贝塞尔曲线和B样条曲线
离散点拟合曲线-Bezier-B样条
b1 y1 y0
b2
1 2
(
y0
2
P1
y1
y2 )
2. 二次B 样条曲线的特点
①起点为P0、P1点的中点，
并与线段P0P1相切；
P0
P2
§3 B样条曲线
②终点为P1、P2点的中点，并与线段P1P2相切； ③除起点、终点外，中间点将曲线拉向自己。
④二次B 样条曲线为“平均通过式”曲线
3. 多点时二次B 样条曲线的应用
pj() pj() 及 pj() pj() 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。
。 显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的 连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
§3 B样条曲线
P1 P0
……
Pn-1 Pn
Ps
边界处理示意图
Pe
Ps 在 P1 、P0 的延长线上，且 Ps0 P01
Pe 在Pn1、Pn 的延长线上，且 Pen Pnn1
y(t
)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
其中
a0 x0 a1 2( x1 x0 ) a2 x0 2x1 x2
b0 y0 b1 2( y1 y0 ) b2 y0 2 y1 y2
绘制方法：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依 次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用曲线参数方程计算对应的 各点坐标，并用直线段依次连接各点。
对于这类曲线的绘制，首先要找出一种合理的拟合方 法来设计曲线方程。
bezier曲线或b样条曲线的绘制
淮阴工学院计算机科学系实验报告书课程名：《计算机图形学》题目：实验4 BEZIER曲线或B样条曲线的绘制班级：学号：姓名：评语：成绩：指导教师：批阅时间：年月日1、实验内容或题目编程实现三次BEZIER或B样条曲线的绘制。
2、实验目的与要求(1) 通过实验，进一步理解和掌握生成BEZIER或B样条曲线的算法；(2) 掌握BEZIER或B样条曲线的基本生成过程；(3) 通过编程，会在TC环境下编程实现三次BEZIER或B样条曲线的绘制。
3、实验步骤与源程序错误！未找到引用源。
实验步骤1、算法、原理清晰，有详细的设计步骤；2、依据算法、步骤或程序流程图，用C语言编写源程序；3、编辑源程序并进行调试；4、进行特殊模式的运行测试，并结合情况进行调整；5、对运行结果进行保存与分析；6、打印源程序或把源程序以文件的形式提交；7、按格式书写实验报告。
错误！未找到引用源。
源代码#include "graphics.h"float px[4]={ 50,80,120,140 };float py[4]={100,230,230,160};void Bezier(){float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3;int k,x,y;float i,t,n=4;setcolor(15);for(k=0;k<3;k++){moveto(px[k],py[k]);lineto(px[k+1],py[k+1]);}setcolor(4);a0=px[0];a1=-3*px[0]+3*px[1];a2=3*px[0]-6*px[1]+3*px[2];a3=-px[0]+3*px[1]-3*px[2]+px[3];b0=py[0];b1=-3*py[0]+3*py[1];b2=3*py[0]-6*py[1]+3*py[2];b3=-py[0]+3*py[1]-3*py[k+2]+py[3];for(i=0;i<n;i+=0.001){t=i;x=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t;y=b0+b1*t+b2*t*t+b3*t*t*t;if(i==0)moveto(x,y);lineto(x,y);}}void main(){int driver,mode;driver=DETECT;initgraph(&driver,&mode,"..\\bgi");Bezier();}4、测试数据与实验结果5、结果分析与实验体会通过这次实验，我初步熟悉了turboc 的运行环境。
B样条曲线
Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建 构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中 定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1， 并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两 个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距， 决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长 度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行 较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改； 更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
#include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]); lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) { if(getch()==17)exit();
