2016届北京市朝阳区高三上学期期中考试文科数学试题及答案
【真题】2015-2016年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)与答案
2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣44．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=05．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=；b=．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；，S k成等比数列，求正整数k的值．（II）若a3，a k+116．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.0018．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k 1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．2015-2016学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={1，2，m}，B={3，4}．若A∩B={3}，则实数m=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴m=3，故选：C．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，x）．若+与﹣平行，则实数x的值是（）A．4 B．﹣1 C．﹣4【解答】解：+=（﹣1，2+x）．﹣=（3，2﹣x），∵+与﹣平行，∴3（2+x）+（2﹣x）=0，解得x=﹣4．4．（5分）经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x﹣y+3=0 D．x+2y+1=0【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心（1，﹣1），与直线2x﹣y=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+1=2（x﹣1）．∴2x﹣y﹣3=0．故选：A．5．（5分）给出下列函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|④．其中图象关于y轴对称的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【解答】解：①y=log2x的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数；②y=x2；是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y轴对称，满足条件．④是奇函数，图象关于y轴不对称，不满足条件，故选：B．6．（5分）“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：sin2α﹣cos2α=1，化为=，∴=或，k∈Z．当k=0时，可得α=或．∴“sin2α﹣cos2α=1”是“α=”必要不充分条件，7．（5分）某程序框图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y值恰好是，则在空白的处理框处应填入的关系式可以是（）A．y=x3 B．y=3x C．y=3x D．【解答】解：由题意，执行程序框图，有x=5不满足条件x≤0，有x=x﹣2=3不满足条件x≤0，有x=x﹣2=1不满足条件x≤0，有x=x﹣2=﹣1满足条件x≤0，此时经相应关系式计算得y=，检验4个选项，有A，y=（﹣1）3=﹣1，不正确．B，y=3×（﹣1）=﹣3，C，y=3﹣1=，D，y==﹣．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2]C．D．[﹣1，1]【解答】解：若函数f（x）=a﹣x2（1≤x≤2）与g（x）=x+1的图象上存在关于x轴对称的点，则方程a﹣x2=﹣（x+1）⇔a=x2﹣x﹣1在区间[1，2]上有解，令g（x）=x2﹣x﹣1，1≤x≤2，由g（x）=x2﹣x﹣1的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故当x=1时，g（x）取最小值﹣1，当x=2时，函数取最大值1，故a∈[﹣1，1]，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线的离心率为．【解答】解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=2，则a=1；b=5．【解答】解：由题意可得S=acsinB=×a×4×=2，解得a=1，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2acsinB，=1+32﹣2×1×4×=25，解得b=5．故答案为：1；5．11．（5分）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在[50，70）中的学生人数是25．【解答】解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；∴模块测试成绩落在[50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，∴对应的学生人数是100×=25．故答案为：25．12．（5分）设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为4【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积S==6，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==4，故答案为：4．13．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件点O为坐标原点，那么|OP|的最大值等于．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如右图所示，则OB的距离最大，由，即，即B（1，3），则．故答案为：．14．（5分）纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列，其中An（n∈N，n≤8）系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm，则A0纸的面积为64dm2；这9张纸的面积之和等于dm2．【解答】解：可设A i纸张的长度为y i，i=0，1， (8)由A4纸的宽度为2dm，且纸张的幅宽和长度的比例关系都为，可得y4=2，由题意可得y0=2•24=32，即有A0纸的面积为32×2=64dm2；由A0，A1，A2，…，A8纸9张纸的面积构成一个以64为首项，为公比的等比数列，可得这9张纸的面积之和为=dm2．故答案为：64，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=2，S3=12．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若a3，a k，S k成等比数列，求正整数k的值．+1【解答】（共13分）解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由题意知a2+a3=10，即2a1+3d=10，由a1=2，解得d=2．所以a n=2+2（n﹣1）=2n，即a n=2n，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，所以．又a3=2×3=6，a k+1=2（k+1），由已知可得，即（2k+2）2=6（k2+k），整理得k2﹣k﹣2=0，k∈N*．解得k=﹣1（舍去）或k=2．故k=2．…（13分）16．（13分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）在一个周期内的部分对应值如下表：（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+2sinx的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）由表格可知，f（x）的周期，所以．又由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）g（x）=f（x）+2sinx=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=．由sinx∈[﹣1，1]，所以当时，g（x）有最大值；当sinx=﹣1时，g（x）有最小值﹣3．…（13分）17．（13分）某中学从高三男生中随机抽取100名学生的身高，将数据整理，得到的频率分布表如下所示．（Ⅰ）求出频率分布表中①和②位置上相应的数据；（Ⅱ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行体能测试，求第3，4，5组每组各抽取多少名学生进行测试？（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求：第4组中至少有一名学生被抽中的概率．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185]100.100合计100 1.00【解答】（共13分）（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.35×100=35人，第3组的频率为．解：即①处的数据为35，②处的数据为0.300．…（3分）（Ⅱ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样，在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：第3组：人；第4组：人；第5组：人．所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，人．…（6分）（Ⅲ）设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学有15种可能，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的有：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，C1），（B2，C1），（B1，B2）9种可能．所以第4组的两位同学至少有一位同学被选中的概率P=．…（13分）18．（13分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=3AB．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面CDE；（Ⅱ）在线段DE上是否存在一点F，使AF∥平面BCE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（共13分）证明：（Ⅰ）因为CD⊥平面ADE，AE⊂平面ADE，所以CD⊥AE．又因为AE⊥DE，CD∩DE=D，所以AE⊥平面CDE．又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面CDE．…（7分）（Ⅱ）在线段DE上存在一点F，且，使AF∥平面BCE．设F为线段DE上一点，且．过点F作FM∥CD交CE于M，则．因为CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，所以CD∥AB．又FM∥CD，所以FM∥AB．因为CD=3AB，所以FM=AB．所以四边形ABMF是平行四边形．所以AF∥BM．又因为AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE，所以AF∥平面BCE．…（13分）19．（14分）已知函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的方程；（Ⅱ）若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围；（Ⅲ）设函数g（x）=x3，请写出曲线y=f（x）与y=g（x）最多有几个交点．（直接写出结论即可）【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣e x，f′（x）=1﹣e x．当x=0时，y=﹣1，又f′（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣1；（Ⅱ）由f（x）=x﹣ae x，得f′（x）=1﹣ae x．当a≤0时，f'（x）＞0，此时f（x）在R上单调递增；当x=a时，f（a）=a﹣ae a=a（1﹣e a）≤0，当x=1时，f（1）=1﹣ae＞0，所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；当a＞0时，令f'（x）=0，得x=﹣lna．f（x）与f'（x）在区间（﹣∞，+∞）上的情况如下：若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，则有f（﹣lna）=0，即﹣lna﹣a e﹣lna=0．解得．综上所述，当a≤0或时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；（Ⅲ）曲线f（x）=x﹣ae x与曲线g（x）=x3最多有3个交点．20．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点，且满足a+b=3．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线交椭圆C于两个不同点A，B，点M的坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2．