第四章 平稳随机过程
第四章 平稳随机过程
第一节 平稳过程的概念
一、两类平稳过程 1.严平稳过程
定义1 设
为随机过程，如果对任意正整数n 及任意
，
及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量
与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即
的n 维分布函数Fn 满足：
),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切
,2,1,=i x i 成立
则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。
定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有
证：首先利用柯西—许瓦兹不等式
可以证明 ，即自相关函数存在。
又由于 为严平稳过程，故对任意
有相同的分布，
所以
再由s 、t 的任意性可知
又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有
))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是
[])
,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程
定义2 设有随机过程
，且对任意t ，
，如果
)
(),()(ττμX X X R t t R t =+=常数
则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。
以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。
严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征
设
为平稳过程，且
，则
)]([t X E X =μ为常数，称其为均值。
)]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数）
)]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）
)]([2t X D X =σ为常数，（方差）
])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=为τ的一元函数，（自协方差函数） 它们之间有以下关系：
（3）2)()(X X X R C μττ-=
事实上，])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=2)]()([X t X t X E μτ-+=2)(X
X R μτ-= 例1：（随机热噪声）
设
是两两不相关的随机序列，即对任意
。
又设对任意的正整数n, ，于是自相关函数为
且均值函数
，故 为平稳过程。
例2.（随机相位波）
设
其中A ，ω为常数， 证明
为平稳过程。
证：由于 即其概率密度为
于是
??
?
???++?+=+∧
∧)cos()cos(),(θτωωθωτt A t A E t t R X
?+∞
∞
-+++=θθθωτωθωd f t t A )()cos()cos(2
?+++=π
θθωτωθωπ20
2
)cos()cos(2d t t A
?
+++=π
θωτθτωωπ
20
2]cos )22[cos(4d t A
τωcos 2
2A =（仅与τ有关）
例3.（随机电报信号）
考虑随机过程
，其状态空间X={-1,1}，并对任意
有 ，并假定对任意的t 和△t ，在区间(t, t+△t)
内X(t)正、负号变化次数
为常数。讨论
。
解：
当0≥τ时，事件
}
)()({}1)()({同号与ττ+==+t X t X t X t X ∞
===?+=0}2)({}),()({k k N t t t t X τ上符号变化偶数次在
于是 ∑∞
=∞===??????===+00}2)({2)(}1)()({k k k N P k N P t X t X P τττ
∑∞
=-=02)!
2()(k k e k λτ
λτ 同样分析，事件
}
)()({}1)()({异号与ττ+=-=+t X t X t X t X ∞
=+==?+=0}12)({}),()({k k N t t t t X τ上符号变化奇数次在
于是.
∑∞
=∞=+==??????+==-=+0
0}12)({}12)({}1)()({k k k N P k N P t X t X P τττ
∑∞
=-++=0
12)!12()(k k e k λτ
λτ
进而便得
}1)()({1}1)()({1)]()([),(=+?+-=+?-=+=+ττττt X t X P t X t X P t X t X E t t R X
∑∑∞=-∞
=-+++-=02012)!
2()()!12()(k k k k e k e k λτ
λτλτλτ ∑∑∞=-∞
=-+-++-=0
2012)!2()()!12()(k k k k e k e k λτ
λτλτλτ
τ
λλτλτλτλτ
λτ220
!)(----∞
=-===-=∑e e e e k e
k k 当0<τ时，只要令τ+='t t ，则有
)]()([),(),(τττ-''='-'=+t X t X E t t R t t R X X
τ
λτλτ2)(2))](()([---==-+''=e
e t X t X E 总之，)(),(2τττλX X R e t t R ==+-
故
为平稳过程。
