高考数学理二轮专练中档大题1及答案解析
2022年高考数学(理)二轮复习 专项精练：中档大题规范练(二) Word版含答案
(二)立体几何与空间向量1．(2021·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P —ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A —PB —C 的余弦值．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ， 由于AB ∥CD ，所以AB ⊥PD .又AP ∩DP ＝P ，AP ，DP ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD .由于AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . (2)解 在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F .由(1)可知，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .以点F 为坐标原点，F A →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz . 由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，1，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， 所以PC →＝⎝⎛⎭⎫－22，1，－22，CB →＝(2，0,0)，P A →＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB →＝(0,1,0)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面PCB 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x 1＋y 1－22z 1＝0，2x 1＝0. 所以可取n ＝(0，－1，－2)．设m ＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AB 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·P A →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－22z 2＝0，y 2＝0.所以可取m ＝(1,0,1)，则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－23×2＝－33.易知A —PB —C 为钝二面角， 所以二面角A －PB －C 的余弦值为－33. 2.(2021·泉州质检)如图，在三棱锥A —BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ＝AD ，∠CBD ＝60°，BD ＝2BC ＝4，点E 在CD 上，DE ＝2EC . (1)求证：AC ⊥BE ；(2)若二面角E —BA —D 的余弦值为155，求三棱锥A —BCD 的体积． (1)证明 取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，EO . 由于AB ＝AD ，BO ＝OD ， 所以AO ⊥BD ，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，AO ⊂平面ABD ， 所以AO ⊥平面BCD .又BE ⊂平面BCD ，所以AO ⊥BE . 在△BCD 中，BD ＝2BC ，DE ＝2EC ， 所以BD BC ＝DEEC＝2，由角平分线定理，得∠CBE ＝∠DBE . 又BC ＝BO ＝2，所以BE ⊥CO ，又由于AO ∩CO ＝O ，AO ⊂平面ACO ，CO ⊂平面ACO ， 所以BE ⊥平面ACO ，又AC ⊂平面ACO ，所以AC ⊥BE .(2)解 在△BCD 中，BD ＝2BC ＝4，∠CBD ＝60°，由余弦定理，得CD ＝23，所以BC 2＋CD 2＝BD 2，即∠BCD ＝90°，所以∠EBD ＝∠EDB ＝30°，BE ＝DE ，所以EO ⊥BD ，结合(1)知，OE ，OD ，OA 两两垂直，以O 为原点，分别以OE →，OD →，OA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz (如图)，设AO ＝t (t >0)， 则A (0,0，t )，B (0，－2,0)，E ⎝⎛⎭⎫233，0，0， 所以BA →＝(0,2，t )，BE →＝⎝⎛⎭⎫233，2，0， 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋tz ＝0，233x ＋2y ＝0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－2t y ，令y ＝－1，得n ＝⎝⎛⎭⎫3，－1，2t . 由于OE ⊥平面ABD ，所以m ＝(1,0,0)是平面ABD 的一个法向量． 又由于二面角E —BA —D 的余弦值为155， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝33＋1＋4t2＝155， 解得t ＝2或t ＝－2(舍去)．又AO ⊥平面BCD ，所以AO 是三棱锥A —BCD 的高， 故V A —BCD ＝13·AO ·S △BCD＝13×2×12×2×23＝433. 3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知P A ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝π2，P A ＝AD ＝2，AB ＝BC ＝1.(1)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长． 解 以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， P (0,0,2)．(1)由于AD ⊥平面P AB ，所以AD →是平面P AB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)． 由于PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0.令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1. 所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量． 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为33. (2)由于BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)，又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)， 又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2.设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]，则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝⎛⎭⎫1t －592＋209≤910.当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.由于y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． 又由于BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255.4.(2021届锦州质检)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝ 3.(1)求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若二面角M —BQ —C 的大小为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 ∵AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，∴QD ∥BC 且QD ＝BC ， ∴四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD ∥BQ .∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面P AD .∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面P AD . (2)解 ∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ⊂平面P AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD ， ∴PQ ，QA ，QB 两两垂直，如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系，则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)，Q (0,0,0)，P (0,0，3)，B (0，3，0)，C (－1，3，0)，设M (x ，y ，z )，则PM →＝(x ，y ，z －3)， MC →＝(－1－x ，3－y ，－z )， ∵PM →＝tMC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (－1－x )，y ＝t (3－y )，z －3＝t (－z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t1＋t，y ＝3t 1＋t ，z ＝31＋t，在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)， QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t . ∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t )． ∵二面角M —BQ —C 为30°， ∴cos 30°＝n·m|n||m |＝t3＋0＋t 2＝32，∴t ＝3.5．(2021届北京市朝阳区模拟)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，点F ，G 分别为线段CD ，BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使∠A 1DC ＝60°.点Q 为线段A 1B 上的一点，如图 2.(1)求证：A 1F ⊥BE ；(2)线段A 1B 上是否存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE ？若存在，求出A 1Q 的长，若不存在，请说明理由； (3)当A 1Q →＝34A 1B →时，求直线GQ 与平面A 1DE 所成角的大小．(1)证明 由于A 1D ＝DC ，∠A 1DC ＝60°， 所以△A 1DC 为等边三角形． 又由于点F 为线段CD 的中点， 所以A 1F ⊥DC .由题可知ED ⊥A 1D ，ED ⊥DC ， A 1D ∩DC ＝D ，A 1D ，DC ⊂平面A 1DC ， 所以ED ⊥平面A 1DC .由于A 1F ⊂平面A 1DC ，所以ED ⊥A 1F . 又ED ∩DC ＝D ，ED ，DC ⊂平面BCDE ， 所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE .(2)解 由(1)知，A 1F ⊥平面BCDE ，FG ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，则F (0,0,0)，D (0，－1,0)，C (0,1,0)，E (1，－1，0)，A 1(0,0，3)，B (2,1,0)． 设平面A 1DE 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z )，A 1D →＝(0，－1，－3)，DE →＝(1,0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝0，n ·DE →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝0，x ＝0.令z ＝1，则y ＝－3，所以n ＝(0，－3，1)． 假设在线段A 1B 上存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE .设A 1Q →＝λA 1B →，λ∈(0,1)．又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝(2λ，λ，－3λ)． 所以Q (2λ，λ，3－3λ)．则FQ →＝(2λ，λ，3－3λ)． 所以FQ →·n ＝－3λ＋3－3λ＝0， 解得λ＝12.所以在线段A 1B 上存在中点Q ，使FQ ∥平面A 1DE ， 且A 1Q ＝ 2.(3)解 由于A 1Q →＝34A 1B →，又A 1B →＝(2,1，－3)，所以A 1Q →＝⎝⎛⎭⎫32，34，－334.所以Q ⎝⎛⎭⎫32，34，34.又由于G ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以GQ →＝⎝⎛⎭⎫0，34，34. 由于n ＝(0，－3，1)，设直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为θ，则sin θ＝|GQ →·n ||GQ →||n |＝⎪⎪⎪⎪0－334＋342×234＝12.所以直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为30°.。
高考数学(理)二轮专练：中档大题(5)及答案解析
中档大题(五)1．(2013·高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 2．某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是舞蹈节目”做了一次调查，随机抽取了100(1) (2)在(1)中抽取的5名学生中任取2名，求恰有1名男生的概率．3．(2013·荆州市高中毕业班质量检测))如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .4．(2013·江南十校联考)将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数f (x )的图象，若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (其中A 、ω>0，φ∈[－π2，π2])的形式；(2)若函数g (x )在[－π12，θ0]上的最大值为2，试求θ0的最小值．5．(2013·深圳市高三年级第一次调研考试)一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：(1)要从590分的概率；(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程y ^＝bx ＋a .参考公式：回归直线的方程是y ^＝bx ＋a ，其中b ＝错误!，a ＝y －bx .6．(2013·广东省惠州市高三第三次调研考试)已知点(1，13)是函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·(13)n ，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 014的最小正整数n 是多少？答案：1．【解】(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝1.(2)因为θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，cos θ＝35，所以sin θ＝－1－cos 2θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45.所以f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2×⎝⎛⎭⎫22cos θ＋22sin θ＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15.2．【解】(1)由表中数据可知，女生应该抽取27×545＝3(名)．(2)记抽取的5名学生中，2名男生分别为A ，B ，3名女生分别为a ，b ，c .则从5名学生中任取2 名的所有可能的情况有10种，它们是：(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )．其中恰有1名男生的情况有6种，它们是：(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )(B ，c )．故所求概率为610＝35.3．【证明】(1)在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点，则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)连接DB 交AC 于点F ，∵DC 12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连接DG ，FM ，则DG ∥FM ， 又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连接GN ，则GN ∥MC ， ∴GN ∥平面AMC . 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC .又DN ⊂平面DNG ， DN ∩平面AMC ＝∅， ∴DN ∥平面AMC .4．【解】(1)由题意可得f (x )＝4sin(x －π3)，∴g (x )＝4sin(x －π3)cos x ＋ 3＝4(12sin x －32cos x )cos x ＋ 3＝2(sin x cos x －3cos 2x )＋ 3＝2sin(2x －π3)．(2)∵x ∈[－π12，θ0]，∴2x －π3∈[－π2，2θ0－π3]．要使函数g (x )在[－π12，θ0]上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥5π12，∴θ0的最小值为5π12.5．【解】(1)从5名学生中任取2名学生的所有情况为：(A 4，A 5)、(A 4，A 1)、(A 4，A 2)、(A 4，A 3)、(A 5，A 1)、(A 5，A 2)、(A 5，A 3)、(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 2，A 3)，共10种情况．