C)}$，化简得$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin60°}{\sin(120°-∠C)}$，由于AB=AC，所以$\frac{\sin60°}{\sin(120°-∠C)}=1$，解得$\sin60°=\sin(120°-∠C)$，即$\sin60°=\sin(120°-∠C)$。
由于$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(120°-∠C)$。
根据正弦函数的性质可知$\sin(120°-∠C)=\sin(∠C-60°)$，所以$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(∠C-60°)$。
根据正弦函数的性质再次可知$\sin(∠C-60°)=\sin(60°-∠C)$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin(60°-∠C)$，所以60°-∠C=30°，解得∠C=30°。
所以120°-∠C=90°，所以∠BAD=90°。
9. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，若∠A=120°，求∠B、∠C的度数。
【解答】设∠BAD=∠CAD=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D。
由于∠A=120°，所以∠B=180°-∠A-∠C=180°-120°-∠C=60°-∠C。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=CD，所以$\frac{AB}{AC}=1$，即AB=AC。
通过正弦定理可知：$\frac{AB}{\sin∠B}=\frac{AC}{\sin∠C}$代入已知值可得$\frac{AB}{\sin(60°-∠C)}=\frac{AC}{\sin∠C}$，化简得$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(60°-∠C)}{\sin∠C}$，由于AB=AC，所以$\frac{\sin(60°-∠C)}{\sin∠C}=1$。
根据正弦函数的性质再次可知$\sin(60°-∠C)=\sin(∠C-60°)$，所以$\frac{\sin(60°-∠C)}{\sin60°}=\frac{\sin(∠C-60°)}{\sin60°}$。
根据正弦函数的性质可知$\sin60°=\sin(180°-60°)=\sin120°$，所以$\frac{\sin(60°-∠C)}{\sin120°}=\frac{\sin(∠C-60°)}{\sin60°}$，即$\sin(60°-∠C)=\sin(∠C-60°)$。
由于$\sin(60°-∠C)=\sin∠C$，所以$\sin∠C=\sin(∠C-60°)$。
根据正弦函数的性质可知$\sin(∠C-60°)=\sin(60°-∠C)$，所以$\sin∠C=\sin(60°-∠C)$。
根据正弦函数的性质再次可知$\sin(60°-∠C)=\sin∠C$，即$60°-∠C=∠C$，解得∠C=30°。
代入∠B=60°-∠C可得∠B=60°-30°=30°。
所以∠B=∠C=30°。
10. 在△ABC中，角A的角平分线交对边BC于点D，AD=3cm，BD=4cm，求DC的长度。
【解答】设DC=x，根据题意可知角A的角平分线BD、CD分别相交对边BC于点D，又已知AD=3cm，BD=4cm。
根据角平分线定理可知：$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$由于BD=4cm，CD=x，所以$\frac{4}{x}=\frac{AB}{AC}$，即$\frac{4}{x}=\frac{3+AB}{AC}$。