①若直线过椭圆C的左顶点，求此时k1，k2的值；②试探究k1+k2是否为定值？并说明理由．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由椭圆过点，则．又，故．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，由解得或故，．…（8分）②k1+k2为定值，且k1+k2=0．设直线的方程为．由消y ，得x 2+2mx +2m 2﹣4=0．当△=4m 2﹣8m 2+16＞0，即﹣2＜m ＜2时，直线与椭圆交于两点． 设A （x 1，y 1）．B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣2m ，．又，，故=．又，，所以（y 1﹣1）（x 2﹣2）+（y 2﹣1）（x 1﹣2）==x 1x 2+（m ﹣2）（x 1+x 2）﹣4（m ﹣1）=2m 2﹣4+（m ﹣2）（﹣2m ）﹣4（m ﹣1）=0． 故k 1+k 2=0．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2016年北京市东直门中学高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2015-2016学年北京市东直门中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共8题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x≤}，，则下列关系中正确的是（）A．m⊂A B．m∉A C．{m}∈A D．{m}⊆A2．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）3．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同4．（5分）在△ABC中，sin（A+B）=sin（A﹣B），则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形5．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2 C．4 D．26．（5分）函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（）A．B． C．D．7．（5分）在△A BC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}二、填空题：（共6题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），log3x＞0，则￢p为．10．（5分）满足cos（α+β）=cosα+cosβ的α，β的一组值是．（写出一组值即可）11．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．12．（5分）若m是2和8的等比中项，则m=，圆锥曲线的离心率是．13．（5分）已知函数f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．14．（5分）已知函数f （x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n）（n=1，2，…），则a2016=．三、解答题：（共6题，共80分）15．（16分）已知函数f（x）=（cosx+sinx）2+cos2x﹣1．（1）求f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（16分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（3b﹣c）cosA=acosC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积S=2，求△ABC的周长的最小值．18．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．19．（12分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点（0，），求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．若a=0，对于任意的x∈（0，1）．（1）求证：﹣≤f（x）＜2．（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的范围．2015-2016学年北京市东直门中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共8题，每小题5分，共40分）1．（5分）设集合A={x|x≤}，，则下列关系中正确的是（）A．m⊂A B．m∉A C．{m}∈A D．{m}⊆A【解答】解：因为1rad≈57.3°，所以40rad≈2292°，而2292°﹣6×360°=132°，又∵sin132°＞sin150°=，∴m=sin40＞，因此，m∉A，故选：B．2．（5分）已知函数f（x）=log2（x+a）+log2（x﹣a）（a∈R）．命题p：∃a∈R，函数f（x）是偶函数；命题q：∀a∈R，函数f（x）在定义域内是增函数．那么下列命题为真命题的是（）A．¬q B．p∧q C．（¬p）∧q D．p∧（¬q）【解答】解：函数f（x）的定义域为（|a|，+∞）；定义域不关于原点对称；∴f（x）是非奇非偶函数；∴命题p是假命题；根据对数函数的单调性知f（x）在定义域内是增函数；∴命题q是真命题；∴￢p是真命题，（￢p）∧q为真命题．故选：C．3．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同【解答】解：函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故D不正确．故选：C．4．（5分）在△ABC中，sin（A+B）=sin（A﹣B），则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【解答】解：在△ABC中，若sin（A+B）=sin（A﹣B），则（A+B）与（A﹣B）相等或互补若A+B=A﹣B，则B=0°，此时不满足构成三角形的条件若A+B+A﹣B=180°，则2A=180°，A=90°，此时△ABC为直角三角形故△ABC一定是直角三角形故选：C．5．（5分）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2 C．4 D．2【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线x2﹣y2=2即﹣=1的右焦点为（2，0），由题意可得=2，解得p=4．故选：C．6．（5分）函数f（x）=2x+sinx的部分图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：函数f（x）=2x+sinx是奇函数，故其图象关于原点对称，故排除B；又当0＜x＜时，函数值为正，仅有A满足，故它的图象可能是A中的图．故选：A．7．（5分）在△A BC中，“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由只能得到角A是锐角，无法得到△ABC为锐角三角形；但△ABC为锐角三角形时，角A一定是锐角，故．∴“•＞0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点A在x轴上，则菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：根据对称性我们只研究在第一象限内的整点情况，设∠AOC=θ，则C（2cosθ，2sinθ），B（2cosθ+2，2sinθ），①若0°＜θ≤30°，则0＜2sinθ≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，B，②若30°＜θ＜45°，则1＜2sinθ＜，＜2c osθ＜，+2＜2cosθ+2＜2+，此时区域内整点为（2，1），个数为1，③若45°＜θ＜90°，则＜2sinθ＜2，0＜2cosθ＜，此时区域内整点为（1，1），（2，1），个数为2，④若θ=90°，则此时区域内整点为（1，1），个数为1个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2}，故选：C．二、填空题：（共6题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），log3x＞0，则￢p为∃x0∈（1，+∞），log3x0≤0．【解答】解：命题“：∀x∈（1，+∞），log3x＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃x∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x0∈（1，+∞），log3x0≤0．10．（5分）满足cos（α+β）=cosα+cosβ的α，β的一组值是．（写出一组值即可）【解答】解：一般情况下不满足cos（α+β）=cosα+cosβ，但在特殊情况下是成立的，如α=，β=﹣时，左边=cos=，右边=cos（﹣）=故答案为：11．（5分）如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量，，满足=x+y（x，y∈R），则=．【解答】解：将向量，，放入坐标系中，则向量=（1，2），=（2，﹣1），=（3，4），∵=x+y，∴（3，4）=x（1，2）+y（2，﹣1），即，解得，则=，故答案为：．12．（5分）若m是2和8的等比中项，则m=±4，圆锥曲线的离心率是或．【解答】解：∵m是2和8的等比中项，∴m2=2×8=16，解之得m=±4．当m=4时，曲线即，表示焦点在y轴上的椭圆，∵a12=4且b12=1，∴a 1=2，c1==，椭圆的离心率e1==；当m=﹣4时，曲线即，表示焦点在x轴上的双曲线，同理可得a2=1，c2==，双曲线的离心率e2==．综上所述，m的值为±4；，圆锥曲线的离心率是或．故答案为：±4，或13．（5分）已知函数f（x）=．若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：函数f（x）==，画出函数f（x）的图象为：又函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，知方程f（x）=m有三个不等的实数解，由图象可得实数m的取值范围是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（5分）已知函数f （x）由下表定义：若a1=5，a n+1=f（a n）（n=1，2，…），则a2016=4．【解答】解：a2=f（a1）=f（5）=2，a3=f（a2）=f（2）=1，a4=f（a3）=f（1）=4，a5=f（a4）=f（4）=5=a1；∴a n的周期为4；∴a2016=a（4+503×4）=a4=4．故答案为：4．三、解答题：（共6题，共80分）15．（16分）已知函数f（x）=（cosx+sinx）2+cos2x﹣1．（1）求f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求f（x）的单调递减区间；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（cosx+sinx）2+cos2x﹣1=1+sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T=，图象的对称轴方程为2x+=k，k∈Z，即图象的对称轴方程为x=，k∈Z．（2）∵f（x）=2sin（2x+），∴f（x）的单调递减区间满足，k∈Z，解得，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[，]，k∈Z．（3）∵0≤x≤，，∴当2x+=时，取最小值﹣；当2x+=时，取最大值1．16．（16分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并绘制出频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）求频率分布直方图中的a值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；（Ⅱ）设A，B，C三名学生的考试成绩在区间[80，90）内，M，N两名学生的考试成绩在区间[60，70）内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M，N至少有一人被选中的概率；（Ⅲ）试估计样本的中位数落在哪个分组区间内（只需写出结论）．（注：将频率视为相应的概率）【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中频率和为1，得；a=0.1﹣0.03﹣0.025﹣0.02﹣0.01=0.015，∴估计这名学生参加考试的成绩低于90（分）的概率为；1﹣0.15=0.85；…（3分）（Ⅱ）从这5位学生代表中任选两人的所有选法共10种，分别为：AB，AC，AM，AN，BC，BM，BN，CM，CN，MN；代表M，N至少有一人被选中的选法共7种，分别为：AM，AN，BM，BN，CM，CN，MN；设“学生代表M，N至少有一人被选中”为事件D，∴P（D）=；…（11分）∴学生代表M，N至少有一人被选中的概率为；（Ⅲ）∵0.01×10+0.2×10=0.3＜0.5，0.3+0.025×10=0.55＞0.5，∴样本的中位数落在区间[70，80）内．…（13分）17．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且（3b﹣c）cosA=acosC．