其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：(A 4，A 5)、(A 4，A 1)、(A 4，A 2)、(A 4，A 3)、(A 5，A 1)、(A 5，A 2)、(A 5，A 3)，共7种情况，故选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率P ＝710.(2)散点图如图所示．可求得：x ＝89＋91＋93＋95＋975＝93，y ＝87＋89＋89＋92＋935＝90，错误!(x i －x )2＝(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42＝40， b ＝3040＝0.75， a ＝y －－bx ＝20.25，故所求的线性回归方程是y ^＝0.75x ＋20.25.6．【解】(1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝(13)x ，a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23×(13)n －1＝－2(13)n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2. 当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝2×1－1＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n (13)n ＝(2n －1)(13)n ，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×(13)1＋3×(13)2＋5×(13)3＋…＋(2n －1)×(13)n ，①13R n ＝1×(13)2＋3×(13)3＋5×(13)4＋…＋(2n －3)×(13)n ＋(2n －1)×(13)n ＋1.② 由①－②得， 23R n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋(13)4＋…＋(13)n ]－(2n －1)×(13)n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×（13）2[1－（13）n －1]1－13－(2n －1)×(13)n ＋1＝23－2（n ＋1）3×(13)n，∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）×（2n ＋1） ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n －1－12n ＋1) ＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 014得n >1 00014，∴满足T n >1 0002 014的最小正整数n 为72.。
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1x +4x a⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,43] B. (1,43] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是()A. 9B. 5C. 3D. 13.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（ ）A. [0，3]B. [1，3]C. [-1，0]D. [-1，3]4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是()A. (−∞,−4]B. [−4,+∞)C. (−∞,4]D. [4,+∞)5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( )A. 0B. −3C. −4D. −56.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 107.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为()A. 0，−2B. −2，−6C. −2，−3D. −3，−68.（5分） 函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( )A. [1,32]和[2,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,1]和[32,2]D. (−∞,32]和[2,+∞)9.（5分）下列命题正确的是( )A. 命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∃x ∈R ，使得2x ⩾x 2”B. 若a >b ，c <0，则ca >cbC. 若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k ⩽2D. “x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件10.（5分）已知函数y=b+a x2+2x(a,b是常数，且0<a<1)在区间[−32,0]上有最大值3，最小值52，则ab的值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（5分）已知f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则实数a的范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−6,+∞)D. (−∞,−6]12.（5分）函数f(x)=ln x+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. (52,3] B. [52,103)C. (52,103] D. [2,103]二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象为下列图象之一：则a的值为______．14.（5分）已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R有f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是____.15.（5分）函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是______ ．16.（5分）函数f(x)=log2(4−x2)的值域为__________________.17.（5分）若不等式−1<ax2+bx+c<1的解集为(−1,3)，则实数a的取值范围为_______.18.（5分）f(x)=x2−ax+3a−1在(3,+∞)上是增函数，实数a的范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）求函数f（x）=x2+2ax+3在[-5，5]上的最大值和最小值．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(m2−1)x2+(2m−1)x+1=0(m∈R)的两个实根是x1、x2.(1)求1x1+1x2的取值范围；(2)是否存在m，使得|x1−x2|=11−m2若存在，求m的值；若不存在，说明理由．21.（12分）已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0．(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值．22.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．23.（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽400 80000,x>400，其中x是仪器的月产量．(总收益=总成本+利润．)(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？24.（12分）平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm(dm是分米符号)，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1:λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如下三种切割方式如图：①M点在线段AB上，N点在线段AD上;②M点在线段AB上，N点在线段DC上;③M点在线段AD上;N点在线段BC上.设AM=xdm，割痕MN(线段)的长度为ydm，(1)当λ=1时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围(无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准);(2)当λ=2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()A. a取任意实数时，方程最多有5个根B. 当−1−√52<a<1+√52时，方程有2个根C. 当a=−1−√52时，方程有3个根D. 当a⩽−4时，方程有4个根26.（5分）若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则下列结论错误的是()A. b=cB. 2a+b=0C. 4a=-bD. a+b=027.（5分）已知函数f(x)=e2x-2e x-3，则()A. f(ln3)=0B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点C. 函数f(x)的最小值为-4D. 函数f(x)的单调增区间是[0,+∞)28.（5分）设a，b均为正数，且2a+b=1，则下列结论正确的是()A. ab有最大值18B. √2a+√b有最小值√2C. a2+b2有最小值15D. a−12a−1−4bb有最大值1229.（5分）已知函数f(x)=x，g(x)=√x，则下列说法正确的是()A. 函数y=1f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数y=1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减C. 函数y=f(x)+g(x)的最小值为0D. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为−1430.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是()A. 132B. 116C. 18D. 14答案和解析1.【答案】A;【解析】由1x +4xa⩾4，分离变量a得1a⩾−14(1x−2)2+1，由x∈[1,2]求得1x∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,3 4 ].∴1a ⩾34，由此求得实数a的取值范围．该题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，属于中档题．解：由1x +4xa⩾4，得4xa⩾4−1x=4x−1x，即1a⩾4x−14x2=−14(1x)2+1x=−14(1x−2)2+1，∵x∈[1,2]，∴1x ∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,34].∴1a ⩾34，则0<a⩽43．∴实数a的取值范围为(0,43].故选：A．2.【答案】D;【解析】解：由题知y=(x+1)2+m−1，易知当x=−1时，f(x)min=m−1=0，故m=1即为所求．故选：D.将二次函数配方，易求得最小值，据此求解．此题主要考查利用配方法求二次函数的最值．3.【答案】D;【解析】解：∵函数y=x2-2x=（x-1）2-1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[-1，3]，故选D．4.【答案】D;【解析】解：函数y=x2−8x+2=(x−4)2−14，对称轴为x=4，则函数的增区间为[4,+∞).故选：D.求出二次函数的对称轴，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求增区间．此题主要考查二次函数的单调区间的求法，注意结合二次函数的对称轴，属于基础题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，x∈[−1,2]，∴x=1时，函数取得最小值为−4.故选C.6.【答案】D;【解析】由已知有，第二年的年销售收入为(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)万元，商场对该商品征收1％20−％20x%％20的管理费记为y，y％20=％20(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20(x％20％3E％200)1％20−％20x%％20，则y⩾14，所以(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20％20⩾％2014，1％20−％20x%％20化简得x2−12x+20⩽0，所以2⩽x⩽10，故x得最大值为10，选D.7.【答案】B;【解析】此题主要考查二次函数的最值的求法，属于简单题.解：函数y=−x2+2x−3的开口向下，对称轴为x=1，结合图象可得当x=3是y有最小值−6，当x=1时，y有最大值−2，所以本题选B.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数的单调性和函数的单调区间，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题.由题函数f(x)=|x 2−3x +2|={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，利用数形结合即可得到答案.解：由题可知函数f(x)=|x 2−3x +2|， 等价于f(x)={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，画图可得如下图所示：∴函数的单调递增区间是[1,32]和[2,+∞) ，故选A.9.【答案】D;【解析】解：对于A ，命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∀x ∈R ，使得2x ⩾x 2”，故A 错误；对于B ，由条件知，比如a =2，b =−3，c =−1，则ca=−12<cb=13，故B 错误；对于C ，若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k 2⩽1或k2⩾4，故k ⩽2或k ⩾8，故C 错误；对于D ，x 2−5x +6>0的解集为{ x |x <2或x >3}，故“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件，正确． 故选：D.A 由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B 由条件，注意举反例，即可判断；C 由二次函数的图象，即可判断；D 先求出不等式x 2−5x +6>0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断． 此题主要考查函数的单调性，充分必要条件的判断、命题的否定、不等式的性质，属于基础题．10.【答案】A;【解析】复合指数函数，当0<a<1时，整体指数为减函数，指数部分为二次函数，根据复合函数同增异减原则，对该区间内进行分块讨论，从而得到最值点−1，0本题着重考察求复合函数最值问题，通常利用图象法法讨论函数单调性的最值问题．解：A.令u=x2+2x=(x+1)2−1，当0<a<1时，整体指数为减函数，则借助二次函数图象，再由复合函数同增异减原则，在已知区间内，x=0取得最大值，x=−1取得最小值时．即{b+a−1=3b+a0=52，解得{a=23b=32，有ab=1．故选：A．11.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线若函数f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则2−a⩽4，解得a⩾−2．故答案为：B．由函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线，此时在对称轴右侧的区间为函数的递增区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．该题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．12.【答案】C;【解析】此题主要考查导数与二次方程根的分布，考查学生分析能力及运算能力，属于中档题. 对f(x)求导，问题转化为f′(x)=0在区间[12,3]上有且只有一解，根据二次方程根的分布建立不等式即解.解：f ′(x )=1x +x −a =x 2−ax +1x，x >0，令g(x)=x 2−ax +1，函数f (x )=ln x +12x 2−ax (x >0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点， 所以g (12).g (3)⩽0，即(14−12a +1)(9−3a +1)⩽0，且Δ≠0； 解得52⩽a ⩽103.当a =52时，令g(x)=x 2−52x +1=0，解得x 1=12，x 2=2，此时f (x )在(0,12]上单调递增，在[12,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f (x )在x =2处取得极小值，在x =12处取得极大值.不符合题意； 当a =103时，令g(x)=x 2−103x +1=0，解得x 1=13，x 2=3，此时f (x )在(0,13]上单调递增，在[13,3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 故f (x )在x =3处取得极小值，在x =13处取得极大值. 此时f (x )在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，符合题意； 故选C.13.【答案】-1;【解析】解：若a >0，即图象开口向上，∵b >0，∴对称轴x =−b 2a<0，故排除第2和4两图，若a <0，即图象开口向下，∵b >0∴对称轴x =−b2a >0，故函数图象为第3个图， 由图知函数过点(0,0)，∴a 2−1=0， ∴a =−1 故答案为−1先根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a 值即可该题考查了二次函数的图象和性质，排除法解图象选择题14.【答案】(−4,0); 【解析】此题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．