不同域上的不可约多项式
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法
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整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法
王守峰
云南师范大学数学学院!云南昆明!)&*&**
摘4要本文总结和归纳了整系数多项式在有理数域上不可约的一些判定方法并通过具体例子展示了这些方法的实际 应用和局限性扩展了相关文献的结果
#基本结论 本节给出涉及整系数多项式在有理数域上不可约的判 定的一些事实& 对任意非零多项式 "' !( "用."' !( 表示 "' !( 的次数& 事实 $&$ 设 "' !( (I) !* & '$( 若."' !(=$"则 "' !( 在 H上不可约& ')( "' !( 在 H中有根当且仅当 "' !( 在 H上有一次因式& '((若."'!(+) 且 "'!(在 H中有根"则 "'!(在 H上可约& '3( 若 ) ."' !( ("则 "' !( 在 H上不可约当且仅当 "' !( 在 H中无根& 事实 $&) 设 "'!(=1% !% E1%n$ !%n$ E1E1$ !E1% (I)!*且 1% " 1% 均不为零& 记 "!'!(=1% !% E1$ !%n$ E1E1%n$ !E1% & 则 "'!( 在 H上不可约当且仅当 "!'!(在 H上不可约& 证明 容易验证"若 "' !( =# ' !( < ' !( " # ' !( " < ' !( ( I ) !* "则 "!' !(=#!' !( <!' !( 且."!' !( =."' !( ".<!' !( =.< ' !( ".#!' !(=.#' !( & 于是结论成立& 事实 $&( 设 "' !( (I) !* "1";(I"1#%& 则 "' !( 在 H上 不可约当且仅当 "' 1!E;( 在 H上不可约& 证明 若 "' !( 在 H上可约"则 "' !( =#' !( <' !( "#' !( "< '!( (I) !* " .#' !( ".<' !( l."' !( & 于是 "' 1!E;( =#' 1!E;(
不可约多项式和互素的区别
不可约多项式和互素的区别在数学领域中，不可约多项式和互素是两个非常基础而重要的概念。
这两个概念分别描述了多项式之间的不同特征，下面将详细讲述不可约多项式和互素的区别。
一、不可约多项式在代数学中，不可约多项式指的是不能分解成两个或更多多项式乘积的多项式。
不可约多项式是有理数系或实数系或复数系上的多项式。
它们的系数是有理数或实数或复数。
这样的多项式具有区别于次数为一次或零次多项式的性质，因为它们不能完全分解成一次或零次多项式的乘积。
不可约多项式的重要性在于它们是多项式环上的基本元素，而且能够用来描述一些数域的性质，比如代数数的阶。
不可约多项式的定义是不可分解的，因此它的因子只能是常数和自身，而不能分解成其他单项式。
不可约多项式的一个重要性质是，它必须是多项式环上的主理想的生成元。
二、互素互素指的是在整数环上，若两个整数的最大公约数为1，则这两个整数互质。
推广到多项式环上可以得到，若两个多项式的最大公因式为1，则这两个多项式互素。
比如，f(x) = x^2+1, g(x) = x+1。
这两个多项式不可约，但它们不互素，因为它们的最大公因式为1，即f(x)和g(x)没有公共因子。
互素的概念可以用于求解线性代数和数学分析中的问题。
比如，假设有两个多项式f(x)和g(x)，它们互素，如何求得f(x)和g(x)的乘积的系数。
可以利用互素的特性，将f(x)和g(x)展开成两个整数m和n的积，再通过展开式转换，求得系数。
这个方法广泛应用于线性代数和数学分析中。
三、不可约多项式和互素的区别虽然不可约多项式和互素都是多项式理论中的基本概念，但它们之间存在着一定的区别。
主要表现在以下几个方面：1、定义不同：不可约多项式指的是不能再分解的多项式，互素指的是最大公因式为1的多项式。
2、性质不同：不可约多项式通常满足一些数学公理，比如它们是多项式环上的主理想的生成元等。
而互素无此性质。
3、用途不同：不可约多项式主要用于表示一些数域的性质，比如代数数的阶。
二元有限域上的n次不可约多项式
二元有限域上的n次不可约多项式
在数学中，二元有限域上的n次不可约多项式是指在二元有限域上，次数为n 的多项式无法分解成低次多项式的乘积。
这里的“二元有限域”指的是一个有限个元素的集合，其中包括了数学上的0和1，并满足加法和乘法运算具有封闭性、结合律、交换律以及存在零元素和单位元素等性质。
在这个定义中，“不可约”表示该多项式无法被分解成两个或更多个低次多项式的乘积。
这里的“低次多项式”指的是次数比原多项式小的多项式。
如果一个多项式可以被分解成两个或更多个低次多项式的乘积，那么它就被称为可约多项式。
二元有限域上的n次不可约多项式在密码学中有着广泛的应用，例如在椭圆曲线密码学和分组密码中都有用到。
因此，研究二元有限域上的n次不可约多项式是密码学研究的一个重要方向。
目前已有许多算法和方法可以用来生成二元有限域上的n次不可约多项式，例如Berlekamp算法、Cantor-Zassenhaus算法等。
这些算法不仅可以用来生成不可约多项式，还可以用来分解、判断和计算多项式等相关问题。
在密码学应用中，选取一个合适的不可约多项式对于保证密码系统的安全性至关重要。