（1）求cosA的值；（2）若△ABC的面积S=2，求△ABC的周长的最小值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，（3b﹣c）cosA=acosC，∴（3b﹣c）×﹣a×=0，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===．（2）由cosA=，解得sinA=，∴S△ABC=bcsinA==2⇒bc=6，又a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴b+c+a=b+c+≥2+=2+2，当且仅当a=b时，取等号，∴△ABC的周长的最小值是2+2．18．（12分）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=，且a1，a3，﹣a2成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{a n﹣n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵a1，a3，﹣a2成等差数列．∴2a3=a1﹣a2，设等比数列{a n}的公比q＞0，则，化为2q2+q﹣1=0，解得q=．∴=．（2）a n﹣n=﹣n．∴其前n项和S n=﹣=﹣．19．（12分）已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点． （1）求椭圆M 的方程；（2）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点（0，），求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值． 【解答】解：（1）∵椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，∴四边形ABCD 是菱形，且|AB |=2，∠ABC=60°， ∴△AOB 为直角三角形，|OA |=1， 根据勾股定理得：|OB |==，∴a=，b=1，则椭圆方程为+y 2=1；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵线段AB 的垂直平分线经过点（0，）， ∴直线AB 斜率存在，当直线AB 斜率为0时，线段AB 的垂直平分线是y 轴，则有x 1=﹣x 2，y 1=y 2， ∴S△AOB =•|2x 1|•|y 1|=|x 1|•|y 1|=|x 1|•==，∵≤=，∴S △AOB ≤，当且仅当|x 1|=时，S △AOB 的最大值是；当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 为y=kx +t ，联立得：，消去y 得：（3k 2+1）x 2+6ktx +3t 2﹣3=0，当△=4（9k 2+3﹣3t 2）＞0，即3k 2+1＞t 2①，方程有两个不相等的实数根，根据根与系数的关系得：x1+x2=﹣，即（x1+x2）=﹣，∴（y1+y2）=，∵=，∴3k2+1=4t②，代入①得：4t＞t2，解得：0＜t＜4，∵原点到直线AB的距离d=，|AB|=|x1﹣x2|=•，∴S=•|AB|•d=••=，△AOB取得最大值，∵0＜t＜4，∴当t=2，即k=±时，S△AOB的最大值是．综上，S△AOB20．（12分）已知函数f（x）=（x﹣a）lnx，a∈R．若a=0，对于任意的x∈（0，1）．（1）求证：﹣≤f（x）＜2．（2）若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，求实数a的范围．【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）lnx，若a=0，则f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1，∴x ∈（0，）时，f′（x ）＜0，x ∈（，1）时，f′（x ）＞0， ∴当x=时，f （x ）min =f （）=﹣， 又f （1）=0，∴﹣≤f （x ）＜0． （2）∵f （x ）=（x ﹣a ）lnx ， ∴f′（x ）=﹣alnx +==0，∴x ﹣a （xlnx +1）=0，即a=，x ∈（0，1），令g （x ）=，则g′（x ）=＞0，∴g （x ）在（0，1）上单调递增， ∴0＜g （x ）＜1，又∵f （x ）在其定义域内不是单调函数， ∴0＜a ＜1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质。
北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试数学(理)试
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3} 【答案】.D 【解析】试题分析：{10,}{1,}B x x x x x x =-≥∈=≥∈N N 又{3,}A x x x =≤∈R所以{1,2,3}AB =故答案选.D考点：1.常见数集的表示；2.集合的运算.2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-【答案】.D考点：同角三角函数关系.3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的公差为2的等差数列 所以212a a =+，411(41)26a a a =+-⨯=+ 因为1a ，2a ，3a 成等比数列所以2214a a a =，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a = 故答案选A .考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列中项. 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】试题分析：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ；故①是正确的；②若q p ∧为假命题，则p 或q 为假命题，故②是错误的；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320,x x -+≠则2≠x ，故③是错误的. 故答案选A .考点： 命题的真假判断.5. 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+【答案】A . 【解析】试题分析：由题图可知函数的周期514()263T =-=，2A = 由周期公式2T πω=，得ωπ=所以()2sin()f x x πϕ=+ 由题图知，当13x =时，()f x 取得最大值 所以22326k k πππϕπϕπ+=+⇒=+，k Z ∈因为||2πϕ<，所以6πϕ=所以()2sin()6f x x ππ=+故答案选A .考点：三角函数的图像和性质. 6. 设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B考点：1.解不等式；2.命题的充分必要性.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是（ ） A ．5 B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--【答案】C 【解析】试题分析：由(2)()f x f x +=，知函数()f x 的周期为2 作函数()f x 和函数()2g x kx =+的图像，如下图所示：函数()2g x kx =+恒过定点(0,2)321303l k -==---32110m k -==---32110n k -==-321303q k -==-结合图像可知，k 的取值范围为11(,1)(1,)33--故答案选C考点：1.方程根的存在性；2.函数零点个数；3.函数的周期性.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ． 【答案】2log π考点：指数函数的性质.10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ． 【答案】5- 【解析】试题分析：因为平面向量21()，a =，13(-)，b = 所以(2,13)a b λλλ+=-+ 由()a a b λ⊥+所以()0a a b λ⋅+=，即(2,1)(2,13)02(2)1(13)0λλλλ⋅-+=⇒⨯-+⨯+= 解得5λ=-考点：向量的数量积.11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD =+，则x y += ．【答案】12【解析】试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点所以1122BE BD BC =+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=- 又BE xAB yAD =+ 所以1x =，12y =- 所以12x y +=考点：向量的线性运算.12. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 【答案】2π考点：三角函数的性质. 13. 若函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立， 22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立所以1sin a x≥因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x<<⇒<<所以a 的取值范围是[2,)+∞考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用.14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .F EDCBA【答案】(0,4]，【解析】试题分析：如图，作FG BC ⊥,交BC 延长线于G ，则CGFG =,易证得ABE EGF ∆∆∽，所以AB BEEG FG= 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+ 所以44xm x x m m=⇒=-+所以()(4)cos (4)4f x EC CF x x x π=⋅=-⋅=-由题知04x <<，所以0()4f x <≤ 故()f x 的值域是(0,4]2111(4)[(2)4]222ECF S EC FG x x x ∆=⨯=-=--+ 因为04x <<，所以当BCF ∆面积最大时，2x =，即2BE CG FG === 则4EG EC CG =+=在Rt EGF ∆中，222224220EF EG FG =+=+=所以EF =考点：1.向量的数量积；2.二次函数的最值.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222xx x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）25[2,2],33k k k Z ππππ++∈，2,3x k k Z ππ=+∈.试题解析：由2()cos2cos 222x x x f x =-则()(cos 1)f x x x -+cos 1x x --2sin()16x π=--（Ⅰ）()2sin()10336f πππ=--=（Ⅱ）令322,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得2522,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是25[2,2],33k k k Z ππππ++∈ 令,62x k k Z πππ-=+∈，得2,3x k k Z ππ=+∈ 即函数()f x 的对称轴方程2,3x k k Z ππ=+∈ 考点：1.三角函数的恒等变换；2.三角函数的性质. 16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.【答案】（Ⅰ）2(1)n b n n =+；（Ⅱ）证明略，详见解析.试题解析：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列 所以由等差数列的前n 项和公式得，数列{}n a 前n 项和为21122n S n n =+ 由1n nb S =，得2(1)n b n n =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(1)1n b n n n n ==-++所以123222222222212233411n b b b b n n n ++++=-+-+-++-=-++ 又201n >+，所以1232n b b b b ++++< 考点：1.等差数列的求和公式；2.数列的求和方法. 17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围． 【答案】（Ⅰ）6C π=；（Ⅱ）1(0,]4.试题解析： （Ⅰ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角，所以23B π=，得sin 2B =， 再由正弦定理sin sin a b A B =，得1sin 2A =， 所以6A π=又A B C π++= 所以6C π=（Ⅱ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角， 所以23B π=， 故3A C π+=，既得3C A π=-，所以21sin sin sin sin()cos cos 32A C A A A A A π⋅=⋅-=-11112cos 2sin(2)44264A A A π=+-=+- 因为3A C π+=，所以5102sin(2)1366626A A A πππππ<<⇒<+<⇒<+≤ 所以1110sin(2)2644A π<+-≤ 故sin sin A C ⋅的取值范围1(0,]4考点：1.正弦定理；2.三角函数的性质. 18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 【答案】（Ⅰ）当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间， 当1a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,),(0,1)a +∞，单调递减区间为(1,)a ， 当1a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,),(0,)a +∞，单调递减区间为(,1)a ； （Ⅱ）证明略. 【解析】试题分析：（Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，则2(1)()x a x af x x -++'=，令()0f x '>或()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，要证1()2f x ≥，只需证min 1()2f x ≥，所以此问就是求函数()f x 在定义域区间的最小值.试题解析： （Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+， 所以2(1)()(1)a x a x af x x a x x-++'=+-+=，令()0f x '>，即2(1)0(1)()0x a x a x x a -++>⇒-->当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间。