解：∵g(x)=2x −2，当x ⩾1时，g(x)⩾0， 又∵∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，∴此时f(x)=m(x −2m )(x +m +3)<0在x ⩾1时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面，则{m<0−m−3<12m<1，∴−4<m<0故答案为(−4,0).15.【答案】[-2，+∞）;【解析】解：函数y=x2+2ax+1的对称轴为：x=−a，函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，可得−a⩽2，解得a⩾−2，即a∈[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．16.【答案】(−∞,2];【解析】此题主要考查了复合函数，先求出定义域，再根据复合函数的值域，属基础题. 解：由4−x2>0，得−2<x<2，即函数f(x)的定义域为(−2,2)，且0<4−x2⩽4，所以，f(x)⩽log24=2，即函数f(x)的值域为(−∞,2].故答案为(−∞,2].17.【答案】(−12,12);【解析】此题主要考查一元二次不等式得解法，考查二次函数的性质，是中档题. 分a=0，a>0和a<0三类讨论，结合二次函数的性质求解即可.解：当a=0时，b≠0，不等式的解集(−1,3)，适当选取b，c可以满足题意.当a>0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，所以x=−1时，a−b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，最小值为x=1时，a+b+c>−1，联立解这个不等式组得：a<12，所以0<a<12;当a<0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，所以x=−1时，a−b+c=−1，x=3时，9a+3b+c=−1，最大值为x=1时，a+b+c<1，联立解这个不等式组得：a>−12，所以−12<a<0;综上所述得−12<a<12.所以实数a的取值范围为(−12,12).故答案为(−12,12).18.【答案】（-∞，6]; 【解析】解：由题意得：对称轴x=−−a2=a2，∴a2⩽3，∴a⩽6；故答案为：(−∞,6].由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴x=a2⩽3，解出即可．本题考察了二次函数的对称轴，单调性，是一道基础题．19.【答案】解：∵函数f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2的对称轴为x=-a，①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，故当x=-5时，函数y取得最小值为28-10a；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=-5时，函数y取得最大值为28-10a．④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y 取得最大值为28-10a ； 当x=5时，函数y 取得最小值为28+10a ．;【解析】由于二次函数的对称轴为x=-a ，分①当-a ＜-5、②当-5≤-a ＜0、③当0≤-a≤5、④当-a ＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．20.【答案】解：（1）由题意知，Δ=（2m−1）2−4（m 2−1） =4m 2−4m+1−4m 2+4 =5−4m ⩾0， ∴m ⩽54， ∵m 2−1≠0， ∴m≠±1，∴m 的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x 1+x 2=1−2m m 2−1，x 1x 2=1m 2−1 ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=1−2m ，又m ∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]， ∴2m ∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴1−2m ∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x 1+1x 2的取值范围是[-32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x 1−x 2)2=(x 2+x 2)2−4x 1x 2 =(1−2m )2(m 2−1)2−4m 2−1=5−4m (m 2−1)2，∴|x 1−x 2|=√5−4m |m 2−1|， 若|x 1−x 2|=−1m 2−1， 则m 2−1＜0， 即m ∈（−1，1）， ∴5−4m=1，即m=1∉（−1，1）， 故不存在．; 【解析】(1)由一元二次方程有两个根，则Δ>0，求出m 的范围，再利用韦达定理求解即可， (2)由(1)中结论，对所求式子进行变形，再求解．此题主要考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．21.【答案】解：（1）由f （1）=0，得：1+b+c=0， 由f （x ）是偶函数，得：b=0 ∴c=-1，因此f （x ）=x 2-1，（2）当t+1＜0，即t ＜-1时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为减函数， 当x=t+1时，取最小值t 2+2t ，当t≤0≤t+1，即-1≤t≤0时，函数f （x ）在区间[t ，0]上为减函数，在[0，t+1]上是增函数 当x=0时，取最小值-1，当t ＞0时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为增函数， 当x=t 时，取最小值t 2-1; 【解析】(1)利用函数的奇偶性，求出b ，利用f(1)=0求出c ， (2)分类讨论区间[t,t +1]与对称轴的关系，可得答案．该题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.【答案】解：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2-2x+2=（x-1）2+1，对称轴x=1， 在[-5，5]上，最大值为f （-5）=37，最小值为f （1）=1； （2）函数f （x ）的对称轴是：x=-a ， ①当-a≤-5，即a≥5时，f （x ）在[-5，5]递增，f （x ）最小值=f （-5）=-10a+27，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ②当-5＜-a≤0，即0≤a ＜5时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ③当0＜-a≤5，即-5≤a ＜0时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27； ④-a≥5，即a≤-5时，f （x ）在[-5，5]递减，f （x ）最小值=f （5）=10a+27，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27．;【解析】（1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．23.【答案】解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f(x)={−12x 2+300x −20000,0⩽x ⩽40060000−100x ,x >400.(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000， 所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，所以f(x)<60000−100×400<25000． 所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．;【解析】该题考查了一次函数与二次函数的单调性、函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，即可得出利润f(x)．(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，利用二次函数的单调性即可最大值．当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，利用一次函数的单调性即可得出最大值．24.【答案】解：(1)选①y =5， 选②y ∈[3,5]， 选③y ∈[4,5]， (2)选①令AN =z ，则S =12xz =4，z =8x，y =√x 2+z 2=√x 2+64x 2，∵{0<x ⩽40<z ⩽3z =8x∴83⩽x ⩽4，∴x ∈[83,2√2]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[2√2,4]时，y =f(x)为增函数， 当x =83时，y =√1453，当x =4时，y =2√5，∴y max =2√5;选②令DN =z ，则S =12(x +z)×3=4，z =83−x ，y =√(x −z)2+9=√(2x −83)2+9，∵{0<x ⩽40⩽z ⩽4,∴0⩽x ⩽83,z =83−x∴x ∈[0,43]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[43,83]时，y =f(x)为增函数， 当∴x =0或x =83时，y max =√1453; 选③令BN =z ，则S =12(x +z)×4=4，z =2−x ，y =√(x −z)2+16=2√(x −1)2+4，∵{0⩽x⩽30⩽z⩽3,∴0⩽x⩽2z=2−x∴x∈[0,1]时，y=f(x)为减函数，∴x∈[1,2]时，y=f(x)为增函数，当∴x=0或x=2时，y max=2√5，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为√1453.;【解析】此题主要考查了函数最值的综合应用，属于中档题.25.【答案】CD;【解析】此题主要考查分段函数，二次函数及对数函数的性质，函数图象的应用，函数与方程的综合应用，属难题.求解方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，可得f(x)=1或f(x)=a，即可得原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.分别对0⩽a⩽1，a>1，−1−√52<a<0，a=−1−√52和a<−1−√52时讨论画图即可判定.解：对于方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，解得f(x)=1或f(x)=a.所以原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.对于函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，若a⩾0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，且f(x)>1.如图：，由f(x)=1可得x=e−1，方程有1个根；又由f(x)=a可得，当0⩽a⩽1时，方程有1个根；当a>1时，方程有2个根.所以当0⩽a⩽1时，原方程共有2个根；当a>1时，原方程共有3个根.若a<0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)在(−∞,a)单调递减，在(a,0)单调递增，且f(x)⩾1−a2.又由{1−a2=aa<0，可得a=−1−√52.所以当−1−√52<a<0时，1−a2>a，如图：，由f (x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程无解.所以此时原方程有2个根；当a=−1−√52时，1−a2=a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有1个根.所以此时原方程有3个根；当a<−1−√52时，1−a2<a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有2个根.所以此时原方程有4个根；综上所述，当0⩽a⩽1或−1−√52<a<0时，原方程有2个根；当a>1或a=−1−√52时，原方程有3个根；当a<−1−√52时，原方程有4个根.对于A，对于a∈R，方程最多有4个根，故A错误；对于B，当1<a<1+√52时，方程有3个根，故B错误；对于C，当a=−1−√52时，方程有3个根，故C正确；对于D，当a<−1−√52时，方程有4个根，所以a⩽−4时，方程有4个根成立，故D正确. 故选：CD.26.【答案】ABD;【解析】【解析】此题主要考查二次函数性质，属于基础题.由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x=2，即−b2a=2，即可得到答案.解：由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x =2，即−b 2a=2，得4a =−b ，只有C 正确.故选A 、B 、D.27.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查了函数定义域与值域，二次函数的最值，复合函数的单调性以及函数零点与方程根的关系，属于基础题．A 选项，将x =ln 3代入f(x)求解即可；B 选项，令f(x)=0，根据方程根的个数判断f(x)的图象与x 轴有几个交点；C 选项，求二次函数f(x)=(e x -1)2-4的最值即可；D 选项，利用复合函数的单调性判断即可．解：A 选项，f(ln 3)=e 2ln 3-2e ln 3-3=9-6-3=0，正确；B 选项，令f(x)=0，得(e x -3)(e x +1)=0，得e x =3或e x =-1(舍)，所以x =ln 3， 即函数f(x)的图象与x 轴只有1个交点，错误；C 选项，f(x)=(e x -1)2-4，当e x =1，即x =0时，f(x)min =-4，正确；D 选项，因为函数y =e x 在[0,+∞)上单调递增且值域为[1,+∞),函数y =x 2-2x -3在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，正确． 故选ACD .28.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项A ，B ，D 的对错，对于C ，由b =1−2a ，且0<a <12，转化为关于a 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.解：∵正实数a ，b 满足2a +b =1，由基本不等式可得2a +b =1⩾2√2ab ， ∴ab ⩽18，当2a =b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确； 由于(√2a +√b)2=2a +b +2√2ab =1+2√2ab ⩽2 ， ∴√2a +√b ⩽√2，当且仅当2a =b =12时等号成立， 故√2a +√b 有最大值为√2，故B 错误；由a ，b 均为正数，且2a +b =1，则b =1−2a ，且0<a <12，则a 2+b 2=a 2+(1−2a )2=5a 2−4a +1，当a =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确； b2a+2a b⩾2√b 2a =2,当且仅当2a =b =12时等号成立，a−12a −1−4b b=−a−b 2a −2a −3b b=52−b 2a−2a b⩽52−2=12,当且仅当b2a =2ab 时等号成立， 所以a−12a−1−4b b有最大值12，故D 正确，故选ACD .29.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查函数的单调性、最值，属中档题.对于A ，求x =12和x =1时的函数值，即可判断不为单调递增，对于BC ，根据常见函数的单调性即可判断组合函数单调性、最值，对于D ，利用配方法求最值即可得解. 解：对于A:函数y =1f(x)+g(x)=1x+√x ，当x =12时，y =2+√22，当x =1时， y =2，所以函数y =1f(x)+g(x)在(0,+∞)上不单调递增，A 错误. 对于B:函数y =1f(x)−g(x)=1x −√x ，因为函数y =1x 和函数y =−√x 在(0,+∞)上单调递减， 所以y =1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，B 正确.对于C:因为函数y =f(x)+g(x)=x +√x 在[0,+∞)上单调递增， 且当x =0时，y =0，所以y =f(x)+g(x)的最小值为0，C 正确. 对于D:函数y =f(x)−g(x)=x −√x =(√x −12)2−14，当√x =12时，函数y =f(x)−g(x)取得最小值，且最小值为−14，D 正确. 故选BCD.30.【答案】ABC; 【解析】根据函数的奇偶性，由已知区间的解析式，画出函数图象，令f(x)=t ，分别讨论a >14，a =14，316⩽a <14，0⩽a <316，四种情况，得出0⩽a <316满足题意，再根据对称性，得a <0时，−316<a <0满足题意，最后结合选项，即可得出结果．此题主要考查数形结合解决函数的零点个数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，x >0时，f(x)=x(1−x)=−(x −12)2+14⩽14，且f(12)=14，画出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t ，f(14)=316，当a >14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有一个交点，且t <−1， 由图象可得f(x)=t 只有一个根，不满足题意，当a =14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有两个不同交点，交点的横坐标分别记作t 1，t 2，则t 1<−1，t 2=12， 则f(x)=t 1与f(x)=t 2共有两个根，不满足题意，当316⩽a <14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3， 由图象可得，t 1<−1<14⩽t 2<12<t 3<1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3各有一个根，而f(x)=t 2有一个或两个根，共三个或四个根，不满足题意，当0⩽a <316时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1⩽−1<0⩽t 2<14<12<t 3⩽1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3以及f(x)=t 2共有5个根，满足题意，根据函数图象的对称性，当a <0时，为使关于x 的方程f[f(x)]=a 有5个不相等的实数根，只需要−316<a <0，综上，满足条件的a 的取值范围是(−316,316). 故选：ABC .。
