2012届全国各省市高三上期数学联考试题重组专题题型七-选考系列(教师版)
(完整版)各省高中数学会考试题
河北省高中数学会考试题一．选择题 （共12题，每题3分，共36分）在每小题给出的四个备选答案中，总有一个正确答案，请把所选答案的字母填在相应的位置上1.已知集合A={1，2，3}，B={2,3,4},则AUB=A {2,3}B {1,4}C {1,2,3,4}D {1,3,4}2. sin150.0 =A 21B - 21 C 23 D - 23 3.函数y=sinx 是A 偶函数，最大值为1B 奇函数，最大值为1C 偶函数，最小值为1D 奇函数，最小值为14.已知△ABC 中，cosA=21,则A=A 600B 1200 C300 或1500 D 600或1200 5. 如果a,b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是A a=bB a 2=b 2C a ·b=1D ∣a ∣≠∣b ∣6. 已知a=（1,1），b=（2,2），则a – b =A (1,1)B (1，-1)C (-1.-1)D (-1，1)7. 已知△ABC 中，a=6,b=8,c=10,则 cosA=A 54B 53C 52 D 51 8.已知等差数列{a n },a 1=1,a 3=5,则a n =A 2n-1B nC n+2D 2n+19.已知等比数列{a n },a 1=2,q=3,则a 3 =A 8B 12C 16D 1810.已知a ›b ›0，则A a c ﹥bcB -a ﹤-bC a 1﹥b 1D a c ﹥ac11.不等式x 2-x-2﹥0的解集为A （-1,2）B （-∞，-1）U （2，+∞）C （-1,2〕D 〔-1,2〕12.已知sinx=1,则cosx=A -1B 1C 不存在D 0 二．填空题，（共4题，每题5分）13.已知x,y 满足约束条 件 y ≤x ，则z=2x+y 的最大值是x+y ≤1y ≥-114.已知口袋里有5个红球，15个白球，则从口袋里任取一个球，取到的是红球的概率为15.已知函数y=Acosx 最大值为2，则A =16.已知四边形ABCD 中，AD =BC ,则四边形ABCD 的形状为三．解答题，（共4题，第17，18题每题10分，第19,20每题12分）17.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求（1）A ∪B,A ∩B(2)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7},求C I A,C I B.18. 解不等式组x2-x-6≤0 的解集。
高三数学复习备考计划建议(通用9篇)
高三数学复习备考计划建议（通用9篇）高三数学复习备考计划建议（通用9篇）高三数学复习备考计划建议篇1一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不可能再面面俱到。
要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。
二、突出对课本基础知识的再挖掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。
强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。
尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。
当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。
三、加强客观题的解题速度和正确率的强化训练选择、填空题都是客观试题，它的特点是：概念性强、量化突出、充满思辨性、形数皆备、解法多样形、题量大，分值高，实现对“三基”的考查。
每次小题训练应不断强化自己选择题的解法，如特值法、数形结合等，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速。
通过训练，要达到这样一个目的：大部分同学都能在45分钟以内完成十道选择题和五道填空题，并且失误控制在两题之内。
四、重视第二轮专题复习，提高解题能力第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活。
在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络。
第二轮复习则是在第一轮的基础上，对知识进行巩固和强化，是数学解题能力大幅度提高的阶段。
其指导思想是巩固、完善、综合、提高。
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．1352【答案】C【详解】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，i 32ii z -=z =2i +2i -12i +12i-cos 1sin αα=+cos sin 1αα-又，故该数列前2024项有个奇数.故选：C4．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．20223674=⨯267421350⨯+=ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）A B ．C ．D ．1323168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QA QB +8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]因为，所以点在线段不妨设所以ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB ⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣13,22⎡⎤⎢⎥⎣DA DB =E [,0,1DE DM λλ=∈ CE CD DMλ=+二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B =,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B ⊆,A B ⊆R A B A B ⊕≠⊕R R ðð故选：AB ．10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面对于A ，因为所以，所以平面ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 310,,22BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭0BP m ⋅=//BPA ．B ．C ．D ．()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=故选：.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .，如图所示，则故答案为：14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着CD {}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪[]0,1[],m n 3n m -=ωπ4ω+=11π12(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcosisink k k z n n=+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi 5ez =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C Ac a b-=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=αCDE ,,,,,A B C D E F ABCD CDEF ,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE =======∥∥M CD(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.则设平面的法向量为n =(x,y,z ABCD ⊥CDEF AEM BEM N ADM △0ND NM ⋅=AN EN BF ()()(0,0,3,3,0,0,0,1,0A EM ()(3,0,3,3,1,0AE EM =-=- AEM18.（本小题17分）已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C 上的一点，直线PA ，PB 的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知过点的直线，交C 的左，右两支于D ，E 两点（异于A ，B ）.（i ）求m 的取值范围；（ii ）设直线与直线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()P n 1k 2k 12||4k k AB ==(4,0):4l x my =+AD BE（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立，化简得因为直线l 与双曲线左右两支相交，所以即满足：{4m 2―1(32m )2―192(4y 1y 2=484m 2所以或.2214164x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()224132m y my -++m 12m <-12m >19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y =f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.()()2,e ln xf x xg x x ==e x m y +=()1y g x =+m 1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11a h x x g x x =---123,,x x x 123x x x <<1232ex x x ++>由图象可知，要证，只需证因为，所以又因为在121,1x x -<<-<1232ex x x ++>2x 2111e x <<+11e +<()()()1ln 1q x x x =--。
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数(逐题详解)
2012年高考文科数学解析分类汇编：导数一、选择题1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b+3b,则a>bB ．若e a +2a=e b+3b,则a<bC ．若e a -2a=e b-3b,则a>bD ．若e a -2a=e b-3b,则a<b3 ．（2012年高考（陕西文））设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点4 ．（2012年高考（山东文））设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ） A ．12120,0x x y y +>+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．112π- B ．1πC ．21π-D ．2π7 ．（2012年高考（福建文））已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <. 其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题8 ．（2012年高考（上海文））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,1),C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .9 ．（2012年高考（课标文））曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________ 三、解答题10．（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.11．（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ 2a ->0.12．（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13．（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围;14．（2012年高考（山东文））已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+.[15．（2012年高考（辽宁文））设()ln 1f x x x =+-,证明:(Ⅰ)当x ﹥1时,()f x ﹤32( 1x -) (Ⅱ)当13x <<时,9(1)()5x f x x -<+16．（2012年高考（课标文））设函数f (x )= e x-ax -2(Ⅰ)求f (x )的单调区间(Ⅱ)若a =1,k 为整数,且当x >0时,(x -k ) f´(x )+x +1>0,求k 的最大值17．（2012年高考（江西文））已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值.18．（2012年高考（湖南文））已知函数f(x)=e x-ax,其中a>0.[@、中国^教育出版&网~](1)若对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立,求a 的取值集合;[z(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x 1, f(x 1)),B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2),记直线AB 的斜率为k ,证明:存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '=恒成立.19．（2012年高考（湖北文））设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值; (2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 20．（2012年高考（广东文））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B = .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.21．（2012年高考（福建文））已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在]2,0[π上的最大值为32π-,(1)求函数()f x 的解析式;(2)判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数,并加以证明.22．（2012年高考（大纲文））已知函数321()3f x x x ax =++.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)设()f x 有两个极值点12,x x ,若过两点11(,())x f x ,22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上,求a 的值.23．（2012年高考（北京文））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当3,9a b ==-时,求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28,求k 的取值范围.24．（2012年高考（安徽文））设定义在(0,+∞)上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> (Ⅰ)求()f x 的最小值;(II)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =,求,a b 的值.2012年高考文科数学解析分类汇编：导数参考答案一、选择题 1. 【答案】:C【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2. 