北京市朝阳区2016届高三上学期期末联考文数试题(原卷版)
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{1,0,1}A =-，{11}B x x =-<≤，则A B =I （ ）A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}-2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是（ ）A ．()f x =B ．1()f x x= C ．()e x f x = D ．()sin f x x = 3.执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64.在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（ ）A ．30辆B ．300辆C ．170辆D ．1700辆5.已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，且m α⊂，n β⊂，则下列说 法正确的是（ ）A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥6.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且与y 轴交于点A ，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A.24y x =±B. 24y x =C. 28y x =±D. 28y x =7.已知A ，B 为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n R ∈)上两个不同的点（C 为圆心），且满足13||=+，则AB =（ ）A. 23B.C. 2D. 4 8.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”，已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a R ∈），若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分.把答案填在题中的横线上．）9.计算:(1)i i -= (i 为虚数单位).10.双曲线2213y x -=的渐近线方程为 . 11.在ABC ∆中，若1BC =，2AC =，1cos 4C =，则AB = ，sin A = . 12.已知正数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则21()2x y z +=的最小值为 .13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 .14. 在ABC ∆中，AB AC =，D 为线段AC 的中点，若BD 的长为定值l ，则ABC ∆面积的最大值为 （用l 表示）.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，*n N ∈，求数列{}n c 的前n 项和．16.（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x a =++的图象过点(,1)6π. （1）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.17.（本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（1）求选出的2人都是女同学的概率；（2）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N ，求事件N 发生的概率．18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（1）求证：//AB EF ；（2）若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，试证明AF ⊥平面PCD ；（3）在（2）的条件下，线段PB 上是否存在点M ，使得EM ⊥平面PCD ?（直接给出结论，不需要说明理由）19.（本小题满分13分）已知函数()(21)ln 2k f x k x x x=-++，k R ∈. （1）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）当k e =时，试判断函数()f x 是否存在零点，并说明理由；（3）求函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点．（1）求椭圆C 的离心率；（2）求证：OA OB ⊥；（3）求OAB ∆面积的最大值.：。
北京市朝阳区2016届高三数学上学期期中试题 理
北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ．13. 若函数sin ()cos a x f x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .FEDCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.。
2016-2017学年北京市朝阳区高三(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜04．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=，S10=．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=．13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n 项和．17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．2016-2017学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．（5分）复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【解答】解：==1﹣i，故选：D．3．（5分）已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0【解答】解：对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．（5分）已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．【解答】解：∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，θ∈[0，π]，则由cosθ===，可得θ=，故选：B．5．（5分）若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y=a x在R上是减函数，则0＜a＜1，此时2﹣a＞0，则函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数，则2﹣a＞0，即0＜a＜2，则函数y=a x在R上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或【解答】解：∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．（5分）某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10= 110．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10．（5分）圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是3．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）在△ABC中，已知，则∠C=105°．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．（5分）设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．（5分）甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是甲．【解答】解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．（13分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n 项和．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．…（6分）（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．…（13分）17．（13分）甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【解答】解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．（14分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，且AB⊥BE，所以BE⊥平面ABCD．因为AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC．又因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．因为BD∩BE=B，所以AC⊥平面BDE．…（4分）（Ⅱ）设AC∩BD=O，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点．设G为DE的中点，连结OG，FG，则OG∥BE，且．由已知AF∥BE，且，则AF∥OG，且AF=OG．所以四边形AOGF为平行四边形．所以AO∥FG，即AC∥FG．因为AC⊄平面DEF，FG⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF．…（9分）解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE⊥平面ABCD，因为AF∥BE，所以AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD．又因为四边形ABCD为正方形，所以AB⊥AD，所以AD⊥平面ABEF．由（Ⅱ）可知，AC∥平面DEF，所以，点C到平面DEF的距离等于A点到平面DEF的距离，=V A﹣DEF．所以V C﹣DEF因为AB=AD=2AF=2．所以=．故三棱锥C﹣DEF的体积为．…（14分）19．（13分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．…（5分）（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．…（13分）20．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=xe x+x2，因为f'（x）=xe x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．…（3分）（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x ﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（9分）（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．…（14分）。
北京市朝阳区2017届高三上学期期中考试数学文试题 含答案
北京市朝阳区2016-2017学年度高三年级第一学期统一考试数学试卷（文史类) 2016。
11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1。
已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，1{|2,}2B x x x =<<∈R ，那么集合AB =A.∅ B ．1{|1,}2x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R2.下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是 A ．1y x =-B ．tan y x =C ．3y x =D ．2y x =-3. 已知3sin 5x =，则sin 2x 的值为A ．1225B ．2425C ．1225或1225- D ．2425或2425-4. 设x ∈R 且0x ≠,则“1x >"是“1+2x x>”成立的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C 。
