湖北省黄冈市黄梅县黄梅一中高中数学二分法教案新人教A版必修1

合集下载

高一数学人教A版2019必修第一册 4-5-2 用二分法求方程的近似解 (3)教案

一、教学目标1.了解二分法求解方程的基本思想和原理。

2.掌握如何将方程转化为单调函数。

3.掌握二分法的具体步骤。

4.能够应用二分法求解简单的方程，并给出适当精度的近似解。

二、教学重点1.如何将方程转化为单调函数。

2.二分法的具体步骤。

三、教学难点1.如何将非单调函数转化为单调函数。

2.如何确定二分法的结束条件。

四、教学方法讲解法、示范演示法、交互式教学法五、教学过程Step 1 引入通过阅读一道数学题目引导学生，认识到二分法在数学中的应用。

例如：已知$x>0$，求$\sqrt{x}=2\cos x$ 的近似解，并精确到小数点后三位。

Step 2 讲解二分法的基本思想和原理对于一个单调递增（或递减）函数$f(x)$，如果$f(a)f(b)<0$，则在区间$[a,b]$ 内必定存在一个实根。

利用二分法，不断缩小区间范围，确定方程的实根所在位置。

Step 3 将方程转化为单调函数对于非单调函数$f(x)$，我们可以将其转化为单调函数$g(x)$ 的形式，即$g(x)=f(x)-kx$，其中$k$ 是一个常数。

通过调整常数$k$ 的值，使得函数$g(x)$ 的单调性不变。

例如，在求解方程$\sin x=x^2$ 时，我们可以将其转化为$f(x)=\sin x-x^2=0$，然后设$g(x)=\sin x-x^2-0.25$，即$k=0.25$，此时$g(x)$ 在$(0,\pi)$ 上是单调递增的。

Step 4 二分具体步骤对于区间$[a，取其中点$c=\dfrac{a+b}{2}$，计算$f(c)$ 的值。

根据中值定理，将区间$[a,b]$ 分成两部分，分别判断$f(a)f(c)<0$ 和$f(c)f(b)<0$ 是否成立。

如果成立，则在区间$[a,c]$ 或$[c,b]$ 内必定存在实根，继续利用二分法缩小搜索区间的范围。

不断重复以上步骤，直到找到方程的实根。

Step 5 应用二分法解题练习1：求方程$x^3-5x+1=0$ 的近似解，并精确到小数点后3位。

2024年新高一数学讲义(人教A版2019必修第一册)用二分法求方程的近似解(解析版)