【答案】A【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性.【解析】若23a b e a e b +=+,必有22a b e a e b +>+.构造函数:()2x f x e x =+,则()20x f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除.3. 解析:22()x f x x -'=,令()0,f x '=得2x =,2x <时,()0f x '<,1()ln f x x x=+为减函数;2x >时,()0f x '>,1()ln f x x x=+为增函数,所以2x =为()f x 的极小值点,选D.4. 解析:设32()1F x x bx =-+,则方程()0F x =与()()f x g x =同解,故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样,必须且只须(0)0F =或2()03F b =,因为(0)1F =,故必有2()03F b =由此得3322b =.不妨设12x x <,则32223x b ==.所以231()()(2)F x x x x =--,比较系数得3141x -=,故31122x =-.3121202x x +=>,由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<,故答案应选B. 另解:令)()(x g x f =可得b x x+-=21. 设b x y xy +-=''=',12不妨设21x x <,结合图形可知,21x x <, 即210x x <-<,此时021>+x x ,112211y x x y -=-<=,即021<+y y .答案应选B.5. 【答案】B【解析】b x y +-=''y x1x x211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B 【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题.6. C 【解析】如图,不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4,则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =221(2)4a a ππ=①,而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆,即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影.由几何概型概率公式可得,此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积,即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 7. 【答案】C【解析】(0),(1)4,(3)275427(0)f abc f abc f abc abc f =-=-=-+-=-= , 又()3(1)(3)f x x x '=--,所以()f x 在(,1)-∞和(3,)+∞上单调增加,在(1,3)上单调递减,故13a b c <<<<,(0)(1)0,(0)(3)0f f f f ∴<>【考点定位】本题考查函数的零点,函数的单调性极值,考查分析判断能力、必然与或然的思想.二、填空题8. [解析] 如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,220,2)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,220,2)(212212x x x x x x xf y ,易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MND 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=412121=⨯.9. 【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.xy A BC 1 1 图1(O )Nx y OD M 1 P 图2【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.三、解答题 10. 【答案】:(Ⅰ)1327(Ⅱ)427【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-【考点定位】本题主要考查函数的导数与极值,最值之间的关系,属于导数的应用.(1)先对函数()f x 进行求导,根据(2)0f '==0,(2)16f c =-,求出a,b 的值.(1)根据函数()f x =x3-3ax2+2bx 在x=1处有极小值-1先求出函数中的参数a,b 的值,再令导数等于0,求出极值点,判断极值点左右两侧导数的正负,当左正右负时有极大值,当左负右正时有极小值.再代入原函数求出极大值和极小值.(2)列表比较函数的极值与端点函数值的大小,端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值,端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值.11. 【命题意图】本题是导数中常规的考查类型主要利用三次函数的求导判定函数的单调区间,并综合绝对值不等式考查了学生的综合分析问题的能力.【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12()()66a a f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为,66a a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则233()626()()33g x x x x '=-=-+. 则有 x30,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭333,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭1()g x ' - 0 + ()g x1减极小值增1所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.12.解:(1)2()(1)(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-,由()0f x '=,得121,0x x a =-=>13.14.解:(I)1ln ()e x x k x f x --'=,由已知,1(1)0ek f -'==,∴1k =. (II)由(I)知,1ln 1()e xx x f x --'=. 设1()ln 1k x x x =--,则211()0k x x x'=--<,即()k x 在(0,)+∞上是减函数, 由(1)0k =知,当01x <<时()0k x >,从而()0f x '>,当1x >时()0k x <,从而()0f x '<.综上可知,()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)+∞. (III)证明:由(II)可知,当1x ≥时,()()g x xf x '=≤0<1+2e -,故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时,e x >1,且()0g x >,∴1ln ()1ln e xx x x g x x x x --=<--. 设()1ln F x x x x =--,(0,1)x ∈,则()(ln 2)F x x '=-+, 当2(0,e )x -∈时,()0F x '>,当2(e ,1)x -∈时,()0F x '<,所以当2e x -=时,()F x 取得最大值22()1e F e --=+.所以2()()1e g x F x -<≤+.综上,对任意0x >,2()1e g x -<+.另证:因为)0(),ln 1(1)()(>--='=x x x x e x f x x g x,设x x x x h ln 1)(--=,则2ln )(--='x x h ,令2,02ln )(-==--='e x x x h ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x h ,)(x h 单调递增;当),(2+∞∈-e x 时0)(<'x h ,)(x h 单调递减.所以当0>x 时,221)()(--+=≤e e h x h ,而当0>x 时110<<x e ,所以当0>x 时21)ln 1(1)(-+<--=e x x x e x g x ,综上可知结论成立.15. 【答案与解析】【点评】本题主要考查导数公式,以及利用导数,通过函数的单调性与最值来证明不等式,考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力,难度较大. 16. (Ⅰ) 解:()x f 的定义域为R ,()a e x f x -=';若0≤a ,则()0>'x f 恒成立,所以()x f 在R 总是增函数若0>a ,令()0>'x f ,求得a x ln >,所以()x f 的单增区间是()∞+,ln a ; 令()0<'x f , 求得 a x ln <,所以()x f 的单减区间是()a ln ,∞-(Ⅱ) 把()⎩⎨⎧-='=ae xf a x 1 代入()()01>++'-x x f k x 得:()()011>++--x e k x x ,因为0>x ,所以01>-x e ,所以:()()11-->--x e k x x ,11--->-x e x k x , 11-+<-x e x x k ,所以:(*))0(11 >+-+<x x e x k x令()x e x x g x +-+=11,则()()()212---='x x x e x e e x g ,由(Ⅰ)知:()()2--=x e x h x 在()∞+,0单调递增,而()()⎩⎨⎧><0201h h ,所以()x h 在()∞+,0上存在唯一零点α,且()2,1∈α; 故()x g '在()∞+,0上也存在唯一零点且为α,当()α,0∈x 时, ()0<'x g ,当()∞+∈,αx 时,()0>'x g ,所以在()∞+,0上,()()αg x g =m in ;由()0='αg 得:2+=ααe ,所以()1+=ααg ,所以()()3,2∈αg , 由于(*)式等价于()αg k <,所以整数的最大值为217. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)x xg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0x g x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20x g x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002a g x x a-'=⇒=>,18. 【解析】解:(),x f x e a '=-令()0ln f x x a '==得. [当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减;当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增,故当ln x a =时,()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当ln 1a a a -≥. ①令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当1a =时,①式成立.综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()().x x f x f x e e k a x x x x --==--- 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ-'=-=--则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--,则()1t F t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而2121()10x x e x x ---->,1212()10,x x e x x ---->又1210,x e x x >-2210,x e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.19. 【解析】(1)因为(1)f b =,由点(1,)b 在1x y +=上,可得110b b +=⇒=因为1()(1)n n f x ax a n x -'=-+,所以(1)f a '=-又因为切线1x y +=的斜率为1-,所以11a a -=-⇒=,所以1,0a b ==(2)由(1)可知,11()(1),()(1)()1n n n n n f x x x x x f x n x x n +-'=-=-=+-+ 令()01n f x x n '=⇒=+,即()f x '在(0,)+∞上有唯一的零点01n x n =+.在(0,)1n n +上,()0f x '>,故()f x 单调递增;而在(,)1n n +∞+上,()0f x '<,()f x 单调递减,故()f x 在(0,)+∞的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. (3)令1()ln 1(0)t t t t ϕ=-+>,则22111()(0)t t t t t t ϕ-'=-> 在(0,1)上,()0t ϕ'<,故()t ϕ单调递减,而在(1,)+∞上,()0t ϕ'>,()t ϕ单调递增, 故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=,所以()0(1)t t ϕ>> 即1ln 1(1)t t t >->,令11t n =+,得11ln 1n n n +>+,即11ln()ln n n e n++> 所以11()n n e n++>,即11(1)n n n n ne +<+ 由(2)知,11()(1)n n n f x n ne+≤<+,故所证不等式成立. 【点评】本题考查多项式函数的求导,导数的几何意义,导数判断函数的单调性,求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归,分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程,导数的应用一般用来求解函数的极值,最值,证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值,最值等;另外,要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.20.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解. 因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或. 当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞ ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x ()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x '+ 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞ ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x '+ 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞ ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x ()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x '+-+()f x递增 极小值 递减 递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.21. 【考点定位】本题主要考查函数的最值、零点、单调性等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想. 