上不可约多项式的判断和寻找

2m
≤ N p ( m) ≈
m
8. Z p上的不可约多项式的性质3
性质5.3:设 p是素数,k是一个正整数. 性质 （1）Z p [x ] 中阶整除 k 的首一不可约多项式的
乘积等于 x − x. （2 ）设 f (x )是中次数为 m 的多项式.则在中不可约,当 m 且仅当对于每个 , i 1 ≤ i ≤ , 都有 2 p gcd f ( x ), x − x = 1成立.
1.集合与其相关知识
1.1卡氏积 (笛卡儿（Descartes）积 记作 ) A× B 1.2二元关系: 1.3半群 : 设 是一个非空集合，若 (1) 在中 存在一个代数运算 o ； (2) o 适合结合律：(a ob)o c = a o (bo c)o ,任意 a , b , c ∈ S . 则称 关于 是一个半群，记作 . o 1.4循环群
结束语
判断一个整系数多项式在Z p上是否可约,我们利用不可约多 项式的相关理论知识,如集合,有限域,同余理论,欧拉函数 不可约多项式等。完整详细的叙述了Z p 上不可约多项式的 定义以及性质,并给出了整系数多项式在 Z p 上不可约的充分 Zp 条件利用它仅可以判定一些特殊的整系数多项式在 上的 不可约性。本文给出了多项式不可约的证明思路,并进行 了改进推广,提出判定整多项式可约性的新判别法,从而增 加了在 上判别整系数多项式不可约性的手段。根据不可 Zp 约多项式判定的几种方法写出了判定不可约多项式的几种 算法.并且对这些算法给予分析。
4. 欧拉函数
定义4.1：对于n 1,令 表示 [1,n]内与n互素的整数个数。 定义 函数Φ称为欧拉函数。 性质4.1：对所有n ≥ 5的整数，有 性质 . Φ ( n) > n
≥
Φ (n )
(6 ln(ln n))
F 性质4.2： q 是一个阶q-1为的循环群。因此对任意 a ∈ Fq 性质q 有 a = a。 性质4.3：设 f ( x) ∈ Z p [ x] 是次数为 m 的不可约多项式，则 性质 Z p [ x] f ( x)是一个阶为 p m 的有限域，多项式的加法与乘法 是模 f (x) 的运算。 性质4.4：对每一个m ≥ 1,在 Z p 中存在一个次数为m的首一 性质 不可约多项式。所以，每一个有限域都有一个多项式基表 示。
m
i
(4)设 t 是满足 a t = a 的最小正整数(注意,这样的 t 存在,因为 事实上有 a p = a ),则有
pt
ma ( x ) = C x − a
i =0
t −1
(
pi
)
10.测试一个多项式的不可约性 10.测试一个多项式的不可约性
算法7.1 算法7.1 输入: 输入:素数 p 和 Z p [x]中次数为 m 的首一多项式 f ( x ) 输出:问题“u (x) 中Z p 中是否可约?”的回答. 输出:问题“ 中是否可约? 的回答. 的回答 1. 设 u ( x) ← x . 执行如下操作： 2. 对 i 从 1到 m ,执行如下操作： 2 p 注意, 2.1 计算 u ( x) ← u ( x) mod f ( x) .注意, u (x)是 的多项式. 中Z p [x]的一个次数小于 m 的多项式. 2.2 计算 d ( x) = gcd( f ( x) , u ( x − x)) . 则返回( 可约 可约” 2.3 若 d ( x) ≠ 1 ,则返回(“可约”). 返回( 不可约 不可约” 3. 返回(“不可约”). .