第19讲用二分法求方程的近似解模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；2．了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解.知识点1二分法1、二分法的定义：对于区间[],a b 上图象连续不断且()()0⋅<f a f b 的函数()f x ，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法．2、二分法要点辨析：（1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）函数图象在零点附近连续不断；（3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反，比如2=y x ，该函数有零点0，但不能用二分法求解．知识点2二分法求零点近似值1、给定精确度ε，用二分法求函数()=y f x 零点0x 的近似值的步骤（1）确定零点0x 的初始区间[],a b ，验证()()0⋅<f a f b ；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ，进一步确定零点所在的区间：①若()0=f c （此时0=x c ），则c 就是函数的零点；②若()()0⋅<f a f c （此时()0,∈x a c ），则令=b c ；③若()()0⋅<f c f b （此时()0,∈x c b ），则令=a c .（4）判断是否达到精确度ε：若-<a b ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）~（4）【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点．2、关于精确度（1）“精确度”与“精确到”不是一回事，这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值ε，即-<a b ε；“精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算213-，精确到0.01，即0.33（2）精确度ε表示当区间的长度小于ε时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值．考点一：判断二分法的适用条件例1．（23-24高一上·天津·月考）下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B ，1x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C ，图象与x 轴有交点，图象在x 轴及其上方，0x =两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D ，0x =两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式1-1】（22-23高一上·陕西咸阳·月考）已知函数()y f x =的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（）A ．4，4B ．3，4C ．4，3D ．5，4【答案】C【解析】图象与x 轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.故选：C【变式1-2】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A ．()2f x x =B ．()2222f x x =++C ．()13f x x x=+-D ．()ln 3f x x =+【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A ，()2f x x =有唯一零点0x =，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B ，()(222222f x x x x =++=有唯一零点2x =-但(220y x =≥恒成立，故不可用二分法求零点；对于C ，()13f x x x =+-有两个不同零点352x =，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D ，()ln 3f x x =+有唯一零点3x e -=，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【变式1-3】（23-24高一上·广东东莞·月考）（多选）下列方程中能用二分法求近似解的为（）A ．ln 0x x +=B ．e 30x x -=C ．3310x x -+=D ．244550x x -+=【答案】ABC【解析】对于A 项，设()ln f x x x =+，则22221111ln 20e e e e f ⎛⎫=+=-+< ⎪⎝⎭，()110f =>，所以，()2110e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的存在定理可知，121,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，故A 正确；对于B 项，设()e 3xg x x =-，则()010g =>，()1e 30g =-<，所以，()()010g g <，且()g x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()20,1x ∃∈，使得()20g x =，故B 正确；对于C 项，设()331h x x x =-+，则()010h =>，()113110h =-+=-<，所以，()()010h h <，且()h x 的图象是一条连续不断的曲线..根据零点的存在定理可知，()30,1x ∃∈，使得()30h x =，故C 正确；对于D 项，设()24455k x x =-+，因为()(2250k x x =≥恒成立，不存在函数值异号区间，所以不满足二分法的条件，故D 错误.故选：ABC.考点二：二分法的具体步骤例2.（23-24高一下·江苏扬州·月考）用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时，第一次经过计算得(0)0f <，(0.5)0>f ，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（）A ．(0,0.5)，(0.125)fB ．(0,0.5)，(0.25)fC ．(0.5,1)，(0.75)fD ．(0,0.5)，(0.375)f 【答案】B【解析】因为(0)(0.5)0f f <，由零点存在性知：零点()00,0.5x ∈，根据二分法，第二次应计算00.52f +⎛⎫⎪⎝⎭，即()0.25f .故选：B.【变式2-1】（23-24高一上·湖南长沙·期末）设()28x f x x =+-，用二分法求方程280x x +-=在[1,5]上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（）A ．[]1,2或[]2,3都可以B ．[]2,3C ．[]1,2D ．不能确定【答案】B【解析】(1)2821850x f x =+-=+-=-<，55(5)258230f =+-=->，第一次取11532x +==，有3(3)23830f =+-=>，故第二次取21322x +==，有2(2)22820f =+-=-<，故此时可确定近似解所在区间为[]2,3.故选：B.【变式2-2】（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知增函数()y f x =的图象在[,]a b 上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a b a +，1[,33ba +，则b a -的值是（）A ．1B ．43C ．23-D ．23【答案】B【解析】因为依次确定了零点所在区间为[,]a b ，[,]2a b a +，1[,]33ba +，可得231223a b ba b a a +⎧=⎪⎪⎨++⎪=+⎪⎩，即3043a b b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1,13a b =-=.所以14133b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭.故选：B.【变式2-3】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数()e 2xf x x =--的一个正零点的近似值（精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据；()()()()10.28, 1.50.98, 1.250.24, 1.1250.04f f f f ≈-≈≈≈-，关于下一步的说法正确的是（）A ．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B ．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.1875fD ．没有达到精确度的要求，应该接着计算()1.0625f 【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，()()()1,1.51,1.25 1.125,1.25→→时的区间长度为1.125 1.250.1250.1-=>，故没有达到精确的要求，应该接着计算()1.125 1.25 1.18752f f +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值.故选：C考点三：二分法次数的确定例3.（23-24高一上·湖北襄阳·期末）已知函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内存在一个零点，用二分法求方程近似解时，至少需要求（）次中点值可以求得近似解（精确度为0.01）.A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】由所给区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 次操作后，区间长度变为12n，故需10.012n≤，解得7n ≥，所以至少需要操作7次.