blender曲线几何数据
blender曲线几何数据
Blender曲线几何数据是作为Blender中一个重要功能之一的一
项技术。
本文将针对这一技术进行详细的介绍。
Blender是一种3D设计软件，它有着非常强大的功能，包括建模、动画、渲染等。
曲线是Blender中一个非常重要的概念，利用曲线可
以绘制出各种各样复杂的形状，同时也是实现精细动画的关键。
Blender的曲线可以分为两种，NURBS曲线和Bezier曲线。
NURBS曲线，又称非均质有理B样条曲线。
NURBS曲线利用了B样条基
函数，用一堆点来描述曲线。
这样可以通过改变点的坐标和权重、拼
接和插值等方式控制曲线的形状和弯曲程度。
而Bezier曲线，又称贝塞尔曲线，是利用Bezier公式描述的一
类曲线。
它也是基于一些点通过计算得到的，可以控制曲线的形状，
例如拐角处的角度等等。
在Blender中，我们可以利用曲线来建模、绘画和制作动画。
对
于建模来说，通过利用Bezier曲线能够很快速地生成平滑、流畅的曲
线线条，而NURBS曲线能够用于制作有机的物体。
同时还有曲面能够
将曲线投射在二维平面上，形成有厚度的三维物体。
除此之外，在Blender中利用曲线也能够制作出复杂的运动路径、设定物体的运动路线等等。
总之，Blender曲线几何数据是Blender中非常重要的一项技术，它可以帮助我们方便快捷地实现各种形状，提高提高我们的设计效率。
贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
《计算机图形学》04样条曲线
在计算机图形学中，样条曲线是一种非常重要的基础概念。它能够高效的表 示和控制平滑连续的二维和三维曲线，广泛应用于计算机辅助设计(CAD)、三 维建模和动画设计等领域。
定义与基本概念
平滑曲线
样条曲线是由若干个多项式段(Polynomial Segment)拼接得到的平滑曲线，它能够模拟现实 世界中的很多光滑变化。
样条曲线在计算机图形学中的应用
汽车造型设计
NURBS曲线的高度可变形性和局部控制能力，为 汽车造型设计师提供了很多便利，并成为了汽车造 型设计中的主流技术。
动画角色设计
B样条曲线由于其较好的局部控制性和光滑性，已 经成为三维动画角色设计和动画制作中非常重要的 工具。
建筑设计
贝塞尔曲线在建筑设计中常常用于描述曲线的形状
控制顶点
样条曲线的形状由一组控制顶点(Curve Control Points)控制，曲线不再经过控制点，而是通过它们 来控制。
节点矢量
节点矢量是按一个规则排列的参数值，它规定了样
曲线次数
曲线多项式段的次数称为曲线的次数，通常用k表
构造和表示方法
1
B样条曲线
通过对节点矢量和控制顶点的设置，能够创建平滑过度的曲线。这种曲线的基函数中只有一 个非零部分。
快速原型设计
样条曲线能够利用其局部控制性和强大的变形能力，
样条曲线的优势和局限性
优势
• 局部控制性出色 • 能够满足曲线光滑和变形性 • 适用于二维和三维图形软件 • 能够极大地优化图形绘制和渲染速度
局限性
• 复杂度高，不适用于细节处理 • 容易受到运动伪影的影响 • 不擅长纹理映射和阴影处理
样条曲线的算法和计算方法
贝塞尔曲线和B样条曲线
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
机器人运动控制与轨迹规划考核试卷
8.机器人的位置控制通常使用______传感器来获取反馈信息。
9.在轨迹规划中，加减速曲线设计需要考虑的最大加速度被称为______。
10.机器人控制系统的性能受到控制器设计、执行器响应时间、传感器精度和______等因素的影响。
四、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分，正确的请在答题括号中画√，错误的画×）
2.在机器人轨迹规划中，为什么需要考虑路径平滑？请列举至少三种常用的路径平滑方法，并简要说明它们的工作原理。
3.请解释什么是机器人逆运动学问题，以及为什么在实际应用中会遇到多解和奇点问题。同时，讨论至少两种解决这些问题的方法。
4.在进行机器人路径规划时，如何考虑动态障碍物？请描述一种算法或策略，并说明它是如何确保机器人安全绕过动态障碍物的。
A.最大速度
B.最大加速度
C.起点速度
D.重力加速度
20.以下哪个不是机器人逆运动学求解的挑战之一？（）
A.多解问题
B.奇点问题
C.计算复杂性
D.环境变化
二、多选题（本题共20小题，每小题1.5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的）
1.机器人运动控制中，以下哪些属于常见的控制方法？（）
C.执行器
D.目标设定
14.以下哪个不属于轨迹规划中的路径平滑方法？（）
A.贝塞尔平滑
B. B样条平滑
C.聚合平滑
D.梯度平滑
15.在PID控制中，D的作用是什么？（）
A.减少稳态误差
B.减少超调
C.加快系统响应
D.降低系统稳定性
16.以下哪种方法通常用于处理机器人运动中的奇点问题？（）
opencascade b样条曲线生成贝塞尔曲线
opencascade b样条曲线生成贝塞尔曲线在OpenCASCADE库中，可以使用B样条曲线来生成贝塞尔曲线。