解:()(sin cos ),(0,),sin cos 02f x a x x x x x x x π'=+∈∴+>当0a =时,3()2f x =-不合题意; 当0a <时,()0f x '<,()f x 单调递减,max 3[()](0)2f x f ==-,不合题意; 当0a >时,()0f x '>,()f x 单调递增,max33[()]()2222f x f a πππ-==-=1a ∴=,所以综上3()sin 2f x x x =-(2)()f x 在(0,)π上有两个零点.证明如下: 由(1)知3()sin 2f x x x =-,33(0)0,()0222f f ππ-=-<=> ∴()f x 在[0,]2π上至少有一个零点,又由(1)知()f x 在[0,]2π上单调递增,故在[0,]2π上只有一个零点,当x 2ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,令()()sin cos g x f x x x x '==+, 10)02g g πππ=>=-<（），（,()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上连续,∴2m ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,()0g m =')2cos -sin 0g x x x x =<（,∴()g x 在2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减,当2x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,()()0g x g m >=,')0f x >（,()f x 递增,∴当(,)2m m π∈时,3()()022f x f ππ-≥=>∴()f x 在(,)m π上递增,∵()0,()0f m f π><∴()f x 在(,)m π上只有一个零点,综上()f x 在(0,)π上有两个零点.22. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一问就是三次函数,通过求解导数求解单调区间.另外就是运用极值概念,求解参数值的运用.解:(1)依题意可得2()2f x x x a '=++当440a ∆=-≤即1a ≥时,220x x a ++≥恒成立,故()0f x '≥,所以函数()f x 在R 上单调递增;当440a ∆=->即1a <时,2()20f x x x a '=++=有两个相异实根1224411,112ax a x a ---==---=-+-且12x x <故由2()20f x x x a '=++>⇒(,11)x a ∈-∞---或(11,)x a ∈-+-+∞,此时()f x 单调递增由2()201111f x x x a a x a '=++<⇒---<<-+-,此时此时()f x 单调递增递减综上可知当1a ≥时,()f x 在R 上单调递增;当1a <时,()f x 在(,11)x a ∈-∞---上单调递增,在(11,)x a ∈-+-+∞单调递增,在(11,11)a a ----+-单调递减. (2)由题设知,12,x x 为方程()0f x '=的两个根,故有2211221,2,2a x x a x x a <=--=--因此321111()33a f x =+同理222()(1)33a f x a x =-- 因此直线l 的方程为2(1)33ay a x =--设l 与x 轴的交点为0(,0)x ,得02(1)ax a =-而22322031()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知,点0(,0)x 在曲线()y f x =的上,故0()0f x =,解得0a =或23a =或34a = 所以所求a 的值为0a =或23a =或34a =. 【点评】试题分为两问,题面比较简单,给出的函数比较常规,这一点对于同学们来说没有难度,但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响,求解函数的单调区间.第二问中,运用极值的问题,和直线方程的知识求解交点,得到参数的值.23. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容.也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要.解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b '+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线,所以(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b ==(2)记()()()h x f x g x =+当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下:x (,3)-∞- 3-(3,1)-1 (1,2)2 ()h x + 0 —0 +()h x '↑ 28↓ -4↑3由此可知:当3k ≤-时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值为(3)28h -=; 当32k -<<时,函数()h x 在区间[,2]k 上的最大值小于28. 因此,k 的取值范围是(,3]-∞-24. 【解析】(I)11()22f x ax b ax b b ax ax=++≥+=+ 当且仅当11()ax x a ==时,()f x 的最小值为2b + (II)由题意得:313(1)22f a b a =⇔++= ①2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ②由①②得:2,1a b ==-。
上海市崇明区2024届高三一模数学试题(教师版)
2023学年第一学期高三第一次模拟考试数学一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）1.不等式21x -<的解集为______．【答案】()1,3【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法求解.【详解】由21x -<得121x -<-<，解得13x <<，故不等式21x -<的解集为()1,3.故答案为：()1,3.2.双曲线2214y x -=的焦距为_______________.【答案】【解析】【分析】根据2a ，2b ，2c 之间的关系即可求出．【详解】由已知2a =1，2b =4，所以2c =5，所以焦距为【点睛】本题考查运用双曲线的基本量关系求焦距，是基础题．3.若复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为__________．【答案】2【解析】【分析】由复数的概念列方程组求解即可.【详解】由于复数24(2)i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，所以24020m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得2m =，故答案为：2.4.已知等比数列{}n a 首项11a =，公比2q =，则5S =__________．【答案】31【解析】【分析】按照等比数列前n 项和公式计算即可.【详解】11211nn n q S a q-==--，故532131S =-=，故答案为：31.5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】10【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可．【详解】由522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为5535522C C 2kk k kk k x x x --⎛⎫⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，0,1,,5k = ，令532k -=，得1k =，所以展开式中2x 的系数为115C 210⨯=．故答案为：10．6.已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，则该圆锥的母线长为__________．【答案】【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，可根据锐角三角函数进行求解底面圆的半径，再利用勾股定理求解母线.【详解】已知圆锥的母线与底面所成角为45︒，高为1，因为圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，所以底面圆半径为1=..7.在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为__________．【答案】3【解析】【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案.【详解】在空间直角坐标系中，点(1,2,3)P -到xOy 平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3.故答案为：38.如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得_______分．【答案】9【解析】【分析】根据平均数的求法求得平均数.【详解】平均数为3578101112101014910+++++++++=.故答案为：99.已知事件A 与事件B 相互独立，如果()0.4P A =，()0.7P B =，则()P A B = __________．【答案】0.42##2150【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案【详解】由事件A 与事件B 相互独立，则事件A 与事件B 相互独立，又()0.4P A =，()0.7P B =，则()()()(()1()()10.40.70.42P A B P A P B P A P B ⋂==-=-⨯=故答案为：0.42．10.用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．__________．【答案】假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚【解析】【分析】根据题意，结合易拉罐的几何结构特征，以及要求易拉罐的质量最小，结合假设，即可求解.【详解】由题意知，某品牌的易拉罐包装的饮料，在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小，所以假设2不合理，应为“易拉罐的顶部类似于圆台”；假设3不合理，应为“易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚”.故答案为：假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚.11.已知不平行的两个向量,a b 满足1a = ，a b ⋅=．若对任意的R t ∈，都有2b ta -≥ 成立，则b 的最小值等于__________．【解析】【分析】先由数量积的定义推得m ≥，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.【详解】依题意，设a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，()0b m m => ，因为1a = ，a b ⋅=，所以cos a b θ= ，即cos m θ⋅=，则[]3cos 1,1mθ==-，所以m ≥，因为对任意的R t ∈，都有2b ta -≥成立，所以()24b ta-≥ ，即22224b ta b t a -⋅+≥ ，即2240t m -+-≥对于R t ∈恒成立，故(()22440m ∆=--≤，又0m >，解得m ≥综上，m ≥b..12.已知正实数a b c d ,,,满足22210,1,a ab c d -+=+=则当()()22a cb d -+-取得最小值时，ab =______【答案】212+【解析】【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可.【详解】设点(,)a b 与点(,)c d 之间的距离为t ，则()()222t a c b d =-+-，易知()()22a cb d -+-的几何意义是点(,)a b 与点(,)cd 之间的距离的平方，点(,)c d 在以(0,0)为圆心，半径为1的圆上，又210a ab -+=，则1b a a=+，设点(,)a b 与点(0,0)之间的距离为m ，则2222222()2112m a a aa a ab +++===++，故22222122m a a ++=+≥=+，当且仅当a =时取等，此时m 取得最小值，由点与圆的位置关系得min min 1m t -=，此时21(1ab a a a a=+=+，代入a =22112ab a =+=+.故答案为：212+【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于a 的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时()()22a cb d -+-也取得最小值，然后将a 代入目标式，得到所要求的结果即可．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）13.已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，则A B ⋃=（）A.[]2,3- B.[]0,3 C.()0,∞+ D.[)2,-+∞【答案】D 【解析】【分析】利用并集的定义可求得集合A B ⋃.【详解】因为集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，因此，[)2,A B ⋃=-+∞.故选：D.14.若0x y >>，则下列不等式正确的是（）A.x y <B.22x y< C.11x y< D.2x y+【答案】C 【解析】【分析】ABD 举反例即可判断，C 结合反比例函数即可判断.【详解】对A ，若2,1x y ==，则0x y >>，但x y >，A 错误；对B ，若2,1x y ==，则0x y >>，但22x y >，B 错误对D ，若2,1x y ==，则0x y >>，322x y +=>=D 错误；对C ，结合反比例函数1y x =知其在(0,)+∞单调递减，则0x y >>，有11x y<，C 正确.故选：C15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q ：过点M 有且只有一个平面与1AA 和11B C 都平行；2q ：过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交．则以下说法正确的是（）A.命题1q 是真命题，命题2q 是假命题B.命题1q 是假命题，命题2q 是真命题C.命题1q ，2q 都是真命题D.命题1q ，2q 都是假命题【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可.【详解】已知点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，过点M 的平面为α，如图所示：对于1q ，在平面11AA D D 与平面11BB C C 之间与平面11AA D D 与平面11BB C C 平行的平面均与1AA 和11B C 平行，如平面α，当点M 为正方体111ABCD A B C D -内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题1q 是真命题；对于2q ，点M 在正方体1111ABCD A B C D -内部（不包含表面），假设过点M 至少可以作两条直线与1AA 和11B C 所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得1AA ，11B C ，M 在同一平面内，与1AA 和11B C 异面矛盾，所以假设错误，所以命题2q 是假命题.故选：A.16.若存在实数,a b ，对任意实数[0,1]x ∈，使得不等式33x m ax b x m -++≤≤恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.9⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ B.,9⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ C.3⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ D.,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，分别讨论0a ≤，01a <≤，13a <<，3a ≥的情况，先求出3max x ax b ++-，再求出()3max minxax b++-即可解决问题.