充分必要条件 D 。
既不充分也不必要条件5。
设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面。
下列命题正确的是A ．若,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则αβ⊥B ．若//,,//m n αβαβ⊥,则 m n ⊥C ．若,,//m n αβαβ⊥⊥，则//m nD ．若,,m n m αβαβ⊥=⊥，则n β⊥6。
已知三角形ABC 外接圆O 的半径为1（O 为圆心)，且OB OC +=0，||2||OA AB =，则CA BC ⋅等于（）A ．154- B ．34- C ．154D ．347。
已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数()1()()2g x f f x =-的零点个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．18. 5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是（ ）A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个第二部分(非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分，共30分。
2016年高考文科数学试题及答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国考试数学(文)(XX卷)本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合，贝S(A) (B) (C) (D)(2)复数(A) i (B) 1+i (C) (D)(3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(A) 8(B) 9(C) 27(D) 36（4）下列函数中，在区间上为减函数的是（A（B）（C）（D）（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为（A）1（B）2（C）（D）2（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（A）（B）（C）（D）（7）已知A（2, 5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段ABxx,则2x-y 的最大值为（A）-1（B）3（C）7（D）8（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，贝卩（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） ______________________________________________ 已知向量，则a与b夹角的大小为____________________________________________（10）函数的最大值为__________ .（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________________mm（12）已知双曲线（a>0,b>0）的一条渐近线为2x+y=0, —个焦点为（,0 ）,贝H a= ___ ; b= _____________ .（13） ____________________________ 在厶ABCxx , a=c,则二.(14) 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有_________ 种；②这三天售出的商品最少有_________ 种.三、解答题(共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)(15) (本小题13分)已知｛an｝是等差数列，｛bn｝是等差数列，且b2=3, b3=9, a仁b1, a14=b4.(I)求｛an｝的通项公式；(H)设cn二an+ bn，求数列｛cn｝的前n项和.(16) (本小题13分)已知函数f (x) =2sin 3x cos w x+ cos 2 w x ( w >0)的最小正周期为n .(I)求3的值；(H)求f (x)的单调递增区间.某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：频率i(I )如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(II )假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费(18) (本小题14分)如图，在四棱锥P-ABCDxx PC I平面ABCD(I )求证：；(II )求证：；(III) 设点E为AB的中点，在棱PBxx是否存在点F,使得？说明理由.已知椭圆C:过点A (2,0)，B (0,1 )两点.(I )求椭圆C的方程及离心率；(II )设P为第三象限内一点且在椭圆Cxx，直线PA与y轴交于点M直线PB与x轴交于点N,求证：四边形ABN啲面积为定值.(20) (本小题13分)设函数（I ）求曲线在点处的切线方程；（II ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（xx卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）（10）2（11）（12）12（13）1（14）1629三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13 分）解：（I ）等比数列的公比，所以，设等差数列的公差为.因为，，所以，即.所以（，，，）•（II ）由（I ）知，，因此.从而数列的前项和S n =1 3 2n _1 13 3n 1 2n -1 1 —3n- 2 1-3（16）（共13 分）解：（I ）因为= sin2 x cos2 x所以的最小正周期.依题意，，解得.(II )由(I)知.函数的单调递增区间为（）.由，得.所以的单调递增区间为（）.（17）（共14 分）解：（I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，.所以该月用水量不超过立方米的居民占%用水量不超过立方米的居民占%依题意，至少定为.（II ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:根据题意，该市居民该月的人均水费估计为:4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 27 0.05(元)•(18)(共13 分)解：(I )因为平面，所以.又因为，所以平面.(II )因为，，所以.因为平面，所以.所以平面.所以平面平面.(III )棱上存在点，使得平面.证明如下: 取中点，连结，，.又因为为的中点，所以.又因为平面,所以平面.（19）（共14 分）解：（I ）由题意得，，. 所以椭圆的方程为.又，所以离心率.（II ）设（，），则. 又，，所以，直线的方程为.令，得，从而.直线的方程为.令，得，从而.所以四边形的面积s=2砂咖1 2+ xo '1+ 2"2 < y 。
北京市朝阳区高三上学期期末数学试卷(文科)-含解析
高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜04．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（）A．B．C． D．5．若a＞0，且a≠1，则“函数y=a x在R上是减函数”是“函数y=（2﹣a）x3在R上是增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，M是双曲线上的一点，且|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．或7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A． B ． C ． D ．8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（ ） A ．23 B ．20 C ．21 D ．19二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=2，S 2=a 3，则a 2= ，S 10= ． 10．圆C ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣2=0的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ． 11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的结果为 ．12．在△ABC 中，已知，则∠C= ．13．设D 为不等式组表示的平面区域，对于区域D 内除原点外的任一点A （x ，y ），则2x +y 的最大值是 ，的取值范围是 ．14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f （x ）=2sinxcosx +2cos 2x ﹣1（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2=4，a 3+a 4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．18．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求证：AC∥平面DEF；（Ⅲ）求三棱锥C﹣DEF的体积．19．在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．20．设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁U A）∩B）=（）A．{x|x＞2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x＜1}，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴∁U A={x|x≥1}，则（∁U A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C2．复数=（）A．2﹣i B．2﹣2i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：==1﹣i，故选：D．3．已知非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式中一定成立的是（）A．a+b＞0 B．C．ab＜b2D．a3﹣b3＜0【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的性质求解即可．【解答】解：对于A：∵a＜b，则a﹣b＜0，b﹣a＞0，∴A不对．对于B：∵a＜b，当a＜0＜b，则，∴B不对．对于C：∵a＜b，当a＜b＜0，则ab＞b2，∴C不对．对于D：∵a＜b，则a3＜b3，即a3﹣b3＜0，∴D对．故选D．4．已知平面向量=（1，0），=（﹣，），则与+的夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得cosθ=的值，可得θ的值．【解答】解：∵向量=（1，0），=（﹣，），∴+=（，），•（+）=（1，0）•（，）=，设与+的夹角为θ，则由cosθ===，可得θ=，故选：B ．5．若a ＞0，且a ≠1，则“函数y=a x 在R 上是减函数”是“函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数单调性之间的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若函数y=a x 在R 上是减函数，则0＜a ＜1，此时2﹣a ＞0，则函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数成立，即充分性成立，若函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数，则2﹣a ＞0，即0＜a ＜2，则函数y=a x 在R 上不一定是减函数，即必要性不成立，即“函数y=a x 在R 上是减函数”是“函数y=（2﹣a ）x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选：A ．6．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1，F 2，M 是双曲线上的一点，且|MF 1|=，|MF 2|=1，∠MF 1F 2=30°，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．或【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用正弦定理计算∠MF2F1=60°或120°，分类求出c的值，利用双曲线的定义计算a，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：∵M是双曲线上的一点，|MF1|=，|MF2|=1，∠MF1F2=30°，由正弦定理可得，=，即=，解得sin∠MF2F1=，∴∠MF2F1=60°或120°，当∠MF2F1=60°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=2．