下面是一个使用B样条曲线生成贝塞尔曲线的示例代码：```cpp// 创建B样条曲线Handle(Geom_BSplineCurve) bspline = newGeom_BSplineCurve();// 设置B样条曲线属性Standard_Integer degree = 3; // B样条曲线的次数Standard_Boolean periodic = Standard_False; // 是否为周期性曲线Standard_Integer numPoles = 5; // 控制点数量TColgp_Array1OfPnt poles(1, numPoles); // 控制点数组// 设置控制点poles(1) = gp_Pnt(0, 0, 0);poles(2) = gp_Pnt(1, 1, 0);poles(3) = gp_Pnt(2, -1, 0);poles(4) = gp_Pnt(3, 0, 0);poles(5) = gp_Pnt(4, 1, 0);// 设置节点向量TColStd_Array1OfReal knots(1, 9); // 节点向量数组knots(1) = 0.0;knots(2) = 0.0;knots(3) = 0.0;knots(4) = 1.0;knots(5) = 2.0;knots(6) = 3.0;knots(7) = 4.0;knots(8) = 4.0;knots(9) = 4.0;// 设置B样条曲线属性bspline->Init(poles, knots, degree, periodic);// 将B样条曲线转换为贝塞尔曲线Handle(Geom_BezierCurve) bezier = new Geom_BezierCurve(); bezier->Convert(bspline);// 获取贝塞尔曲线的控制点TColgp_Array1OfPnt bezierPoles(1, bezier->NbPoles());bezier->Poles(bezierPoles);// 打印贝塞尔曲线的控制点坐标for (Standard_Integer i = 1; i <= bezier->NbPoles(); ++i) {cout << "Control Point " << i << ": " << bezierPoles(i).X() << ", " << bezierPoles(i).Y() << ", " << bezierPoles(i).Z() << endl;}```在上述示例代码中，我们首先创建了一个B样条曲线，并设置了其控制点和节点向量。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
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§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线
在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。
我们称之为“点点通过”。
但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。
在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。
针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。
后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。
一、
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。
在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。
第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。
1.数学表达式
n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：
),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数
2.二次贝塞尔曲线
需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式： 当2
1
=
t 时： 3.三次贝塞尔曲线
三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。
其中：3230303,0331)1()1()!
03(!0!
3t t t t t t B -+-=-=-⋅⋅-=
-
贝塞尔曲线特点：
1.n 个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。
2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。
二、B 样条曲线
用B 样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。
1.数学表达式
通常，给定m+n+1个顶点),,1,0(n m i p i += 可以定义m+1段n 次参数函数为：
)()(0,,t F p t p n
k n k k i n i ∑=+= （10≤≤t ），),,1,0(m i =
其中)(,t F n k 为B 样条分段混合函数，形式为：
• 段数、次数 段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；
• )!
(!!
n m n m C n
m
-=
2.二次B 样条曲线 n=2,k=0,1,2
3.三次B 样条曲线 n=3, k=0, 1, 2, 3 其中∑-=+--+-=k
n j n j n j k j k n t C F 0
13
,)()1(!31， )3,2,1,0(=l B l 称为特征多边形。
例: 设)3,4(0p ，)5,6(1p ，)6,10(2p ，)4,12(3p ，用以上四个点构造2次B 样条曲线。
由B 样条的定义可知，4个点可定义2次B 样条曲线2段： m+n+1=4 n=2 m+1=2。