最新高考-2018届高考数学一轮复习三角专题 精品
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3-5-1 精品
4
[1 2sin2( )] 4
2sin2( ) 1 7 .
4
9
命题方向2:三角恒等变换的变“形”问题
【典例3】(2015·滨州模拟)在△ABC中,C=120°,
tanA+tanB= 2 3 ,则tanAtanB的值为 ( )
3
A. 1
B. 1
C. 1
D. 5
4
3
2
3
【解题导引】根据A+B=180°-C=60°,先求出tan(A+B)
7
,所以上式=
1 2
7
1 1 2
3.
7
答案:3
【加固训练】
(2016·枣庄模拟)设α为锐角, cos( ) 4 ,则sin(2 )
65
12
的值为
.
【解析】设α+ =β,因为α为锐角, cos( ) 4 ,
6
65
所以 cos 4 ,sin 3，cos 2 7 ,sin 2 24，
4
(1)求a,θ的值.
(2)若 f( ) 2， ( ，)，求sin( ) 的值.
45
2
3
【解析】(1)因为y=(a+2cos2x)是偶函数,所以g(x)
=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ= ,
2
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x,代入( ,0)得a=-1.所
3.(2016·芜湖模拟)已知 cos( ) sin 4 3,
6
5
则 sin( 7 ) 的值是 ( )
6
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
5
5
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：高考解答题专讲2 三角综合(专题拔高配套PPT课件)
三角综合
考情分析 典例剖析
-3-
题型一
题型二
题型三
三角函数与三角恒等变换综合 三角函数和三角恒等变换综合问题主要考查利用三角恒等变换 公式变成为y=Asin(ωx+φ)之后求对应性质.
高考解答题专讲
三角综合
考情分析 典例剖析
-4-
题型一
题型二
题型三
【例 1】 (2017 浙江名校联考)已知 0≤φ<π,函数 f(x)= 2 cos(2x+φ)+sin2x. (1)若 φ=6 ,求 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(x)的最大值是 ,求 φ 的值.
高考解答题专讲
三角综合
考情分析 典例剖析
-7-
题型一
题型二
题型三
解:(1)过P作x轴的垂线PM,过Q作y轴的垂线QM,
则由已知得|PM|=2, |PQ|= 13, 2π π 由勾股定理得|QM|=3, ∴T=6, 又 T= , ∴ω= ,
∴函数 y=f (x)的解析式为 f (x)=sin
������ π ������ 3
(2)函数 f (x)=
高考解答题专讲
三角综合
考情分析 典例剖析
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题型一
题型二
题型三
策略技巧1.与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及 其应用是高考的热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数 量积的坐标运算公式,向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握 三角恒等变换的相关知识. 2.向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的平行、 垂直、向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
1 2
,
3 2
,将向量������������绕原点 O 按逆时针方向旋转 x 弧度得到向量
2018届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之解三角形(6页)
解三角形必修5 第1章解三角形§1.1正弦定理、余弦定理重难点：理解正、余弦定理的证明，并能解决一些简单的三角形度量问题．考纲要求：①掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．经典例题：半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C>＝(a-b>sinB．(1>求角C；(2>求△ABC面积的最大值．当堂练习：1．在△ABC中，已知a=5错误!, c=10, A=30°,则∠B= ( >b5E2RGbCAP(A> 105° (B> 60° (C> 15° (D> 105°或15°p1EanqFDPw2在△ABC中，若a=2, b=2错误!, c=错误!+错误!,则∠A的度数是( >DXDiTa9E3d(A> 30° (B> 45° (C> 60° (D>75°RTCrpUDGiT3．在△ABC中，已知三边a、b、c 满足(a+b+c>·(a+b－c>=3ab,则∠C=( >5PCzVD7HxA(A> 15° (B> 30° (C> 45° (D>60°jLBHrnAILg4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( >(A> 90° (B> 120° (C> 135° (D>150°xHAQX74J0X5．在△ABC中，∠A=60°, a=错误!, b=4, 那么满足条件的△ABC ( >LDAYtRyKfE(A> 有一个解 (B> 有两个解 (C> 无解 (D>不能确定6．在平行四边形ABCD中，AC=错误!BD, 那么锐角A的最大值为( >Zzz6ZB2Ltk(A> 30° (B> 45° (C> 60° (D>75°dvzfvkwMI17. 在△ABC中，若==，则△ABC的形状是( >(A> 等腰三角形 (B> 等边三角形 (C> 直角三角形 (D> 等腰直角三角形8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为< ）(A> 锐角三角形 (B> 直角三角形 (C> 钝角三角形 (D> 由增加的长度决定9．在△ABC中，若a=50，b=25错误!, A=45°则B=.10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4错误!cm和4错误!cm，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为.rqyn14ZNXI11.在等腰三角形 ABC中，已知sinA∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC的周长是。
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3.5.2 精品
S()
S
OAP
S
BAP
1 2
OA
OPsin
3 AP2 4
sin 3 (5 4cos) sin 3cos 5 3
sin
sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式.