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式什么叫不能再分？平凡因式：零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的.如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =，的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数.反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f有非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约.由不可约多项式的定义可知：任何一次多项式都是不可约多项式的.不可约多项式的重要性质：一个多项式是否不可约是依赖于系数域；1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约.2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x).3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除.Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法当s=1时,显然成立;假设s=n-1 时,结论成立;当s=n 时,令)()()()(),()(32211x f x f x f x g x f x g n ==, 如果)(|)(),(|)(11x f x p x g x p 则命题成立,如果1))(),((),(|)(11=/x g x p x g x p 则,从而)(|)(2x g x p ,即)(,),(),()(32x f x f x f x p n 整除 n-1 多项式的乘积,由归纳法假设)(x p 整除其中一个多项式,根据数学归纳法原理,命题得证. 因式分解及唯一性定理：多项式环P[x]的每一个)0(>n n 次多项式)(x f 都可以唯一分解成P[x]的不可约多项式的乘积；)()()()(21x p x p x p x f s =所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==那么，必有s=t ，并且适当地排列因式的顺序后有),2,1()()(s i x cq x p i i ==标准分解式（典型分解式）：)()()()(2121x p x p x cp x f s r s rr =其中c 是f(x)的首项系数，)(),(),(21x p x p x p s 是不同的、首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,21正整数.例1：在有理数域上分解多项式， 22)(23--+=x x x x f . )2)(1)(1()2)(1(22)(223+-+=-++=--+=x x x x x x x x x x f例2：求 的典型分解式内在][122)(2345x Q x x x x x x f -++--=. 23242345)1()1()12)(1(122)(+-=+--=-++--=x x x x x x x x x x x f 例3.求 的典型内在][6141616102)(2345x R x x x x x x f -+-+-= 分解式. )3()1)(1(2)(22--+=x x x x f例4：分别在有理数域、实数域和复数域上分解多项式 15-x 和16-x 为不可约多项式的乘积.解:)1)(1()1(2345++++-=-x x x x x x Q[x]][)154cos 2)(152cos 2)(1()1)(1()1(222345x R x x x x x x x x x +-+--=++++-=-ππ][)52sin 52cos ()1()1)(1()1(412345x C k i k x x x x x x x x k ππ---=++++-=-=在Q[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在R[x]上)1)(1)(1)(1()1)(1()1(22336+-+++-=+-=-x x x x x x x x x ; 在C[x]上)2321)(2321)(1)(2321)(2321)(1(16i x i x x i x i x x x -++++--+--=-。
天津科技大学信息与计算科学专业高等代数教案 不可约多项式
第三十七讲教学目的 掌握不可约多项式的概念，及多项式的唯一因式分解定理,掌握重因式的概 念及计算重因式． 教学重点 多项式的唯一因式分解定理 教学难点 计算重因式 教学时数 2学时 教学过程第四节 不可约多项式，唯一因式分解定理例：Con i x i x x x R on x x x Qon x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 定义1 ()()[],d e g 0p x K x p x ∈>，若它的因子只有零次多项式和()p x 的相伴元，则称()p x 是数域K 上的一个不可约多项式，否则称其可约．性质 1 ()[],p x K x ∈不可约，则任意的()[],f x K x ∈或者()()|p x f x 或者()()(),1p x f x =.性质 2 在[]K x 中，如果()p x 不可约，且()()()|p x f x g x ，则()()|p x f x 或者()()|p x g x .注：此结论可以推广到多个多项式乘积的情形．性质3在[]K x 中，()p x 不可约当且仅当()p x 不能分解成两个次数比()p x 次数低的多项式的乘积．注：在[]K x 中，每个一次多项式均不可约．定理 1 （唯一因式分解定理）在[]K x 中每个次数大于零的多项式()f x 都能唯一的分解成数域K 上有限多个不可约多项式的乘积，并且这些不可约多项式因子在相伴意义下是唯一确定的．