高考数学二轮复习 专练四中档大题(二) 理
中档大题(二)1．(2013·浙江省温州市高三第一次适应性测试)已知{a n }是递增的等差数列，a 1＝2，a 22＝a 4＋8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值； (2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值．3．(2013·高考四川卷)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1＝2，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，点P 是线段AD 上异于端点的点．(1)在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，请说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；(2)设(1)中的直线l 交AC 于点Q ，求三棱锥A 1QC 1D 的体积．(锥体体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)4．(2013·郑州市高中毕业年级第二次质量预测)每年的三月十二日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133；乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义．5．(2013·江西省南昌市高三第一次模拟测试)设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{S n}都是等差数列，且公差相等．(1)求{a n}的通项公式；(2)若a1，a2，a5恰为等比数列{b n}的前三项，记数列c n＝24b n（12b n－1）2，数列{c n}的前n 项和为T n，求证：对任意n∈N*，都有T n<2.6．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.(1)若a，b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率；(2)若a∈[2，6]，b∈[0，4] ，求一元二次方程没有实数根的概率．答案：1．【解】(1)设等差数列的公差为d ，d >0.由题意得，(2＋d )2＝2＋3d ＋8，d 2＋d －6＝(d ＋3)(d －2)＝0，得d ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝2＋(n －1)·2＝2n ，得a n ＝2n .(2)b n ＝a n ＋2a n ＝2n ＋22n .S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2＋22)＋(4＋24)＋…＋(2n ＋22n )＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋(22＋24＋…＋22n )＝（2＋2n ）·n 2＋4·（1－4n ）1－4＝n (n ＋1)＋4n ＋1－43. 2．【解】(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A 2＝2cos 2A 2＋cos A 2－1 ＝(2cos A 2－1)(cos A 2＋1)． 因为0<A <π，所以cos A 2＋1>0. 由f ′(A )>0，得cos A 2>12， 所以0<A 2<π3，即0<A <2π3. 所以当A ∈(0，2π3)时，f (A )为增函数；当A ∈(2π3，π)时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f (2π3)＝332. (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.3．【解】(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC .因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，所以BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(2)过点D 作DE ⊥AC 于E .因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥DE .又因为AC ，AA 1在平面AA 1C 1C 内，且AC 与AA 1相交，所以DE ⊥平面AA 1C 1C .由AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，有AD ＝1，∠DAC ＝60°.在△ADE 中，DE ＝32AD ＝32. 又S △A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1， 所以VA 1QC 1D ＝VD A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36. 因此三棱锥A 1QC 1D 的体积是36.4．【解】(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)依题意，x ＝127，S ＝35.S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度的离散程度的量．S 值越小，表示树苗长得越整齐，S 值越大，表示树苗长得越参差不齐． 5．【解】(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋（a 1－d 2）n ＝d 2·n ，且a 1－d 2＝0. 又d ＝d2，所以d ＝12， a 1＝d 2＝14，a n ＝2n －14. (2)证明：易知b n ＝14×3n －1， ∴c n ＝2×3n （3n －1）2. 当n ≥2时，2×3n （3n －1）2<2×3n （3n －1）（3n －3）＝2×3 n －1（3n －1）（3n －1－1）＝13n －1－1－13n －1， ∴当n ≥2时，T n ＝32＋2×32（32－1）2＋…＋2×3n （3n －1）2≤32＋(12－132－1)＋(132－1－133－1)＋…＋(13n －1－1－13n －1)＝2－13n －1<2 ，且T 1＝32<2，故对任意n ∈N *，都有T n <2. 6．【解】(1)基本事件(a ，b )共有36个，且a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，方程有两个正实数根等价于a －2>0，16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16.设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为(6，1)，(6，2)，(6，3)，(5，3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19. (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4} ，其面积为S (Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件B ，则构成事件B 的区域为B ＝{(a ，b )|2≤a ≤6，0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为S (B )＝14×π×42＝4π，故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.。
高考数学二轮复习推理与证明专题训练习题(含答案解析)
高考数学二轮复习专题训练：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．则假设的内容是( ) A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除 【答案】B2．设n 为正整数,111()1...23f n n =++++,经计算得35(2),(4)2,(8),22f f f =>> 7(16)3,(32),2f f >>观察上述结果,可推测出一般结论( ) A ． 21(2)2n f n +≥ B ． 2(2)2n n f +≥ C ． 22()2n f n +≥ D ．以上都不对 【答案】B3．用反证法证明命题“若022=+b a ，则b a ,全为0”其反设正确的是( )A ．b a ,至少有一个不为0B ． b a ,至少有一个为0C ． b a ,全不为0D ． b a ,中只有一个为0 【答案】A4．给出下面四个类比结论：①实数,,b a 若0=ab 则0=a或0=b ；类比向量,,若0=⋅，则=或= ②实数,,b a 有;2)(222b ab a b a ++=+类比向量,,有2222)(b b a a b a +⋅+=+③向量2a =；类比复数z ，有22z z =④实数b a ,有022=+b a ，则0==b a ；类比复数z ，2z 有02221=+z z ，则021==z z其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B 5．若定义在正整数有序对集合上的二元函数(,)f x y 满足：①(,)f x x x =，②(,)(,)f x y f y x = ③()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(12,16)f 的值是( )A ．12B ． 16C ．24D ．48【答案】D6．用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么 c b a ,,中至少有一个是偶数”时，应假设( )A ．c b a ,,中至多一个是偶数B ． c b a ,,中至少一个是奇数C ． c b a ,,中全是奇数D ． c b a ,,中恰有一个偶数【答案】C 7．由7598139,,,10811102521>>>…若a>b>0,m>0,则b m a m ++与b a之间大小关系为( ) A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 【答案】B8．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ∠+∠=︒．B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．D ．在数列{}n a 中，()111111,22n n n a a a n a --⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由此归纳出{}n a 的通项公式． 【答案】A9．在求证“数列2， 3， 5,不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法B ．综合法C ．反证法D ．直接法【答案】C 10．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适( )A ．三角形B ．梯形C ．平行四边形D ．矩形【答案】C11．给出下列四个推导过程：①∵a ，b∈Ｒ＋， ∴（b ／a ）+（a ／b ）≥2=2; ②∵x ，y∈Ｒ＋，lgx+lgy ≥2;a ∈R ，a ≠0， ∴（4／a ）+a ≥2=4; x ，y R ，xy ＜0，（x ／y ）+（y ／x ）=-［（-（x ／y ））+（-（y ／x ））］≤-2=-2. 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 【答案】D12．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法 【答案】Ｂ第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．观察下列式子：213122+<，221151+234+<， 222111712348+++<⋅⋅⋅，由此可归纳出的一般结论是 ．【答案】14．三段论推理的规则为____________①如果p q ⇒,p 真，则q 真;②如果b a c b ⇒⇒,则c a ⇒;③如果a//b,b //c, 则a//c ④如果c a c b b a ⇒⇒⇒则,,【答案】②15．若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a2x ＋b2y ≥，当且仅当a x ＝b y时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为____________． 【答案】3516．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 块.【答案】100三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．【答案】（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．(2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线，CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．18．若,x y 都是正实数，且2,x y +> 求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【答案】假设12x y +<和12y x +<都不成立，则有21≥+y x 和21≥+xy 同时成立， 因为0x >且0y >，所以y x 21≥+且x y 21≥+ 两式相加，得y x y x 222+≥++.所以2≤+y x ，这与已知条件2x y +>矛盾. 因此12x y +<和12y x+<中至少有一个成立. 19．有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z 的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:给出如下变换公式:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤∈+≤≤∈+=)2,261,(132)2,261,(21'整除能被整除不能被x x N x x x x N x x X 将明文转换成密文,如8→82+13=17,即h 变成q ；如5→5+12=3，即e 变成c. ①按上述规定，将明文good 译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc ，那么原来的明文是什么？【答案】①g →7→7+12=4→d; o →15→15+12=8→h; d →o; 则明文good 的密文为dhho②逆变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈-=)2614,(262)131,(12''''''x N x x x N x x x 则有s →19→2×19-26=12→l ； h →8→2×8-1=15→o ；x →24→2×24-26=22→v ； c →3→2×3-1=5→e故密文shxc 的明文为love 20．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．【答案】（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．21)a b c ++．【答案】因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），所以)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），同理，)b c +)c a +，三式相加得)a b c ++．(省略了大前提，小前提）22．设 f(x)＝x 2＋a. 记f 1(x)＝f(x)，f n (x)＝f(f n －1(x))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R|对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]． 【答案】⑴ 如果a ＜－2，则||f 1(0)＝|a|＞2，a ∈/M ． ⑵ 如果－2≤a ≤14，由题意，f 1(0)＝a ，f n (0)＝(f n －1(0))2＋a ，n ＝2，3，……．则 ① 当0≤a ≤14时，||f n (0)≤12，(∀n ≥1). 事实上，当n ＝1时，||f 1(0)＝|a|≤12，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数）， 则对n ＝k ，||f k(0)≤||f k －1(0)2＋a ≤(12)2＋14＝12． ② 当－2≤a ＜0时，||f n (0)≤|a|，(∀n ≥1)．事实上，当n ＝1时，||f 1(0)≤|a|，设n ＝k －1时成立(k ≥2为某整数)，则对n ＝k ，有 －|a|＝a ≤()f k －1(0)2＋a ≤a 2＋a注意到当－2≤a ＜0时，总有a 2≤－2a ，即a 2＋a ≤－a ＝|a|．从而有||f k (0)≤|a|．由归纳法，推出[－2，14]⊆M ． ⑶ 当a ＞14时，记a n ＝f n (0)， 则对于任意n ≥1，a n ＞a ＞14且a n ＋1＝f n ＋1(0)＝f(f n (0))＝f(a n )＝a n 2＋a ． 对于任意n ≥1，a n ＋1－a n ＝a n 2－a n ＋a ＝(a n －12)2＋a －14≥a －14．则a n ＋1－a n ≥a －14． 所以，a n ＋1－a ＝a n ＋1－a 1≥n(a －14)．当n ＞2－a a －14时，a n ＋1＞n(a －14)＋a ＞2－a ＋a ＝2， 即f n ＋1(0)＞2．因此a ∈/M ．综合⑴，⑵，⑶，我们有M ＝[－2，14]。
高考数学(理科)二轮专题透析课件专题十解答题常见问题与答题模板(共92张)
图象正确估计方差导致错误.
【解析】 (1)由图可得,50 名服药患者有 15 人指标 y 的值
小于 60,设指标 y 小于 60 为事件 A,
则
C 115 15 3
P(A)=C 1 =50 =10.
50
(2)由图可知 A,C 的指标 x 大于 1.7,B,D 的指标 x 小于 1.7,
3
3
),P4(1, )中恰有三点在椭圆
2
2
C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点.若直线 P2A
与直线 P2B 的斜率的和为-1,证明:l 过定点.
【分析】 不能正确利用 a,b,c 的关系准确求出椭圆方程导
致错误;忽视直线斜率不存在及Δ>0 导致错误;运算量较大,涉及
握不牢.
π
6
1 (2017 年山东卷)设函数 f(x)=sin(ωx- )+sin(ω
π
π
x- 2 ),其中 0<ω<3.已知 f( 6 )=0.