【详解】不等式33x m ax b x m -≤+≤+等价于3m x ax b m +-≤-+≤即3x ax b m ++-≤，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数[0,1]x ∈不等式3x ax b m ++-≤恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式3max x ax b m -++≤成立，记3()x ax b f x -=++，则2()3f x x a '=-+，（1）当0a ≤时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≤恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递减1()a b f x b+-≤≤①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()f x b =，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()1f x a b =--+，从而当0a ≤时，1,2()11,2ab b g b a b a b -≥⎧=⎨--+-⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 111()(222a a gb g --==≥；（2）当0<<3a 时，令()0f x '=，解得x =()f x在区间⎡⎢⎣上单调递增，在⎤⎥⎦上单调递减，(0)f b =，f b =，(1)1=+-f a b ，①当01a <≤时1a b b +-≤，此时1()a b f x b +-≤≤，)α当10a b b +-+<即1122b a <-时，max ()1f x a b =--+，)β当10a b b +-+≥即1122b a ≥-时，max )(f b x =，从而当01a <≤时，1128,22()11,22a b b a g b b b a --+⎧<--=≥--，则()g b在区间11,22a ⎛-∞- ⎝上单调递减，在区间1122a ⎡⎫--+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增,所以min 111()2222a g b g a ⎛=--=-⎝令t =0t <≤，23min 13()22g b t t =-+，记2313()22h t t t =-+，则2()33)3(1)h t t t t t '=-=-，当⎛ ⎝时，()0h t '<恒成立，即()h t在区间⎛ ⎝上单调递减，即min 3()9h t h ==，即min 3()9g b ≥；②当13a <<时1a b b +->，此时()b f x b ≤≤，)α当0b b <即b <时，max ()f x b =-，)β当0b b ++≥即b ≥时，max )(f b x +=，从而当13a <<时，,(),bb g b b b -⎧<=≥，则()g b在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，在区间⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增，所以min3()9g b g ⎛==> ⎝；（3）当3a ≥时，对任意[0,1]x ∈，()0f x '≥恒成立，即()f x 在[0,1]上单调递增，()1b f x a b ≤≤+-①当10a b b +-+≥，即12ab -≥时，max ()1f x a b =+-，②当10a b b +-+<，即12ab -<时，max ()f x b =-，从而当3a ≥时，1,282()1,2ab a b g b b a b -≥+-⎧=⎨--⎩<，则()g b 在1(,2a --∞上单调递减，在1,2a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以min 112)2(()1g a b g a -==≥-；综上所述，min ()9g b =，所以39m ≥.故选：A【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()12max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()12min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，2PA AB AD ===，1CD =，90ADC ∠=︒，E ，F 分别为,PB AB 的中点．（1）求证：//CE 平面PAD ；（2）求点B 到平面PCF 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）设G 是PA 的中点，连接GE ，DG ，证明四边形CDGE 是平行四边形，可得//CE DG ，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）先证明CF PF ⊥，再利用等体积法求解即可.【小问1详解】证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，由于E 是PB 的中点，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，112CD AB ==，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，由于CE ⊄PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD .【小问2详解】设点B 到平面PCF 的距离为h ，因为PA ⊥平面ABCD ，CF ⊂平面ABCD ，所以PA CF ⊥，由于//CD AF ，CD AF =，所以四边形ADCF 是平行四边形，由于90ADC ∠=︒，所以CF AB ⊥，由于,,AB PA A AB PA ⋂=⊂平面PAB ，所以CF ⊥平面PAB ，又PF ⊂平面PAB ，所以CF PF ⊥，在Rt PAF △中，PF =12PFC S CF PF =⋅=△112△BCF S CF BF =⋅=.由P BCF B PCF V V --=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△，即255BCF PCF S PA h S ⋅=== ，所以5h =，即点B 到平面PCF 的距离为255.18.在ABC 中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，5a =，6b =.（1）若4cos 5B =-，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若三角形的面积4S =△，求c .【答案】（1）6A π=，5R =；（2）4c =或c =.【解析】【分析】（1）由题可得3sin 5B =，利用正弦定理即求；（2）利用三角形面积公式可得7sin 4C =，再利用同角关系式及余弦定理即求.a 【小问1详解】因为4cos 5B =-，则,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5B ==.由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，即1sin 2A =，5R =，因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =；【小问2详解】由1sin 2S ab C =△得1572274sin 564S C ab ⨯===⨯△，于是3cos 4C ==±.当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+-⨯⨯⨯=.当3cos 4C =-时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =.19.交通拥堵指数（TPI ）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI 表示，TPI 越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI 的公式为：TPI =实际行程时间畅通行程时间，并按TPI 的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：TPI[)1,1.5[)1.5,2[)2,4不低于4拥堵等级畅通缓行拥堵严重拥堵某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI 的统计数据如下图：（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．【答案】（1）27；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用给定的折线图，求出2022年元旦及前后共7天中“拥堵”的天数，再利用古典概率计算即得.（2）利用折线图，求出2023年元旦及前后共7天中，道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数，求出X 的可能值及对应概率即得.【小问1详解】根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为27P =.【小问2详解】根据统计数据得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，所以X 的所有可能值为0,1,2，()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====；()125237C C 512C 357P X ⋅====.20.已知抛物线21:4y x Γ=，22:2y x Γ=，直线l 交抛物线1Γ于点A 、D ，交抛物线2Γ于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(4,4)，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD = ，求AOD △与BOC 的面积之比．【答案】20.()1,221.125522.107AOD BOC S S =△△【解析】【分析】（1）由抛物线的定义根据其方程得出准线，由定义得出抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，或通过焦半径公式，即可得出点A 的横坐标，代入方程得出纵坐标，根据点所在的象限得出其坐标；（2）设00(,)C x y ，得出线段AC 的中点坐标，根据已知列式04y =-，代入方程得出点C 的坐标，即可由两点式得出直线l 的方程，即可由点到直线的距离公式得出答案；（3）设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y ，根据已知与方程的联立与韦达定理得出31242()y y y y -=-，12342()y y y y +=+，12342y y y y =，设原点O 到直线l 的距离为d ，由弦长公式与三角形面积公式的出AOD BOC S S = ，即可代入化解得出答案.【小问1详解】抛物线24y x =的准线为=1x -，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2，所以点A 的横坐标为1，代入方程的24y =，解得2y =±，因为点A 位于第一象限，故点A 的坐标为()1,2.【小问2详解】设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++因为线段AC 的中点在x 轴上，所以0402y +=，故04y =-，代入方程得()2042x -=，解得08x =，所以(8,4)C -，所以直线l 的方程为：444484y x --=---，整理得：2120x y +-=所以原点O 到直线l 的距离225521d ==+【小问3详解】由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+，设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x yB x yC x y 由2AB CD =，得31242()y y y y -=- ①，由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b -+=，因为直线l 与抛物线1Γ交于点A 、D ，所以10kb ∆=->，即1kb <，且124y y k+=，124b y y k =，同理，342y y k +=，342b y y k =，所以12342()y y y y +=+ ②，12342y y y y = ③，由①，②得：23y y =-，代入③得142y y =-，代入②得2434y y =设原点O 到直线l 的距离为d ，所以4412344442103473AOD BOC y y y y S S y y y y ---===--- .【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线中的三角形面积问题一般转化为弦长问题与点到直线距离问题，使用弦长公式利用直线与圆锥曲线联立得出的二次方程由韦达定理转化.21.已知()sin (R,0)f x mx x m m =+∈≠．（1）若函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列{}n a 是等差数列（公差0d ≠），()n n b f a =．是否存在数列{}n a 使得数列{}n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列{}n a ，并证明此时的数列{}n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m =，是否存在直线y kx b =+满足：①对任意的x ∈R 都有()f x kx b ≥+成立，②存在0x ∈R 使得00()f x kx b =+？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m >（2）存在数列{}n a ，数列{}n a 满足：21sin sin 2sin n n n a a a +++=，证明见解析（3）存在直线满足题意，直线方程为1y x =-【解析】【分析】（1）此题分析题意，根据实数集题意可得'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立，故可得出答案.（2）利用等差数列性质，结合题意，首先得出212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立.再经过化简计算得出结果.（3）首先分析题意，按b 三种不同情况进行分析，最后得出直线方程为1y x =-.【小问1详解】（1）因为函数()y f x =是实数集R 上的严格增函数，所以'()cos 0f x m x =+>对任意的x ∈R 都成立因为函数cos y m x =+的最小值为1m -，所以1m >【小问2详解】sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立，即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+，将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=，即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++-++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅-=对一切正整数n 成立，所以cos 1d =，故()2π0,Z d k k k =≠∈；此时()()11sin sin 12π12πn n n b a ma a n k m a n k =+=+-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112πsin m n k ma a =-++，所以12πn n b b m k +-=为常数，故{}n b 是等差数列【小问3详解】令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b=+-+=-+-则当m ∈Z 时，(2π)2(1)πsin 11b b g m k m k k+=-+--1k >时，存在m ∈Z 使得(2π)01b g m k +<-，即存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x ∈R 使得()f x kx b <+，与题意不符1k =时，()sin g x x b=-当1b >-时，显然存在x ∈R 使得()0g x <，即存在x ∈R 使得()f x kx b<+当1b <-时，对任意的x ∈R 都有()0g x >，当1b =时，存在02x π=-，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x ∈R 都有()f x kx b≥+综上，存在直线y kx b =+满足题意，直线方程为1y x =-19。