一元二次方程的几种解法复习课程
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一元二次方程的几种解法
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得
x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150.
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0)
（１）化为一般形式后， （２）二次项的系数是否为0
是判断一元二次方程的关键.
例１、方程 3 x x 1 2 x 2 8 是否
为一元二次方程？如果不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项.
去括2号 x2： 6x2x21
合并同 类 6x项 1.：
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21（不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
(a≠0, b≠0, c≠0)
写成（）2 的形式，得
x22 5.
Байду номын сангаас
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
怎样配方：常数项是一次项 系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
解：
3x21x230.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一次项 x24x414.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３， 一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项：
x （1） 2 3 x 2 0 . 答：a=1, b=3, c= -2.
解：x 8, x 2 2.
2x2=9.
解： x 2 9 ,
2
x 9, 2
x3 2, 2
x1
32 2
, x2
32 2
.
-3x2+7=0.
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
x22 5.
将(x-2)看作一个
x22 5.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
x24x10.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
1、只含一个未知数的 一元方程；
2、未知数的最高次数是2的 二次方程；
3、整式方程.
x2 5x150 x25x150 (x3)2 7 x26x20
3x25x0 1 x2 1 0
2 4x2 0
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21
系数一半的平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
解：
练习 x26x ： 70.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
x2=8.
整体, 开平方，得: x2 5.
x2 5.
即 x 1 ： 25 ,x 2 25 .
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次2方程，得
2
x1 2 , 10
（2）2x25x30.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3）3x25x2. 3x25x20.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2 x 1 3 x 2 3 .6x24x3x23,
6x2x50.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
2x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
5x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
-3x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
ax2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
4x2=36,
解：x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
4x2-36=0. 解： 4x2=36,
x2 2
10 .
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
x24x45.
x22 5.
写成（）2 的形式，得
x24x45.
x22 5.
x24x1.
写成（）2 的形式，得
x24x45.
引例
剪一块面积为150cm2的长方形铁片，使 它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？ 解：设这块铁片的宽为x cm，那么它的 长为（x+5) cm. 根据题意，得
x（x+5)=150. 去括号，得 x2+5x=150.
一、一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最 高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.
ax2+bx=0 (a≠0,b≠0)
一元二次方程 ax2+c=0 (a≠0,c≠0)
ax2=0 (a≠0)
（１）化为一般形式后， （２）二次项的系数是否为0
是判断一元二次方程的关键.
例１、方程 3 x x 1 2 x 2 8 是否
为一元二次方程？如果不是，说明理由； 如果是，指出它的二次项、一次项系数 及常数项.
去括2号 x2： 6x2x21
合并同 类 6x项 1.：
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21（不是二次方程）
一元二次方 程的一般形式
完全的一元二次方程
ax2+bx+c=0
ax2+bx+c=0
(a≠0)
不完全的
(a≠0, b≠0, c≠0)
写成（）2 的形式，得
x22 5.
Байду номын сангаас
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
怎样配方：常数项是一次项 系数一半的平方.
a2±2ab+b2=(a±b)2.
解：
3x21x230.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一次项 x24x414.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
移项：将常数项移到等号一边，得 x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
解：去括号，得 3x2-3x=2x+4+8. 移项，得 3x2-3x-2x-4-8=0.
合并同类项，得 3x2-5x-12=0.
∴原方程是一元二次方程；二次项系数是３， 一次项系数是 - 5，常数项是 – 12.
练习：说出下列方程的二次项系数、一 次项系数和常数项：
x （1） 2 3 x 2 0 . 答：a=1, b=3, c= -2.
解：x 8, x 2 2.
2x2=9.
解： x 2 9 ,
2
x 9, 2
x3 2, 2
x1
32 2
, x2
32 2
.
-3x2+7=0.
解： 3 x 2 7 ,
x2 7 , 3
x 7, 3
x 21 , 3
x1
21 3
,x2
21 . 3
x22 5.
将(x-2)看作一个
x22 5.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
x24x10.
x24x1.
配方：左右两边同时加上一个常 x24x414.
数，凑成完全平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
解：
x24x10.
1、只含一个未知数的 一元方程；
2、未知数的最高次数是2的 二次方程；
3、整式方程.
x2 5x150 x25x150 (x3)2 7 x26x20
3x25x0 1 x2 1 0
2 4x2 0
2 x2
5
3
x x5
（不是整式方程） （不是整式方程）
x22y30（不是一元方程）
2xx32x21
系数一半的平方，得
x24x45.
写成（）2 的形式，得
x22 5.
开平方，得
x2 5.
x125,x225.
解这两个方程，得
解：
练习 x26x ： 70.
二次项系数化1：两边同时
除以二次项系数，得
移项：将常数项移到等号一边，得
配方：左右两边同时加上一次项
系数一半的平方，得
x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
形如 ax2c0（a≠0，c ≠ 0）的 一元二次方程的解法：
ax2 c.
x2 c .
a
当ac<0时 ， x
c.
a
当ac＞0时 ，此方程无实数解.
解法1、直接开平方法
如 x2=8, 2x2=9, -3x2+7=0,……等等.
x2=8.
整体, 开平方，得: x2 5.
x2 5.
即 x 1 ： 25 ,x 2 25 .
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
2x225.
解：系数化1，得 x 22 5,
2
开平方，得
x2
5.
2
x 2 10 或 x 2 10 .
2
2
解这两个一元一次2方程，得
2
x1 2 , 10
（2）2x25x30.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3）3x25x2. 3x25x20.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4）2 x 1 3 x 2 3 .6x24x3x23,
6x2x50.
答：a=6, b=1, c= -5.
例2、 已知：关于x的方程
(2m-1)x2-(m-1)x=5m
是一元二次方程, 求：m的取值范围. 解：∵ 原方程是一元二次方程， ∴ 2m-1≠0，
1 ∴ m≠ 2 .
二、一元二次方程的解法
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
2x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
5x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
-3x2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
形如 ax2=0 (a≠0) 的一元二次方程的解法：
ax2=0,
解：x2=0，
∴ x=0.
4x2=36,
解：x2=9，
∴ x=±3.
即x1=3, x2= -3.
4x2-36=0. 解： 4x2=36,
x2 2
10 .
解法1：直接开平方法
凡形如 ax2+c=0 (a≠0, ac<0) 或 a(x+p)2+q=0 (a≠0, aq<0)
的一元二次方程都可用直接开平方法解.
x24x45.
x22 5.
写成（）2 的形式，得
x24x45.
x22 5.
x24x1.
写成（）2 的形式，得
x24x45.