不同域上的不可约多项式

论文题目

目录

1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。

2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。

3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。

4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。

5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。

艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。

艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。

艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。

多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。

n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。

6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。

判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法错误!未定义书签。

q阶有限域上的不可约多项式.................................... 错误!未定义书签。致谢.......................................................................................................... 错误!未定义书签。参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。

不同域上的不可约多项式

摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。

关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式

中图分类号：O151

Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex

field,rational number field and finite is a more perfect summary about irreducible is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials. Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials

不同域上的不可约多项式

1、前言

一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。

本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。

2、因式分解定理及唯一性定理

定理[]11 数域P 上每个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成 域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式

1212()()()()()()()s t f x p x p x p x q x q x q x ==L L

那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,i i i p x c q x i s ==L ， 其中(1,2,,)i c i s =L 是一些非零常数.

因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。

3、复系数多项式

定理[]12（代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至

少有一根。

定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.

由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。

4、实系数多项式

定理[]14（实系数多项式因式分解定理） 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.

由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。

5、有理系数多项式

每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。 艾森斯坦（Eisenstein ）判别法

定理[]15（Eisenstein 判别法） 设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++L 是一个整系数多项式，如果存在素数p 使得

011(1),,,;n p a p a p a -L

(2)p |/n a ；

2)3(p |/0a

那么()f x 在Q 上不可约

证明：若()f x 在有理数域上可约，则()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式

01(),k k g x b b x b x =+++L

01(),l l h x c c x c x =+++L

使得 ()()(),f x g x h x =其中 ,,.k l n k n l n +=<<

因为200000,|,|,a b c p a p a =/

所以0b 与0c 不能同时被p 整除 不妨设00|,|.p b p c /

因为,|n k l n a b c p a =/，所以|k p b /.设 011|,|,,|,|(1).s s p b p b p b p b s k -≤≤/L 考察等式

011110.s s s s s a b c b c b c b c --=++++L

由于01111|,|()s s s s p a p b c b c b c --+++L ，所以0|s p b c ，这与0|,|s p b p c /

矛盾，故()f x 在()Z x 中不可约，因而在[]Q x 中不可约（证毕）

对任意正整数,2n n x +都是Z 上不可约多项式，从而[]Z x （及[]Q x ）中

存在任意次数的不可约多项式.

5．2艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的变式

一般地对()()f x Z x ∈，常作变换x ay b =+,则()()()f x f ay b f y =+=,很

显然()f x 与()g y 在[]Q x 上具有相同的可约性.

有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。

例如：设P 是一个素数，多项式12()1p p f x x x x --=++++L 叫做一个分圆多项式，证明()f x 在[]Q x 中不可约。

证明：因为011n a a a ====L ，所以不存在这样的素数P 满足Eisenstein

判别法的条件，但是如果我们

令1x y =+，则由于(1)()1n x f x x -=-

111(1)(1)1p p p p p p yf y y y C y

C y --+=+-=+++L 令()(1)g y f y =+，于是

1121()p p p p p g y y C y C ---=+++L

由Eisenstein 判别法，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 也在有理数域上不可约。

5．3艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的等价定理

定理[]26 假如2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈L 是整系数多项式，如

果存在一个素数P ，使得；2011)|;2),|,,|;3)|n n p a p R p a p a p a ∈/

/L ，则()f x 在[]Q x 上不可约。

定理[]37 设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈L 为次数大于3的整系数多项式，且()f x 无有理根存在，如有整数P 使得

1）200||P a a /

，P ；

2）122||,,|n P a p a p a -L ，；

3）1|n p a -/

则()f x 在整数环上一定不可约

证明：这里仅考虑()f x 为本原多项式的情形反设()f x 在整数环上可约，其分解式为：110101()()()l l m m m m l l f x b x b x b c x c x c ----=++++++L L