三、联合平稳过程
设 与 为两个平稳过程，如果对任意
及 T t ∈+τ有
)]()([)(ττ+=t Y t X E R XY ，
则称 与
是平稳相关的，或称为
联合平稳随机过程，称)(τXY R 为其互相关函数。
例4 设 与 是联合的平稳过程，)()()(t Y t X t W +=，则
}),({T t t W ∈是平稳过程。
事实上，Y X W m m t Y t X E t W E t m +=+==)]()([)]([)(为常数
)]()(()()([)]()([),(ττττ+++=+=+t Y t X t Y t X E t W t W E t t R W )]()()()()()()()([ττττ+++++++=t X t Y t Y t X t Y t Y t X t X E )()()()()(τττττW R R R R YX XY Y X =+++= 第二节 平稳过程相关函数的性质 1.自相关函数的性质
（1）
（2） )()(ττ-=X X R R
当)(t X 为实平稳过程时，)()(ττX X R R =- （偶函数）
证：)(])()([)]()([)(ττττX X R t X t X E t X t X E R =-=-=- （3） )0()(X X R R ≤τ
证：下面仅就实平稳过程进行证明
由于 []
)()()(2)()]()([222τττ+++±=-±t X t X t X t X E t X t X E
[][][]
)()()(2)(22ττ+++±=t X E t X t X E t X E 0)(2)0(2)0()(2)0(≥±=+±=ττX X X X X R R R R R 故 )()0(τX X R R ≥，即 )()0(τX X R R ≥
(4) )(τX R 是非负定的，即对任意正整数n 及任意n 个复数
和
有 0),(11≥∑∑==n
i n
j j i j i X a a t t R 。
（5）若)(t X 是周期为T 的周期函数，即)()(T t X t X +=，则)()(T R R X X +=ττ。
证：)()]()([)]()([)(ττττX X R t X t X E T t X t X E T R =+=++=+ 2.互相关函数的性质
互相关函数 )(τXY R 有以下性质：
（1） )0()0()(Y X XY R R R ≤τ，)0()0()(Y X YX R R R ≤τ
（2） )()(ττYX XY R R =-，
当)(),(t Y t X 是实联合平稳过程时，)()(ττYX XY R R =-（不是偶函数）
例1 设)sin()(),sin()(?ωω-Θ+=Θ+=t B t Y t A t X 为两个平稳过程，其中ω,,B A 为常数， Θ在)2,0(π上服从均匀分布，求)(τXY R 和)(τYX R 。
解 )]()([)(ττ+=t Y t X E R XY
)]sin()sin([?ωτωω-Θ++Θ+=t B t A E
?-+++=π
θπ
?θωτωθω20
21
)
sin()sin(d t t AB ?-++-++=
π
θ?ωτθω?ωτθωθωπ
20)sin()cos()cos())[sin(sin(2d t t t AB )cos(2
?ωτ-=
AB
)cos(2
)()(?ωτττ+=
-=AB
R R XY YX 第三节 随机分析 均方连续与均方积分 1.均方连续
定义1.设
为随机过程。
如果对任意t ∈T ， ，则称{X （t ）t ∈T }为均方连续
的，记为
关于均方连续有二个重要结果：
定理1.如果随机过程 是均方连续的，则其均值函数
必定为连
续函数。即如果 则有
此结果表明：
即“极限”与“期望”可交换。
定理2：设
是平稳过程，其中),(+∞-∞=T ，)(τX R 为其自相关函数，
则下列四个命题等价：
（3）)(τX R 在0=τ处连续； （4）)(τX R 在T 上连续。 2.均方积分
定义2 设{X （t ），t ∈T}为随机过程，又有区间[a ，b] （-∞，+∞）在[a ，b]上任取一组分点a=t0 则称{X （t ），t ∈T}在[a ，b]上均方可积，而称Y 为X （t ）在[a ，b]上均方积 分，记为： 定理3 设{X(t), t ∈T}为均方连续的随机过程，则有 上面结果表明：“积分”与“期望”的运算可交换。 以上在有限区间[a,b]上均方积分的概念可推广到无穷区间上， 如 第四节 平稳过程的各态历经性 一、平稳过程各态历经性的概念 对于平稳过程，一个十分重要问题是如何求其均值和自相关函数，设{X （t ），t ∈T}，T ∈（-∞，+∞）为平稳过程，如果它有一维和二维概率密度);(t x f 和 ),;,(212τ+t t x x f ，则应有 ? ? +∞∞-+∞ ∞ -+=212121),;,()(dx dx t t x x f x x R X ττ 然而，在实践中寻求);(t x f 和),;,(212τ+t t x x f 是困难的。人们想到能否用平稳过程的一条样本函数)(t x 对时间的平均求其均值和自相关函数，即是否可以 ?-∞→=T T T X dt t x T )(21 lim μ ?-∞→+=T T T X dt t x t x T R )()(21 lim )(ττ 例1 （随机相位波） 设)cos()(∧ +=θωt A t X ，其中ω,A 为常数，]2,0[~πθU ∧ ，求X μ及)(τX R 。 解：由于]2,0[~πθU ∧ ，故其概率密度为 ?? ? ???+++=+=∧ ∧)cos()cos()]()([)(θωτωθωττt A t A E t X t X E R X ωτωτθωτωcos 2 cos )22cos(222A t E A =??????