信号与系统第7章(陈后金)3

H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
D

bn
a1
a2
an1 an
时域框图
二、离散系统的模拟框图
1. 直接型结构 H ( z)
b0 b1 bn -1 X(z) z-1 a1 z- 1 z-1W(z) z-1 z-1 z-n+1W(z) bn z-nW(z) Y(z)
b0 b1 z 1 bn1 z ( n1) bn z n 1 a1 z 1 an1 z ( n1) an z n
试画出其直接型，级联型和并联型的模拟框图。
解： 1）直接型
3 3.6 X(z) + 0.1 z -1 z-1 Y(z)
即单位延时器的系统函数H(z) 为z1 。
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k] 0.5k(0.5)k1 u[k1](0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
解：
y[k ] 5(0.5)k u[k] (k 1)(0.5)k u[k] (0.5)k u[k] 5 1 1 Y ( z) 1 1 2 1 0.5 z (1 0.5 z ) 1 0.5 z 1
③ 由系统的差分方程写出H(z)
例：求单位延时器y[k]=x[k1]的系统函数H(z)。
解：
x[k ] z X ( z) x[k 1] z X (z)
z 1
利用z变换的位移特性，有
根据系统函数的定义，可得
Yzs ( z) z 1 X ( z) 1 H ( z) z X ( z) X ( z)
3 0.5z 1 1.5z 2 1 2 1 (1 0.5z ) (1 0.5z )
例： 一LTI离散系统，其初始状态为y[1]=8，y[2]=2,
当输入x[k]= (0.5)ku[k]时，输出响应为 y[k]= 4(0.5)ku[k] 0.5k(0.5)k1 u[k1](0.5)ku[k] 求系统函数H(z)。
一、系统的基本联接
2. 系统的并联
X (z )
H1(z)
Y (z )
H2(z)
X (z )
H1(z)+H2(z)
Y (z )
Y ( z) H1 ( z) X ( z) H 2 ( z) X ( z) [ H1 ( z) H 2 ( z)]X ( z)
一、系统的基本联接
3. 反馈环路
1 n i 1

i 1
n
ki z zi
h[k ] Z {H ( z )} ki ( zi ) k 1 u[k 1]
系统的时域特性主要取绝于系统的极点
三、零极点与时域特性
离散系统H(z)与h[k]关系
Im( ) z
k
k
k

k
j

1
|r|





1

k
二、离散系统的模拟框图
1. 直接型结构
设差分方程中的 m=n，即
y[k ] a j y[k j ] bi x[k i]
H ( z) bi z i 1 a j z j
j 1 i 0 n
n
n
j 1 n
i 0

1 1 a j z j
j 1 n
. bi z i
(e z j) N je
jW
j j
(e pi) Die
1
jW
ji
单位圆 D1
Im(z) ej W
1
N1 z1
N1N2 Nm j[( jW H (e ) K e D1D2 Dn
2 m ) (1 2 n )]
p1
1
D2 N2

Re(z)
三、零极点与时域特性
由系统函数H(z)的零极点分布，可将H(z)展开成部分分式， 对每个部分分式取z反变换可得h[k]。 如H(z)为单极点时，有
( z r1 )( z r2 ) ( z rm ) H ( z) K ( z z1 )( z z2 ) ( z zn )
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
Hn(z)
Y(z)
二、离散系统的模拟框图
3. 并联型结构
将系统函数展开成部分分式，形成一阶和二阶子 系统并联形式，即
H(z) = H1(z) +H2(z) + …. +Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 H1(z) 子系统并联。
X(z)
H2(z) Hn(z)
Baidu Nhomakorabea

Y(z)
例：已知
3 3.6 z 1 0.6 z 2 H ( z) 1 0.1z 1 0.2 z 2
解：
从收敛域看
该因果系统的收敛域为|z|>1.5
收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。 从极点看 系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。
例 一因果离散系统如图所示， 求 a) H(z) b)系统稳定时k的范围。
x[k ]
g[k ]
z1
k 3 k 4
y[k ]
i 0
n
H1(z)
H2(z)
二、离散系统的模拟框图
1. 直接型结构
系统可以看成两个子系统的级联
H1 ( z ) 1 1 a j z j
j 1 n
W ( z) X ( z)
Y ( z) H 2 ( z ) bi z W ( z) i 0
i
n
描述这两个系统的差分方程为
w[k ] a j w[k j ] x[k ]
j 1 n
y[k ] bi w[k i]
i 0
n
二、离散系统的模拟框图
1. 直接型结构
b0
b1



y[k ]
b2
x[k ]


bn1

D w[k ]