(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平 方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化 同名. (6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整 式要因式分解.
4
4
cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- ·1cos2α·cos2β
2
=1 .2Fra bibliotek答案: 1
2
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
方法一:(从“名”入手,异名化同名)
原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-
1 cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)
3
3
ON=OD-NcoDs= 3 sin,
3
S=ON·PD(=cos 3 sin·s)inθ
3
sincos 3 sin 2 1 sin 2 3 (1 cos 2)
3
2
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1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
3 sin(2 ) 3，因为 (0, )，
3
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3
所以2 ( , 5 )，sin(2 ) (1 ,1].
2018年高三数学(文)一轮复习课件 解三角形
关闭
由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 等腰三角形或直角三角形
解析
π
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
解析
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
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1
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3.(2016 全国乙卷,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 a=√5,c=2,cos A= ,则 b=( A.√2 B.√3
2 3
) C.2 D.3
关闭
由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 5=b 又 b>0,解得 b=3,故选 D.
a b c
余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C cos A= cos B=
b 2 +c 2 -a 2 2bc a 2 +c 2 -b 2
; ;
cos C=
2ac a 2 +b 2 -c 2 2ab
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
������ ������ ������sin������ 21 21 又因为sin������ = sin������,所以 b= sin������ = 13. 13
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3-6 精品
易错提醒:(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或丢 解的错误,要根据条件和三角形的限制条件合理取舍. (2)求角时忽略角的范围而导致错误,需要根据大边对 大角,大角对大边的规则,画图帮助判断.
【变式训练】(2015·安徽高考)在△ABC中,AB= 6 ,
A=75°,B=45°,则AC=
.
【解析】由正弦定理可知:
那么k的取值范围是 ( )
A.k=8 3 C.k≥12
B.0<k≤12 D.0<k≤12或k=8 3
【解题导引】(1)利用正弦定理,将边化为角,借助式子 的特点,利用和角公式与相关的诱导公式解决问题. (2)由正弦定理和三角函数的图象求解.
【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,
设 a b 则ca=kks，inA,b=ksinB,
6
考向一 正弦定理、余弦定理的简单应用
【典例1】(1)(2016·济宁模拟)在△ABC中,内角A,B,C
的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA= 1 b,且
2
a>b,则B= ( )
A.
B.
C. 2
6
3
3
D. 5 6
(2)如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,
a2 c2 b2
b2=_a_2_+_c_2-_2_a_c_c_o_s_B_,cosB=_____2a_c____;
a2 b2 c2
c2=_a_2_+_b_2-_2_a_b_c_o_s_C_,cosC=____2_a_b____.
3.勾股定理 在△ABC中,∠C=90°⇔_a_2_+_b_2=_c_2_.
【规律方法】 1.应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC中,c是最大的边, 若c2<a2+b2,则△ABC是锐角三角形; 若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形; 若c2>a2+b2,则△ABC是钝角三角形.
