用尺规作三角形
北师大版七年级下册数学：4 用尺规作三角形
课后作业：
• 完成111页第5题
已知：线段 a，b，c。
a
b
c
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。 尝试自己分析并作出这个三角形。
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
a
b
c
求作：△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c。
作法：（1）作一条线段BC=a；
A
（2）分别以B，C为圆心，以c，
c b
α
a
已知：∠α，线段a 求作：△ABC，使∠B=∠α，∠C=２∠α，BC=ａ
３.已知：线段a,用尺规作△ABC，使AB=a,BC=AC=2a
已知：线段a
a
求作：△ABC，使AB=a，BC=AC=2a
课堂小结：
• 用尺规作三角形： • 作草图，分析作图步骤，尺规作图，写出
结论。 • 注意问题： • 1.用尺规作图，保留作图痕迹。 • 2.要写出结论。
b为半径画弧，两弧交于A点；
B
a
C
（3）连接AB,AC。
∴△ABC就是所求作的三角形。两个三角形的三
思考：你所作的三角形与同伴 边对应相等，
所作的三角形比较，它们全等 两个三角形全等
吗？为什么？
（边边边或SSS）
小结： 如何完成用尺规作三角形的作图题？ 1.在草稿纸上作出草图，并标出已知的边和角；
作图步骤：(2)可先作＿＿，再作＿＿，最后作＿＿
小结：
2.已知三角形的两角及夹边，求作这 个三角形。 回顾作三角形的2种方法：
1.角→边→角 2. 边→角→角
思考：你所作的三角形与同伴所作的三角 形比较，它们全等吗？为什么？
两个三角形的两角及夹边对应相等， 两个三角形全等（角边角或ASA）
第4章 4.4 用尺规作三角形
4．4 用尺规作三角形
根据“边边边”作三角形 已知三角形的三条边作出的三角形是唯一的，依据的是判定三角形全等的 “ SSS ”条件． 自我诊断 1. (安顺中考)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出 ∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是( B )
A．SAS C．ASA
B．SSS D．AAS
SASΒιβλιοθήκη ”条件．自我诊断 3. 已知三角形的两边长分别等于 m、n，这两边的夹角等于∠α， 如图所示，求作这个三角形(不写作法，保留作图痕迹)．
解：作出的三角形如图所示.
1．用尺规作图，下列条件中不能作出唯一三角形的是( B ) A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角 C．已知两角和夹边 D．已知三条边
解：图略．
7．如图所示，已知线段 a、n、h，求作△ABC，使 BC＝a，BC 边上的中 线 AD＝n，高 AE＝h.
解：如图所示，作法：①作角∠MEN＝90° ；②在射线 EN 上截取线段 EA ＝h；③以 A 为圆心，线段 n 为半径画弧交射线 EM 于点 D，连接 AD；④ α 延长 DE，以 D 为圆心，线段 为半径画弧交直线 DE 于 B、C；⑤连接 AB、 2 AC，则△ABC 就是所求作的三角形．
根据“角边角”作三角形 已知两角及夹边作出的三角形是唯一的，这依据的是判定三角形全等的 “ ASA ”条件．
自我诊断 2. 已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是( C ) A．平分已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段 D．作已知直线的平行线
根据“边角边”作三角形 已知两边及夹角作出的三角形是唯一的，这依据的是判定三角形全等的 “
2．如图，已知△ABC，若以 AB 为一边作△ABM 与△ABC 全等，点 M 与 点 C 不重合，这样的三角形有( C )
用尺规作三角形及三角形全等应用(提高)知识讲解
用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】（2015•湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．2、（2015•宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D．【解析】解：如图所示：DC即为所求．【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．类型二、作三角形3、已知线段b和∠α，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为b和2b，且这两条边的夹角等于∠α．（先填空，再根据步骤依次作出图形，保留作图痕迹）作法：作射线OM；在射线OM上截取OA=．作∠=∠α在射线ON上截取OB=．连接．所以△AOB为所求．【思路点拨】运用尺规作图的方法，先在已知角的两边取OA=B，OB=2b，连接AB，即可得出答案．【答案与解析】解：作图如图所示：作射线OM；在射线OM上截取OA=b，作∠AOB=∠α在射线ON上截取OB=2b，连接AB，所以△AOB为所求；故答案为：b，AOB，2b，AB．【总结升华】此题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是在已知角的两边分别取OA=b，OB=2B，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形；如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS；类型三、三角形全等的实际应用4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示；分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，使其相交于点C，使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，测得PQ即可得出AB的长度．（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，又∠PCQ=∠BCA，∴在△PCQ与△BCA中，，∴△PCQ≌△BCA（SAS），∴AB=PQ．【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．举一反三【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【答案】C；。
三角形的尺规作图
本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种 基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形 的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基 本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂 作图拆解成基本作图.