(1)求ω;
(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍
π
4
(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数
π 3π
]上的最小值.
考点六 函数导数综合
近年来,高考逐渐加大对函数、导数、不等式交汇题的考查
力度,此类题型考生的常见问题有:
问题一:忽略函数 f(x)的定义域而导致失分;
问题二:函数极值点概念不清及导数与函数单调性关系不明
导致错误;
问题三:忽视参数对单调性的影响;
新(浙江专用)高考数学二轮专题突破高考中档大题规范练(三)理【含答案】
高考中档大题规范练 (三)立体几何与空间向量1.如图，四边形ABCD 是菱形，四边形MADN 是矩形，平面MADN ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为MA ，DC 的中点，求证：(1)EF ∥平面MNCB ；(2)平面MAC ⊥平面BND .2．如图1，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G .将△ABF 沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥A －BCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE ∥平面BCF ；(2)证明：CF ⊥平面ABF ；(3)当AD ＝23时，求三棱锥F －DEG 的体积V F －DEG .3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．4.(2015·金华模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．(1)求证：AE⊥平面A1BD；(2)求二面角D－BA1－A的余弦值；(3)求点B1到平面A1BD的距离．5．(2015·杭州模拟)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．答案精析高考中档大题规范练(三)立体几何与空间向量1．证明 (1)取NC 的中点G ，连接FG ，MG ，如图所示．因为ME ∥ND 且ME ＝12ND ，F ，G 分别为DC ，NC 的中点，FG ∥ND 且FG ＝12ND ，所以FG 綊ME ，所以四边形MEFG 是平行四边形，所以EF ∥MG ，又MG ⊂平面MNCB ，EF ⊄平面MNCB ，所以EF ∥平面MNCB .(2)因为四边形MADN 是矩形，所以ND ⊥AD .因为平面MADN ⊥平面ABCD ，平面ABCD ∩平面MADN ＝AD ，DN ⊂平面MADN ，所以ND ⊥平面ABCD ，所以ND ⊥AC .因为四边形ABDC 是菱形，所以AC ⊥BD .因为BD ∩ND ＝D ，所以AC ⊥平面BDN .又AC ⊂平面MAC ，所以平面MAC ⊥平面BDN .2．(1)证明 在等边△ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC 在折叠后的三棱锥A －BCF 中也成立．∴DE ∥BC ，又DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF .(2)证明 在等边△ABC 中，F 是BC 的中点，∴AF ⊥CF .∵在三棱锥A －BCF 中，BC ＝22，∴BC 2＝BF 2＋CF 2＝14＋14＝12，∴CF ⊥BF .又BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF .(3)解 V F －DEG ＝V E －DFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.3．(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，1，－1.∵AD 1→·B 1E →＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)．使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，且AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，0.∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. 4．(1)证明 以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作AC 的垂线为y 轴，DB 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．则D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (－1,0,0)，E (－1，－1,0)，A 1(1，－2,0)，C 1(－1，－2,0)，B (0,0，3)，B 1(0，－2，3)．AE →＝(－2，－1,0)，A 1D →＝(－1,2,0)，BD →＝(0,0，－3)，∴AE →·A 1D →＝2－2＋0＝0. ∴AE →⊥A 1D →.同理，AE →·BD →＝0，∴AE →⊥BD →.又A 1D ∩BD ＝D ，∴AE ⊥平面A 1BD .(2)解 设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1D →＝0，n 1·BD →＝0⇒⎩⎨⎧ －x 1＋2y 1＝0，－3z 1＝0，取n 1＝(2,1,0)．设平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由于A 1A →＝(0,2,0)，A 1B →＝(－1,2，3)，由{n 2·A 1B →＝0，n 2·A 1A →＝0⇒ ⎩⎨⎧ －x 2＋2y 2＋3z 2＝0，2y 2＝0，取n 2＝(3,0，3)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝65·12＝155，故所求二面角的余弦值为155. (3)解 B 1B →＝(0,2,0)，平面A 1BD 的法向量取n 1＝(2,1,0)，则点B 1到平面A 1BD 的距离为d ＝|B 1B →·n 1||n 1|＝25＝255. 5．(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0， B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1. (2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)．使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量 n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12.又DP ⊄平面B 1AE ， ∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ， 此时AP ＝12. (3)解 连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1， 得AD 1⊥A 1D .∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C . 又由(1)知B 1E ⊥AD 1， 且B 1C ∩B 1E ＝B 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1， ∴AD 1→是平面A 1B 1E 的一个法向量， 此时AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n ||AD 1→|＝－a2－a2 1＋a 24＋a2.∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°， ∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22 1＋5a 24＝32，解得a ＝2，即AB 的长为2.高考中档大题规范练。
高考数学二轮复习 专练二中档小题(五) 理
6 中档小题(五) 1．(2013·洛阳市统一考试)在△ABC中，D为边BC上任意一点，AD→＝λAB→＋μAC→，则λμ的最大值为( )
A．1 B.12
C.13 D.14 2．以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若S5>S6，则下列不等关系不一定成立的是( ) A．2a3>3a4 B．5a5>a1＋6a6 C．a5＋a4－a3<0 D．a3＋a6＋a12<2a7
3．(2013·洛阳市统一考试)若函数f(x)＝2x－k·2－x2x＋k·2－x(k为常数)在定义域内为奇函数，则k的值为( ) A．1 B．－1 C．±1 D．0 4．(2013·高考辽宁卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos
C＋csin Bcos A＝12b，且a>b，则∠B＝( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 5．(2013·高考大纲全国卷)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1 6．(2013·陕西省质量检测试题)如果执行如图所示的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，aN，输出A，B，则( )
A．A＋B为a1，a2，…，aN的和 B.12(A＋B)为a1，a2，…，aN的算术平均数 6
C．A和B分别是a1，a2，…，aN中的最小数和最大数 D．A和B分别是a1，a2，…，aN中的最大数和最小数 7．(2013·石家庄市教学质量检测)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )
A.14 B.13
C.12 D.32 8．(2013·江西省七校联考)定义在R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝2x，则满足f(1－2x)的取值范围是( )
2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）命题“∃x ∈R ,1<y ≤2”的否定形式是（ ）A. ∀x ∈R ，1＜y ≤2B. ∃x ∈R ，1＜y ≤2C. ∃x ∈R ，y ≤1或y ＞2D. ∀x ∈R ，y ≤1或y >;22.（5分）分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是( ) ①若a →//b →，则a →=b →； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →； ③若|a →|=|b →|，则a →//b →：④若a →=b →，则|a →|=|b →|.A. 0B. 1C. 2D. 33.（5分）如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为B 1C 1的中点，则下列说法正确的是( )A. CC 1与BD 是异面直线B. 几何体A 1DC 1−ABC 为棱台且体积为原棱柱体积的56 C. AC 1//面A 1BD D. CD ⊥平面A 1BD4.（5分）下列说法错误的是( )A. “x >0”是“x ⩾0”的充分不必要条件B. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”C. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1⩾0 5.（5分）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A. ∃x ∈A ，2x ∈BB. ∃x ∉A ，2x ∈BC. ∀x ∉A ，2x ∉BD. ∀x ∉A ，2x ∈B6.（5分）{a n }是等比数列，若“m +n =p +q(m,n,p,q ∈N +)”是“a m a n =a p a q ”成立的充分必要条件，则数列{a n }可以是( )①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列A. ①①B. ①①①C. ①①①D. ①①①①7.（5分）有以下几种说法：(l 1、l 2不重合) ①若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1//l 2； ②若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数； ③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ④只有斜率相等的两条直线才一定平行． 以上说法中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 08.（5分）下列有关命题的说法错误的是( )A. 若“p ∨q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若α,β是两个不同平面，m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；C. “sin x =12”的必要不充分条件是“x =π6”；D. 若命题p ：∃x 0∈R,x 02⩾0，则命题：¬p:∀x ∈R,x 2<0；9.（5分）命题“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是()A. ∃x ∈R ，(x −2)3⩾1B. ∃x ∈R ，(x −2)3<1C. ∀x ∉R ，(x −2)3<1D. ∀x ∈R ，(x −2)3<110.（5分）下列四个命题中正确命题的个数是( ) ①“函数y =sin2x 的最小正周期为π2”为真命题； ②∃x ∈R ，e x ⩽0；③“若a =π4，则tan a =1”的逆否命题是“若tan a ≠1，则a ≠π4”； ④“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x >1”．A. 0B. 1C. 2D. 311.（5分）下列选项中不正确的是( )A. ΔABC 中，A >B ，则sin A >sin B 的逆否命题为真命题；B. 若am 2<bm 2，则a <b 的逆命题为真命题；C. 若p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，则q 是p 充分不必要条件；D. 若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1 12.（5分）下列命题正确的个数为“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02⩽0”；“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二 、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0，则命题￢p 为： ______ ． 14.（5分）命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是 ______ ．15.（5分）命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为______．16.（5分）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；①p是q的充分条件而不是必要条件；①r是q的必要条件而不是充分条件；①￢p是￢q的必要条件而不是充分条件；①r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是______．17.（5分）现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．①若0<x<1，则lgx+logx10的最大值为−2；②若a，3a−1，a−1是等差数列{a n}的前3项，则a4=−1；③“2x>3”的一个必要不充分条件是“x>log23”；④若x−y⩽0且x+y⩾4，则x+2y⩾6．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知c>0且c≠1，设命题p：函数y=c x在R上单调递减，命题q：不等式x2−√2x+c>0的解集为R，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．19.（12分）设命题p：实数m满足使方程x2a−m +y23a−m=1，其中a>0为双曲线：命题q：实数m满足m−3m−2⩽0．(1)若a=1且p∧q为真，求实数m的取值范围；(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.（12分）已知命题p：∃x∈R，x2+mx+m+1<0；命题q：已知f(x)=2x，g(x)=x2+1，对∀x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)⩽g(x2)+m恒成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若“￢p且q”为真命题，求实数m的取值范围21.（12分）已知m∈R，命题p:方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，命题q:∃x∈R,x2+mx+m<0.