定义 2 标准分解式()()()11,mr rmfx c p xp xc =是()f x 的首项系数，并且()()1,,m p x p x 是两两不同的首项系数为1的不可约多项式，1,,m r r N ∈ .注1 可以用多项式的标准分解式来求两个多项式的最大公因式．2 多项式的因式分解是计算机代数这个领域很重要的问题，其算法尚在完善中． 判断多项式不可约性应用：例1 证明：22x -在有理数域上不可约．证明：假设已知多项式在有理数域上可约，我们设其标准分解式为()()22,,x x a x b a b Q -=--∈在实数域尚多项式有分解(22x x x -=-+注意到一次多项式在实数域上不可约，故由分解的唯一性可以知道x a x x -=-+者，即a =-者a 是有理数矛盾．例2 证明：31x x ++在有理数域上不可约．第五节 重因式定义1在[]K x 中，不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式，如果()()()()1|,|kk px f x p x f x +．注1、 用重因式写出标准分解式()()()11m rrm f x cp x p x =注2、 ()()()()321,'31f x x f x x =+=+，那么()()()()2,'1f x f x x =+ 定义2 设()10nn f x a x a x a =+++ ，规定()121'2n n f x na xa x a -=+++注1、 更高阶的导数公式可以以此类推． 注2、 基本公式与函数的导数公式一致．定理1 在[]K x 中，如果不可约多项式()p x 是()f x 的一个k 重因式，则()p x 是()f x 的导数的1k -重因式．特别的，多项式()f x 的单因式不是()f x 导数的因式．推论2 ()p x 是()f x 的重因式()()()()|,'p x f x f x ⇔． 定理3 ()[],f x K x ∈()deg 0f x >，()f x 没有重因式⇔()()(),'1f x f x =．命题4 设数域F 包含数域K ，对于()[]f x K x ∈，()f x 无重因式⇔()f x 在[]F x 中无重因式，即()f x 有无重因式同数域无关．注1、 整除关系，最大公因式与数域的选取无关． 注2、 多项式的因式和可约性与数域的选取有关． 注3、 去重因子的方法()()()(),'f x f x f x例1 证明：[]Q x 中多项式()212!!nxxf x x n =++++没有重因式．证明：()()()()1'1,'1!!n nxxf x x f x f x n n -=+++=+-()()()()()(),'',','1!!nn x x f x f x f x f x f x n n ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作业：习题7.4 2,3,4 习题7.5 1(2),3,4,5。
二元域次数为8的不可约多项式
∏������|������ ������������ (������)
= ������ + ������
因为 x -1 =
3
∏������|������ ������������ (������)
=Φ3(х)Φ1(х)，所以，������������ (������) =
������������ −������ ������������ (������)
n
因为 x-1 = ∏������|������ ������������ (������) 因为 x -1 =
2
=Φ1（х） ，所以，Φ1（х）= x-1。 =Φ2(х)Φ1(х)，所以，������������ (������) = ������
������������ −������
������ (������)
分圆多项式
定理 7.5.1 复数域中恰有 n 个 n 次单位根。它们在乘法下作成一个 n 元循环群， （5）所规定的ξ是一个生成元素。 这个 n 元循环群的生成元素称为本原 n 次单位根，我们知道，n 元循环群共有（n）个生成元素。所以，共有（n）个本原 n 次单位根，假定它们是 ξ1，ξ2，…，ξ（n） ξ= cos
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译= irreducible polynomialLet f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni.f (x) =f_l (x) 1・・・f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式.In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n.设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。
From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp.由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式.As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields.这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。