即c=1，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=∴e==+1，当∠MF2F1=120°时，△MF2F1为直角三角形，此时2c=|F2F1|=|MF1|=1．即c=，∵2a=|MF1|﹣MF2|=﹣1，即a=，∴e===，故选：D．7．某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的某四棱锥的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的某四棱锥的三视图，可得：该几何体的直观图如下图所示：其底面面积为：S=2×=，高h=，故体积V==，故选：C8．某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是（）A．23 B．20 C．21 D．19【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】设这两项成绩均合格的人数为x，根据集合关系建立方程进行求解即可．【解答】解：设这两项成绩均合格的人数为x，则跳远合格掷实心球不合格的人数为26﹣x，则26﹣x+23+3=32，得x=20，即这两项成绩均合格的人数是20人，故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1=2，S2=a3，则a2=4，S10=110．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=2，S2=a3，∴2a1+d=a1+2d，即2=d，∴a2=2+2=4．S10=10××2=110．故答案为：4，110．10．圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是3．【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出圆心到已知直线的距离．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣1）2=4，可得圆心坐标为（﹣1，1），则圆心到直线3x+4y+14=0的距离d==3．故答案为：311．执行如图所示的程序框图，则输出S的结果为30．【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．【解答】解：第一次，i=1，满足条件，i＜6，i=1+2=3，S=6，第二次，i=3，满足条件，i＜6，i=3+2=5，S=6+10=16，第三次，i=5，满足条件，i＜6，i=5+2=7，S=16+14=30，第四次，i=7，不满足条件i＜6，程序终止，输出S=30，故答案为：3012．在△ABC中，已知，则∠C=105°．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得角A，再运用三角形的内角和定理，计算即可得到C．【解答】解：由题意：已知，即b=a由正弦定理=，则有sinA=，∵0°＜A＜135°∴A=30°则C=180°﹣30°﹣45°=105°故答案为：105°13．设D为不等式组表示的平面区域，对于区域D内除原点外的任一点A（x，y），则2x+y的最大值是，的取值范围是[﹣，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．判断的符号，利用构造法转化为函数的最值，结合可行域求出范围即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域：当直线2x+y=t过点A时，2x+y取得最大值，由，可得A（，）时，z最大是2×=，由约束条件x﹣y≤0，可知≤0，令z=，可得z2==1﹣，令t=，由可行域可得∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．求解的最小值，就是解z2的最大值，即1﹣的最大值，可知∈（﹣∞，﹣1]，显然=﹣1时，z2取得最大值2．所以z，的取值范围是[﹣，0）．故答案为：．[﹣，0）．14．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”．若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是甲．【考点】进行简单的合情推理．【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手中只有一个人说的是真话”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题．【解答】解：若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，不符合题意．若丙是获奖的歌手，则甲、丁都说真话，不符合题意若丁是获奖的歌手，则乙、丙都说真话，不符合题意．若甲是获奖的歌手，则甲、乙、丙都说假话，丁真话，符合题意．故答案为：甲三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）先逆用二倍角公式，然后逆用两角和的正弦公式化成正弦型函数的标准形式，利用周期公式T=求周期；（Ⅱ）根据正弦函数的最值结合定义域求函数y=2sin（2x+）最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）∴T=．（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]∴﹣1≤2sin（2x+）≤2∴函数f（x）在区间[﹣，]上的最小值为﹣1，最大值为2．16．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a2=4，a3+a4=24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{a n}的公比为q，由可求得q，从而可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由b1=3，b2=6，且{b n﹣a n}是等差数列，可得数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列，继而可得，利用分组求和法即可求得数列{b n}的前n项和．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，依题意q＞0．因为，两式相除得：q2+q﹣6=0，解得q=2，q=﹣3（舍去）．所以．所以数列{a n}的通项公式为．…（Ⅱ）解：由已知可得b1﹣a1=3﹣2=1，b2﹣a2=6﹣4=2，因为{b n﹣a n}为等差数列，所以数列{b n﹣a n}是首项为1，公差为d=1的等差数列．所以b n﹣a n=1+（n﹣1）=n．则．因此数列{b n}的前n项和：=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）=．…17．甲乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间，他们参加了5次预赛成绩记录如下：甲82 82 79 95 87乙95 75 80 90 85（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率：（3）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．【考点】茎叶图；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）直接由题目给出的数据画出茎叶图；（2）求出甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数，查出甲的成绩比乙高的个数，直接利用古典概型计算公式求解；（3）求出甲乙的平均数和方差即可得到答案．【解答】解：（1）茎叶图如图，（2）设甲被抽到的成绩鞥即为x，乙被抽到的成绩为y，则从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个的基本事件个数为5×5=25．其中甲的成绩比乙的成绩高的个数为（82，75），（82，80），（79，75），（87，75），（87，80），（87，85）（95，90），（95，75），（95，80），（95，85），（82，75），（82，80）共12个．所以从甲乙两人的成绩中各随机抽取一个，甲的成绩比乙高的概率为；（3）派甲参赛比较合理．理由是．．==31.6．因为甲乙的平均数相同，甲的方差小于乙的方差，所以甲发挥稳定．18．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ∥BE ，AB ⊥BE ，AB=BE=2，AF=1．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求证：AC ∥平面DEF ； （Ⅲ）求三棱锥C ﹣DEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出BE ⊥AC ，AC ⊥BD ．由此能证明AC ⊥平面BDE ．（Ⅱ）设AC ∩BD=O ，设G 为DE 的中点，连结OG ，FG ，推导出四边形AOGF 为平行四边形，从而AO ∥FG ，即AC ∥FG ，由此能证明AC ∥平面DEF ．（Ⅲ）推导出点C 到平面DEF 的距离等于A 点到平面DEF 的距离，由V C ﹣DEF =V A ﹣DEF ，能求出三棱锥C ﹣DEF 的体积． 【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，且AB ⊥BE ，所以BE ⊥平面ABCD ． 因为AC ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥AC ．又因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ． 因为BD ∩BE=B ，所以AC ⊥平面BDE ．… （Ⅱ）设AC ∩BD=O ，因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点． 设G 为DE 的中点，连结OG ，FG ，则OG ∥BE ，且．由已知AF ∥BE ，且，则AF ∥OG ，且AF=OG ．所以四边形AOGF 为平行四边形． 所以AO ∥FG ，即AC ∥FG ．因为AC ⊄平面DEF ，FG ⊂平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF ．…解：（Ⅲ）由（Ⅰ）可知BE ⊥平面ABCD ，因为AF ∥BE ，所以AF ⊥平面ABCD ，所以AF ⊥AB ，AF ⊥AD ． 又因为四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ， 所以AD ⊥平面ABEF ．由（Ⅱ）可知，AC ∥平面DEF ，所以，点C 到平面DEF 的距离等于A 点到平面DEF 的距离， 所以 V C ﹣DEF =V A ﹣DEF ． 因为AB=AD=2AF=2． 所以=．故三棱锥C ﹣DEF 的体积为．…19．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率乘积为，记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若曲线C 上的两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB ，求证：△OMN 的面积为定值． 【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设P （x ，y ），由题意可得k PA •k PB =﹣，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P 的轨迹为曲线C ；（Ⅱ）设方程为y=kx +m ，由两点M ，N 满足OM ∥PA ，ON ∥PB 及（Ⅰ）得直线OM ，ON的斜率乘积为，可得到m、k的关系，再用弦长公式及距离公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面积即可．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），则，整理得（x≠±2）．…（Ⅱ）依题直线OM，ON的斜率乘积为．当直线MN的斜率不存在时，直线OM，ON的斜率为，设直线OM的方程是，由得，y=±1．取，则．所以△OMN的面积为．当直线MN的斜率存在时，设方程为y=kx+m．由得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣4=0．因为M，N在椭圆C上，所以△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）＞0，解得4k2﹣m2+2＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，；所以=．设点O到直线MN的距离为d，则．所以△OMN的面积为…①．因为OM∥PA，ON∥PB，直线OM，ON的斜率乘积为，所以．所以=．由，得2k2+1=m2…②．由①②，得．…20．设函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点，试求a的取值范围；（III）设函数g（x）=lnx+x﹣e x+1，当a=0时，证明f（x）﹣g（x）≥0．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性结合函数的零点个数求出a的范围即可；（Ⅲ）当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），只需证明h（x）＞0即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=xe x+x2，因为f'（x）=xe x+2x，所以f'（1）=e+2．又f（1）=1，则所求的切线方程为y﹣1=（e+2）（x﹣1）．化简得：y=（e+2）x﹣e﹣1．