+++=∧ 另一方面，对∧ θ的一个可能取值]2,0[πθ∈，相应便有过程的一个样本函数 )cos()(θω+=t A t x ，于是 又有 ??-∞→-∞→+++=+T T T T T T dt t t A T dt t x t x T )cos()cos(21 lim )()(21lim 2 θωτωθωτ ?-∞→+++=T T T dt t T A 2cos )22cos(2lim 2 ωτ θωτω ?? ??? ??+++=--∞→T T T T T t T A t T A ωτθωτωωcos 4)22sin(412lim 22 )(cos 2 2τωτX R A == 由上例看到按时间平均确实有可能求出一个平稳过程的和自相关函数，当然在一般情况下要做到这一点应当对平稳过程的每一个样本函数按时间平均有相同结果才行。即将)(t x 换为)(t X 结果不变，当然此时的积分应当为均方积分，即应有 ?-∞→+??=T T T X dt t X t X T m i l R )()(21 )(ττ 定义1 设{X （t ），－∞＜t ＜∞｝为均方连续的平稳过程，则称 ? -∞→??>= T T dt t X T m i l t X )(21 )( 为该过程的时间均值；称 ?-∞→+??>=+ T T dt t X t X T m i l t X t X )()(21 )()(ττ 为该过程的时间相关函数。 定义2 设{X （t ），－∞＜t ＜∞｝为均方连续的平稳过程，X μ和)(τX R 分别为其均值与自相关函数，如果 X T T T m dt t X T m i l =??? -∞ →)(21 以概率1成立，则称此过程的均值具有各态历经性（遍历性）。 如果 )()()(21ττX T T T R dt t X t X T m i l =+???-∞→ 以概率1成立，则称此过程的相关函数具有各态历经性（遍历性）。 定义3 如果均方连续的平稳过程)},(),({+∞-∞∈t t X 的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程具有各态历经性或遍历性。 二、平稳过程各态历经性的充要条件 定理1设{X （t ），t ∈(－∞,∞)}为均方连续的平稳过程,则其均值具有各态历经的充要条件是 0])([2121lim 222=-??? ? ??-?-∞→T T X X T d m R T T τττ 当)(t X 为实平稳过程时，上式为 0])([211lim 20 2=-?? ? ??-?∞→T X X T d m R T T τττ 定理2 设{X （t ），t ∈(－∞,∞)}为均方连续的平稳过程,且对),(+∞-∞∈τ， )},(),()({+∞-∞∈+t t X t X τ也是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历 经的充要条件是 0])()([2121lim 221211=-??? ? ??-?-∞→T T X T d R B T T ττττ 其中)]()()()([)(111τττττ++++=t X t X t X t X E B 当)(t X 为实平稳过程时，上式为 0)]()([211lim 20 1211=-??? ??-?∞→T X T d R B T T ττττ 其中)]()()()([)(111τττττ++++=t X t X t X t X E B 由于实际应用中时间参数一般只取),0[+∞，所以上述两个定理可写成下面形式，见书P108，定理6.12，定理6.13。 例2 设有随机电报信号{X （t ），t ∈(－∞,∞)},其均值0=X μ，自相关函数 τ λτ2)(-=e R X ,试讨论{X （t ），t ∈(－∞,∞)}的均值是否具有各态历经性。 解：由于 ?-??? ??-+∞→T X X T d m R T T 202 ])([211lim τττ ?-+∞→?? ? ??-=T T d e T T 202211lim ττλτ ? -+∞→?? ? ?? --=T T de T T 20 22121lim λττλ ?? ? ? ? ?+ --=?--+∞→T T T d e T e T T 20220 221)21(21 lim ττλλτλτ ?? ??? ?--- =-+∞ →T T e T T 20 241121 lim λτλλ 04141121 lim 4=?? ????-+=-+∞→T e T T T T λλλλ 故 {X （t ），t ∈(－∞,∞)}的均值具有各态历经性。 第四章 第五章 习题 4.4 设解析信号()Z t 为?()()()Z t X t jX t =+，证明{()()}0E Z t Z t τ-= 证明： （隐含条件：二阶平稳）由希尔伯特变换的性质有?()()X X R R ττ=； ??????{()()}{[()()][()()]}()()[()()] XX XX XX XX E Z t Z t E X t jX t X t jX t R R j R R τττττττ-=+-+-=-++ 由希 ??()()XX XX R R ττ=； ??()?(){[()()]}[()]()() () ?[]()()?()[()()][()]()() () ?[ ]()XX XX XX XX X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R τξττξπξ τξξτξξτπξ πξ ξτττξπξ ξτξτξξτπξ πξ +∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ -+=-=--+-= - = - =--=-=----= = =? ? ? ? ? ? 