锐角三角函数的真题汇编及答案

∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋5 ＋5−10 ＝15−5 （米）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
8．如图， 是一张顶角是 的三角形纸片， 现将 折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（）
∴S△ACE：S△BCE＝ AC·h： BC·h＝AC：BC，
又∵S△ACE：S△BCE＝AE：BE，
∴AE：BE＝AC：BC，
∵在 中， ， ，
∴AC：BC＝3:4，
∴AE：BE＝3:4
∴AE＝ AB，
∵ 为 边上的中线，
∴AD＝ AB，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线定理的应用及三角函数的应用，通过面积比证得AE：BE＝AC：BC是解决本题的关键．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cos30°＝5 （米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝10 （米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5 （米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan45°＝10＋5 （米），
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP= （海里）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（ ）
A．1B．2C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可．
【详解】
解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
BH= BC=3，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=30°，
∴AB= =2 ，
由翻折变换的性质可知，DB=DA= ，
锐角三角函数的真题汇编及答案
一、选择题
1．如图，在扇形 中， ，点 是弧 上的一个动点（不与点 、 重合）， 、 分别是弦 ， 的中点．若 ，则扇形 的面积为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．
∴③ 正确；
∵∠CEP＝30°，
∴CP＝ EP，
∵EP＝BP，
∴CP＝ BP，
∴④PB＝2PC正确．
综上所述：正确的共有4个．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE是等边三角形是解题关键．
A． B． C．8D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得BE= AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.
【详解】
3．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到 ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到 ，设 ， ，则 ，再根据勾股定理即可求解．
13．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角 的正对记作 ，即 底边:腰.如图，在 中， ， .则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，
∴∠DEA＋∠CEP＝90°，
则∠CEP＝30°，
故∠PEB＝∠EBP＝30°，
则EP＝BP，
又∵AE＝AB，AP＝AP，
∴△AEP≌△ABP（SSS），
∴∠EAP＝∠PAB＝30°，
∴AP⊥BE，故②正确；
∵∠DAE＝30°，
∴tan∠DAE＝ ＝tan30°＝ ，
∴AD＝ DE，即 ，
∵AB＝CD，
此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图， 中， ， 为 中点，且 ， ， 分别平分 和 ，交于 点，则 的最小值为（）．
A．1B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到 最小时， 为三角形 内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．
【详解】
解：如图作OH⊥AB于H．
∵C、D分别是弦AP、BP的中点．
∴CD是△APB的中位线，
∴AB＝2CD＝ ，
∵OH⊥AB，
∴BH＝AH＝ ，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠AOH＝∠BOH＝60°，
在Rt△AOH中，sin∠AOH＝ ，
∴AO＝ ，
∴扇形AOB的面积为： ，
故选：A．
【点睛】
∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，
∴BE= AB=2，∠BEF=90°，
∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，
∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，
∴
∴在Rt△ABM中，AB=BM cos∠ABM，即4=BM cos30°，
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线定理可得AE：BE＝AC：BC＝3:4，进而求得AE＝ AB，再由点D为AB中点得AD＝ AB，进而可求得 的值．
【详解】
解：∵ 平分 ，
∴点E到 的两边距离相等，
设点E到 的两边距离位h，
则S△ACE＝ AC·h，S△BCE＝ BC·h，
解得：BM= ，
故选A.
【点睛】
本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.
10．如图，在 中， ， ， 为 边上的中线， 平分 ，则 的值（）
A．(54 +10)cmB．(54 +10)cmC．64cmD．54cm
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
∴DE＝CE，
又∵AD＝BC，∠D＝∠C，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，
∵EA平分∠BED，
∴∠AED＝∠AEB，
∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；
∴△ABE是等边三角形，
∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，
∵PE⊥AE，
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
连接OC，
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC•tan30°= ，
故选A
7．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是( )米．
【详解】
解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
∴∠BED＝∠CDF，
设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，