其中 110()l l l l g x b x b x b --=+++L

110()m m m m h x c x c x c --=+++L

均为本原多项式，且,,l m n m l n <+=，从而111n l m l m a b c b c ---=+，000a b c =

由已知000|p a b c =，而20|p a /

，所以不妨设：0|p b ，而0|p c /，又因为1|n p a -/，所以p 不能同时整除l b 及1l b -，不妨设01,,,l b b b L 中第一个不能被p

整除的数是k b ，即011|,,,k p b b b -L ，而|k p b /

其中1k l n ≤≤<

下面分两种情况讨论：

1） 当1k l n ==-时

可证1m =从而1212010()()()n n n n f x b x b x b c x c ----=++++L

可得()f x 有有理根，此题与题设矛盾，同理可证1k ≠

2）

当11k n <<-时 考虑()f x 中k x 的系数： 0110k k k k a b c b c b c -=+++L

由设011|,|,,,k k p a p b b b -L 及，所以0|k p b c ，而0|,|k p c p b /

/，所以0|k p b c ，这是一个矛盾！

另当00|,|p c p b /

时，同理可证矛盾！ 所以()f x 在整数环上不可约，证毕。

多项式的复根与其不可约性

由代数基本定理，[]Z x 中n 次多项式在复数域中有n 个根，通过系数多项式在复数域上的分解的信息也能帮助判断其在整数多项式上的不可约性。

定理[]48 设1110()...[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈满足

10...1,n n a a a a ++<<+ （1）

则()f x 在Z 上不可约(从而在Q 上不可约)．

证明：()f x 的复根的模均大于1。

实际上，设()f x 有根α满足1α≤，则

011......n

n n a a a a a αα≤++≤++，与（1）矛盾。

现在假设()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式 1110()...r r r r g x b x b x b x b --=++++

1110()...s s s s h x c x c x c x c --=++++

使得()()()f x g x h x =，则000a b c =

另一方面，记()g x 的复根为12,,......,r ααα它们都是()f x 的根，故1(1,2,...,)j j r α≥=。结合韦达定理得出

01...r r r b b a a b =?>，即01r b b ≥+。 同理，01s c c ≥+，于是

000(1)(1)r s a b c b c =≥++

11r s r s r s b c b c b c =+++≥++

1n a =+

与（1）矛盾，故()f x 在Z 上不可约。 令1()()n F x x f x

=，则()f x 在Z 上可约显然等价于()F x 在Z 上可约。因此定理8中0a 与n a 是对称的。定理8表明，只要多项式的首项系数与常数项的绝对值足够大时，它在Z 上就不可约。

、n 次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性

定理[]59 设111()...n n n n f x x a x a x a --=++++为整系数多项式,若()1f x +有n 个两两不同的整数根,则()f x 在有理数域Q 上不可约。

证明: (反证法) 设()1f x +的n 个两两不同的整数根为12,,...,,n c c c 则有

()10i f c +=，()1(1,2,...)i f c i n =-=

假设()f x 在有理数域Q 上不是不可约多项式,因为()1,f x n ?=>所以()f x 在有理数域Q 上可约,也即是()f x 在整数环Z 上可约,所以存在整系数多项()h x 和()g x ，使得 ()()()f x h x g x =

其中 ()()h x f x n ?>?=，()()g x f x n ?

所以 (()())h x g x n ?+<，

所以由 ()1i f c =-,得 ()()1i i h c g c =-，

因此 ()()0(1,2,...,)i i h c g c i n +==

所以 ()()0h x g x +=

即有 2()(),()(),g x h x f x h x =-=-

所以()f x 首项系数为负数与1矛盾，

所以()f x 在有理数域Q 上不可约。

6、有限域上的不可约多项式

对于一般数域上的多项式，普遍可行的分解方法是不存在的。但是对于有限域，普遍可行的方法确实存在的，但是这也只适合低次多项式。

定理[]1110 设F 是一个有限域，(),()(),()0f x g x F x g x ∈≠则存在唯一的(),()[]q x r x F x ∈,使()()()()f x g x q x r x =+，其中()0r x =或(())(())f x g x ?