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论文题目目录1、前言................................................................................................... 错误!未定义书签。
2、因式分解定理及唯一性定理 ..................................................... 错误!未定义书签。
3、复系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
4、实系数多项式................................................................................. 错误!未定义书签。
5、有理系数多项式 ............................................................................ 错误!未定义书签。
艾森斯坦（Eisenstein）判别法 .................................. 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的变式..................... 错误!未定义书签。
艾森斯坦因（Eisenstein）判别法的等价定理............. 错误!未定义书签。
多项式的复根与其不可约性......................................... 错误!未定义书签。
n次整系数多项式在有理数域上的不可约的又一充分性错误!未定义书签。
6、有限域上的不可约多项式.......................................................... 错误!未定义书签。
判断有限域上一元多项式是否可约进而得到分解式的方法错误!未定义书签。
q阶有限域上的不可约多项式.................................... 错误!未定义书签。
致谢.......................................................................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 ................................................................................................ 错误!未定义书签。
不同域上的不可约多项式摘要：判断一个多项式是否可约是很困难的，在前人的基础上，采用了类比分析的方法，讨论了复数域、实数域、有理数域、有限域上的不可约多项式的状况，对不可约多项式进行了比较完善的总结归纳。
关键字：复数域实数域有理数域有限域不可约多项式中图分类号：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract:It is difficult to judge a polynomial irreducible.In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complexfield,rational number field and finite is a more perfect summary about irreducible is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials. Key Words:Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可约多项式1、前言一个多项式是否不可约是依赖于系数域的，虽然因式分解定理在理 论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的，即使只是判别一个多项式是否可约都很困难。
所以我们只能在不同的域上讨论多项式是否不可约。
本文主要在前人研究的基础上，将复数域、实数域、有理数域、有限数域上的多项式是否可约的问题进行归纳，采用类比分析的方法进行总结。
2、因式分解定理及唯一性定理定理[]11 数域P 上每个次数1≥的多项式()f x 都可以唯一地分解成 域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说,如果有两个分解式1212()()()()()()()s t f x p x p x p x q x q x q x ==那么必有s t =，并且适当排列因式的次序后有()(),1,2,,i i i p x c q x i s ==， 其中(1,2,,)i c i s =是一些非零常数.因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一些具体的分解多项式的方法。
实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。
接下来将讨论复数域、实数域、有理数域、有限域上的多项式的是否可约。
3、复系数多项式定理[]12（代数基本定理） 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中至少有一根。
定理[]13（复系数多项式因式分解定理）每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的。