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十六)第十六单元圆锥曲线方程(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p 的值为A.1B.2C.3D.4解析:圆的方程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2.答案:B2.若椭圆+y2=1(a>1)的离心率为,则该椭圆的长轴长为A. B. C. D.或解析:由题意可得-=,解之得a=,则椭圆的长轴长为.答案:A3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于A.4B.6C.8D.10解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6.答案:B4.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离心率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为A.B.1 C. D.2解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得则则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为a-c=2-1=1.答案:B5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜角为45°,则该抛物线的焦点坐标为A.(0,1)B.(0,)C.(0,-1)D.(0,-)解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线方程为x2=2y,焦点坐标为(0,).答案:B6.已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上一点,F是双曲线的右焦点,若|PF|的最小值为a,则该双曲线的离心率为A. B. C. D.解析:双曲线的渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最小值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e==.答案:C7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,若·=-,则△AOB的面积为A.4B.2C.1D.解析:直线AB的方程为x=,代入抛物线方程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则·=-p2=-,故p=1,则△AOB的面积为··2p==.答案:D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)左支上一点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为8,且双曲线一条渐近线的倾斜角为60°,则该双曲线的方程为A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜角为60°可知一条渐近线的斜率为=,故b=2,双曲线的方程为-=1.答案:D9.在直角坐标系中,把双曲线C1:-y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:①C1与C2的离心率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线方程相同;④C1与C2的实轴长相等.其中正确的说法有A.①②B.②③C.①④D.③④解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,方程为-x2=1,渐近线方程为y=±x,与C1的渐近线方程不同,显然正确的选项只有①④.答案:C10.如图,已知椭圆+=1内有一点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M 为椭圆上的动点,则||+||的最小值为A.4B.6C.4D.6解析:||+||=2a-(||-||)≥2a-||=8-2=6,当且仅当M,F2,B共线时取得最小值6.答案:B11.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的一点,且满足∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积为A.4B.3C.2D.1解析:由条件可得-=2a,由题意可知△F1PF2为直角三角形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2,故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=b2=1.答案:D12.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作倾斜角为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则·等于A.-B.-C.D.解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P 到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代入抛物线方程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的方程为y=x-,则直线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则·=(-,-1)·(,0)=-.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若直线l的方程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆+=1的交点个数为.解析:由题意得直线l的方程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),又+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:214.2013年国家加大了对环境污染监测力度,为此某市环保部门在市里的一条污水河的桥孔处进行了隔离封闭改造,桥孔的横断面为抛物线形(如下图所示),已知水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米,则水上升0.5米后,水面宽变为米.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=±,所以水面宽度为2米.答案:215.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且一个焦点到其中一条渐近线的距离为,则双曲线C的离心率为.解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±x,即ax±by=0,则=,故a2=b2,而a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离心率为.答案:16.已知直线x=2与椭圆C:+=1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若=a+b(a,b∈R),则ab的最大值是.解析:联立x=2与+=1,解得E1(2,),E2(2,-),∴=a+b=(2a+2b,a-b),∴P(2a+2b,a-b),∵点P在椭圆C上,∴+-=1,∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最大值是1.答案:1三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的一个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三角形的周长是8+4,且∠BF1F2=.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.解析:(1)设椭圆+=1(a>b>0),焦距为2c,由条件可得2a+2c=8+4,所以a+c=4+2.又∠BF1F2=,所以=,故所以b=2,所以椭圆方程为+=1.5分(2)由可得5x2+8x-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=·-=.10分18.(本小题满分12分)为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截面,如图.已知探照灯的轴截面图是抛物线y2=2px(p>0)的一部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上.(1)求该抛物线的方程;(2)若一束平行于x轴的直线入射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平行光线,试确定点P的位置使得从入射点P到反射点Q的路程最短.解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0),故抛物线焦点F(1,0),抛物线方程为y2=4x.5分(x-1).(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),又PQ过焦点可得PQ的方程为y=-由--解得y=a或y=-,故点Q(,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=++2≥2+2=4,当且仅当a=±2时,取等号,故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从入射点P到反射点Q的路程最短为4.12分19.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上的点到焦点的最近距离为,其左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合.(1)求椭圆及抛物线的方程;(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线方程.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离心率可得=-=,故a=2c,b2=a2.又由条件可知a-c=,故a=2,c=,b2=×12=9,故椭圆的方程为+=1.则F1(-,0),F2(,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2(,0),即=,故抛物线的方程为y2=4x.6分(2)设过F1的切线方程为y=k(x+),由可得k2x2+(2k2-4)x+3k2=0,则Δ=(2k2-4)2-12k4=0,解得k=1或-1,故抛物线的两条切线的方程分别为y=x+与y=-x-.12分20.(本小题满分12分)平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足=α+β,其中α、β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹方程;(2)设点C的轨迹与双曲线-=1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN 为直径的圆过原点,求-的值.解析:(1)设C(x,y),因为=α+β,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),∴-∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹方程是x+y=1.6分(2)由-得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=--,x1x2=--.∵以MN为直径的圆过原点,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+---=0,∴b2-a2-2a2b2=0,∴-=2.12分21.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意一点,|PF1|·|PF2|的最大值为4,且椭圆C的离心率是双曲线-=1的离心率的倒数.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM 为菱形,求此菱形面积.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最大值a2,故a2=4,则a=2.而双曲线-=1的离心率为=,故椭圆的离心率为,即=,故c=,所以b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.6分(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分,所以可设A(1,m),代入椭圆方程得+m2=1,即m=±,所以菱形OABM面积为|OB||AM|=×2×=.12分22.(本小题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正方形,且该正方形的内切圆方程为x2+y2=2.(1)求椭圆C的方程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的一个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的面积的最大值.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.连接一个短轴端点与一个焦点的直线方程可以是+=1,即x+y-b=0.由直线与圆相切可得=,故b=2,则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的方程为+=1.6分(2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0),故p=4,抛物线E的方程为y2=8x.由可得x2+(2m-8)x+m2=0,由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成立.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.则|AB|=-=--=8-.又点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=,故△FAB的面积为S=d·|AB|=2--.令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,故m=时,f(m)取最大值,则△FAB的面积的最大值为.12分。
高三数学-2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题(一)(解析版)