D

w[k 1]
w[ k 2]

w[k n 1] w[ k n ]
X (z )
E (z )
K (z)
Y (z )
(z)
Y ( z) E( z)K ( z)
E ( z ) X ( z ) ( z )Y ( z )
K ( z) Y ( z) X ( z) 1 ( z)K ( z)
K ( z) H ( z) 1 ( z)K ( z)
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
Re(z)
k

j
k
k
k
四、离散系统的稳定性
定理： 离散LTI系统稳定的充要条件是
k


h[k ]
由H(z)判断系统的稳定性： H(z)的收敛域包含单位圆则系统稳定。因果 系统的极点全在单位圆内则该系统稳定。
例：试判断下面因果LTI离散系统的稳定性
1 H ( z) (1 0.5 z 1 )(1 1.5 z 1 )


解：
G( z) z 1 (k / 3)G( z) X ( z) Y ( z) G( z) (k / 4) z 1G( z)
1 (k / 4) z 1 H ( z) 1 (k / 3) z 1
k 3 系统稳定
五、零极点与频域特性
由于系统稳定时，系统函数的收敛域包含单位圆，因此 系统的频率响应H(ejW)可由H(z)求出。 m 用z平面pi m (z z j ) (e jW z j) 和zj点指向 j 1 z e jW H (e jW ) K j 1 H (z) K n 单位圆上 n (z pi) (e jW pi) ejW点的向 i 1 i 1 量表示
解：对于初始状态为y[1]=8, y[2]=2的一般二阶系统
b0 b1 z 1 b2 z 2 8a1 2a2 8a2 z 1 Y ( z) X ( z) 1 2 1 a1 z a2 z 1 a1 z 1 a2 z 2
3 0.5z 1 1.5z 2 1 2 1 (1 0.5z ) (1 0.5z )
H ( e jW )
(W )
p2 z2
2
例：已知某因果离散LTI系统的系统函数
(1 ) 1 z1 H (z) , 1 1 2 1 z 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。
D 1
Im(z) N ejW D
解： 当W=0时 N 2
1 N j0 H (e ) 1 (0) (0) (0) 0 2 D
系统的基本联接
系统的级联 系统的并联 反馈环路
离散系统的模拟框图
直接型结构 级联型结构 并联型结构
一、系统的基本联接
1. 系统的级联
X (z )
W (z )
H1(z)
H2(z)
Y (z )
X (z )
H1(z)H2(z)
Y (z )
Y ( z) H 2 ( z)W ( z) H 2 ( z) H1 ( z) X ( z)
例：已知某因果离散LTI系统的系统函数
(1 ) 1 z1 H (z) , 1 1 2 1 z 试用向量法定性画出该系统的幅度响应和相位响应。
Im(z) N D ejW
解：

0
(ejW)|

1
Re(z)
(W)
p
W
p p p
W
p p
离散系统的模拟
系统函数H(z)
系统函数的定义 H(z)与h[k]的关系 z域求零状态响应 求H(z)的方法
零极点与时域特性
离散系统的稳定性
零极点与频域特性
一、系统函数
1. 定义
系统在零状态条件下，输出的z变换式 与输入的z变换式之比，记为H(z)。
Z { yzs [k ]} Yzs ( z ) H ( z) Z {x[k ]} X ( z)
1
一、系统函数
3. 求零状态响应
x[k]
X(z) yzs [k] = x[k]*h[k] Yzs(z) = X(z)H(z)
h[k] H(z)
一、系统函数
4. 求H(z)的方法
① 由系统的单位脉冲响应求解：H(z)=Z{h[k]} ② 由定义式
Z { yzs [k ]} H ( z) Z {x[k ]}
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
离散时间信号与系统的复频域分析
离散时间信号的复频域分析 离散时间LTI系统的复频域分析 离散时间系统函数与系统特性 离散时间系统的模拟
系统函数H(z)与系统特性
当W=p时
j0

0

1
Re(z)
N 0
D 1
1 N π π H (e ) 0 ( π) ( π) ( π ) π 2 D 2 2 当0<W<p时，D随着W的增大而增大，N随着W的增大而减小， N jW 因此 W , H (e ) W ,(W ) (W ) (W ) D
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)