(1)若命题p为真命题，求m取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求m取值范围．22.（12分）若集合M={x|−3≤x≤4}，集合P={x|2m−1≤x≤m+1}.证明：集合M与P不可能相等.23.（12分）已知命题p:∃x∈(−1,1)，使x2−x−m=0成立，命题q:关于x的方程x2+(m−3)x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1.(1)分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）下列命题中正确的是()A. “x>1”是“x2+x−2>0”的必要不充分条件B. “x>0”是“x>sin x”的充要条件C. “∀x∈R，(12)x+1>0”是真命题D. “∃x∈R，x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R，x2−x+1<0”25.（5分）下列命题为真命题的是()A. 若p:∃n∈N,n2>2n，则¬p:∀n∈N,n2<2n；B. 若a>b>0,c<d<0，则ad <bc；C. 使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是：x<−1或x>1；D. 若a i,b i,b i(i=1,2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件26.（5分）下列四种说法中正确的有()A. 命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定是“∃x∈R，3x<x2+1”；B. 若不等式ax2+bx+1>0的解集为\left{ x|−1<x<3}，则不等式3a x2+6bx+5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；C. 复数z满足|z−2i|=1，z在复平面对应的点为(x,y)，则x2+(y−2)2=1D. 已知p：12⩽x⩽3，q：x2-(a+1a)x+1①0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)27.（5分）下列四个结论，其中错误的是()A. 若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα=2√55；B. 命题“存在x0∈R,x02−x0>0”的否定是“∀x∈R，x2−x⩽0；C. 若函数f(x)在(2019,2020)上有零点，则f(2019).f(2020)<0；D. “lo g a b>0(a>0且a≠1)”是“a>1,b>1”的必要不充分条件．28.（5分）下列命题中真命题是()A. “∃x0∈R，2x0⩽0”的否定B. ∀x∈R，lg(x2+1)⩾0C. 若x>0，则x2>xD. 若x<y，则x2<y2答案和解析1.【答案】D; 【解析】略2.【答案】B;【解析】解：对于选项①若a →//b →，则a →=b →；向量的共线不等于向量相等，但向量相等向量一定共线．故错误． 对于选项 ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；向量的模长相等，但向量不一定相等，故错误， 对于选项③若|a →|=|b →|，则a →//b →：向量的模长相等，向量不一定共线．故错误． 对于选项④若a →=b →，则|a →|=|b →|.向量相等，向量的模长一定相等．故：④正确． 故选：B ．直接利用向量的摸．向量的共线之间的关系求出结果．该题考查的知识要点：向量的共线和向量的模的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．3.【答案】C;【解析】解：对于A ，由D 为B 1C 1的中点，延长CC 1与BD ，交于一点O ， 如图1所示；所以CC 1与BD 不是异面直线，A 错误； 对于B ，几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台， 因为它们的侧棱不能都交于一点，B 错误； 对于C ，连接AB 1，交A 1B 于点M ，连接DM ，如图所2示，则DM//C 1A ，所以AC 1//面A 1BD ，C 正确；对于D ，若CD ⊥平面A 1BD ，则CD ⊥DB ，由题意知，CD ⊥BD 不一定成立，D 错误． 故选：C ．A ，延长CC 1与BD 交于一点，CC 1与BD 是共面直线；B ，由题意知几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台；C，连接AB1交A1B于点M，连接DM，由DM//C1A证明AC1//面A1BD；D，CD⊥DB不一定成立，不能得出CD⊥平面A1BD．此题主要考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，是综合题．4.【答案】C;【解析】这道题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力，为基础题．A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的定义进行判断，C.根据复合命题真假关系进行判断，D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．解：A.“x>0”是“x⩾0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，故B正确，C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D.命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1⩾0，故D正确，故错误的是C，故选C．5.【答案】A;【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是∃x∈A，2x∈B，故选：A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．这道题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．6.【答案】C;【解析】解：数列{a n}是等比数列，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则一定有a m a n=a p a q；即对于任意等比数列，一定有“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分条件，反之，在等比数列{a n}中，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的必要条件，即由a m a n=a p a q，一定得到m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则等比数列的公比不等于1，如数列2，2，2，…，由a2a3=a5a6=4，不能得到2+3=5+6．∴数列{a n}可以是①递增数列；②递减数列；④摆动数列；不能是③常值数列．故选：C．由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分必要条件，则数列{a n}不可以是常值数列．该题考查充分必要条件的判断及应用，考查等比数列的性质，是中档题．7.【答案】B;【解析】解：①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，l1//l2；所以①正确；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；显然必须两条直线的斜率存在的前提下是正确的；所以②不正确；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．不正确；当两条直线的倾斜角是90°时，直线没有斜率，但是平行．故选：B．利用直线的平行于斜率截距的关系判断命题的真假即可．该题考查直线的斜率与直线平行的关系，明确两条直线是指两条直线不重合的情况，考查命题的真假的判断．8.【答案】C;【解析】此题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，充要条件，特称命题的否定，难度不大，属于基础题．根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据面面垂直的判定定理，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；根据特称命题的否定，可判断D.解：若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故A 正确； 根据面面垂直的判定定理可得B 正确；“sin x =12”时，“x =π6”不一定成立，“x =π6”时，“sin x =12”成立，故“sin x =12”的充分不必要条件是“x =π6”，故C 错误；若命题p ：∃x 0∈R ，x 02⩾0，则命题¬p ：∀x ∈R ，x 2<0，故D 正确；故选C.9.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是∃x ∈R ，(x −2)3<1. 故选：B.任意改存在，将结论取反，即可求解． 此题主要考查全称命题的否定，属于基础题．10.【答案】B;【解析】解：对于①，函数y =sin2x 的最小正周期是T =π，∴命题①错误； 对于②，∀x ∈R ，e x >0是真命题，∴该命题的否定是假命题，∴命题②错误； 对于③，根据“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p”判定命题③正确； 对于④，“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x ⩽1”，∴命题④错误． ∴正确的命题的序号是③； 故选：B ．①中，求出函数y =sin2x 的最小正周期，判定命题①是否正确； ②中，由命题与命题的否定必一真一假，可以判定命题②是否正确； ③中，根据逆否命题的书写，判定③是否正确；④中，根据特称命题的否定是全称命题，判定④是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了正弦函数的周期性，命题的否定，逆否命题等问题，解题时应对每一个选项仔细分析，以便作出正确的选择．11.【答案】B; 【解析】此题主要考查了命题的逆命题、逆否命题、全称量词命题的否定、充分条件、必要条件的判断，属于基础题.解题时根据命题的关系、充分条件、必要条件的定义、全称量词命题的否定的定义，逐一判断即可确定结论.解：因为ΔABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以其逆否命题为真命题，A 正确; “若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m =0时am 2<bm 2不成立，所以B 不正确；因为p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，所以¬p:x =2且y =6，¬q:x +y =8， 因此¬p 是¬q 的充分不必要条件，从而q 是p 充分不必要条件，C 正确； 若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1，D 正确. 故选B.12.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02<0”，故第一个命题错误；由x ≠3⇔x ≠3，故“x ≠3”是“x ≠3”成立的充要条件，故命题“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件错误；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题为：“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”．∵方程mx 2+2x +2=0的判别式Δ=4−8m ，当m >12时，Δ<0，方程无实根，故命题“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”为真命题．∴正确命题的个数是1个． 故选：B ．写出全程命题的否定判断第一个命题的真假；由互为充要条件的判定方法判断第二个命题的真假；写出命题的否命题判断第三个命题的真假．该题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判断方法，是基础题．13.【答案】∃x ∈R ，x 2+x +1<0;【解析】解：命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号⩾变为<即可． 故答案为：∃x ∈R ，x 2+x +1<0命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．该题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．14.【答案】∀x ∈R ，x >1;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是：∀x ∈R ，x >1． 故答案为：∀x ∈R ，x >1．特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．15.【答案】任意实数x ，都有x 2+x+1≥0;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0． 故答案为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0． 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．16.【答案】①②④;【解析】解：根据传递性(如图)可得： 对于①，s 是q 的充要条件，故正确；对于，①p 是q 的充分条件而不是必要条件，故正确； 对于，①r 是q 的充要分条件，故错；对于④，q 是p 的必要条件而不是充分条件，可得￢p 是￢q 的必要条件而不是充分条件，故正确；对于⑤，r 是s 的充要条件，故错．故答案为：①①①．画出关系图，根据传递性可得答案．该题考查了充分条件、充要条件的传递性，属于中档题，17.【答案】①④;【解析】解：若0<x <1，则lgx <0，lgx +lo g x 10=lgx +1lgx =−(−lgx +1−lgx )⩽−2， 当且仅当x =110时，等号成立，所以①正确；若a ，3a −1，a −1是等差数列{a n }的前3项，则a +a −1=2(3a −1)⇒a =14， a 4=2(a −1)−(3a −1)=−54，所以②不正确； 因为lo g 23=lo g 49>lo g 48=32，所以③不正确； 作出不等式组{x −y ⩽0,x +y ⩾4，表示的可行域，由图可知，当直线z =x +2y 经过点(2,2)时，z 取得最小值6，故z ⩾6.所以④也正确． 故所有正确结论的编号是①①． 故答案为：①①．利用基本不等式判断①；等差数列的通项公式求解判断②；充要条件判断③；线性规划判断④，推出结果．本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．18.【答案】解：若命题p：函数y=c x在R上单调递减，是真命题，则有0＜c＜1；若命题q：不等式x2−√2x+c＞0的解集为R，是真命题，则有△=2-4c＜0，得c＞12∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴两命题必为一真一假若p真q假，则有0＜c≤12若p假q真，则有c＞1综上，实数c的取值范围是0＜c≤12或c＞1;【解析】此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数c的取值范围该题考查命题的真假判断与应用，解答该题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数c的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中c的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强19.【答案】解：（1）由方程x2a−m +y23a−m=1，其中a＞0为双曲线，得（3a-m）（a-m）＜0，又a＞0，所以a＜m＜3a，当a=1时，1＜m＜3，即p为真时，实数m的取值范围是1＜m＜3；q为真时实数m满足m−3m−2≤0．即q为真时实数m的取值范围是2＜m≤3；若p∧q为真，则p真且q真，所以实数m的取值范围是2＜m＜3．（2）若￢p是￢q的的充分不必要条件，即q是p的的充分不必要条件，即等价于q⇒p，p推不出q；设A={m|a＜m＜3a}，B={m|2＜m≤3}，则B⫋A；则a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是：{a|1＜a≤2}．;【解析】(1)若a=1，则p：1<m<3.q为真时实数m的取值范围是2<m⩽3；根据p∧q为真，可得实数m的取值范围．(2)利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．这道题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）因为p为真命题，所以△=m2-4（m+1）＞0，解得m＞2+2√2或m＜2-2√2；（2）若q为真命题，则f（x）max≤g（x）min+m，即4≤2+m，所以m≥2，若￢p为真命题，所以2-2√2≤m≤2+2√2，综上m∈[2，2+2√2]．