2024年高考仿真模拟数试题（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】这组数据为：1,1,,4,5,5,6,7a ，但a 大小不定，因为80.756⨯=，所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有6a =符合．故选：C ．2.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的3倍，则E 的离心率为（）A.3B.223C.33D.233【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得26a b =，再根据离心率公式即可得解.【详解】由题意，26a b =，所以13b a =，则离心率3c e a ====.故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（）A.150B.120C.75D.68【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知78910911205a a a a a a ++++==，所以94a =，()1171791717682a a S a +===，故选：D.4.已知空间中，l 、m 、n 是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则//l nB.若//l α，//l β，则//αβC.若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，则//αβD.若l α⊥，//l β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 选项，可通过找反例排除，对D 选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到.【详解】对A 选项：若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则l 可能与n 平行或异面，故A 错误；对B 选项：若//l α，//l β，则α与β可能平行或相交，故B 错误；对C 选项：若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，可能//m n ，此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ，又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选：D.5.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A.672 B.864 C.936 D.1056【答案】D 【解析】【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有554A 480=种站排方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有1142443C C A 576=种站排方式；故总共有4805761056+=种站排方式.故选：D ．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A ，()0,3B ，动点P 满足OP xOA yOB =+，且1x y +=，则下列说法正确的是（）A.P 的轨迹为圆B.P 到原点最短距离为1C.P 点轨迹是一个菱形D.点P 的轨迹所围成的图形面积为4【答案】C 【解析】【分析】由题意得3x ab y =⎧⎪⎨=⎪⎩，结合1x y +=可知33a b +=，画出图形可知P 点轨迹是一个菱形，故C错误A 正确；由点到直线的距离即可验证B ；转换成ABC 面积的两倍来求即可.【详解】设P 点坐标为(),a b ，则由已知条件OP xOA yOB =+ 可得3a x b y =⎧⎨=⎩，整理得3x a b y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又因为1x y +=，所以P 点坐标对应轨迹方程为33a b +=．0a ≥，且0b ≥时，方程为33a b +=；0a ≥，且0b <时，方程为33b a =-；a<0，且0b ≥时，方程为33b a =+；a<0，且0b <时，方程为33a b +=-．P 点对应的轨迹如图所示：3AB CD k k ==-，且AB BC CD DA ====P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；原点到AB ：330a b +-=1.10=<B 错误；轨迹图形是平行四边形，面积为122362⨯⨯⨯=，D 错误．故选：C ．7.已知函数()3sin 44sin 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，则02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A.43-B.34-C.34D.43【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式得到()f x 最大值，即得到关于0x 的关系式，代入02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭利用诱导公式即可.【详解】()3sin 44sin 43sin(4)4sin(4)36323f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3sin(4)4cos(433f x x x ππ∴=+++，4()5sin(4)(tan 33f x x πϕϕ∴=++=，max 5()f x =∴，()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，0234(Z)2k k x πππϕ+=+∈+∴，0213tan 4tan(2)32tan 4x k πππϕϕ⎛⎫∴-=-+-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，离心率为e ，直线(0)y kx k =≠分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若1MF N 的面积为160MF N ∠=︒，则22e 3a +的最小值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，121F NF MF N S S == 124NF NF ⋅=，利用双曲线定义和余弦定理求出21243b F N F N ⋅=，求出23b =，进而求出22223e 31317a a a +=++≥+=.【详解】连接22,NF MF ，有对称性可知：四边形12MF NF 为平行四边形，故2112,NF MF NF MF ==，12120FNF ∠=︒，121F NFMF N S S ==由面积公式得：121sin1202NF NF ⋅︒=124NF NF ⋅=，由双曲线定义可知：122F N F N a -=，在三角形12F NF 中，由余弦定理得：()222221212121212244cos12022F N F N F N F N cF N F N c F N F N F N F N-+⋅-+-︒==⋅⋅2121224122F N F N b F N F N ⋅-==-⋅，解得：21243b F N F N ⋅=，所以2443b =，解得：23b =，故22223e 31317a a a +=++≥+=，当且仅当2233a a=，即21a =时，等号成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()2sin sin 2f x x x=-，则下列结论正确的有（）A.()f x 为奇函数B.()f x 是以π为周期的函数C.()f x 的图象关于直线π2x =对称 D.π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x的最大值为22-【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B ，判断()()πf x f x +=是否成立即可；对于C ，判断ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立即可；对于D ，可得π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，由此即可得解.【详解】对于A ，()2sin sin 2f x x x =-的定义域为()π,2k x k ≠∈Z （关于原点对称），且()()()()22sin sin sin 2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--= ⎪-⎝⎭，对于B ，()()()()22πsin πsin sin 2sin 2πf x x x f x x x +=+-=--≠⎡⎤+⎣⎦，故B 错误；对于C ，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象不关于直线π2x =对称，故C 错误；对于D ，π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin ,sin 2y x y x ==均单调递增，所以此时2sin 2y x=-也单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，其最大值为π2242f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：AD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n nz r n n θθ=+，于是1|||cos isin |nnnz r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||nnz r =，因此11nnz z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则()()f x f y ≠.则（）A.()0f 的值为2B.()()4f x f x +-≥C.若()13f =，则()39f = D.若()410f =，则()24f -=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，令0x y ==，结合“若x y ≠，则()()f x f y ≠”即可判断；对于B ，由基本不等式相关推理结合()2040f =>即可判断；对于C ，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，由此即可判断；对于D ，令()1xf x =+，即可判断.【详解】对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+⎡⎤⎣⎦，解得()01f =或()02f =，若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，但这与②若x y ≠，则()()f x f y ≠矛盾，所以只能()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，结合()02f =得，()()()()()()22f x f x f x f x f x f x ⎛⎫+-+-=⋅-≤ ⎪⎝⎭，解得()()4f x f x +-≥或()()0f x f x +-≤，又()02f =，所以()2040f =>，所以只能()()4f x f x +-≥，故B 正确；对于C ，若()13f =，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，所以()()121f x f x +=-，所以()()2161521f f =-=-=，所以()()21101932f f =-=-=，故C 正确；对于D ，取()1xf x =+，则()()11232xyx yx yf x f y +⎡⎤⎡⎤+++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⋅=⎣+⎦⎦()()()f x y f x f y +++=且()1xf x =+单调递增，满足()410f =，但()423f -=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是构造()1xf x =+，由此即可证伪.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合{}2,0,1M =-，{}1N x x a =-<，若M N ⋂的真子集的个数是1，则正实数a 的取值范围为______.【答案】()()0,11,3 【解析】【分析】分{}0M N = 和{}2M N = 讨论即可.【详解】{}1N x x a =-<，则11x a -<-<，解得11a x a -+<<+，若M N ⋂的真子集的个数是1，则M N ⋂中只含有一个元素，因为a 为正实数，则11a +>，11a -+>-，若{}0M N = ，则10120a a a -+<⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01a <<，若{}2M N = ，则012120a a a ≤-+<⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得13a <<，综上所述，a 的取值范围为()()0,11,3 .故答案为：()()0,11,3 .13.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为4、6，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为______，外接球的半径为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：2212416,636S S ====，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()12176233V S S =++=；连接AC ，BD 交于点2O ，连接11A C ，11B D 交于点1O，如图所示：当外接球的球心O 在线段12O O 延长线上，设1OO h =，外接球半径为R，则(222O O h =-，因为12=O O ，上、下底面边长分别为4、6，则111112==D O B D 212DO BD ==，所以(22222112R D O h DO h h R =+=+-⇒==当外接球的球心O 在线段21O O 延长线上，显然不合题意；当球心O 在线段12O O 之间时，则)222O O h =，同上可得，h =故答案为：3.14.若sin 0αβγ+-=+-的最大值为______．【答案】【解析】≤=消去α、β求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得.【详解】由题意得：0sin 1αβγ≤+=≤，0α≥，0β≥，则()22αβαβαβαβ=+++++=+，当且仅当αβ=时等号成立，+≤=≤，则有0sin 10cos 1γγ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则π2π2π2k k γ≤≤+，Z k ∈,有sin γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，单调递增，cos γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递减，π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则当π2π2k γ=+时，即sin 1γ=、cos 0γ=时，，+-的最大值为..【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将α、β消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数()e 2xf x ax a =--.（1）讨论函数的极值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下得到()f x '正负，进而得到()f x 单调性，由极值定义可求得结果；（2）由（1）可知()f x 单调性，分别讨论极小值大于零、等于零和小于零的情况，结合零点存在定理可得结论.【小问1详解】由题意得：()e 2xf x a '=-；当20a ≤，即0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x \在R 上单调递增，无极值；当20a >，即0a >时，令()0f x '=，解得：ln 2x a =，∴当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x \的极小值为()ln 22ln 2f a a a a =-，无极大值；综上所述：当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 极小值为2ln 2a a a -，无极大值.