2018届高考数学(文)一轮(课标通用)复习课件(高手必备+萃取高招)：专题十六 三角恒等变换
tan������±tan������ 1∓tan������tan������
,α,β,α±β≠ +kπ(k∈Z);
π 2
(4)两角和与差的正切公式的逆用: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
π 0, 2 π ������- 4 π ������- 4 5 2 5 , 所以 cos α= 5 ,sin α= 5 . π π =cos αcos 4 +sin αsin4 , 5 2 2 5 2 3 10 = 5 × 2 + 5 × 2 = 10 . 1 5
高手洞考 考点35 考点36
高手锻造
3 5
-2
π
π 又 θ 是第四象限角, ∴θ-4 是第三或第四象限角. π 4 π 4 ∴sin ������- 4 =-5. ∴tan ������- 4 =-3.
高手洞考 考点35 考点36
高手锻造
试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练
1.两角和与差的三角函数公式 (1)两角和与差的正弦公式:sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β,α, β∈R; (2)两角和与差的余弦公式:cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β,α, β∈R; (3)两角和与差的正切公式:
试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练
5. (2016 课标Ⅰ, 文 14)已知 θ 是第四象限角, 且 sin ������ + tan ������π 4
π 4
= ,则
3 5
=
4
.
π + 4 3 = , 5 π ������ + 4
(全国通用)近年高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 热点探究课2 三角函数与解三角形中的高
（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书文新人教A版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书文新人教A版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国通用）2018高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题教师用书文新人教A版的全部内容。
热点探究课(二）三角函数与解三角形中的高考热点问题[命题解读] 从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题（全国卷T17）交替考查三角函数、解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是三角函数的图象与性质；二是解三角形；三是三角恒等变换与解三角形的综合问题，中档难度，在解题过程中应挖掘题目的隐含条件，注意公式的内在联系，灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用．热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)要进行五点法作图、图象变换，研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角的一种三角函数，求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换．(本小题满分12分）已知函数f(x)＝2错误!sin错误!·cos错误!－sin（x＋π）．(1)求f（x)的最小正周期;(2)若将f（x)的图象向右平移错误!个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间［0，π]上的最大值和最小值．［思路点拨]（1)先逆用倍角公式，再利用诱导公式、辅助角公式将f（x）化为正弦型函数，然后求其周期．(2)先利用平移变换求出g（x）的解析式，再求其在给定区间上的最值．[规范解答] （1)f(x）＝2错误!sin错误!·cos错误!－sin（x＋π）3分＝错误!cos x＋sin x＝2sin错误!，5分于是T＝2π1＝2π.6分（2）由已知得g(x）＝f错误!＝2sin错误!.8分∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈错误!，∴sin错误!∈错误!，10分∴g(x）＝2sin错误!∈[－1,2].11分故函数g（x)在区间［0，π]上的最大值为2，最小值为－1.12分［答题模板］解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为:第一步(化简)：将f(x）化为a sin x＋b cos x的形式．第二步（用辅助角公式):构造f（x）＝a2＋b2·错误!。
【课标通用】2018届高考数学(理)一轮课件：16-三角恒等变换(含答案)
考点35
考点36
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
典例导引 1(1)(2017 广东汕头模拟)设 α,β∈
1 且 tan α-tan β= ,则( cos������ π π A.3α+β= B.2α+β= 2 2 π π C.3α-β= D.2α-β= 2 2
π 0, 2
,
)
(2)(2017 山西临汾一中等五校三联)若 tan α则 sin 2������ +
专题十六
三角恒等变换
考点35
考点36
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
考点35三角函数式的化简与求值
1.(2016 课标Ⅱ,理 9)若 cos A.
7������ 4
3 5 1 C.5
= ,则 sin 2α=( D.2
)
3 2 7 -1=- , 5 25
7 25
【答案】 D 方法一:cos 2 且 cos 2
,所以 α-β= -α,即 2α-β= ,故选 D.