故选：C 【变式3-1】（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知函数()y f x =为[]0,1上的连续函数，且()()010f f ⋅<，使用二分法求函数零点，要求近似值的精确度达到0.1，则需对区间至少二分的次数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】区间[]0,1的长度为1，没经过一次操作，区间长度变成原来的一半，经过n 次后，区间长度变成12n，则10.12n ≤，即4n ≥，n *∈N 故对区间只需要分4次即可．故选：C.【变式3-2】（23-24高一上·湖南株洲·期末）用二分法求函数在区间[]1,3的零点，若要求精确度0.01<，则至少进行次二分.【答案】8【解析】根据题意，原来区间[]1,3的长度等于2，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过n 次操作后，区间的长度为111222n n -⨯=，若110.012n -<，即8n ≥，故最少为8次.故答案为：8.【变式3-3】（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程23x =的正实数跟的近似解（精确度0.001）时，若我们选取初始区间是[]1,7,1,8，为达到精确度要求至少需要计算的次数是．【答案】7【解析】设至少需要计算n 次，则n 满足1.8 1.70.0012n-<，即2100n >，由于67264,2128==，故要达到精确度要求至少需要计算7次.故答案为：7考点四：用二分法求零点近似值例4.（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：(1)2f =-(1.5)0.625f =(1.25)0.984≈-f (1.375)0.260f ≈-(1.4375)0.162≈f (1.40625)0.054≈-f 那么方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是（）A ．1.25B ．1.39C ．1.41D ．1.5【答案】C【解析】因为(1)0f <，(1.5)0f >，所以(1)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.510.50.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.25)0f <，所以(1.25)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5 1.250.250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.375)0f <，所以(1.375)(1.5)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5 1.3750.1250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.4375)0f >，所以(1.4375)(1.375)0f f ⋅<，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.05-=>，所以不满足精确度为0.05;因为(1.40625)0f <，所以(1.40625)(1.4375)0f f ⋅<，所以函数在(1.40625,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.406250.031250.05-=<，满足精确度为0.05，所以方程32220x x x +--=的一个近似根(精确度为0.05)可以是区间(1.40625,1.4375)内任意一个值(包括端点值).故选：C.【变式4-1】（23-24高一上·浙江温州·期末）（多选）设()()22log 12xh x x =++-，某同学用二分法求方程()0h x =的近似解(精确度为0.5)，列出了对应值表如下：x 0.5-0.1250.43750.752()h x 1.73-0.84-0.42-0.032.69依据此表格中的数据，方程的近似解0x 不可能为（）A ．00.125x =-B ．00.375x =C ．00.525x =D ．0 1.5x =【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间()0.43750.75，内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解0x 可能为0.525，0x 不可能为ABD 选项．故选：ABD ．【变式4-2】（23-24高一上·湖北黄冈·月考）（多选）某同学求函数()ln 2 6.5f x x x =+-的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:()2 1.807f ≈-()30.599f ≈()2.50.584f ≈-()2.750.012f ≈()2.6250.285f ≈-()2.68750.136f ≈-则方程ln 2 6.50x x +-=的近似解(精确度0.1)可取为（）A ．2.72B ．2.69C ．2.61D ．2.55【答案】AB【解析】由函数()ln 2 6.5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，要使得精确度为0.1，结合表格可知：()2.68750.1360f ≈-<，()2.750.0120f ≈>，此时2.75 2.68750.0650.1-=<，所以方程ln 2 6.50x x +-=的近似解在区间()2.6875,2.75内.故选：AB.【变式4-3】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知函数()()211xx f x a a x -=+>+.(1)求证：()f x 在(1),-+∞上为增函数.(2)若3a =，求方程()0f x =的正根（精确度为0.01）.【答案】(1)证明见解析；(2)0.2734375【解析】（1）证明：设121x x -<<，12()()f x f x ∴-=121212*********()11(1)(1)x xx x x x x x a a a a x x x x ----+-=-+++++，121x x -<< ，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，∴12123()0(1)(1)x x x x -<++；121x x -<< ，且1a >，12ax ax ∴<，∴120-<x x a a ，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）由（1）知，当3a =时，2()31xx f x x -=++在(1,)-+∞上为增函数，故在(0,)+∞上也单调递增，因此()0f x =的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根，由于(0)10f =-<，(1)f 502=>，∴取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：区间中点中点函数值(0,1)0.50.732(0,0.5)0.250.084-(0.25,0.5)0.3750.322(0.25,0.375)0.31250.124(0.25,0.3125)0.281250.021()0.25,0.281250.2656250.032-()0.265625,0.281250.27343750.00543-()0.2734375,0.28125由于0.27343750.281250.00781250.01-=<，∴原方程的根的近似值为0.2734375，即()0f x =的正根约为0.2734375.一、单选题1．（223-24高一上·浙江杭州·月考）设函数()348f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()()10,30f f <>，则方程的近似解落在区间（）A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数()348f x x x =+-，且()()10,30f f <>，可得3(70,(2)2602f f =>=>，所以3(1)(02f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得方程3480x x +-=的近似解落在区间为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.2．（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函数()231=+-f x x x 的零点时，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，则第二次还需计算函数值（）A ．()1fB ．()0.5f -C ．()0.25f D ．()0.125f 【答案】C【解析】由题意，第一次经过计算发现()00f <，()0.50f >，可得其中一个零点()00,0.5x ∈，由于()100.50.252+=，则第二次需计算()0.25f ，故选：C ．3．（23-24高一上·上海虹口·期末）若在用二分法寻找函数212(1)1xx y x x +=->-零点的过程中，依次确定了零点所在区间为41[,],,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,,，则实数a 和b 分别等于（）A ．35,22B ．2，3C ．3,22D ．6552,【答案】A【解析】由函数()2122332222111xx x x x f x x x x +-+=-=-=-----，根据指数函数与反比例函数的性质，可得函数()f x 在(1,)+∞上为单调递增函数，所以函数()f x 在(1,)+∞至多有一个零点，又由依次确定了零点所在区间为41[,],,,,234a b a b b a b +⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可得4231224a b a a b b b +⎧=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，即5301a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得35,22a b ==.故选：A.4．