【小问2详解】由（1）知：当0a >时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增；当02a <<时，()ln 22ln 20f a a a a =->，()0f x ∴>恒成立，()f x 无零点；当a =时，()ln 22ln 20f a a a a =-=，()f x 有唯一零点ln 2x a =；当2a >时，()ln 22ln 20f a a a a =-<，又()010f a =->，当x 趋近于正无穷大时，()f x 也趋近于正无穷大，()f x \在()0,ln 2a 和()ln 2,a +∞上各存在一个零点，即()f x 有两个零点；综上所述：当e 02a <<时，()f x 无零点；当2a =时，()f x 有且仅有一个零点；当e 2a >时，()f x 有两个不同的零点.16.已知n 把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．（1）当12n =时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期望；（2）若另有m 把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为114，求整数(),3,3m n m n >>的所有可能取值．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2511（2）9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）根据题意得到随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，并计算出相应的概率，列出分布列，利于期望公式计算即可；（2）利于概率求得两人选择相邻座位的概率，建立方程后依据条件可求得整数解即可.【小问1详解】由题意，得随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，其中()()21212220,1,2,3,4A 11P X i i ⨯====，()21212115A 11P X ⨯===，所以随机变量X 的分布列为：X012345P 211211************故()2222212501234511111111111111E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】记“两人选择n 把相同的椅子围成的圆环”为事件A ，“两人选择m 把相同的椅子围成的圆环”为事件B ，“两人选择相邻座位”为事件C ．因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，所以()()1111,2244P A P B =⨯==，()()()()()()()P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+()()12121114141211n m n n m m n m ⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪----⎝⎭．因为()114P C =，所以111117n m +=--．化简，得4988n m =+-．因为*3,3,m n n >>∈N ，所以498m ∈-Z ，且4958m >--．所以81,7,49m -=，即9,15,57m =，此时9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩所以,m n 的所有可能取值为9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，//EF 平面AB CD -，EAB 为等边三角形，22,60BC CE AB EF ABC ===∠=︒．（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面平面ECD 与平面FCD 的夹角的余弦值.【小问1详解】不妨设1AB =，则2BC CE ==，在平行四边形ABCD 中，2BC = ，1AB =，60ABC ∠=︒，连接AC ，由余弦定理得22212211cos 603AC =+-⨯⨯⨯︒=，即3AC =，222AC AB BC += ，AC AB ∴⊥.又 222AC AE CE +=，AC AE ∴⊥，AB AE A = ，AC ⊥平面EAB ，又 AC ⊂平面ABCD .∴平面EAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AB 中点G ，连接EG ，EA EB = ，EG AB ∴⊥，由（1）易知EG ⊥平面ABCD ，且32EG =.如图，以A 为原点，分别以射线,AB AC 所在直线为,x y 轴，竖直向上为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则1,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C，()D -，()12,B -，(11,C -，()1,0,0CD =- ，330,,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1322EC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n CD n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0022x y z -=⎧-=⎩，令1y =，得()0,1,1n = ，设平面ECD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1111013022x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11y =，得()0,1,2m =，310cos ,10m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值31010.18.已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.【答案】（1）22y x=（2）10x -=【解析】【分析】（1）结合抛物线定义即可.（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程联立得12y y +，12y y .将每条直线表达出来，1S 、2S 、3S 、4S 表达出来，再由12344S S S S =得出m 即可.【小问1详解】设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.【小问2详解】如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y==，∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，∴12342242S S S S m =+=，得m =，∴直线AB的方程为1x =+即10x ±-=.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。
2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)10：圆锥曲线
2012高考真题分类汇编：圆锥曲线一、选择题1.【2012高考真题浙江理8】如图，F 1,F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=（a,b ＞0）的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交与点M ，若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是A.3B2C.D.【答案】B【解析】由题意知直线B F 1的方程为：b x c b y +=，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=0,b y a x b x cb y 得点Q ),(a c bc a c ac --，联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=0,by a x b x cb y 得点P ),(ac bc a c ac ++-，所以PQ 的中点坐标为),(222b c b c a ，所以PQ 的垂直平分线方程为：)(222bc a x bc bcy --=-，令0=y ，得)1(22ba c x +=，所以c ba c 3)1(22=+，所以2222222a c b a -==，即2223c a =，所以26=e 。
故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为)0(22>=-m m y x ，抛物线的准线为4-=x ，由34=AB ,则32=A y ,把坐标)32,4(-代入双曲线方程得4121622=-=-=y x m ，所以双曲线方程为422=-yx ，即14422=-yx，所以2,42==a a，所以实轴长42=a ，选C.3.【2012高考真题新课标理4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【答案】C【解析】因为12PF F ∆是底角为30 的等腰三角形，则有P F F F 212=,，因为02130=∠F PF ，所以0260=∠D PF ,0230=∠DPF，所以21222121F F PF D F ==，即c c c a =⨯=-22123，所以c a 223=，即43=a c ，所以椭圆的离心率为43=e ，选C.4.【2012高考真题四川理8】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
如何进行原创或改编试题(数学)(1)
如何进行数学试题的改编和原创试题改编的一般方法试题改编是对原有试题进行改造，使之从形式上、考查功能上发生改变而成为新题。
改编试题的具体方法有：设置新的问题情境、不同题型之间的转换、重新整合、转变考查目标等。
1、设置新的问题情境一道常规的纯粹数学问题，当把它放置在一个新的问题情境中时，由于知识载体发生了改变，这道试题就变为一道新题，这可以反映出数学知识应用的灵活性。
2、不同题型之间的转换在高考数学试卷中，出现了较多的通过改造题型来获取新试题的形式。
例如：许多压轴解答题的命题材料很好，从考查内容和考查功能上来看往往是很经典的试题，但由于第二、三问的难度过大，所以常常会使考生因感到畏惧而放弃解答该题。
其实，第一问可能非常简单，也很容易上手，此时，就将第一问压缩、升华或从其它角度设问，再辅以选项的巧妙设计，从而将第一问变为一道新颖的选择题或填空题。
当然，也可通过深入发掘内涵或扩充运用范围的方式，把经典的选择题、填空题改造成解答题的形式。
①解答题改编为选择题或填空题改编模式：保持原型的考查内容不变，将问题的设问形式加以改造，同时添加适当的问题情境，省去对具体解题过程的考查，而构造出的新问题。
②解答题各种呈现方式的转变改编模式：保持原型的考查内容不变，对问题的结构、问题的设问形式、问题的表述方式等加以改造，可以构造出一系列的新问题。
3、不同内容、不同素材之间的重组整合单纯考查代数内容（或者几何内容、或者概率统计）单一知识点的试题，往往只占高考试卷的较小部分的分值，高考试题命制教师更多地考虑的是，如何在同一学习领域（如代数、几何或概率统计）知识点的交汇处命制试题，或者在不同学习领域知识点的融合处设计问题，或者把各种题型组合起来命制试题。
重组整合的常见方法是根据考查目标、考查内容确定命题材料的重组方式，然后设问。
①考查内容形式的整合改编模式：在保留原题内核不变的前提下，考虑添加一定的特殊符号或文字信息、图表信息或图形信息，或者新的定义，然后以新的表达方式呈现出来。
2024—2025学年度上学期普通高中联合教学质量检测高三数学解析版
2024—2025学年度上学期普通高中联合教学质量检测高三数学试解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，若，则（ ）A ．2B ．1C ．D ．-2【答案】A【详解】由，得.若，则，不符合题意；又，所以，解得.故选：A2．已知等差数列的前和为S n ，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．{}0,A a ={}1,2,34B a a =--A B A = a =43A B A = A B ⊆1a ={0,1},{1,1,1}A B ==--2a a ≠-3402a a a =-⎧⎨=-⎩2a ={}n a n 13a =12n n S n a +=1991i iS ∑==335099100297200200303故选：A.3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．在展开式中，含的项的系数是6，则（ ）A ．6B ．3C ．3D ．6【答案】B【详解】由题可得含的项为，所以.故选：B.5．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知过抛物线的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若，AB 的中点到轴的距离为，则p 的值为（ ）α4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭sin(π)α-=45-35-3545()()()()()()12345x x x x x x a +-+-+-5x a =--5x ()555555523453x x x x x ax x a -+-+-=-363a a -=⇒=-()()1,2,,1a b m ==- 2m <ab 22(0)y px p =>||3||AF BF =y 52A ．2B ．3C ．4D ．57．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ）A ．事件与互斥，与相互对立B ．C ．但不满足两两独立D ．且两两相互独立【答案】C{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=A =B =C =B C A C ()58P A B ⋃=()()()()P ABC P A P B P C =,,A B C ()()()()P ABC P A P B P C =,,A B C8．若，，，其中表示，，中的最大者，表示，，中的最小者，下列说法不正确的是（ ）A ．函数为偶函数B ．当时，有C ．不等式的解集为D ．当时，有(){}2max 23,32g x x x=--(){}2max 23,32h x x x =+-()()(){}min ,f x g x h x ={}max ,,x y z x y z {}min ,,x y z x y z ()f x []1,3x ∈()f x x≤ ()1f f x ⎡⎤≤⎣⎦1,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ [][]3,22,3x ∈--⋃()()f f x f x ⎡⎤≤⎣⎦结合图象及知当时，所以，所以对于C ，令，则二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符()()f x f x -=[]1,3x ∈243x x -+≤23x x -<()f x ()f x t =(f合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理．根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数，下列说法正确的是（ ）A ．若关于的不等式的解集是或，则B ．若集合有且仅有两个子集，则的最大值为C ．若，则D ．若，且关于x 的不等式的解集中有且仅有三个正整数，则实数的取值范围是z Z z ()cos sin r i θθ+r z θx OZ z ()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦()*N n ∈z 532z=z ππ2cos isin 1010⎛⎫+ ⎪⎝⎭2π2π2cos isin 55⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ2cos isin 22⎛⎫+ ⎪6π6π2cos isin 55⎛⎫+ ⎪()23f x x ax b =-++x ()0f x <{2x x <-8}x >2a a b =(){}0x f x =22a b -4911739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭221111a b +++46b a =-()0f x >a 78,33⎛⎤⎥11．