2020高考数学一轮复习加练半小时资料：专题7不等式、推理与证明、数学归纳法第51练一元二次不等式及其解法

第51练 一元二次不等式及其解法
[基础保分练]
1．若m，n∈R且m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集为________．

2．不等式≥1的解集为________．
2
x
－1

3．若不等式ax2＋bx－2<0的解集为Error!，则ab＝________.
4．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为Error!，则m的取值范围是________．
5．若不等式≥x(a>0)的解集为{x|m≤x≤n}，且|m－n|＝2a，则实数a的值为
x＋a

________．
6．已知不等式xy≤ax2＋2y2，若对任意x∈[1,2]及y∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数
a
的取值范围是________．

7．设p：≤0，q：x2－(2m＋1)x＋m2＋m≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数
m
x3－4x
2
x

的取值范围为________．
8．若关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在区间[1,4]内有解，则实数a的取值范围是
________．
9．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x＋2，则不等式f(x)
－x2≥0的解集为________________．
10．若不等式kx2－2x＋1－k<0对满足－2≤k≤2的所有k都成立，则x的取值范围为
________．
[能力提升练]
1．已知f(x)是一元二次函数，不等式f(x)>0的解集是{x|x<1或x>e}，则f(ex)<0的解集
是______．
2．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(0<2a

的最小值是________．
f
1

f0－f
－1

3．在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意实数x成立，
则实数a的取值范围为________．
4．已知函数f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2有

>0，则使得f(2x－1)fx1－fx
2

x1－x
2

5．若不等式f(x)≤0的解集是[－3,2]，不等式g(x)≤0的解集是∅，且f(x)，g(x)中，
x
∈R，则不等式>0的解集为______________．

fx


gx


6．不等式－kx＋1≤0的解集非空，则k的取值范围为
4－x2

____________________________．

答案精析
基础保分练

1．{x|－n4．(－∞，0)　5.2　6.[－1，＋∞)
7．[－2，－1)∪(0,1]

解析　设p：≤0的解集为A，所以A＝{x|－2≤x<0或0x3－4x
2
x

x＋m2＋m≤0的解集为B，所以B＝{x|m≤x≤m＋1}，由题知p是q
的必要不充分条件，即

得B是A的真子集，
所以有Error!⇒0或Error!⇒－2≤m<－1.
综上得m∈[－2，－1)∪(0,1]．
8．(－∞，－2]
解析　不等式x2－4x－2－a≥0可化为a≤x2－4x－2，
设f(x)＝x2－4x－2，则f(x)在区间[1,4]内的最大值为f(4)＝－2；
∵关于x的不等式x2－4x－2－a≥0在区间[1,4]内有解，
所以实数a的取值范围是(－∞，－2]．
9．[－1,1]
解析　当x≥0时，由－x＋2－x2≥0，解得0≤x≤1；当x＜0时，由x＋2－x2≥0，解得
－1≤x＜0，所以－1≤x≤1.

10.
(－1＋72，1＋32)

解析　原不等式可化为
(x2－1)k－(2x－1)<0，
设f(k)＝(x2－1)k－(2x－1)(－2≤k≤2)，
则f(k)是关于k的一次函数，且是单调函数，
根据题意可得
Error!
即
Error!

解得－1＋721＋3
2

故x的取值范围为.
(－1＋72，1＋32)

能力提升练
1．{x|02．3
解析　因为任意x∈R，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，0<2a所以Error!得b2≤4ac，

又0<2ab
2

4
a

所以＝
f1f0－f－1a＋b＋c
c－a－b＋c


＝≥＝
a＋b＋cb－aa＋b＋b24ab－a4a2＋4ab＋b
2

4ab－a

＝＝，
4a2＋4ab＋b2
4ab－4a2

4＋4·ba＋(ba)2

4·ba－4

设t＝，由0<2a2，则
b
a

≥
f1f0－f－14＋4t＋t
2

4t－1

＝
t－12＋6t－1＋9
4t－1

＝≥×(6＋6)＝3，当且仅当t－1＝时取等号，此时
14[t－1＋9t－1＋6]149
t
－1

t
＝4，取最小值3.

f
1

f0－f
－1

3.　4.(0,1)
(－12，32)

5．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
6.∪
(－∞，－12][12，＋∞)

解析　由－kx＋1≤0，得≤kx－1，设f(x)＝，g(x)＝kx－1，显然函
4－x24－x24－x2
数f(x)和g(x)的定义域都为[－2,2]．令y＝，两边平方得x2＋y2＝4，故函数f(x)
4－x2
的图象是以原点O为圆心，2为半径的圆在x轴上及其上方的部分．而函数g(x)的图象是直
线l：y＝kx－1在[－2,2]内的部分，该直线过点C(0，－1)，斜率为k.如图，作出函数
f(x)，g(x)的图象，不等式的解集非空，即直线l和半圆有公共点，可知k
的几何意义就是

半圆上的点与点C(0，－1)连线的斜率．

由图可知A(－2,0)，B(2,0)，故kAC＝＝－，kBC＝＝.要使直线和
0－－1－2－0120－－12－01
2

半圆有公共点，则k≥或k≤－，
121
2

所以k的取值范围为∪.
(－∞，－12][12，＋∞)