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5【答案】C【解析】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.5．（23-24高一上·安徽·月考）已知函数()31f x x x =+-在()0,1内有一个零点，且求得()f x 的部分函数值如下表所示：x 010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875()f x 1-10.375-0.17190.1309-0.2595-0.012450.06113-0.02483-若用二分法求()f x 零点的近似值（精确度为0.1），则对区间()0,1等分的最少次数和()f x 零点的一个近似值分别为（）A ．4，0.7B ．5，0.7C ．4，0.65D ．5，0.65【答案】C【解析】由题意可知，对区间(01),内，设零点为0x ，因为()00f <，()10f >，(0.5)0f <，所以()00.5,1x ∈，精确度为10.50.50.1-=>，又0.510.752+=，(0.75)0f >，()00.5,0.75x ∈，精确度为0.750.50.250.1-=>，又0.50.750.6252+=，(0.625)0f <，()00.625,0.75x ∈，精确度为0.750.6250.1250.1-=>又0.6250.750.68752+=，(0.6875)0f >，()00.625,0.6875x ∈，精确度为0.68750.6250.06250.1-=<，需要求解(0.5)(0.75)(0.625)(0.6875),,,f f f f 的值，然后达到()f x 零点的近似值精确到0.1，所以零点的近似解为0.65，共计算4次.故选：C6．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（）A ．2log 0x x +=B ．e 0x x +=C ．2210x x -+=D ln 0x x =【答案】C【解析】对于A ，()2log f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()1110,11022f f ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故A 错误；对于B ，()e xf x x =+在R 上连续且单调递增，且()()1010,1e 10f f -=>-=-<，可以使用二分法，故B 错误；对于C ，()222110x x x -+=-≥，故不可以使用二分法，故C 正确；对于D ，()ln f x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()1110,110e e f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，可以使用二分法，故D 错误.故选：C二、多选题7．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数()f x 零点的近似值时，若第一次所取区间为[]2,4-，则第二次所取区间可能是（）A ．[]2,1--B ．[]2,1-C ．[]2,4D ．[]1,4【答案】BD【解析】由题知第一次所取区间为[]2,4-，取中间值2412-+=，则第二次所取区间可能是[]2,1-或[]1,4.故选：BD.8．（23-24高一上·广东广州·期末）教材中用二分法求方程2370x x +-=的近似解时，设函数()237xf x x =+-来研究，通过计算列出了它的对应值表x 1.25 1.375 1.406251.422 1.4375 1.5()f x 0.87-0.26-h0.05-0.020.33分析表中数据，则下列说法正确的是：（）A ．0h >B ．方程2370x x +-=有实数解C ．若精确度到0.1，则近似解可取为1.375D ．若精确度为0.01，则近似解可取为1.4375【答案】BC【解析】∵2x y =与37y x =-都是R 上的单调递增函数，∴()237xf x x =+-是R 上的单调递增函数，∴()f x 在R 上至多有一个零点，由表格中的数据可知：()1.4220f <，()1.43750f >，∴()f x 在R 上有唯一零点，零点所在的区间为()1.422,1.4375，∴0h <，A 错误；方程2370x x +-=有实数解，B 正确；(1.375)0.260(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.3750.06250.1-=<，即精确度到0.1，则近似解可取为1.375，C 正确；(1.422)0.050(1.4375)0.020f f =-=，，1.4375 1.4220.01550.01-=>，即精确度为0.01，则近似解不可取为1.4375，D 错误.故选：BC.三、填空题9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）用“二分法”研究函数()33f x x x =+-的零点时，第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下一次应计算()1f x ，则1x =．【答案】1【解析】第一次经计算可知()()020f f <，说明该函数在区间()0,2内存在零点0x ，下次计算()1f x ，10212x =+=.故答案为：110．（23-24高一上·上海·期末）若函数()31f x x x =--在区间[]1,1.5的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：()10f <()1.50f >()1.250f <()1.3750f >()1.31250f <()1.343750f >那么方程310x x --=的一个近似解为x =（精确到0.1）【答案】1.3【解析】由表格中的数据，可得函数()31f x x x =--的零点在区间(1.3125,1.3475)之间，结合题设要求，可得方程310x x --=的一个近似解为 1.3x =.故答案为：1.3.11．（23-24高一上·山东临沂·期末）用二分法求函数()ln 26f x x x =+-在区间()2,3内的零点近似值，至少经过次二分后精确度达到0.1.【答案】4【解析】()2ln 220f =-<，()3ln 30f =>，()()230f f ⋅<，所以()02,3x ∃∈，满足()00f x =，开区间()2,3的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为12n，故有10.12n ≤，即210n ≥，则4n ≥，所以至少需要操作4次.故答案为：4.四、解答题12．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知函数1()3f x x x=+-．(1)判断函数()f x 在区间()1,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)用二分法求方程()0f x =在区间()1,+∞上的一个近似解（精确度为0.1）．【答案】(1)()y f x =在()1,∞+单调递增，证明见解析；(2)2.6（()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解）【解析】（1）()y f x =在()1,+∞单调递增；证明如下：任取()12,1,x x ∈+∞，不妨设12x x <，211221212112()(1)11()()x x x x f x f x x x x x x x ---=-+-=，因为121x x <<，则210x x ->，1210x x ->，120x x >，可得21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()y f x =在()1,+∞上单调递增.（2）因为函数1()3f x x x=+-在区间()1,+∞上是连续且单调的，可知其在区间()1,+∞上的零点即为方程()0f x =在区间()1,+∞上的解，且()20f <，()30f >，可得()f x 在()1,+∞内有且仅有一个零点()02,3x ∈，在区间()1,+∞上利用二分法列表如下：区间中点0x 中点函数值()0f x 区间长度()2,352.52=502f ⎛⎫< ⎪⎝⎭15,32⎛⎫⎪⎝⎭112.754=1104f ⎛⎫> ⎪⎝⎭12511,24⎛⎫ ⎪⎝⎭212.6258=2108f ⎛⎫> ⎪⎝⎭14521,28⎛⎫ ⎪⎝⎭412.562516=41016f ⎛⎫< ⎪⎝⎭18此时解在区间4121,168⎛⎫ ⎪⎝⎭，此区间长度为116，111610<，满足精确度为0.1，故区间4121,168⎛⎫⎪⎝⎭，即()2.5625,2.625内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程()0f x =在()1,+∞上的一个近似解．13．（23-24高一上·山东青岛·月考）已知()()ln 2,e xf x x xg x x =+-=+.(1)通过二分法且满足精确度为0.5，求方程()0f x =的近似解（精确到0.1）(2)设()()120,0f x g x ==，求证：12e x x ⋅>-.【答案】(1)1.5；(2)证明见解析.【解析】（1）由解析式知：()f x 在(0,)+∞上递增，()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 20f +-=>=，12322x +==，则333319ln 2ln ln ln0222224e 2e f ⎛⎫=+-=-==< ⎪⎝⎭，327224x +==，则4412401ln 2ln ln ln 04256e777744444e f ⎛⎫=+-=-=> ⎪⎝⎭，又7310.5424-=<，且244298116e |ln |ln ln4e 16e 81==，216e 2401181256e <<，所以32x =更接近于零点，故方程()0f x =的近似解为1.5.（2）由题设21111222ln 2ln 2e 0ln()x x x x x x x x +==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=⎩⎩，故121212ln ln()ln()2x x x x x x +-=-=-+，且20x <，要证12e x x ⋅>-，只需1221x x -+<，即211x x <-，由（1）知137(,)24x ∈，显然211x x <-成立，综上，12e x x ⋅>-，得证.。