像在数域上一样，该定理给出了在有限域上判断整除性的方法。 例：425(),()[],()3432f x g x Z x f x x x x ∈=-++，()2g x x =-，问是否有()|()g x f x

解：作带余除法

()g x ()f x ()q x

2x - 423432x x x -++ 32321x x x +-- 433x x -

32432x x x -++

322x x -

2232x x -++

224x x -+

2x -+

2x -+

()0r x =

所以()|()g x f x

判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法

设F 是一个有限域，()[]f x F x ∈，(())0f x n ?=>

若()f x 在F 上可约，则存在12(),()[]f x f x F x ∈，且12(()),(())f x n f x n ?

有1(())f x ?[]2n ≤或者2(())f x ?[]2

n ≤，即()f x 必有次数大于0而不超过[]2n 的因式。而F 是有限域，只有有限个元素，从而F 上次数大于0而不超过[]2

n 的多项式只有有限个。因而只需找出F 上次数大于0而不超过[]2

n 的首项系数为1的多项式12(),(),,()i g x g x g x L ，用它们逐个试除()f x ，若某个()|()i g x f x ，则()f x 可约。否则()f x 不可约，若()f x 可约，对所做的分解式重复以上做法，最终可得()f x 在F 上的因式分解。

例：在2Z 上，证明多项式24321)()1,2)()1f x x x g x x x x x =++=++++均为不可约多项式。

证明：1）()f x 为2次多项式，且(0)1,(1)1,f f ==()f x 在2Z 上无根，从而没有一次因式，故()f x 在2Z 上不可约

2）2,[]22

n n ==，2Z 上次数大于0而不超过2的首项系数为1的全部多项式为22212345(),()1,(),(),()1g x x g x x g x x g x x x g x x ==+==+=+，

26()1g x x x =++，且任一()i g x 均不能整除()g x ，故()g x 在2Z 上也不可约。 但是当多项式的次数很高时，用带余除法判断就不实用，接下来我们将讨论几个定理来说明有限域上不可约多项式的状况。

q 阶有限域上的不可约多项式

定理[]1211 设()p x 为q 阶有限域F 上的一个k 次不可约多项式，则()p x 必为F 上多项式1k q x -的一个因式。

证明：因为()p x 是q 阶有限域F 上的一个k 次不可约多项式，则()p x 为

多项式环[]F x 的一个极大理想，从而以()p x 为模的剩余类域[]/()F x p x 是一个阶为k q 的有限域，而其全体单位（即可逆元）共有1k q -个，它作为一

个阶为1k q -的循环群，此即k q 阶有限域[]/()F x p x 的单位群，因此，x 作为此单位群（即1k q -阶循环群）中的元素，必有11k q x

-=或110k q x --=，这就是说，对模()p x 来说，多项式11k q

x --与0同余，即()p x 整除多项式11k q x --，亦即()p x 是多项式11k q x --的一个因式。

致谢

时间过得真快，在、的四年学习时间即将过去。虽然这四年时间不算长，但是在这四年我成长了很多，不管是自己的综合素质还是能力都有很大的进步，这是承受师恩、增长才干、提高学识的四年。很感激那些曾经帮助过我的老师和同学们，因为有他们的帮助才让我少走了很多弯路，才让我一人在外求学的道路走得不那么艰辛。在此，我要特别感谢老师在我大学最后的学习阶段——毕业设计阶段给自己的指导，为了指导我们小组的毕业论文，他常常放弃自己的休息时间，他这种无私奉献的敬业精神令人敬佩，在整个过程中也始终感受着导师的精心指导与无私的关怀。他扎实的学术功底，对论文的钻研精神，对待学术的严格要求让我们小组的每个人都受益匪浅，在此向余老师表示深深的感谢和崇高的敬意。

参考文献

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