…（Ⅱ）因为f'（x）=x（e x+2a）①当a=0时，函数f（x）=（x﹣1）e x只有一个零点；②当a＞0，函数当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0；函数当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．又f（0）=﹣1，f（1）=a，因为x＜0，所以x﹣1＜0，e x＜1，所以e x（x﹣1）＞x﹣1，所以g（x）＞ax2+x﹣1取，显然x0＜0且g（x0）＞0所以f（0）f（1）＜0，f（x0）f（0）＜0．由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点．③当a＜0时，由f'（x）=x（e x+2a）=0，得x=0，或x=ln（﹣2a）．若，则ln（﹣2a）≤0．故当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）在单调递增，所以函数f（x）在（0，+∞）至多有一个零点．又当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上没有零点．所以函数f（x）不存在两个零点．若，则ln（﹣2a）＞0．当（ln（﹣2a），+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，所以函数f（x）在（ln（﹣2a），+∞）至多有一个零点．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，ln（﹣2a））时，f'（x）＜0；所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单增，（0，ln（﹣2a））上单调递减，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上的最大值为f（0）=﹣1＜0，所以函数f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上没有零点．所以f（x）不存在两个零点．综上，a的取值范围是（0，+∞）．…（III）证明：当a=0时，f（x）﹣g（x）=（x﹣1）e x+e x﹣lnx﹣x﹣1．设h（x）=xe x﹣lnx﹣x﹣1，其定义域为（0，+∞），则证明h（x）＞0即可．因为，所以h'（0.1）＜0，h'（1）＞0．又因为，所以函数h'（x）在（0，+∞）上单调递增．所以h'（x）=0有唯一的实根x0∈（0，1），且．当0＜x＜x0时，h'（x）＜0；当x＞x0时，h'（x）＞0．所以函数h（x）的最小值为h（x0）．所以=1+x0﹣x0﹣1=0．所以f（x）﹣g（x）≥0．…。
北京市朝阳区2016届高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．37．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．368．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是，最小值是．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是．12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= ．14．已知点O在△ABC的内部，且有=，记△AOB，△BOC，△AOC的面积分别为S△AOB，S△BOC，S△AOC．若x=y=z=1，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ；若x=2，y=3，z=4，则S△AOB：S△BOC：S△AOC= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．2015-2016学年北京市朝阳区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由N中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，且x≠1，解得：0≤x＜1，即N={x|0≤x＜1}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}，故选：A．2．复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】先将z=i（1+i）化简，从而判断即可．【解答】解：z=i（1+i）=﹣1+i，∴复数z=i（1+i）（i是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为：（﹣1，1），故选：D．3．执行如图所示的程序框图，则输出的i值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，i的值，当m=0时满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得m=1，i=1，m=1×（2﹣1）+1=2，i=2，不满足条件m=0，m=2×（2﹣2）+1=1，i=3，不满足条件m=0，m=1×（2﹣3）+1=0，i=4，满足条件m=0，退出循环，输出i的值为4．故选：B．4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（）A．30辆B．300辆C．170辆D．1700辆【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆．【解答】解：由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为（0.03+0.035+0.02）×10=0.85，∴估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有：2000×0.85=1700（辆）．故选：D．5．“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=a﹣sinx≥0，即a≥sinx，∵﹣1≤sinx≤1，∴a≥1，则“a＞1”是“函数f（x）=a•x+cosx在R上单调递增”充分不必要条件，故选：A．6．已知点Q（2，0）及抛物线x2=4y上一动点P（x，y），则y+|PQ|的最小值是（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，利用抛物线的定义得出：y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1，利用当且仅当F、Q、P共线时取最小值，从而得出故y+|PQ|的最小值．【解答】解：抛物线x2=4y的准线是y=﹣1，焦点F（0，1）．设P到准线的距离为d，则y+|PQ|=d﹣1+|PQ|=|PF|+|PQ|﹣1≥|FQ|﹣1=3﹣1=2（当且仅当F、Q、P共线时取等号）故y+|PQ|的最小值是2．故选C．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．27 B．30 C．32 D．36【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是边长为3的正方形，DA⊥平面PAB，AP⊥平面ABCD，AP=4，∴CD⊥平面PAD，PB=PD=5，∴S△ADP==6，S△ABP==6，S△CDP==，S△CBP==．∴四棱锥的侧面积S=6+6++=27．故选A．8．设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【考点】函数的值．【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x=0时，|20﹣a|﹣a＞0，解得a＜10．∴实数a的取值范围是a＜10．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是π，最小值是﹣1 ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性和最小值，得出结论．【解答】解：函数y=2sin（2x+）+1的最小正周期是=π，最小值为﹣2+1=﹣1，故答案为：π，﹣1．10．若x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z．由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为4．故答案为：4．11．在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=2，则a1+2a3的最小值是4．【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性．【分析】由基本不等式可得，a1+2a3≥2=，结合已知即可求解【解答】解：∵a2=2，且a n＞0由基本不等式可得，a1+2a3≥2==4即最小值为故答案为：12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为12 ．【考点】计数原理的应用．【分析】由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，可得结论．【解答】解：由题意，甲必须站两端，有2种方法，其余3名同学，有=6种方法，根据乘法原理，共有2×6=12种方法．故答案为：12．13．已知A，B为圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9（m，n∈R）上两个不同的点（C为圆心），且满足，则|AB|= 4 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求得圆的圆心和半径，运用向量的减法运算和数量积的性质：向量模的平方即为向量的平方，求得|+|2+||2=36，即可得到所求值．【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2=9可得，圆心C（m，n），半径为3，由题意可得||=||=3，由|+|2+||2=|+|2+|﹣|2=2+2+2•+2+2﹣2•=2（2+2）=2（32+32）=36，由，可得||2=16，即有||=4．故答案为：4．14．已知点O 在△ABC 的内部，且有=，记△AOB ，△BOC ，△AOC 的面积分别为S △AOB ，S △BOC ，S △AOC ．若x=y=z=1，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 1：1：1 ；若x=2，y=3，z=4，则S △AOB ：S △BOC ：S △AOC = 4：2：3 ． 【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】（1）由=，得O 是△ABC 的重心，故S △AOB =S △BOC =S △AOC ，得出答案；（2）延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，结合已知可得O 是△DEF 的重心，故△DOE ，△EOF ，△DOF 的面积相等，进而得到答案．【解答】解：若=，则O 是△ABC 的重心，∴S △AOB =S △BOC =S △AOC =S △ABC ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =1：1：1．若2+3+4=，延长OA ，OB ，OC ，使OD=2OA ，OE=3OB ，OF=4OC ，如图所示：则，∴O 是△DEF 的重心，∴S △DOE =S △EOF =S △DOF ．∴S △AOB ==×OD ×sin ∠AOB=S △DOE ，S △BOC ==OFsin ∠BOC=S △EOF ，S △AOC ==OFsin ∠BOC=S △DOF ，∴S △AOB ：S △BOC ：S △AOC =：：=4：2：3．故答案为1：1：1，4：2：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，利用排列组合知识能求出选出的3名同学来自班级的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和随机变量X的数学期望E（X）．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则P（A）==．所以选出的3名同学来自班级的概率为．…（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望E（X）==．16．如图，在△ABC中，点D在BC边上，，．（Ⅰ）求sin∠C的值；（Ⅱ）若BD=5，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．（Ⅱ）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为，所以．又因为，所以．所以=．…（Ⅱ）在△ACD中，由，得．所以．…17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=ax+lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）当a=﹣e时，（ⅰ）证明：f（x）+2≤0；（ⅱ）试判断方程是否有实数解，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，分离出a，结合函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）（i）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最大值，证出结论；（ii）求出|f（x）|≥2，令g（x）=+，求出g（x）的最大值小于|f（x）|的最小值，从而判断无解．【解答】解：函数f（x）定义域x∈（0，+∞），f′（x）=a+，（Ⅰ）因为f（x）在区间上为增函数，所以f′（x）≥0在x∈上恒成立，即，在x∈上恒成立，则．…（Ⅱ）当a=﹣e时，f（x）=﹣ex+lnx，．