即??()()XX XX R R ττ=- 故{()()}0E Z t Z t τ-= 4.12 试证明均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻包络平方的数学期望为2，方差为4。 证明：设该窄带平稳高斯过程为000()()cos[()]()cos ()cos c s Y t A t t t A t t A t t ωφωω=+=- ∴[()]0E Y t = 2[()]1E Y t = 而Y(t)包络的平方为222()()()c s A t A t A t =+ 由00 00?()()cos ()sin ?()()sin ()cos c s A t Y t t Y t t A t Y t t Y t t ωωωω?=+??=-+??易知A c (t)和A s (t)是在同一时刻相互独立的高斯过程 且[()][()]0c s E A t E A t == 22[()][()](0)1c s Y E A t E A t R === ∴ 2 [()]2E A t = 242244224422[()][()][()][()()2()()]4 [()][()]2[()()]4332144 c s c s c s c s D A t E A t E A t E A t A t A t A t E A t E A t E A t A t =-=++-=++-=++-= 即证 6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程 1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。 二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=- 如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ? 100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise | . 设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ???? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1exp{),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 > ∑== 'n i i jat t j 1 μ ( )()),,,(21 2 232222212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=--=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ . 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|, |,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求的特征函数。 [ 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 1：正态过程或者高斯过程 设{(),}X t t T ∈是随机过程，若对任意正整数n 和1212,,,,((),(),,())n n t t t T X t X t X t ???∈???是n 维正态随机变量，则称{(),}X t t T ∈是正态过程或者高斯过程。 2：维纳过程的定义 3：广义平稳过程=宽平稳过程 若两个随机过程X(t)和Y(t)的联合概率分布不随时间平移而变化，即与时间的起点无关，则称此两个过程为联合严平稳。 4：二维联合分布函数 5：半角公式和全角公式 . cos2α = 2(cos α)^2 ? 1 cos2α = 1 ? 2(sin α)^2 cos2α = (cos α)^2 ? (sin α)^2 6 ： 7：一维概率密度族 (,)X s t ρ= ,0s t > 第三章：泊松过程 1：称计数过程{(),0}X t t ≥为具有参数0λ>的泊松过程，若它满足下列条件： （1）(0)0X =; （2）()X t 是独立增量过程； （3）在任一长度为t 的区间中，事件A 发生的次数服从参数0λ>的泊松分布，即对任意 ,0s t ≥，有 ()(()()),0,1,...! n t t P X t s X s n e n n λλ-+-=== [()]E X t t λ= 2：定义3.3说明，在充分小的时间间隔内容，最多有一个时间发生，而不能同时有两个或者两个以上事件同时发生。 3：[()()][()()]()E X t X s D X t X s t s λ-=-=- s 第三章习题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率 为 r ，其中 p, q, r 0, p q r 1 ，设每局比赛后，胜者得 1 分，负者得1分，平局不记分，当两个人中有一个人得到 2 分时比赛结束，以X n表示比赛至第n 局时甲获得的分数， 则{ X n , n 1} 是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率 . 