;【解析】(1)∃x∈R，x2+mx+m+1<0⇔Δ=m2−4(m+1)>0，解不等式即可；(2)若q为真命题，则f(x)max⩽g(x)min+m，求出m⩾2，若￢p为真命题，所以2−2√2⩽m⩽2+2√2，取交集即可．该题考查命题真假判断与应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)若方程S=ab=2表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即−1<m<1，即p：−1<m<1.(2)若命题q为真命题，则判别式Δ=m2−4m>0，即m>4或m<0，由(1)知p：−1<m<1.若命题{(y=kx+mx2 4+y2=1)为真命题，则命题p,q都为真命题，即{(−1<m<1m>4或m<0)，得−1<m<0，即m取值范围是(−1,0).;【解析】此题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．(1)根据方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即可求解m范围．(2)求出q为真时m的范围，若命题p∧q为真命题，则命题p，q都为真命题，建立关于m的不等式组，求解即可．22.【答案】证明：假设集合M=P ，则-3=2m-1，且4=m+1，即m=-1，且m=3，这不可能.故假设不成立，即集合与P 不可能相等.;【解析】略23.【答案】解：(1)当命题p 为真时，方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，当x ∈(−1,1)时，(x 2−x)∈[−14,2),∴m ∈[−14,2)； 当命题q 为真时，f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，即2m −2<0，解得m <1.(2)若命题p 为真，同时命题q 为假，则{−14⩽m <2m ⩾1， 若命题p 为假，同时命题q 为真，则{m <−14或m ⩾2m <1， 所以当命题p 与命题q 一真一假时，m ∈[1,2)∪(−∞,−14).;【解析】此题主要考查命题的真假判断，考查二次函数的图象及性质，考查分析问题解决问题的能力及分类讨论的数学思想，属基础题．(1)命题p 为真时，该命题等价于方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，进而得到m 的取值范围，命题q 为真时，该命题等价于f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，进而得解；(2)命题p 与命题q 一真一假，则分命题p 为真，同时命题q 为假，及命题p 为假，同时命题q 为两种情况讨论即可．24.【答案】BC;【解析】此题主要考查不等式，充分、必要、充要条件，命题真假判断，存在命题的否定，基础题型.由不等式及充分、必要条件判断A ，利用导数研究单调性判断B ，由指数函数性质判断C ，由存在命题的否定判断D.【解析】解：A.由“x 2+x −2>0”解得x <−2，或x >1，∴“x >1”是“x 2+x −2>0”的充分不必要条件，A 错误；B.令f (x )=x −sin x ，则f′(x )=1−cos x ⩾0，即f (x )=x −sin x 在R 内单调递增，所以，当x >0时，f (x )=x −sin x >f(0)=0，即x >sin x ；同理，当x >sin x 时，则f (x )=x −sin x >0，又f (0)=0，则x >0，∴“x>0”是“x>sin x”的充要条件，B正确.C.由指数函数性质知(12)x恒大于0，∴(12)x+1恒大于0，即对任意x，均成立.∴C正确.D.“∃x∈R,x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R,x2−x+1⩽0”，D错误.故选BC25.【答案】BC;【解析】此题主要考查了命题的真假判断，包含存在性命题的否定、不等式大小比较、充要条件等，知识的覆盖面比较广，考查了学生综合运用知识的能力和推理论证能力，属于中档题．由存在性命题的否定可判断A；由不等式的性质及作差法可判断B；根据不等式解集和充分必要条件，即可判断C；找反例，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，当m<0时，充分性不成立，即可判断D.解：对于A，命题p：∃n∈N，n2>2n的否定为∀n∈N，n2⩽2n，即A错误；对于B，因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，所以−ac>−bd>0，即ac<bd.所以ad −bc=ac−bddc<0，即B正确;对于C，不等式的解集为{ x|x<−1或x>0}⫌{ x|x<−1或x>1}，故C正确.对于D，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，则a1=ma2，b1=mb2，c1=mc2，所以不等式a1x2+b1x+c1>0等价为m(a2x2+b2x+c2)>0，当m<0时，有a2x2+b2x+c2<0，显然与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同，所以不是充分条件，即D错误.故选BC.26.【答案】BCD;【解析】此题主要考查命题的否定，考查充分条件的应用，考查复数的模和几何意义，属于中档题．选项A：根据全称命题的否定的概念可判断选项A的正误．选项B：由一元二次不等式与相应方程的关系可求出a，b，即可求解出不等式3a x2+6bx+5<0的解集．选项C：运用复数的模，复数的几何意义即可求解．选项D：化简条件p和q，由条件列出不等式组，即可解出实数a的取值范围．解：选项A：命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定应该是“∃x0∈R，3x0⩽x02+1”，故选项A错误；选项B ：因为不等式ax 2+bx +1>0的解集为{ x |−1<x <3}，所以方程ax 2+bx +1=0的两个根为−1和3，且a <0，则{−b a =21a =−3，解得{a =−13b =23， 所以不等式3a x 2+6bx +5<0可化为：−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，解得x <−1或x >5，所以不等式3a x 2+6bx +5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)，故选项B 正确； 选项C ：∵z 在复平面对应的点为(x,y )，∴z =x +yi ，∴z −2i =x +(y −2)i ，∴|z −2i |=√x 2+(y −2)2=1，即x 2+(y −2)2=1，故C 正确；由x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)得到：(x −a)(x −1a )⩽0， 当a ⩾1时，a >1a ，所以有q:1a ⩽x ⩽a ， 由题意可得：{1a ⩽12a ⩾3，解得a ⩾3； 当0<a <1时，a <1a ，所以有q:a ⩽x ⩽1a ， 由题意可得：{a ⩽121a⩾3，解得0<a ⩽13， 因此，实数a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)，故选项D 正确．故选BCD .27.【答案】AC;【解析】此题主要考查三角函数、全称量词与存在量词、函数与方程以及充分条件与必要条件.逐一分析选项即可得解.解：A.当a <0时，sinα=√a 2+(2a )2=−√5a =−2√55，A 错误； B.带量词命题的否定需要将命题的结论进行否定，且将存在量词和全称量词互换，所以B 正确；C.例如函数f(x)=(x −2019.1)(x −2019.9)，此时f(x)在(2019,2020)上有两个零点x 1=2019.1,x 2=2019.9，但f(2019).f(2020)>0，故C 错误；D.对充分性和必要性分别进行考虑：充分性：取a =0.5，b =0.5，则log a b >0，但此时“a >1，b >1"不成立，所以充分性不成立，必要性：当a >1，b >1时，log a b >0，所以必要性成立，D 正确.故错误的为AC ，故答案为AC.28.【答案】AB;【解析】此题主要考查了命题的真假，考查了推理能力，属于基础题.根据题意，逐项判断，即可得答案.解：对于A，“∃x0∈R，2x0⩽0”为假命题，故“∃x0∈R，2x0⩽0”的否定为真命题；对于B，lg(x2+1)⩾lg1=0，故“∀x∈R，lg(x2+1)⩾0”为真命题；对于C，当0<x<1时，x2<x，故“若x>0，则x2>x”为假命题；对于D，取x=−1,y=0，则x2>y2，故“若x<y，则x2<y2”为假命题．故选AB.。
2023年河南省南阳市高考数学第二次大练习试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年河南省南阳市高考数学第二次大练习试卷（理科）1. 已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是( )A. 6B. 7C. 14D. 152. 欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则z的虚部为( )A. B. C. 1 D.3. 在等比数列中，已知，，则( )A. 128B. 64C. 64或D. 128或4. 若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为( )A. 3B.C. 2D. 15. 变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，变量U与V相对应的一组数据为，，，，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )A. B. C. D.6. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，N是的中点，则( )A.B. 平面BAMC. 平面ABMD.7. 锐角是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则a等于( )A. 2B.C.D. 18. 讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为( ) A. 20 B. 30 C. 35 D. 2109. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B 存在如下关系：，2023贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小明期待想去影院看的.小明同学家附近有甲、乙两家影院，小明第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为和如果他第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为，则小明同学( )A. 第二天去甲影院的概率为B. 第二天去乙影院的概率为C. 第二天去了甲影院，则第一天去乙影院的概率为D. 第二天去了乙影院，则第一天去甲影院的概率为10. 传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则( )A. 球与圆柱的表面积之比为1：2B. 平面DEF截得球的截面面积取值范围为C. 四面体CDEF的体积的最大值为16D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围11. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图单位：所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B、C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，则该零件的截面的周长为结果保留( )A. B. C. D.12. 的展开式的第2项为______.13. 已知向量，满足，且，则______.14.双曲线C：的左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与双曲线右支交于A，B两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为______ .15. 已知正实数x，y满足，则的最小值为______ .16. 已知是数列的前n项和，且求数列的通项公式；若，是的前n项和，证明：17. 如图，在三棱柱中，，，P为AD的中点，为等边三角形，直线AC与平面ABED所成角大小为求证：平面BCP；求平面ECP与平面PCD夹角的余弦值.18. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？19. 已知椭圆，过直线l：上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为求椭圆的方程；设O为坐标原点，求面积的最小值．20. 已知函数若在上恒成立，求实数a的取值范围；若，判断关于x的方程在内解的个数，并说明理由.21. 极坐标系中曲线T的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线，均过点，且，直线的倾斜角为写出曲线T的直角坐标方程；写出，的参数方程；设直线，分别与曲线T交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N，求的最小值.22. 已知函数求不等式的解集；若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：，元素个数为3个，则集合A的所有非空真子集的个数是故选：根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由已知可得，，则，的虚部为故选：由欧拉公式和复数除法运算可求得z，由复数虚部定义求得结果．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．设等比数列的公比为q，利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出【解答】解：设等比数列的公比为q，在等比数列中，，，，解得，或，，或故选：4.【答案】B【解析】解：设点，，，或舍去，到抛物线的准线的距离点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，点M到该抛物线焦点的距离为：故选：求得点M的坐标，将点M到该抛物线焦点的距离转化为点M到抛物线的准线的距离即可．本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想与方程思想，求得点M的坐标是关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，变量U与V相对应的一组数据为，，，，，这组数据的相关系数是，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零，故选：求两组数据的相关系数的大小和正负，可以详细的解出这两组数据的相关系数，现分别求出两组数据的两个变量的平均数，利用相关系数的个数代入求出结果，进行比较．本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系，当相关系数为正时，表示两个变量正相关，也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系．6.【答案】D【解析】解：因为与异面，故A错误；因为的延长线必过点B，则直线与平面BAM相交，故B错误；因为与AB不垂直，所以不垂直于平面ABM，故C错误；取BC的中点P，连接，在正方形中，由，，即，可得，所以连接AP，则，又平面底面ABC，平面底面，所以平面因为平面，所以，且，所以平面因为平面，所以故D正确．故选：由两条直线的位置关系可判断A；由线面的位置关系可判断B；由线面垂直的性质可判断C；由线面垂直的判定与性质可判断本题考查空间中线线、线面的位置关系，主要是平行与垂直的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由，则，由余弦定理可得，，又由正弦定理可得，，所以，又，则，即，所以，所以又，所以故选：利用余弦定理得到，再利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到，结合外接圆半径即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法种．故选：问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，即得解．本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：设：第一天去甲影院，：第二天去甲影院，：第一天去乙影院，：第二天去乙影院，由题意可知，，，，因为，所以，，所以，因此选项A不正确；所以，因此选项B不正确；由题目中提供的概率公式可得，，所以选项C不正确；由题目中提供的概率公式可得，，所以选项D正确．故选：先表示基本事件，根据题中概率及贝叶斯概率公式进行逐一判断即可．本题主要考查了条件概率公式，考查了全概率公式，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：选项A，球表面积为，圆柱全面积是，，A错；选项B，平面DEF过球心O时，截得球的截面最大，此时截面面积为，B错；选项C，EF绕旋转时，由于始终有是圆柱的轴，圆柱的底面垂直，因此与底面上的直线EF垂直，从而为定值，，当时，易得平面，而当EF与AB不垂直时，CD与平面不垂直，因此C到平面的距离小于，D到平面的距离小于，因此，即四面体CDEF的体积的最大值为，C错；选项D，如下图，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，则PQ与底面圆垂直，从而PQ与底面上的直线AQ，BQ，，，设，则，，令，则，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，而，所以，的取值范围是，所以，即的取值范围是，D正确．