（ⅰ）令f′（x）=0，得．令f′（x）＞0，得，所以函数f（x）在单调递增．令f′（x）＜0，得，所以函数f（x）在单调递减．所以，．所以f（x）+2≤0成立．…（ⅱ）由（ⅰ）知，f（x）max=﹣2，所以|f（x）|≥2．设．所以．令g'（x）=0，得x=e．令g'（x）＞0，得x∈（0，e），所以函数g（x）在（0，e）单调递增，令g'（x）＜0，得x∈（e，+∞），所以函数g（x）在（e，+∞）单调递减；所以，，即g（x）＜2．所以|f（x）|＞g（x），即|f（x）|＞．所以，方程|f（x）|=没有实数解．…19．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）求证：OA⊥OB；（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．则．故椭圆C的离心率为；（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．在中，令x=1得y=±1．不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．所以．所以=====．所以OA⊥OB．综上所述，总有OA⊥OB成立．（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，====．所以=，（当且仅当时，等号成立）．所以．此时，．综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．20．已知有穷数列：的各项均为正数，且满足条件：①a1=a k；②．（Ⅰ）若k=3，a1=2，求出这个数列；（Ⅱ）若k=4，求a1的所有取值的集合；（Ⅲ）若k是偶数，求a1的最大值（用k表示）．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，a2．即可得出a3．（II）若k=4，由①知a4=a1．由于，解得或．分类讨论即可得出．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m ﹣1﹣i，t∈Z．对i分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵k=3，a1=2，由①知a3=2；由②知，，整理得，．解得，a2=1或．当a2=1时，不满足，舍去；∴这个数列为．（Ⅱ）若k=4，由①知a4=a1．∵，∴．∴或．如果由a1计算a4没有用到或者恰用了2次，显然不满足条件；∴由a1计算a4只能恰好1次或者3次用到，共有下面4种情况：（1）若，，，则，解得；（2）若，，，则，解得a1=1；（3）若，，，则，解得a1=2；（4）若，，，则，解得a1=1；综上，a1的所有取值的集合为．（Ⅲ）依题意，设k=2m，m∈N*，m≥2．由（ II）知，或．假设从a1到a2m恰用了i次递推关系，用了2m﹣1﹣i次递推关系，则有，其中|t|≤2m﹣1﹣i，t∈Z．当i是偶数时，t≠0，无正数解，不满足条件；当i是奇数时，由得，∴．又当i=1时，若，有，，即．∴a1的最大值是2m﹣1．即．2016年8月22日。
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北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（文史类） 2015.11 （考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是A ．2-B ．1-C ．13- D ．15-3.下列函数在(,0)(0,)-∞+∞ 上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =-B ．1y x -=C ．2log y x =D ．2x y =-4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于A ．2B ．2-C ．12D ． 12-5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位6. 下列命题正确的是 A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x C. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x7.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是A ．5B ．421 C ．6 D ．88. 已知函数2,()2.xx x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(0,2)B ．(2,)+∞ C ．(2,4)D ．(4,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9.若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b ==10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是 ．11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________．12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14.如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠= ，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC =+（m ∈R），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =+. （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间. 16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S≠=已知1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和nT .17. （本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB . (Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B上是否存在点M，使得1BM CB ⊥?若存在,确定点M的位置;若不存在，说明理由. 18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ．（Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围． 19. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x ax bx =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=． (Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值．北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（文史类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）（I ）由已知可得： ()cos 1f x x x ++2sin()16x π=++.所以)(x f 的最小正周期为2π. (7)分（II ）由2222k x k ππ3ππ+≤+≤π+6，k ∈Z ,得2233k x k π4ππ+≤≤π+,k ∈Z .因此函数)(x f 的单调递减区间为[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z .…………………..13分 16. （本小题满分13分）解：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩解得13,2.a d =⎧⎨=⎩因此1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. (6)分(Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n n n na b .12n n T b b b =+++ 231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+-…………………..13分 17.（本小题满分14分）（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以1CCAC ⊥.又AC BC ⊥，1BC CC C = , 所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. …………………..4分结DE ， (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连中点，因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的E所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.…………………..9分(Ⅲ)在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点，所以CD AB ⊥. 又1AA AB A = ，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM .因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥.又1CD B D D = ,所以BM ⊥平面1B CD .又1B C ⊂平面1B CD ，所以1BM CB ⊥.…………………..14分EM18. （本小题满分13分） （I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，sin B =由正弦定理,sin sin a b A B=可得2sin A =则1sin 2A =. 又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=.所以1sin 2ABCSab C ∆= 11222=⨯⨯=. .……………………………………………………………6分（II ）sin sin sin()sin 3A C C C π⋅=-⋅=1sin sin )2C C C ⋅-12(1cos 2)4C C --11sin(2)264C π=+-. 因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈.则1sin(2)(,1]62C π+∈.所以CA sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. ………………………………………13分19. （本小题满分13分） 解：（I ）函数的定义域为(0,)+∞. 因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上成立.设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥. 所以a的取值范围是[3,)+∞. (7)分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. ………………………………13分20. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)x f x ax bx =++，所以2()e [(2)1]x f x ax a b x b '=++++． 因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． ……………………2分(Ⅰ)当1a =时，1b =时， (0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-． 即210x y -+=． ……………………4分(Ⅱ)由已知得2()e (1)x f x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)x x f x x b x b x x b '=++++=+++．（1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--；令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=．解得2b =．显然合题意．（2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0x f x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然不符合题意．（3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--；令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11x b -<<--．所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减．①若11b --≥，即2b ≤-时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)e(2)0f b =+=． 解得2b =-．显然合题意．②若11b --<，即20b -<<时，函数()f x 在在(1,1)b ---上单调递减，在(1,1)b -- 上单调递增．此时，函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0b f b b ----=+=．解得2b =-．显然不合题意．综上所述，2b =或2b =-为所求． ……………………14分。