π 2
=
2 . 10
π tan(α±β)= ,α,β,α±β≠ +kπ(k∈Z); 2 1∓tan������tan������ tan������±tan������
(4)两角和与差的正切公式的逆用: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
考点35
考点36
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
2.二倍角公式 (1)二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin αcos α; (2)二倍角的余弦公式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)二倍角的正切公式:tan 2α= (4)降幂公式:sin αcos
2018版高考数学理一轮复习文档：第四章 三角函数、解三角形 4-6 含解析 精品
1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理： 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (5)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A. 2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6答案 C解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22，∴c ＝1063.3．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案 D解析 sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ， 又sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＝a 2， 综上，△ABC 为等腰直角三角形．4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝ . 答案2π3解析 因为3sin A ＝5sin B ， 所以由正弦定理可得3a ＝5b . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为 ．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ .答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝b 12，解得b ＝1.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C . ②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cos A sin C ，则b 等于( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得 a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332 D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． (2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ―――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分](2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分]sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6 ＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( ) A ．135° B ．105° C ．45° D ．75°答案 C解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3 答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 D解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4 答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b ， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ， 得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( ) A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－1答案 B解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C ，得c ＝b sin Csin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π，∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ . 答案2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 ．答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为 ． 答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B，可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A . 又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ， 即tan A ＝ 3. ∵0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2，则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)， ∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .(1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得 sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A ，即sin B ＝cos A .(2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34.由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝3， 由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0， 因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.方法二 由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.*13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2 C2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角， ∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。
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18届高考数学一轮复习三角专题（三）
解三角形
一、考点、要点、疑点：
考点：理解正弦定理、余弦定理及其应用。
要点：
1、 正弦定理：C
c B b A a sin sin sin == 2、 余弦定理：
① 已知三边求角，如 bc
a c
b A 2cos 2
22-+=； ② 已知两边及其夹角，求第三边：如 A bc c b a cos 222⋅-+=
3、 三角形面积公式：B ca A bc C ab S sin 2
1sin 21sin 21=== 疑点：解三角形问题解决过程中，注意：
① 角的联系：π=++C B A ② 角的范围：),0(,,π∈C B A
③ 边角的关系与转换，如：B A b a B A sin sin ⇔⇔
二、激活思维：
1、在△ABC 中，若a =5，b =15，A = 300，则C 等于
2、满足条件a = 4，b = 23，A = 450的三角形ABC 有 个
3、在ΔABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则ΔABC 的形状一定是 三角形。
4、在ΔABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，S 是ΔABC 的面积，
若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则c 的长度为 ；
三、典型例题解析：
例1、已知△ABC 中，13
5cos ,54sin ==B C ，则A cos ＝ ； 例2、已知△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0 ，sinB ＋cos2C ＝0 ，
求角A 、B 、C 的大小
例3、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．
例4、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．
（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为
1sin 6C ，求角C 的度数． 四、课堂练习：
1、在ABC ∆中，已知C B A sin 2tan
=+，给出以下四个论断，其中正确的是 ①1cot tan =⋅B A
②2sin sin 0≤+<B A
③1cos sin 22=+B A ④C B A 222sin cos cos =+
2、在直角三角形ABC 中，A 、B 为锐角，则sinAsinB 的取值范围是
3、在ΔABC 中，sinA ︰sinB ︰sinC ＝2︰3︰4，则cos C ＝
4、等腰三角形顶角的正弦值为25
24，则底角的余弦值为_______________。
5、给出下列四个命题，则正确的命题为
⑴ 若sin2A=sin2B ，则△ABC 是等腰三角形 ⑵ 若sinA=cosB ，则△ABC 是直角三角形 ⑶ 若cosA·cosB·cosC ＜0, 则△ABC 是钝角三角形
⑷ 若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A) = 1, 则△ABC 是等边三角形
6、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．
参考解答：
激活思维：1、030或090 2、2 3、等腰 4、21或61
例题解析：1、65
33 2、125,3,4πππ 3、（1）)32,0(,32)32sin(
4sin 4ππ∈+-+=x x x y （2）36 4、（1）1 （2）60°
课堂练习：1、②④ 2、]21
,0( 3、41- 4、54或5
3 5、（3）（4） 6、（1）30° （2）)2
3,23(。