解（ 1）{ X n, n0} 的状态空间为 S { 2, 1,0,1,2} （ 2）{ X n, n 0} 的一步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q r p 0 0 P 0 q r p 0 0 0 q r p 0 0 0 0 1 （ 3）因为两步转移概率矩阵为 1 0 0 0 0 q rq r 2 pq 2 pr p2 0 P(2) P 2 q2 2rq r 2 2 pq 2 pr p2 0 q2 2qr pq r 2 p pr 0 0 0 0 1 所以在甲获得 1 分的情况下，再赛 2 局甲胜的概率为 p12(2) p pr p(1 r ) 2．设{ Y i,i 1,2,L } 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{ Y i,i 1,2,L } 是否为Markov链？ n （2）令X n Y i，问 { X i , i 1,2,L } 是否为Markov链？ i 1 解（ 1）由于 P(Y n j Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 P(Y 1 i 1, Y 2 i 2 ,L ,Y n 1 i ,Y n j ) i) P(Y 1 i 1 ,Y 2 i 2 ,L , Y n 1 i) P(Y 1 i 1 )P(Y 2 i 2 )L P(Y n 1 i )P(Y n j ) j ) P(Y n j Y n 1 i ) 1 i 2 , L ,Y n 1 i ) P(Y n P(Y i 1 ,Y 2 因此， { Y n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . （ 2）取 f 1 (U 1 ) X 1 U 1 ，当 U 1 i 1 时， X 2 U 1 U 2 是 U 2 的函数，记为 f 2 (U 2 ). 依 次类推， X n 1 U 1 U 2 L U n 1 为 U n 1 的函数，记为 f n 1 (U n 1 ), X n U 1 U 2 L U n 为 U n 的 函 数 ， 记 为 f n (U n ). 由 于 U 1,U 2 ,L ,U n ,L 相 互 独 立 ， 则 其 相 应 的 函 数 f 1 (U 1), f 2 (U 2 ),L , f n (U n ),L 也相互独立，从而 n P( X n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) P( Y i j X 1 i 1, X 2 i 2 ,L , X n 1 i ) i 1 P( X n 1 Y n j X 1 i 1 , X 2 i 2 ,L , X n 1 i) P(Y n j i ) P( X n j X n 1 i ) 因此 { X n , n 1,2,L } 是马尔可夫链 . 3 设 X i , i 1,2,L 是相互独立的随机变量，且使得 P( X i j ) a j , j 0,1,L ，如 果 X n max{ X i ,i 1,2,L ,n 1} ，其中 X 0 ，就称在时刻 n 产生了一个记录 .若在时刻 n 产生了一个记录，就称 X n 为记录值，以 R n 表示第 n 个记录值 . （1）证明， { R n , n 1,2,L } 是 Markov 链，并求其转移概率； （2）以 T i 表示第 i 个与第 i 1 记录之间的时间， 问 { T n , n 1,2,L } 是否是 Markov 链，若是， 则计算其转移概率 . 明 ：（ a ） 根 据 意 有 ： R 1 X n 1 , R 2 X n 2 ,....R k X n k ， ? ? 足 X n 1 X n 2 .... X n k .... 且 1 n 1 n 2 .... n k .... 故 P{ R k 1 z | R k i k , R k 1 i k 1 ,...R 1 i 1} P{ R k 1 z | j i k i k 1 ... i 1} P{ R k 1 z | j i k } P{ R k 1 z | R k i k } 故 { R i , i 1} 是一个 可夫 且 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第六章 平稳随机过程 6.1平稳过程的概念与例子 第二章2.4中介绍了严平稳过程与宽平稳过程.在自然科学,工程技术中人们常遇到这类过程,例如纺织过程员棉纱截面积的变化;导弹在飞行中受到湍流影响产生的随机波动;军舰在海浪中的颠波;通讯中的干扰噪声等等.它们都是可用平稳过程描述.这类过程一方面受到随机因素的影响产生随机波动,同时又有一定的惯性,使在不同时刻的波动特性基本保持不变.其统计特是,当过程随时间的变化而产生随机波动时,其前后状态是相互联系的,且这种联系不随时间的推延而改变 . 由于严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数来决定的,在应用中比较难以确定,而宽平稳过程的判别只涉及一二阶矩的确定,在实际中比较容易获得,因此我们主要研究宽平稳过程.这种仅研究与过程一二阶矩有关性质的理论,这就是所谓相关理论.对于正态过程,由于其宽平稳性与严平稳性是等价的,故用相关理论研究它显得特别方便.本书后面涉及的.主要是宽平稳过程,简称它为平稳过程. 例6.1 设,...}2,1,0,{,±±=n X n 是实的互不相关随机变量序列,且,0][=n X E 2 ][σ =n X D ,试讨论随机序列的平稳性. 解 因为,0][=n X E ???≠===--, 0,00,],[),(2ττσττ n n X X X E n n R 其中τ为整数,故随机序列的均值为常数,相关函数仅与τ有关,因此它是平稳序列. 在物理和工程技术中,称上述随机序列为白噪声.它普遍存在于各类波动现象中,如电子发射波的波动,通讯设备中电流或电压的波动等,这是一种较简单的随机干扰的数学模型. 