报童模型

缺货损失厌恶的报童问题

摘要：报童问题是随机存贮管理的基本问题之一。在预期理论的框架下，我们通过引入损失厌恶参数，基于损失期望最小原则，对经典的报童问题进行了重新思考，给出了缺货损失厌恶的报童的最优定货量的计算公式及订购量与期望损失关系的数学模型.

关键词：存贮管理；预期理论；期望损失

1、引言

不确定性决策一直都是决策理论的基本问题之一。报童问题是随机存贮理论的基本模型之一，国内外关于报童问题的研究已有很长一段时间，人们也从不同的角度得出了一些令大家可接受且比较满意的方案和数学模型。如Tsan rt.al[1]提出报童问题的均值方差模型，并且得出如果报童可能最大化期望利润，使得利润方差受到限制，那么其最佳订购量总是小于经典报童问题的订购量；Schweitzer, Cachon[2] 提出效用最大化的报童问题，且得出基于偏爱的不同而有不同的效用函数，（这些偏爱对报童的决策进程有着重要影响）；Eeckhoudt et.al[5]研究了风险及风险厌恶对报童问题的效应；Porteus[5]通过对敏感度的定量分析，研究了带风险效用和风险厌恶的报童问题；文平[6]关于损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解一文，基于Kahneman 和Tversky[6]于1979年提出的预期理论，也得出了比较理想的模型。然而他们中的多数都是从获利期望值最大和期望效用理论的角度来考察的。但是，报童问题也是一种经典的单阶段存贮问题。对报童而言，他每一天的报纸都有三种结果：报纸卖不完、不够卖、刚好够卖。这三种结局只有最后一种情况下才能达到报童的最大利润，因为报童的最大利润是订购量刚好和市场需求一致，即刚好够卖，也刚好卖完。在过去关于报童问题的种种模型中，都很少考虑到报纸不够卖，即脱销的情况，此时大多是以刚好满足市场需求的情况来处理。其实不然，对于这类薄利多销的报童问题而言，他们都不希望自己是做保本生意，都希望充分利用好市场，最大限度地获取利润。因而，当报纸不够卖的时候，报童也就失去了更多赚取利润的机会，这相对于报童来说也是一种损失，往往这种损失就相当于卖一份报纸所获得的利润。这种利润也往往大于报童因报纸卖不完时的处理价。因而，报童更不愿意看到这种情况发生。尤其在市场竞争极其激烈的今天，多数报童宁愿有部分报纸剩余，也不愿意每天过早的退出市场。一个简单的例子，两个报童A和B，市场共需要100份报纸，两个人平分的话一个可以卖50份，但是如果A预定了45份，B预定了60份，根据假设，A不够卖，而B剩余5份。假如报纸定价都是0.2元，每卖出一份赚0.3元，卖

⨯=元，而B赚了剩一份赔0.1元。那么对A而言，他赚了450.313.5

⨯+⨯-⨯=元，比A就多赚了2.5元。而显然在A的订购量不变的前550.550.1600.216

⨯=元，比上述两种情况都要优。故导提下，B的最佳订购量是55份，此时赚550.316.5

致报童损失有两种情况，一种是脱销而造成的损失，另一种是报纸有剩余造成的损失。这种类似报童的单阶段存贮问题中，不缺货的情况下还应考虑租赁仓库存储时的费用。此文为讨论方便，我们先不讨论这部分费用所造成的损失。

由于市场需求的随机性，导致了报童在决策订购量时难以把握。当订购量大于销售量时，会因买不出去而导致损失；当订购量小于销售量时会因缺货而造成损失。因而只有当销售量等于需求量时，报童才不会有损失，此时的报童也获得了最大利润。那么，报童决策的核心就是如何去使得订购量接近于销售量，如何最大限度去减少自己的损失。本文同样在预期理论框架下基于损失最小的角度出发对报童问题进行了探讨，得到了报童问题的最优解。２、连续模型

关于预期理论与期望效用理论的主要区别在[6-10]中已做了详细阐述。在不确定性决策

中，我们通过上例可以看出：报童要想获得更多利润，要想抓住更多获取利润的机会，他们对缺货造成的损失反映更为强烈，因此，我们从最小损失的角度出发，寻求使得报童损失最小的方案，并且还建立了模型，最后做必要的比较静态分析。Kahneman 和Tversky[6]给出了如下形式的效用函数。

0()(),0x x v x x x αβλ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩， （1）

其中参数λ描述损失厌恶程度，αβ，由测试所的、所失的敏感。当1αβ==时，此时的

()v x 称为纯粹的损失厌恶效用函数，

Benartzi Thaler(1995)[11]用如下的效用函数讨论单个博彩与多个博彩吸引的差异性。

,0() 2.5,0x x v x x x ≥⎧=⎨<⎩

（2） Shalev(2000)[11]用下面的效用函数讨论博弈论的多重纳什均衡问题。

,()(),x x r v x x r x x r

λ>⎧=⎨--<⎩ （3） 其中，λ为损失厌恶程度，r 为参数点。

但是这些效用函数都是针对收益期望值最大，报童对损失有较敏感的前提下提出的，在损失厌恶的报童—预期理论下的报童问题新解[5]中已有较好的结果，而本文中我们是从另一角度，即基于损失期望值最小、报童对缺货较敏感的角度来讨论的（为了不混淆，文中的损失厌恶是对于不确定性决策中人们对损失的反映要比所的的反映强烈，如果只说损失厌恶则是指因货卖不出去而造成的损失，而缺货损失厌恶是因脱销而造成的损失）。因而仿照上面的效用函数，我们定义了如下的损失效用函数：

(),()[()],x x v x x x θθλθθ-<⎧=⎨--->⎩

（4） 设报童每天售出的报纸份数r 是一个随机变量，其支撑集为(,)L M （即L r M ≤≤，

0,0L M ≥>）

。为了后面好进行比较静态分析，且由于这类薄利多销的报童问题的数量都较大，故我们可以假设r 为一连续型随机变量，其概率密度函数为()f x 。设报童每售出一份报纸能赚k 元，也即缺货时少卖一份就少赚k 元，也就损失了k 元。如果售剩报纸，每剩余一份就赔h 元。若报童每天报纸的订购量为θ，则根据上面的损失函数可得报童的损失函数为：

(),()[()],h r r v x k r r θθλθθ-<⎧=⎨--->⎩ （5）

由定义，报童要想不损失，不失去获利的机会，就只有是r θ=，但由于市场的需求总是随机的，我们就无法去估计每天报纸的销售量，我们只能是通过经验以及每天报纸需求量的分布情况去预测。