感悟新知
1.尺规作图的画图工具是( D ) A．刻度尺、圆规 B．三角板和量角器 C．直尺和量角器 D．没有刻度的直尺和圆规
感悟新知
作法：第一步：作线段AB等于c.
知2－练
第二步：以点A为圆心，b为半径画弧.
感悟新知
第三步：以点B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点知C2－. 练
第四步：连接AC，BC，△ABC即为所求.
感悟新知
总结
知2－讲
由三角形全等的判定可以知道，每一种判定两个三 角形全等的条件(SSS，SAS，ASA，AAS)都只能作出 唯一的三角形．
可以用两点法画图象，列表：
x 0 1 描点连线，
y＝ 3 x 0 3 图象如图
2
2
y＝－3x 0 －3 所示．
课堂小结
正比例函数
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是 一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx. 性质：
当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从 左向右上升，y随着x的增大而增大；
特别解读 1. 作图依据：全等三角形的判定方法“SSS”. 2. 作图思路：三次运用“作一条线段等于已知线段”
这一基本作图方法.
感悟新知
知1－练
例 1 【中考·漳州】下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上 的高的是( B )
分析：过点Ａ作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求.
感悟新知
总结
知1－讲
如图所示(见下页)，在直角坐标系中描出以表中的
用尺规作三角形
4.4《用尺规作三角形》教案负责人：审核人：七年级数学组一、预习案（1）预习书（2）学具：圆规、直尺（3）预习作业：已知：a求作：AB，使AB=a已知：∠求作：∠AOB，使∠AOB=∠•精讲案1、尺规作图的工具是直尺和圆规.2、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角.小明在一个工程施工图上看到一个三角形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？新课做一做1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.已知：线段a，c，∠α.求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．3．已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段 a，b，c．求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．（1）请写出作法并作出相应的图形．（2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？作法：（1）作一条线段BC=a；（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；（3）连接AB，AC;△ABC就是所求作的三角形.。
用尺规作三角形
1、我们已经会用尺规作一条线段等于已知 线段、作一个角等于已知角
2、用尺规作线段等于已知线段、作角等于已 知角叫做基本作图
3. 你能用基本作图作一个三角形与已知三角形 全等吗？
三角形的基本元素是
边
和
角
。
基本作图的应用（作三角形） 组合作图的常用作法：
(1)作一条线段· · · · · ·= · · · · · ·； (2)在· · · · · · 上截取，使· · · · · ·= · · · · · ·； (3)作∠· · · · · · =∠ · · · · · ·； (4)以· · · 为顶点，以· · · · · · 为一边，作∠ · · · · · · =∠ · · · · · ·； (5)连接· · · · · ·，或连接· · · · · · 交· · · · · · 于点· · · · · ·； (6)分别以· · ·， · · · 为圆心，以· · ·， · · · 为半径画弧，两 弧交于· · · 点；
3cm
40°
E G
作法： (1)作线段DE＝AB;
A
C
F
B
(2)分别以D、E为圆心，以AC、BC为 半径画弧，两弧交于F点; (3)连接DF、EF； D E 则ΔDEF为所求。 将你所作的三角形与同桌作出的三角形进行比较， 它们全等吗？为什么？ 全等——边边边
练习1．已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形， 使其一个内角等于∠α另一个内角等于∠β ，且∠α 的对边等于a。 a 作法： α β 1.作∠DAE=∠ β F C 2.以点A为顶点，AE为一边，在 α ∠DAE的外部作∠FAE=∠ α E 3.反向延长射线AD到点B，使AB=a 4.以B为顶点，BA为一边作 α ∠CBA=∠ β,交AF于点C β 则△ABC为所求
北师大数学七下课件4用尺规作三角形-副本
α
【做法与示范】
c β
作法:(1)作线段AB＝c
A
B M
α
【做法与示范】
A
(2)作∠NＡB＝∠α， N
B
M
(3)作∠KＢA＝∠β
【做法与示范】
A
β K C B
N M
AN与BK相交于点C,则△ABCHale Waihona Puke 所求作的三角形【探究新知】
剪下各自所作的三角形和同伴比较看是否全等？ 能说出全等的理由吗？
两角及其夹边分别相等的两个三 角形全等.