例6.2设,...}2,1,0,{,±±=n Z n 为复随机序列,且,0][=n Z E mn n m n Z Z E δσ2][=, ,...) 2,1,0(,2±±=∞<∑∞ -∞ =n w n n n σ 为实数序列.对于每一个t,可以证明级数 t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =在 均方意义下收敛.令 X(t)= t iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ = 利用随机变量级数均方收敛性质,可以推得 E t X E =)]([[ t iw n n n e Z ∑∞ -∞ =]=0, [ )]()([E t X t X E =-τt iw n n n e Z ∑ ∞ -∞ =, ]) (∑ ∞ = ∞--n t iwm m e Z τ 第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以 再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值） 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 第六章 平稳时间序列模型 时间序列的分析研究始终是计量经济学和统计学的一个热点，对于制定精确定价和预测决策是至关重要的，近代计量经济学和金融市场的许多研究成果和市场决策理论愈来愈多是建立在时间序列分析的基础上。Engle 和Grange 因为他们的时间序列模型在经济金融中的广泛应用而获得2003年的诺贝尔经济学奖，就是时间序列分析方法的重要性在世界上被广泛认可的有力证明．近代计量经济和金融市场的许多研究成果都建立在时间序列分析的基础之上。传统应用较广的是Box 和Jenkins （1970）提出的ARIMA （自回归求和移动平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH 模型（一阶自回归条件异方差），用以研究非线性金融时间序列模型，由此开创了金融时序独树一帜的研究思路和方法。随着时间序列分析理论和方法的发展，美国学者Schemas 和Lebanon 发现股票日收益序列与周收益序列中存在混沌现象，米尔斯也指出金融时间序列似乎通常可以用随机漫步来很好近似，非线性时间序列模型被广泛应用在金融时间序列分析中。就数学方法而言，平稳随机序列的统计分析，在理论上的发展比较成熟，从而构成时间序列分析的基础。因此，本章从基本的平稳时间序列讲起。 第一节 基本概念 一、随机过程 在概率论和数理统计中，随机变量是分析随机现象的有力工具。对于一些简单的随机现象，一个随机变量就足够了，如候车人数，某单位一天的总用水量等。对于一些复杂的随机现象，用一个随机变量来描述就不够了，而需要用若干个随机变量来加以刻画。例如平面上的随机点，某企业一天的工作情况（产量、次品率、耗电量、出勤人数等）都需要用多个随机变量来刻画。 还有些随机现象，要认识它必须研究其发展变化过程，这一类随机现象不能 只用一个或多个随机变量来描述，而必须考察其动态变化过程，随机现象的这种动态变化过程就是随机过程。例如，某一天电话的呼叫次数ξ，它是一个随机变量。若考察它随时间t 变动的情况，则需要考察依赖于时间t 的随机变量t ξ，｛t ξ｝就是一个随机过程。又例如，某国某年的GNP 总量，是一个随机变量，但若考 第八讲 窄带随机过程 8.1 希尔伯特变换和解析过程 8.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义 设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x 或)]([t x H ，并定义为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞--==) (1 )]([)(? 用'ττ +=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为： '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞-+-= 也可得 '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞--= 希尔伯特反变换为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞----==)(?1 )](?[)(1 经变量替换后得 ττ τπττ τπd t x d t x t x ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -+= -- =)(?1 )(?1 )( 二． 希尔伯特变换的性质 1. 希尔伯特变换相当于一个0 90的理想移相器。 从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1 的卷积，即 t t x t x π1 *)()(?= 于是，可以将 )(?t x 看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1 )(=的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函 数为 )sgn()(ωωj H -= 式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为 010 1)sgn(<-≥= ωωω 可得滤波器的传输函数为 00 )(<≥-=ωωωj j H 即 1)(=ωH 2 02 )(<≥- = ωπ ωπ ω? 