人教新课标版数学高一-人教A版数学必修一学案(29)用二分法求方程的近似解(1课时

-2 32 2.5 32 2.25 2.5 32 2.375 2.5 32 2.375 2.475 3人教A 版数学必修一学案（29） §3.1.2用二分法求方程的近似解●学习目标1、理解用二分法求方程近似解的原理；能够借助计算器用二分法求方程的近似解；2、体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法，感受近似、逼近的思想方法。

●课前预习1.判断方程0133=-+x x 在区间（0，1）内是否有解？；若有，有几解？。

2. 不解方程，如何求方程0122=--x x 的一个正的近似解 .（精确度0.1） ①如何理解精确度0.1（阅读课本）②方程0122=--x x 的解即为函数=)(x f 零点 ③设方程的正解为1x ，请填空f(2) 0，f(3) 0 ⇒ <x 1<f(2) 0，f(2.5) 0 ⇒ <x 1<f(2.25) 0，f(2.5) 0 ⇒ <x 1<f(2.375) 0，f(2.5) 0 ⇒ <x 1<f(2.375) 0，f(2.4375) 0 ⇒ <x 1<则方程0122=--x x 的一个正的近似解可取为 .●课堂探究1.求函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点(精确度0.01) ①一般地,我们称为区间(a,b)的中点,③函数()ln 26f x x x =+-在区间(2,3)内的零点(精确度0.01)可取为 ●课中练习1下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（）B CD （A ）（B ）（C ）（D ）2.用二分法求方程22=+x x的近似解(精确度0.1)分析:①方程22=+x x的根即是函数()f x = 的零点;根据函数的单调性及上列表格试确定零点的个数，所在的大致区间 ③用二分法求方程22=+x x的近似解(精确度0.1)●课后作业 1.课本2,191P 2.课本113P B 组第2题3.方程3250x x --=在区间[2,3]内的实根，取区间中点002.5,() 5.625x f x ==那么下一个有根区间是________4.下列函数的图象中,其中不能用二分法求其零点的是( )(A) (B) (C) (D)5.利用计算器，求方程2370xx +-=的近似解（精确度为0.1）。