作法：(1)作∠MBN＝∠α，
N
(2)在射线BM上截取BC＝a,在
射线BN上截取BA＝b，
A B
D′ C
M (3)连接AC. 则△ABC为所求作的三角形.
剪下各自所作的三角形和同伴比较看是否全等？ 能说出全等的理由吗？
两边及其夹角分别相等的两个 三角形全等.
2.已知三角形的两角及它们的夹边,求作三角形. 已知:∠α ,∠β ,线段c，求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α , ∠B＝∠β ，AB＝c.
3.已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝
∠AOB.
DA
D′ A′
O
C
B O′
则∠A′O′B′为所求作的角.
C′ B′
【做一做】
1.已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形. 已知：线段a，b，∠α ，求作：△ABC，使BC＝a， AB＝b，∠ABC＝∠α .
a
b
α
【做法与示范】
a:b:c:d=1:2:3:4.选择其中的三条线段为边作一个三角 形（尺规作图，要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
【解析】如图
通过本课时的学习，需要我们掌握： 用尺规作三角形的方法 1.已知两边及它们的夹角作三角形的方法 2.已知两角及它们的夹边作三角形的方法 3.已知三边作三角形的方法 4.已知两角及一边作三角形的方法
如何用尺规作正三、四、五、六、十五边形
正三角形：做法一：尺规作图画出正三角形：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度即正三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一个正三角形。
做法二（圆内切正三角形）：作圆O，半径为R，在圆上取任意一点P圆心。
半径仍为R做弧。
与圆O相交与AB两点。
AB是正三角形的两个顶点了。
再以A为圆心，半径仍为R做弧。
与圆O又有两个交点。
其中一个肯定为第1次做弧的圆心P。
还有个设为Q以Q为圆心。
半径为R作弧。
与圆O有两个交点。
一个为A，另一个为C。
则三角形ABC为正三角形正方形：作一圆O，作圆O的垂直两直径AB、CD，将A、B、C、D分别连接，即为圆O的内切正方形。
正五边形:①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径AB和 CD。
② 平分半径OD得OG=GD。
③以 E为圆心,EA为半径画弧与 OC交于F,以A为圆心，AF为半径，作弧，交与圆上一点G, AG即为正五边形的边长。
④以AG为弦长,在圆周上截得A、G、H、M、N各点,顺次连接这些点即得正五边形。
正六边形：作圆O，作它的直径AB，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点C、D;以BO为半径作圆B，与圆O交于两点E、F。
依次连接A、D、E、B、F、C、A，即作成了正六边形。
正十五边形：在同一个圆中，用尺规作图法作出一个圆内切正三角形和一个圆内切正五边形，并且让这两个图形有一个顶点相交。
从这个顶点出发，到达下一个正三角形顶点的弧长是1/3圆周，按同一方向，还是从那个顶点出发，到达下一个正五边形顶点的弧长是1/5圆周。
我们知道，1/3-1/5=2/15，所以，我们所到达的正三角形顶点与正五边形顶点之间的弧长是2/15圆周。
我们只需将这段弧长一分为二，就可以得到1/15圆周。
在得到1/15圆周之后，从任意一点开始截取即可。