上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。 由上述分析可得，)(?t x 的傅立叶变换)(?ωX 为 第六章 平稳随机过程 在自然科学与工程技术研究中遇到的随机过程有很多并不具有Markov 性，这就是说从随机过程本身随时间的变化和互相关联来看，不仅它当前的状况，而且它过去的状况都对未来的状况有着不可忽略的影响，并且其统计特征不随时间推移而变化，这类随机过程称为平稳过程. 例如，恒温条件下热噪声电压()X t 是由于电路中电子的热扰动引起的，这种热扰动不随时间推移而改变；又如，连续测量飞机飞行速度产生的测量误差()X t ，它有很多因素（如仪器振动，电磁波干扰与气候等）造成，但主要因素不随时间推移而改变. 平稳过程是一种特殊的二阶矩过程，其表现在过程的统计特性不随时间的推移而改变.用概率论语言来描述：相隔时间h 的两个时刻t 与t h +处随机过程所处的状态()X t 与 ()X t h +具有相同的概率分布.一般地，两个n 维随机向量()12(),(),,()n X t X t X t 与 ()12(),(),,()n X t h X t h X t h +++ 具有相同的概率分布. 这一思想抓住了没有固定时间 （空间）起点的物理系统中最自然现象的本质，因而平稳过程在通讯理论、天文学、生物学、生态学、和经济学个领域中有着十分广泛的应用. 6.1 随机微积分 在高等数学的微积分中，连续、导数和积分等概念都是建立在极限概念的基础上.对于随机过程的研究，也需要建立在随机过程的连续性、可导性和可积性等概念的基础上，这些内容形式上与高等数学极为相似，但实质不同，高等数学研究的对象是函数，随机微积分研究的对象是随机函数（即随机过程），有关这部分的内容统称为随机分析（stochastic analysis ）. 在随机分析中，随机序列极限的定义有多种，下面我们简单介绍常用的定义.由于我们主要研究广义平稳过程（具体的定义将在第二节介绍），因此，以下的随机过程都假定为二阶矩过程.为了讨论的方便，我们约定：今后如不加说明，二阶矩过程{(),}X t t T ∈的均值函数()()0X m t EX t ==，自协方差函数(,)()()X C s t E X s X t ??=?? . 6.1.1 均方收敛 定义6.1 称二阶矩随机序列{()}n X ω以概率为1收敛于二阶矩随机变量()X ω，若使 lim ()()n n X X ωω→∞ =成立集合的概率为1，即 {} :lim ()()1n n P X X ωωω→∞ == 或称{()}n X ω几乎处处收敛（almost everywhere converge ）于()X ω，记作n X ..a e ??→ X . 第四章第五章习题 4.4 设解析信号() Z t为? ()()() Z t X t jX t =+，证明{()()}0 E Z t Z tτ-= 证明：（隐含条件：二阶平稳）由希尔伯特变换的性质有 ? ()() X X R R ττ =； ???? ?? {()()}{[()()][()()]} ()()[()()] XX XX XX XX E Z t Z t E X t jX t X t jX t R R j R R τττ ττττ -=+-+- =-++ 由希尔伯特变换的性质有 ?? ()() XX XX R R ττ =； ? ? () ? (){[()()]}[()] ()()()? []() () ? ()[()()][()] ()()()? []() XX XX XX XX X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R τξ ττξ πξ τξξτ ξξτ πξπξ ξ τττξ πξ ξτξτ ξξτ πξπξ +∞ -∞ +∞+∞ -∞-∞ +∞ -∞ +∞+∞ -∞-∞ -+ =-=- -+- =-=-=- - =-=- --- === ? ?? ? ?? 即 ?? ()() XX XX R R ττ =-故{()()}0 E Z t Z tτ-= 4.12 试证明均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻包络平方的数学期望为2，方差为4。 证明：设该窄带平稳高斯过程为 000 ()()cos[()]()cos()cos c s Y t A t t t A t t A t t ωφωω =+=- ∴[()]0 E Y t=2 [()]1 E Y t= 而Y(t)包络的平方为222 ()()() c s A t A t A t =+ 由00 00 ? ()()cos()sin ? ()()sin()cos c s A t Y t t Y t t A t Y t t Y t t ωω ωω ?=+ ? ? =-+ ?? 易知A c(t)和A s(t)是在同一时刻相互独立的高斯过程 且[()][()]0 c s E A t E A t ==22 [()][()](0)1 c s Y E A t E A t R ===随机过程答案4(1)
随机过程-习题-第6章
第十二章 平稳随机过程
上海大学随机过程第六章习题与答案
随机过程-习题-第4章-01-精选.
平稳随机过程
随机过程-习题-第6章
平稳随机过程及其数字特征
随机过程复习小结
(完整版)上海大学随机过程第六章习题及答案.doc
随机过程-习题-第4章
第六章平稳随机过程
第四章 平稳随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
六章 平稳时间序列
第六章窄带随机过程
第六章 平稳随机过程
随机过程答案4(1)