4、实系数多项式定理[]14（实系数多项式因式分解定理） 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.由此可知，实数域上的不可约多项式有一次多项式和某些二次多项式（判别式小于0）。
5、有理系数多项式每个次数1≥的有理系数多项式都能唯一的分解成不可约的有理系数多项式的乘积。
但是对于任意一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与实数域、复数域不同的。
艾森斯坦（Eisenstein ）判别法定理[]15（Eisenstein 判别法） 设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++是一个整系数多项式，如果存在素数p 使得 011(1),,,;n p a p a p a -(2)p |/n a ；2)3(p |/0a那么()f x 在Q 上不可约证明：若()f x 在有理数域上可约，则()f x 在Z 上可约，即存在整系数多项式01(),k k g x b b x b x =+++ 01(),l l h x c c x c x =+++使得 ()()(),f x g x h x =其中 ,,.k l n k n l n +=<<因为200000,|,|,a b c p a p a =/所以0b 与0c 不能同时被p 整除 不妨设00|,|.p b p c /因为,|n k l n a b c p a =/，所以|k p b /.设 011|,|,,|,|(1).s s p b p b p b p b s k -≤≤/考察等式011110.s s s s s a b c b c b c b c --=++++由于01111|,|()s s s s p a p b c b c b c --+++，所以0|s p b c ，这与0|,|s p b p c /矛盾，故()f x 在()Z x 中不可约，因而在[]Q x 中不可约（证毕）对任意正整数,2n n x +都是Z 上不可约多项式，从而[]Z x （及[]Q x ）中存在任意次数的不可约多项式.5．2艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的变式一般地对()()f x Z x ∈，常作变换x ay b =+,则()()()f x f ay b f y =+=,很显然()f x 与()g y 在[]Q x 上具有相同的可约性.有时候对于某个多项式不能直接应用Eisenstein 判别法，可以把它进行如上适当变形后，再应用这个判别法。
例如：设P 是一个素数，多项式12()1p p f x x x x --=++++叫做一个分圆多项式，证明()f x 在[]Q x 中不可约。
证明：因为011n a a a ====，所以不存在这样的素数P 满足Eisenstein 判别法的条件，但是如果我们令1x y =+，则由于(1)()1n x f x x -=-111(1)(1)1p p p p p p yf y y y C y C y --+=+-=+++令()(1)g y f y =+，于是1121()p p p p pg y y C y C ---=+++ 由Eisenstein 判别法，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 也在有理数域上不可约。
5．3艾森斯坦因（Eisenstein ）判别法的等价定理定理[]26 假如2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈是整系数多项式，如果存在一个素数P ，使得；2011)|;2),|,,|;3)|n n p a p R p a p a p a ∈//，则()f x 在[]Q x 上不可约。
定理[]37 设2012()[]n n f x a a x a x a x Z x =++++∈为次数大于3的整系数多项式，且()f x 无有理根存在，如有整数P 使得1）200||P a a /，P ；2）122||,,|n P a p a p a -，；3）1|n p a -/ 则()f x 在整数环上一定不可约证明：这里仅考虑()f x 为本原多项式的情形反设()f x 在整数环上可约，其分解式为：110101()()()l l m m m m l l f x b x b x b c x c x c ----=++++++其中 110()l l l l g x b x b x b --=+++ 110()m m m m h x c x c x c --=+++均为本原多项式，且,,l m n m l n <+=，从而111n l m l m a b c b c ---=+，000a b c =由已知000|p a b c =，而20|p a /，所以不妨设：0|p b ，而0|p c /，又因为1|n p a -/，所以p 不能同时整除l b 及1l b -，不妨设01,,,l b b b 中第一个不能被p 整除的数是k b ，即011|,,,k p b b b -，而|k p b /其中1k l n ≤≤<下面分两种情况讨论：1） 当1k l n ==-时 可证1m =从而1212010()()()n n n n f x b x b x b c x c ----=++++可得()f x 有有理根，此题与题设矛盾，同理可证1k ≠2）当11k n <<-时 考虑()f x 中k x 的系数： 0110k k k k a b c b c b c -=+++ 由设011|,|,,,k k p a p b b b -及，所以0|k p b c ，而0|,|k p c p b //，所以0|k p b c ，这是一个矛盾！另当00|,|p c p b /时，同理可证矛盾！ 所以()f x 在整数环上不可约，证毕。