故选：求出球与圆柱的表面积之比判断A，由截面积最大为球的大圆面积判断B，用割补法求四面体体积判断C，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面的交点，计算出，利用导数求出其取值范围从而判断本题考查圆柱与球的表面积、体积以及折线段的最值问题，考查逻辑推理能力，是一道难题．11.【答案】A【解析】解：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示：则，，又，所以直线AB的方程为：，即，直线CD的方程为：，即，直线EF的方程为：，设圆心为，则圆心到直线AB、直线CD、直线的距离均相等且等于r，则，解得，，，所以，，，，由题可知，即，所以可得，，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为故选：以A为原点，建立直角坐标系，根据圆心到直线AB、直线CD、直线EF距离均相等，利用点到直线的距离公式列式，计算出、、的长，即得．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：的展开式的第2项为，故答案为：利用二项展开式的通项公式，求得的展开式的第2项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13.【答案】【解析】解：根据题意，向量，满足，若，则，则，两边平方变形可得，则，则有，则，故答案为：根据题意，有，即可得，变形可得，由向量数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】【解析】解：如图，为等腰三角形，，，，，直线AB的倾斜角为，，在三角形中，根据余弦定理得：整理得，同除以得，，即，解得，舍故答案为：先根据为等腰三角形，然后利用双曲线的定义分别将边长表示为a的关系，然后利用余弦定理建立a，c的方程，从而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．15.【答案】0【解析】解：，即，设，则，且，所以在上单调递增，正实数x，y，，即，所以，等价于，即，，设，；，设，，所以单调递增，且，所以在上，，，单调递减；在上，，，单调递增；所以即最小值为0，故答案为：根据，构造函数，得到，然后转化为单变量问题，求导判断单调性即可．本题主要考查了导数与单调性关系在最值求解中的应用，属于中档题．16.【答案】解：已知是数列的前n项和，且，时，，时，，经验证时，，；证明：若，是的前n项和，时，，时，，，【解析】根据题意得到时，，验证即可求解；利用裂项相消求和即可得证．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．17.【答案】证明：取BP中点M，连接AM、CM，因为，P为AD的中点，所以，故，因为为等边三角形，所以，又因为，AM，面ACM，因此平面ACM，因为平面ABP，所以平面平面ABP，因为平面平面，所以直线AC在平面ABP的射影在直线AM上，所以直线AC与平面ABED所成角为，则，因为，，所以是正三角形，则，因为为等边三角形，，则，所以在中，由，得，则，所以，因为，，AM，面ABED，所以平面ABED，因为平面ABED，所以，因为，在中，，，所以，又，所以，即，又，CM，平面BCP，所以平面解：由可知MP、MC、MA两两垂直，以M为原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，由于P是AD的中点，易得，又由可得，所以，，，设平面ECP的法向量，则，令，得，设平面PCD的法向量，则，取，得，设平面ECP与平面PCD的夹角为，易知，所以，，即平面ECP与平面PCD夹角的余弦值为【解析】先利用线面垂直的判定定理证得平面ACM，从而得到AC在平面ABP的射影在直线AM上，即，进而证得，再利用线面垂直的判定定理证得平面ABED，则，接着利用勾股定理证得，由此可得平面BCP；结合中结论，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面ECP与平面PCD 的法向量，从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面ECP与平面PCD夹角的余弦值．本题考查线面垂直的判定与性质、二面角的定义及其余弦值的求法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，故，由，有，解得：，故当时，p的取值范围为对这批牛肉干来说，变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当时，由知，，设需要赔付给消费者的费用为Z元，有，由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质．【解析】令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，由题意有，则，，进而求解；当时，由知，，，由，进而求解．考查数学概率，期望在实际问题中的应用，属于中档题．19.【答案】解：当P点在x轴上时，，PA：，，，椭圆方程为；…设切线为，设，，则，…7且，则，PA直线为，A到直线PO距离，…则， (13)，，此时…【解析】由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，求得，即可求得椭圆方程；设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得丨丨，平方整理关于k的一元二次方程，，即可求得S的最小值．本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意推理论证能力的培养，属于中档题．20.【答案】解：由题意在上恒成立，得恒成立，令，则，当时，令，解得，令，解得，所以在为减函数，在上为增函数，故，故，即，所以实数a的取值范围由，得，等价于，令，，因为在上，，单调递减，在上，故，，单调递增，注意到，，在和上各有一个零点，，共有两个零点，故方程有两个实数根．【解析】由题意转化为即恒成立，由此构造函数，转化为求函数的最值问题，即可求得答案；由题意得，等价于，构造，通过判断导数正负，判断函数单调性，结合零点存在定理，继而判断函数的零点个数．本题主要考查了关于x的方程在，内实数解的个数时，难点在于要根据导数的特征，构造函数，判断其导数的正负，进而判断函数单调性，再结合零点存在定理，确定零点个数，属于中档题．21.【答案】解：曲线T的极坐标方程为，变形为，则曲线T的直角坐标方程：，为参数，为参数；将为参数，代入，得，则，同理，当时取等号，且此时满足方程的判别式均大于零，故的最小值为【解析】将代入曲线T的极坐标方程得出直角坐标方程，由直线，均过点，直线的倾斜角为且，可得两直线的参数方程；将直线，的参数方程分别代入曲线T的直角坐标方程，利用韦达定理即可得出，再利用基本不等式即可得出结果．本题主要考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查了直线的参数方程的应用，属于中档题．22.【答案】解：即，或，或解得或，所以原不等式的解集为证明：由知当时，有最小值，所以，因为，所以，因为，，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，时取等号．【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式组，最后将各部分的解集取并集即可得到答案；由知，而，又，再利用基本不等式可得，，继而得到，由此得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查分类讨论思想以及推理计算能力，属于中档题．。
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中档大题(一)
1．(2013·高考北京卷)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
2．(2013·高考江西卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C ＋(cos A－3sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
3．(2013·高考陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．
(1)推导{a n }的前n 项和公式；
(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．
4．(2013·江西省高三上学期七校联考)已知m ＝(a sin x ，cos x )，n ＝(sin x ，b sin x )，其中
a ，
b ，x ∈R .若f (x )＝m ·n 满足f (π6)＝2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝π12
对称． (1)求a ，b 的值；
(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2k ＝0在区间[0，π2
]上总有实数解，求实数k 的取值范围．
5．(2013·河南郑州市高中毕业年级第一次质量预测)如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2a ，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如图所示的四棱锥A ′BCDE .
(1)在棱A ′B 上找一点F ，使EF ∥平面A ′CD ；
(2)求四棱锥A ′BCDE 体积的最大值．
6．(2013·湖北省八校高三第二次联考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝a n
a n＋3
(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项a n；
(2)若数列{b n}满足b n＝(3n－1)n
2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式(－1)
nλ<T n对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
答案：
1．【解】(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6
天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是6 13.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污
染的概率为413
. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
2．【解】(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.
因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.
又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.
又0<B <π，所以B ＝π3
. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .
因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14
. 又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12
≤b <1. 即b 的取值范围是[12
，1)． 3．【解】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，
当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；
当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①
qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②
①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，
∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q
， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，
a 1（1－q n ）1－q
，q ≠1. (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，
(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，
a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，
a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q
k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.
∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，
∴q ＝1，这与已知矛盾．
∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．
4．【解】(1)f (x )＝m ·n ＝a sin 2x ＋b sin x cos x
＝a 2(1－cos 2x )＋b 2
sin 2x . 由f (π6
)＝2，得a ＋3b ＝8.① ∵f ′(x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，又f ′(x )的图象关于直线x ＝π12对称，∴f ′(0)＝f ′(π6)，∴b ＝32
a ＋12
b ，即b ＝3a .② 由①②得，a ＝2，b ＝2 3.
(2)由(1)得f (x )＝1－cos 2x ＋3sin 2x
＝2sin(2x －π6
)＋1. ∵x ∈[0，π2]，∴－π6≤2x －π6≤5π6，
∴－1≤2sin(2x －π6
)≤2，f (x )∈[0，3]． 又f (x )＋log 2k ＝0在[0，π2
]上有解， 即f (x )＝－log 2k 在[0，π2
]上有解， ∴－3≤log 2k ≤0，
解得18
≤k ≤1， 即k 的取值范围是[18
，1]． 5．【解】(1)F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，则由中
位线定理得，DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12
BC . 故DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG .
又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，
故F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .
(2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，
∵DE ⊥A ′D ，DE ⊥CD ，A ′D ∩CD ＝D ，∴DE ⊥平面A ′CD ，A ′H ⊥DE ，又DE ∩CD ＝D ， ∴A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′BCDE 的高，由A ′H ≤A ′D 知，点H 和D 重合
时，四棱锥A ′BCDE 的体积取最大值．
此时四棱锥A ′BCDE 的体积V A ′BCDE ＝13S 梯形BCDE ·A ′D ＝13×12(a ＋2a )a ·a ＝12a 3， 故四棱锥A ′BCDE 体积的最大值为12
a 3. 6．【解】(1)由题知，1a n ＋1
＝a n ＋3a n ＝3a n ＋1， ∴1a n ＋1＋12
＝3(1a n ＋12)， ∴1a n ＋12＝(1a 1＋12)·3n －1＝3n 2
， ∴a n ＝23n －1
. (2)由(1)知，b n ＝(3n －1)·n 2n ·23n －1＝n ·(12
)n －1， T n ＝1×1＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋n ·(12
)n －1， 12T n ＝1×12＋2×(12)2＋…＋(n －1)(12)n －1＋n (12)n ， 两式相减得，
12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－（12）n 1－12
－n 2n ＝2－n ＋22n ， ∴T n ＝4－n ＋22
n －1. ∵T n ＋1－T n ＝(4－n ＋32n )－(4－n ＋22
n －1)＝n ＋12n >0， ∴{T n }为递增数列．
①当n 为正奇数时，－λ<T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ<1，∴λ>－1； ②当n 为正偶数时，λ<T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ<2.
综合①②知，－1<λ<2.
故λ的取值范围是(－1，2)．。