高一数学人教A版必修1教案：3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）教学目标：知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：重点通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．一、复习回础，新课引入：高次多项式方程公式解的探索史料由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)f的根），对于)(xf为一次或二次函数，我们有(=x)f(xy=的零点（即0熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．二、师生互动，新课讲解：1、二分法：上节（P88例1）课我们已经知道，函数6=x+xf在区间（2，3）内x(-ln2)有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．我们知道，函数)(xf的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程xf的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，)(=来求方程的近似解．（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；（2）用计算器计算084⋅ff，所以零点在区间)3,5.2()3()5.2(<.0f，因为0)5.2(-≈内；（3）再取区间)3,5.2(中点 2.75，用计算器计算51275f，因为.2(≈).0 f，所以零点在区间).2,5.2(内．)5.2(<75⋅f.2()75（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：1）确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；2）求区间),(b a 的中点c ；3）计算)(c f ；4）判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．5）判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5．说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x 的近似解（精确到1.0）．小结：1）结论：图象在闭区间a[，]b上连续的单调函数)f，在a(，)b上至多(x有一个零点．2）函数零点的性质从“数”的角度看：即是使0f的实数；x(=)从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)x=处与x轴相切，则零点0x通常称为不变号零点；f的图象在0x(x若函数)x=处与x轴相交，则零点0x通常称为变号零点．(xf的图象在0x3）用二分法求函数的变号零点二分法的条件)<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号(bf0(af·)零点．变式训练1：求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25<x0<2.5；再取2.25与2.5的平均数为2.375，f(2.375)＝－0.109 4<0，∴2.375<x0<2.5，再取2.375与2.5的平均数为2.437 5，f(2.437 5)＝0.066 4>0.∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.点评对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．例2：已知函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是 ①若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有且只有一个零点 ②若()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(,)a b 内无零点 ③若()f x 在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅< ④若()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在(,)a b 内有零点 ⑤ 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有零点【解析】①有条件()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内可能不止一个零点，如3()4f x x x =-有（－3，3）内有三个零点；②在()()0f a f b ⋅>下函数()f x 在(,)a b 内未必没有零点，如2()4f x x =-在（－3，3）内有两个零点；③()f x 在(,)a b 内有零点，()()0f a f b ⋅<未必成立，如2()4f x x =-在（－3，3）内有零点，但(3)(3)0f f ->；④注意端点问题，可能,a b 恰好使得()f x ＝0．本题从多角度、多侧面考查对定理的理解，对培养学生思维的严密性很有帮助．答案：⑤变式训练2：（课本P92习题3.1 A 组：NO ：1）例3：已知函数2()21f x kx x =-+，当k 为何值时，函数()f x 在R 上有一个零点？两个零点？无零点？【解析】当k ＝０时，()f x 是一次函数，在R 上有且只有一个零点；当0k ≠时，()f x 是二次函数，其零点个数由∆的符号决定．又44k ∆=-，当1k >时，0∆<，()f x 无零点；当1k =时，0∆=，()f x 有一个零点；当1,0k k <≠时，0∆>，()f x 有两个零点．综上所述，当k ＝０或1k =时，函数有一个零点；当1,0k k <≠时，函数有两个零点；当1k >时，函数没有零点．变式训练3：函数2()f x x ax b =++的零点是－１和２，求函数3()g x ax bx =+的零点．解：由已知得1,2-是方程20x ax b ++=的两根,10420a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩,解得:1,2a b =-=- 由320x x --=得:2(2)0x x +=,即0x =.故函数()g x 的零点是0.三、课堂小结，巩固反思：1．二分法的理论依据是什么？二分法的理论依据是：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续不断，且0)()(<⋅b f a f ，那么一定存在),(b a c ∈，使0)(=c f ．2．二分法的实施要点是什么？二分法寻找零点的过程是将一个含有零点的区间],[b a 平分为两个小区间，判断哪个小区间内含有零点，再将该小区间平分，……，通过n 次的平分、判断，使零点存在于一个长度n a b l 2-=的小区间．当n 适当大时，满足精确度的允许范围，于是小区间内的值可作为函数零点的近似值．四、布置作业：A 组：1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )A ．f (x )＝3x －1B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝ln x 答案 C解析对于选项C 而言，令|x |＝0，得x ＝0，即函数f (x )＝|x |存在零点；当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )>0，∴f (x )＝|x |的函数值非负，即函数f (x )＝|x |有零点但零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点．2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点( B )．A ．至少有一个B ．至多有一个C ．有且只有一个D ．可能有无数个3．(2011·新课标全国)在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1＞0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 答案 C4.若函数f (x )=x 3+x 2-2x -2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x 3+x 2-2x -2=0的一个近似根为。

高中数学人教A版必修1数学必修一3.1.2 用二分法求方程的近似解教学设计

优质资料---欢迎下载二分法求方程近似解的教学设计一、教材地位：二分法求方程近似解的思想是逐步逼近与数形结合等重要数学思想方法的运用。

它对学生今后学习算法流程图将起到奠基的作用，能进一步提高学生运用所学知识解决生活、生产实际问题的能力。

学习这节课的目的在于让学生团结协作、动手实践、基本运算等学习能力得到有效的提高，使知识的学习遵循学生的认知规律，并着眼与学生对知识理解的思维过程、学习能力的提高过程、学习方法的掌握过程的培养，充分说明数学源于生活服务于生活。

二、教学目标：（1）知识目标：理解二分法的概念，掌握运用二分法求方程近似解的方法，并会用二分法处理生活、生产中的有关问题。

（2）能力目标：○1鼓励学生体验并理解函数与方程的相互转化思想。

○2注重培养学生探究问题的能力和创新能力。

（3）情感目标：○1培养学生遇到困难时可以通过合作交流，团队协作，增强主动与他人合作的意识。

○2培养学生独立的语言组织和归纳概括能力、一丝不苟、实事求是的作风和科学的态度。

三、教学重点与难点：重点：用二分法求方程近似解及对二分法概念的理解。

难点：逼近思想的应用四、学法指导：为致力于改变学生的学习方式、引导学生逐步掌握自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学的学习方法。

我认为学法指导应引起教师的高度重视。

五、教学方法:本节课始终以学生动口、动脑、动手去探索、激发学生的学习动机、激励学生去取得成功，顺应合理的逻辑结构和认识结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注重数学思想方法的融入与渗透，满足学生渴望的奖励结构。