2.同余理论
2.1 同余式 ( a ≡ b(mod m ) ) 定义 :设 m ≠ 0 ,若 m a − b ,即 a − b = km ,则 a 称 m 为模， 同余于 b 模 m，以及 b 是 a 对 模 m 的剩余，记作a ≡ b(mod m )； （１） 不然，则称 a 不同余于 b 模 m , b 不是 a 对 模 m 的剩余，记作 a ≠ b(mod m) ；关系式（１） 称为模 m的同余式。或简称同余式。 2.2 同余性质 2.3 同余类
随机生成一个上的首一不可约多项式
算法7.2 算法
输入: 输入: 素数 p 和正整数 m . 输出: 输出: Z p [x]中次数为 m 的首一不可约多项式 f ( x ) . 1.重复如下操作 重复如下操作: 1.重复如下操作: 的一个首一多项式) 1.1 (随机生成 Z p [x] 中的次数为 m 的一个首一多项式) 在0和p-1之间随机选择整数 a0 , a1 , a2 ,L , am −1 , a0 ≠ 0. f (x ) f (x) = xm + a(m −1)xm−1 +L+ a2x2 + a1x + a0 . 设 是多项式 用算法1.5测试f(x) 1.5测试f(x)是否在 上不可约. 1.2 用算法1.5测试f(x)是否在 Z p 上不可约.直到找到一 个不可约的 f ( x ) . 2.返回 2.返回 ( f ( x )) .
.
pk
(
i
)
9. Z p上的不可约多项式的性质4
q = p 有限域,并设 a ∈ F p . 性质5.4:设 Fq 是一个阶为 的 性质 (1) a 在 Z p 上的极小多项式是唯一的,记为 ma( x ) p (2) ma( x ) 在 Z p 上不可约. gcd( f (x ), x − x ) = 1 a (3) ma( x )的次数是m的一个因子.
Z p上不可约多项式的判断和寻找
摘要
判断一个整系数多项式在 Z p 上是否可约,我们 利用不可约多项式的相关理论知识,给出了整 系数多项式在 Z p上不可约的一个充分条件,利 用它仅可以判定一些特殊的整系数多项式在 Z p 上的不可性．本文给出了多项式不可约的证明 思路,并进行了改进推广,提出判定整多项式可 约性的新判别法,从而增加了在 Z p上判别整系 数多项式不可约性的手段．
6. Z p 上的不可约多项式的性质1
性质5.1:若 f ( x) ∈ Z p [ x] Z p 上不可约，并且a是 中 在 性质 的一个非零元，则 a o f (x) 在 Z p 上也不可约。因此，
Z 我们只需关注 p [x]中的首一多项式，即首项系数为 1 的多项 式。
注意:若 f (x) 注意 是不可约多项式，则它的常数项必定不 为零
7. Z p上的不可约多项式的性质2
性质5.2:（首一不可约多项式的个数）设p是素数,m是一个 性质 正整数。 (1) Z p [x ]中阶为 m的首一不可约多项式的个数 N p (m ) 由下 述公式给出： m 1
N p ( m) =
m d \m
∑ U (d ) p
d
其中求和符号对的所有正整数因子求和。 Z （2）随机选取 p [x]中次数为m的首一多项式在 Z上不可约的 p 1 概率为 m 。 更精确地 N p (m) ,满足下式： 1 1
5. Z p上的不可约多项式
定义5.1 上不可约多项式： 定义 Z p 上不可约多项式 设 f ( x) ∈ Z p [ x]为一个次数
式的乘积，则称 f (x) 为 Z p 上的不可约多项式。
m ≥ 1的多项式，若它不能够表示成两个次数都小于m的多项
Leabharlann Baidu
定义5.3 设 Fq 是特征为 p 的有限域,并设 a ∈ Fq .则a在 定义 Z p [x] 上的极小多项式是 中以a为根的次数最小的首 一多项式.
3.有限域
3.1定义： 定义： 定义
有限域F是指只含有限个元素的域，F的阶是指F中元素的个数。
3.2几个重要的性质 几个重要的性质
性质3.21 有限域的存在及唯一性 性质 m 性质3.22 若Fq是一个阶为 p = q 的有限域，这里p为一个素 性质 F F 数， q的特征为p.而且， q 包含一个与 Z q同构的子域，所以 Fq可以看做是Z 的扩域，次数为m. q