已知菱形ABCD 的边长为，将沿AC 翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（ ）2,60ADC ︒∠=ACD V D B P D BA ．不存在点，使得B ．无论点在何位置，总有面PBDC ．当三棱锥的体积最大时，直线AB 与平面PBCD ．当时，为PB 上一点，则的最小值为2对于B ，依题意，取的中点，则又又平面，因此P AB PC⊥P AC ⊥P ABC -2PB =M AM CM +,ABC V V AC E BE ⊥,PE BE E ⋂=,PE BE ⊂PB ⊂PBE AC显然四边形为菱形，当三点共线时，故选：BC.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列满足，设为数列的前项和，则 ．13．若函数的最小值为，则实数的取值范围为 .【答案】ABCP ,,A M C AM {}n a 1111,22n n n a a a +=-=n S {}n a n n S =1,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩(0)f m []1,0-14．小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A 和1张标有B 的卡片，爸爸有3张标有B 的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n 次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A 卡片的概率记为，则，．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列满足，(1)记，写出，，并证明数列为等比数列；(2)求的前项和．n a 2a =n a ={}n a 11a =11,22,n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数2n n b a =1b 2b {}3n b +{}n a 2n 2n S【答案】(1)，，证明见解析(2)【详解】（1）显然为偶数，则，．所以，即．且．所以是以5为首项，2为公比的等比数列，于是，，．（2）记，则从而数列的前项和为：16.（本小题15分）记的内角的对边分别为外接圆的半径为R ．(1)求外接圆的面积；(2)圆经过，且与圆关于直线对称，圆被直线截得弦长为8，求直线的方程．12b =27b =152710n n +⋅--2n 21222n n a a +=+22211n n a a ++=+22223n n a a +=+()1123323n n n n b b b b ++=+⇒+=+1213345b a a +=+=+={}3n b +1352n n b -+=⋅12b =27b =1523n n b -=⋅-21n n c a -=22111n n n n b a a c -==+=+{}n a 2n ()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ ()()()1212122n n n c c c b b b b b b n=+++++=++- ()11125122352710n n n n n -+⎡⎤=⨯⋅+++--=⋅--⎣⎦ ABC V ,,A B C ,,a b c ()sin cos 1,C c A a =+=ABC V ABC V M ()0,4P 222(1)(2)x y R -+-=10x y --=M PQ PQ17.（本小题15分）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)求的单调区间；(3)当时，若对于任意，不等式成立，求a 的取值范围．()21e xax x f x +-=R a ∈0a =()y f x =()()0,0f ()f x 0a >[]1,3x ∈()21112ef x ≤≤+18.（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点．P ABCD -ABCD PD ⊥,4,ABCD PD AB E ==PA(1)若为棱中点，证明：面；(2)在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)分别在棱上，，求三棱锥的体积的最大值．（2）以为原点，以间直角坐标系，可得由为棱上一点，设E PA PC ∥EBD PA E B DE A --23PE PA ,,E F Q ,,PA PC PD 1EQ FQ ==F EDP -D DA (0,0,0D E PA PE (4,0,4DE DP PE λ=+=-化简得：，解得：故存在满足条件的点，此时（3）因为，可知三棱锥体积最大时，即19.（本小题17分）已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．(1)求椭圆方程；23210λλ+-=E F PED D PEF V V --=D PEF -2222:1(0)x y E a b a b+=>>(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．①求的值；②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．①由消得由此时方程（*）可化为：1:l y kx m =+E P O 1l 2l E A B A O C OP 1k BC 2k 12k k O P B C OAB PAB S S △△22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()(22Δ(8)443km k =-+4k。
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1 2012届全国各省市高三上学期数学联考试题重组专题 题型七 选考系列 （教师版）
【备 考 要 点】 选考内容由各省市自行选择内容和数量，选修系列包括几何证明选讲（选修4-1）、矩阵与变换（选修4-2）、坐标系与参数方程（选修4-4）、不等式选讲（选修4-5）等几部分内容。纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷，试题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，题目不难；通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查数形结合与分类讨论等数学思想与方法的灵活应用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解三角形和圆的知识．（2）理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程及应用．（3）了解矩阵与变换的内容．（4）掌握绝对值不等式、数学归纳法等证明方法。
【2011高 考 题 型】 几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题，预测2012年仍会如此，难度不会太大． 矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在2012年高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程． 坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查“转化”为目的．预测2012高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易． 不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预测2012年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题．
【2012 命 题 方 向】 【原题】（在（1）（2）中任选作一题，如两题都做，按第（1）题记分）（1）
参数方程）在极坐标系中，定点A（2，），动点B 在直线sin()4=22上运动，则线段AB的最短长 度为 ． （2）(几何证明选讲）如图，在半径为2的⊙O中， ∠AOB=90°,D为OB的中点，AD的延长线交⊙O 于点E，则线段DE的长为 。
【解析】（1）223；（2）5
53 2
【试题出处】黄冈市2011年秋季高三年级期末考试数学试题（理） 【原题】选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l的方程为21)3cos(，则点)2,1(M到直线l的距离为__________. 15.（几何证明选讲）如图，P为圆O外一点，由P引圆O的 切线PA与圆O切于A点，引圆O的割线PB与圆O交于
C点.已知ACAB， 1,2PCPA.则圆O的面积为 .
【解析】14．213 15．4
9
【试题出处】2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题 【原题】选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第14题的分。）
14.（坐标系与参数方程选做题）．在极坐标系中，点)23,2(P到直线3sin4cos3:l的距离为________．
15.(几何证明选讲选做题)已知PA是圆O的切线，切点为A，2PA，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，1PB，则圆O的半径R的长为________． 【解析】14．在相应直角坐标系中，)2,0(p，直线l方程：0343yx，
所以p到l的距离22304(2)3134d 15.如右图，连接AB，∵PA是⊙O的切线，∴∠PAB＝∠C，又∵∠APB＝∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴PAAC＝PBAB，即PA2R＝PBAB， ∴R＝PA·AB2PB＝2×22－122×1＝3. 【试题出处】惠州市2012届高三第三次调研考试数学 【原题】15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果都做，则按所做第1题评分）
（1）在极坐标系中，点P的极坐标为（2,4，4）,,点Q是曲线C上的动点，曲线C
的极坐标方程为(cossin)+1 =0，则P、Q两点之间的距离的最小值为 。 （2）已知PA是圆O的切线，切点为4，PA =2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=l，则圆D的半径R= 。 3
【解析】（1）22；（2）3 【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试数学（理）试题 【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题) 直线2()1xttyt为参数被圆 35cos15sinxy
()为参数,[0,2)所截得的弦长为 .
15．(几何证明选讲选做题)如图，从圆O外一点P引圆的切线PC 和割线PBA，已知PC=2PB，3BC,则AC的长为 ．
【解析】14．把直线和圆的参数方程化为普通方程得,01yx22(3)(1)25xy
，于是弦心距,223d弦长
9225822l.
15．∵,PCBPACCPBAPC ∴PBC∽PCA ∴1232PBBCBCACPCACAC
【试题出处】广东省揭阳市2011—2012学年度高三学业水平考试数学理试题数学试题 【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. （几何证明选讲选做题）如图3,ABC中,D、E分别在边AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10，AE=4，那么BC=___________.
15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),((02)中，曲线(sincos)20与(sincos)20的交点的极坐标
为 . 【解析】14填：15. 解：∵DE∥BC,∴∠1=∠2.又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3. ∴DE=EC=AC－AE=10－4=6.∵DE∥BC,∴DEBC=AEAC.∴BC=15.
15填：32,2.解：转化为直角坐标系下20xy与20yx 4
的交点为(0,2)，该点在极坐标系下表示为32,2 【试题出处】肇庆市中小学教学质量评估2011—2012学年第一学期统一检测题高三数学（文科） 【原题】选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题） 如右图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，ADCE
于点D，若圆O的面积为4，30ABC，则AD的长为 ． 15．（极坐标与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A的坐标为22,4，曲线C的方程为cos2，则OA（O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为 ． 【解析】14．1 15．2 【试题出处】广州市2012届高三年级调研测试数学（理科）
【原题】选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3,PAB、PCD为⊙O的两条割线,若 PA=5,AB=7,CD=11,2AC，则BD等于 15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系),()20(
中， 点 5(2,)4P到直线cos()24的距离等于
【解析】14. 填：6. 解析:由割线定理得PA·PB=PC·PD,∴5×(5+7)=PC(PC+11).∴PC=4或PC=－15(舍去).
又∵PA·PB=PC·PD,PBPCPDPA,∠P=∠P,∴△PAC∽△PDB.∴31155PDPABDAC. 故36BDAC 15. 填：22 解：点 5(2,)4P的直角坐标为(2,2)，直线cos()24
的直角坐标方程为20xy，所以|222|222d 【试题出处】广东省肇庆市2012届高三上学期期末考试数学（理科）试题 【原题】请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，E是圆O内两弦AB和CD的交点F是AD延长线上一点，FG与圆O相切于点G，且EF=FG，求证：（1）EFDAFE； （2）EF//BC。 5
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合， x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，
曲线C的参数方程为4cos,(2sinxy为参数）。（1）在极坐标
系下，曲线C与射线4和射线4分别交于A，B两点，求AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为622,2xtyt（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标。 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知()|1||1|,()4fxxxfx不等式的解集为M。 （1）求M； （2）当,abM
时，证明：2|||4|.abab 【解析】（22）证明：（Ⅰ）∵FG与圆O相切于点G，∴FG2＝FD·FA，∵EF＝FG，EF2＝FD·FA，
∴EFFD＝FAEF，∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE．…5分 （Ⅱ）由（Ⅰ），有∠FED＝∠FAE，∵∠FAE和∠BCD都是BD⌒上的圆周角，∴∠FED＝∠BCD， ∴EF∥BC．…10分
（24）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝－2x，x＜－1，2，－1≤x≤1，2x，x＞1． 当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；