六、教学过程：新课引入：（1）先与学生做一个互动游戏，让学生猜一件商品的价格。

引发学生兴趣、激发学生的思维、培养学生探究能力，进一步让学生明确数学就在生活的身边，时时有数学、处处用数学。

（2）动手操作、归纳二分法的定义：举例与学生探究，通过分析、归纳、交流后得出二分法完整的定义，以此培养学生独立的语言组织和语言表达能力。

人教A版(2019)高中数学必修第一册4.5.2用二分法求方程的近似解教案

4.5.2 用二分法求方程的近似解教学目标：1.通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次.2.能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用.达到直观想象核心素养学业质量水平一的层次.3.通过让学生概括二分法思想和步骤，培养学生的归纳概括能力，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次. 教学重点：用二分法求方程的近似解. 教学难点：二分法原理的理解. 教学过程：（一）新课导入教师提问：一元二次方程可用判别式判定根的存在性，可用求根公式求方程的根. 但对于一般的方程，虽然可用零点存在定理判定根的存在性，然而没有公式，求根的操作根本就无法下手.如何求得方程ln 260x x +-=的根?学生思考讨论.教师引导学生观察图像：学生：方程的根在区间（2,3）内.教师：能否用缩小区间的方法逼近方程的根? 学生思考.师：我们现在用一种常见的数学方法--二分法，共同探究已知方程的根. 探究一：用二分法探求方程的近似解（1）函数()ln 26f x x x =+-在区间（2,3）内有零点；（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f （2.5）≈-0.084，因为f （2.5）f （3）<0，所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f （2.75）≈0.512，因为 f （2.5）f （2.75）<0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.（5）由于（2，3）⊇（2.5，3）⊇（2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.（6）例如，当精确度为0.01时，由于2.539 0625 2.531 25-=0.0078125<0.01，所以，我们可以将 x =2.531 25作为函数f （x ）=In x +2x -6零点的近似值，也即方程ln x +2x -6=0的近似解，教师引导学生理解求近似解的方法. 探究二：二分法的概念教师给出二分法的概念，让学生理解.对于在区间[a ,b ]上图象连续不断且f （a ）f （b ）<0的函数y =f （x ），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.通过上面的求解过程，试着让学生自己总结二分法的解题步骤，有不对或遗漏的，教师随时补充.教师引导学生思考并总结.给定精确度ε,用二分法求函数y =f （x ）零点x 0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点x 0的初始区间[a ,b ],验证f （a ）f （b ）<0；（2）求区间（a ，b ）的中点c ；（3）计算f （c ），并进一步确定零点所在的区间： ①若f （c ）=0（此时x 0=c ），则c 就是函数的零点， ②若f （a ）f （c ）<0（此时x 0∈（a ，c ）），则令b =c ， ③若f （c ）f （b ）<0（此时x 0∈（c ，b ））.则令a =c ；（4）判断是否达到精确度ε：若a b -<ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）.教师着重讲解零点所在区间的归属条件，避免学生出现选择区间上的错误. （三）课堂练习例1.借助计算器或计算机用二分法求方程237xx +=的近似解（精确度为0.1）.解：原方程即2370xx +-=，令f （x ）=237x x +-，用计算器或计算机画出函数y =f （x ）的图象（如下图），并列出它的对应值表（如下表）.x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y-6-2310214075142273观察图或表，可知f （1）f （2）<0，说明这个函数在区间（1，2）内存在零点x 0，取区间（1，2）的中点1 1.5x =，用计算器算得f （1.5）≈0.33.因为f （1）（1.5）<0，所以0(1,1.5)x ∈.再取区间（1，1.5）的中点21.25x=，用计算器算得f（1.25）≈-0.87.因为f（1.25）f （1.5）<0.所以x0∈（1.25，1.5）.同理可得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.437 5）. 由于|1.375一1.437 5|=0.062 5<0.1.所以，原方程的近似解可取为1.375.（四）小结作业本节课我们主要学习了哪些内容?1.二分法的定义.2.给定精确度ε,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.板书设计：1.对于在区间[a,b]上图象连续不断且f（a）f（b）<0的函数y=f（x）.通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.2.给定精确度ε,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f（a）f（b）<0；（2）求区间（a，b）的中点c；（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：①若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，②若f（a）f（c）<0（此时x0∈（a，c）），则令b=c，③若f（c）f（b）<0（此时x0∈（c，b））.则令a=c；（4）判断是否达到精确度ε：若a b-<ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.。

高中数学二分法教学案(无答案)新人教A版必修1

高一数学二分法教学案（16）【课前预习导读】一、学习目标：根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

二、教学重点难点：重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．三、知识回顾：1．函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x 轴有交点 ①函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图象与x 轴交点坐标吗？ ②方程解的个数方程两边的函数的图象的交点个数 2．堪根定理若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并有 ,那么y=f(x)在（a,b ）内有零点，即存在c ∈（a,b ），使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。

堪根定理的逆命题成立吗？【课堂自主导学】二分法的概念与求函数f(x)零点近似值的步骤1.什么是二分法？对于在区间[a ，b]上图象且满足的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：(1)确定区间[a ，b],验证f(a) ·f(b) ＜0，给定精确度 (2)求区间(a ，b)的中点(3)计算①若=，则就是函数的零点 ②若·＜0，则令=（此时零点） ③若·＜0，则令=（此时零点）(4)判断是否达到精确度；即若＜，则得到零点近似值（或）；否则重复步骤（2）-（4）．【思考】为什么由＜，便可判断零点的近似值为(或)？【导学检测】1．函数2()816f x x x =-+-在区间[]3,5上（）A 、没有零点B 、有一个零点C 、有两个零点D 、有无数个零点 2．下列图像与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）3．用二分法求函数3()5f x x =+的零点可以取得初始区间是（） A 、[]2,1- B 、[]1,0- C 、[]0,1 D 、[]1,24．已知函数32()22f x x x x =+--，(1)(2)0f f ∙<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则0()f x =5.已知图像连续不断的函数()y f x =在区间()0,0.1上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度为0.01）的近似值，则应将区间()0,0.1等分的次数至少为次。

2024春新教材高中数学4.5.2用二分法求方程的近似解教学设计新人教A版必修第一册

鼓励学生分享学习“用二分法求方程的近似解”的心得和体会，增进师生之间的情感交流。
（六）课堂小结（预计用时：2分钟）
简要回顾本节课学习的“用二分法求方程的近似解”内容，强调重点和难点。
肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。
布置作业：
根据本节课学习的“用二分法求方程的近似解”内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。
九．课后作业
1. 请用二分法求解方程f(x) = x^2 - 4 = 0的近似解，精度要求为0.01。
2. 请用二分法求解方程f(x) = sin(x) = 0的近似解，精度要求为0.01。
3. 请用二分法求解方程f(x) = x^3 - 3x - 1 = 0的近似解，精度要求为0.01。
4. 请用二分法求解方程f(x) = e^x - 1 = 0的近似解，精度要求为0.01。
再次，我在教学中使用了一些教学媒体和资源，如PPT、视频和在线工具等，以提高教学效果。这些教学媒体和资源的使用，使学生能够更直观地了解二分法的应用过程，提高他们的学习兴趣和学习动力。
最后，我在教学中注重培养学生的数据分析、数学建模等能力，通过实际例子的分析和操作，使学生能够将理论知识应用到实际问题中。同时，我也加强对学生的个别辅导，关注他们的学习进度，及时解答他们在学习过程中遇到的困惑。
提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。
六、知识点梳理
本节课的主要教学内容是高中数学4.5.2节中的“用二分法求方程的近似解”。具体内容包括：
1. 二分法的概念及其原理
- 二分法的定义：二分法是一种求解方程近似解的迭代方法，通过不断将方程的解的范围缩小，最终得到方程的近似解。
- 二分法的原理：二分法基于函数的连续性和介值定理，通过判断函数在区间两端取值的正负性，不断将解的范围缩小，直至满足精度要求。

人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计

人教A版高中数学必修1《用二分法求方程的近似解》教学设计一教材背景本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修1第三章《函数的应用》3.1《函数与方程》中第3.1.2节《用二分法求方程的近似解》，属于本小节的第三课时。

第一课时我们学习了“方程的根与函数零点的关系”，第二课时学习了“函数零点的存在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的根的关系有了一定的认识。

掌握了基本初等函数的图象和性质并具有了一定的数形结合的思想，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识，在此基础上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。

二分法是求方程近似解的常用方法，在寻求方程近似解的过程中首先将方程解的问题转化为函数的零点问题处理，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。

然后借助函数的图象先初步确定函数零点所在的区间，再通过不断地把零点所在区间一分为二逐步缩小区间的范围，使区间的两端点逐步逼近函数的零点，进而得到零点的近似值。

这一过程为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学必修3中算法内容的学习做了铺垫。

二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算，球的面积体积公式的由来、等微积分的知识起了奠基的作用。

因此决定了它的重要地位。

二内容分析二分法的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数零点》的自然延伸，二分法虽然是刻板的、机械的，有时还需要进行大量的重复计算，但是它包含了深刻的思想方法，对学生今后的数学学习还是非常有用的，在教学中要让学生感受到整体到局部，从特殊到一般，定性到定量，精确到近似，计算到技术，技法到算法这些数学思想的发展过程。

在二分法的教学中，方法的建构，技术的运用、算法的渗透，以及它们的同步发展过程，是这节课的隐形教学目标。

在教学中它体现出一种螺旋式的上升：第一个阶段是从数到形，是为了更好的说明二分法的理论依据（根的存在性）；第二个是从形再到数，其中的形是包括从图像到数轴，再从数轴到表格，在这样的过程中，形的特征不断被深化，最后抽象成了以数为主体的一个算法流程，因此，整个二分法的教学流程要体现在这样一个框架中，它是一个代数的问题，第一次转化是从代数到几何直观，第二次转化就是从整体到局部，去研究函数零点区间。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

湖北省黄冈市黄梅县黄梅一中高中数学二分法教案新人教A版必
修1
教学目的：
知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之
间的联系及其在实际问题中的应用．
过程与方法：在用计算器过程中了解二分法的数学思想。

情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识
教学难点：二分法的理解和利用二分法求给定精确度的方程的近似解
教材分析
本节课注重从学生已有的基础(一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质)出发，从具体(一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系)到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系.在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.
学情分析
通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系.
教学方法：分组讨论法、讲授法，情境教学法。

教学手段：计算器
教学过程
一、知识回顾
么在一定
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法
验证
)
：。

湖北省黄冈市黄梅县黄梅一中高中数学 二分法教案 新人教A版必修1

高一数学 人教A版2019必修第一册 4-5-2 用二分法求方程的近似解 (3)教案